Induction Électromagnétique et Loi de Faraday
Calculer la force électromotrice (f.é.m.) induite et le courant induit dans une spire conductrice soumise à une variation de flux magnétique.
L'induction électromagnétique est le phénomène de production d'une force électromotrice (f.é.m.) dans un conducteur électrique soumis à un flux magnétique variable. Ce principe est fondamental pour de nombreuses applications, comme les générateurs électriques et les transformateurs.
Concepts clés :
- Flux Magnétique (\(\Phi_B\)) : Mesure de la quantité de champ magnétique passant à travers une surface. Pour un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\) perpendiculaire à une surface d'aire \(A\), \(\Phi_B = B A\). Si l'angle entre \(\vec{B}\) et la normale à la surface \(\vec{A}\) est \(\theta\), alors \(\Phi_B = B A \cos(\theta)\). Unité : Weber (Wb).
- Loi de Faraday de l'Induction : La f.é.m. induite (\(\mathcal{E}\)) dans une spire est égale à l'opposé de la dérivée temporelle du flux magnétique à travers cette spire : \(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\). Pour une bobine de N spires, \(\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}\).
- Loi de Lenz : Le sens du courant induit est tel qu'il s'oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance (la variation de flux). Le signe "moins" dans la loi de Faraday reflète la loi de Lenz.
- Courant Induit (\(I_{ind}\)) : Si la spire a une résistance \(R\), le courant induit est donné par la loi d'Ohm : \(I_{ind} = \frac{\mathcal{E}}{R}\).
Données du Problème
Une spire conductrice rectangulaire est placée dans un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\).
- Dimensions de la spire : \(a = 10 \text{ cm}\) et \(b = 20 \text{ cm}\)
- Orientation du champ : Le champ est perpendiculaire au plan de la spire.
- Intensité du champ magnétique en fonction du temps : \(B(t) = (2.0 - 0.5t) \text{ T}\), où \(t\) est en secondes et \(B\) en Teslas.
- Intervalle de temps étudié : \(0 \le t \le 4 \text{ s}\).
- Résistance totale de la spire : \(R_{spire} = 0.5 \, \Omega\).
Questions
- Calculer l'aire (\(A\)) de la spire.
- Exprimer le flux magnétique (\(\Phi_B(t)\)) à travers la spire en fonction du temps.
- Calculer la force électromotrice induite (\(\mathcal{E}(t)\)) dans la spire en fonction du temps.
- Calculer la valeur de la f.é.m. induite à \(t = 2.0 \text{ s}\).
- Déterminer le sens du courant induit dans la spire pour \(0 < t < 4 \text{ s}\) en utilisant la loi de Lenz. (Le champ B est initialement sortant ou entrant ? Comment varie-t-il ?) On supposera que le champ B est dirigé sortant de la page (vers l'observateur).
- Calculer l'intensité du courant induit (\(I_{ind}(t)\)) dans la spire en fonction du temps.
- Calculer la valeur du courant induit à \(t = 2.0 \text{ s}\).
- Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans la spire à \(t = 2.0 \text{ s}\).
Correction : Induction Électromagnétique et Loi de Faraday
1. Calcul de l'Aire (\(A\)) de la Spire
L'aire d'un rectangle est \(A = a \times b\).
Données :
\(a = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}\)
\(b = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}\)
L'aire de la spire est \(A = 0.020 \text{ m}^2\).
2. Expression du Flux Magnétique (\(\Phi_B(t)\))
Le champ magnétique \(\vec{B}\) est uniforme et perpendiculaire au plan de la spire. Donc, \(\Phi_B(t) = B(t) \cdot A\).
Données :
\(B(t) = (2.0 - 0.5t) \text{ T}\)
\(A = 0.020 \text{ m}^2\)
Le flux magnétique à travers la spire est \(\Phi_B(t) = (0.040 - 0.010t) \text{ Wb}\).
3. Calcul de la Force Électromotrice Induite (\(\mathcal{E}(t)\))
La f.é.m. induite est donnée par la loi de Faraday : \(\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B(t)}{dt}\).
Donnée : \(\Phi_B(t) = 0.040 - 0.010t \text{ Wb}\)
La f.é.m. induite est constante dans ce cas car la variation du champ magnétique est linéaire.
La force électromotrice induite est \(\mathcal{E}(t) = 0.010 \text{ V}\) (ou 10 mV).
Quiz Intermédiaire : Loi de Faraday
4. Valeur de la f.é.m. Induite à \(t = 2.0 \text{ s}\)
Puisque \(\mathcal{E}(t)\) est constante, sa valeur à \(t = 2.0 \text{ s}\) est la même.
Donnée : \(\mathcal{E}(t) = 0.010 \text{ V}\)
À \(t = 2.0 \text{ s}\), la f.é.m. induite est \(\mathcal{E} = 0.010 \text{ V}\).
5. Sens du Courant Induit (Loi de Lenz)
Le champ \(B(t) = (2.0 - 0.5t)\) T est supposé sortant de la page. Pour \(0 < t < 4 \text{ s}\), le terme \(-0.5t\) est négatif et croissant en valeur absolue. Donc, \(B(t)\) diminue avec le temps (par exemple, à \(t=0\), \(B=2T\); à \(t=2s\), \(B=1T\); à \(t=4s\), \(B=0T\)). Le flux sortant diminue.
Selon la loi de Lenz, le courant induit doit créer un champ magnétique induit \(\vec{B}_{ind}\) qui s'oppose à cette diminution du flux sortant. Donc, \(\vec{B}_{ind}\) doit être aussi sortant de la page.
En utilisant la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), pour qu'un courant dans la spire rectangulaire crée un champ magnétique sortant au centre de la spire, le courant doit circuler dans le sens anti-horaire.
Le courant induit circule dans le sens anti-horaire.
6. Intensité du Courant Induit (\(I_{ind}(t)\))
Le courant induit est \(I_{ind}(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R_{spire}}\).
Données :
\(\mathcal{E}(t) = 0.010 \text{ V}\)
\(R_{spire} = 0.5 \, \Omega\)
L'intensité du courant induit est \(I_{ind}(t) = 0.020 \text{ A}\) (ou 20 mA).
7. Valeur du Courant Induit à \(t = 2.0 \text{ s}\)
Puisque \(I_{ind}(t)\) est constant, sa valeur à \(t = 2.0 \text{ s}\) est la même.
Donnée : \(I_{ind}(t) = 0.020 \text{ A}\)
À \(t = 2.0 \text{ s}\), le courant induit est \(I_{ind} = 0.020 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Loi de Lenz
8. Puissance Dissipée par Effet Joule à \(t = 2.0 \text{ s}\)
La puissance dissipée par effet Joule est \(P_J = R_{spire} I_{ind}^2\).
Données :
\(R_{spire} = 0.5 \, \Omega\)
\(I_{ind}(2.0\text{s}) = 0.020 \text{ A}\)
La puissance dissipée à \(t = 2.0 \text{ s}\) est \(P_J = 0.0002 \text{ W}\) (ou 0.2 mW).
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Glossaire des Termes Clés
Induction Électromagnétique :
Phénomène de production d'une force électromotrice (et donc potentiellement d'un courant) dans un circuit électrique soumis à un flux de champ magnétique variable.
Flux Magnétique (\(\Phi_B\)) :
Grandeur scalaire qui quantifie le champ magnétique traversant une surface donnée. Unité : Weber (Wb).
Loi de Faraday :
Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui stipule que la force électromotrice induite dans un circuit fermé est égale à l'opposé de la vitesse de variation du flux magnétique à travers le circuit.
Force Électromotrice Induite (\(\mathcal{E}\)) :
Tension électrique générée dans un conducteur par induction électromagnétique. Unité : Volt (V).
Loi de Lenz :
Principe qui détermine le sens du courant induit. Ce courant crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation du flux magnétique initial qui l'a engendré.
Courant Induit :
Courant électrique qui apparaît dans un conducteur lorsqu'il est soumis à une f.é.m. induite.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la f.é.m. induite changerait-elle si la spire avait N tours au lieu d'un seul ?
2. Que se passerait-il si le champ magnétique \(B(t)\) variait de manière sinusoïdale avec le temps, par exemple \(B(t) = B_0 \sin(\omega t)\) ? Quelle serait la forme de la f.é.m. induite ?
3. Expliquez le principe de fonctionnement d'un générateur électrique simple en utilisant la loi de Faraday.
4. Si la spire était en rotation dans un champ magnétique constant, y aurait-il une f.é.m. induite ? Pourquoi ?
5. Que sont les courants de Foucault et comment sont-ils liés à l'induction électromagnétique ? Citez une application et un inconvénient des courants de Foucault.
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