Mouvement d’un skateboarder dans un parc
Comprendre le Mouvement d’un skateboarder dans un parc
Dans un parc de skateboard, Alex teste ses compétences en descendant une rampe inclinée. Cette rampe est lisse, permettant à Alex de glisser sans frottement. Pour mesurer sa performance, Alex utilise une application qui enregistre sa vitesse à différents points de la descente.
Pour comprendre l’Analyse de Force sur un Parcours Ascendant, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Longueur de la rampe : \(12 \, \text{m}\)
- Hauteur de la rampe : \(3 \, \text{m}\)
- Masse d’Alex avec son skateboard : \(45 \, \text{kg}\)
- Accélération due à la gravité : \(9.8 \, \text{m/s}^2\)
- Angle d’inclinaison de la rampe : à calculer
Questions:
1. Calculer l’angle d’inclinaison de la rampe.
Utiliser la formule \(\tan(\theta) = \frac{\text{hauteur}}{\text{longueur}}\) pour trouver l’angle \(\theta\) de la rampe.
2. Déterminer l’accélération d’Alex sur la rampe.
Utiliser la composante parallèle de la force gravitationnelle qui agit le long de la rampe : \(a = g \sin(\theta)\).
3. Calculer la vitesse d’Alex en bas de la rampe.
Supposant qu’Alex part du repos, utiliser la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré : \(v = \sqrt{2as}\), où \(s\) est la longueur de la rampe et \(a\) l’accélération.
4. Évaluer le temps mis par Alex pour atteindre le bas de la rampe.
Utiliser la formule \(t = \sqrt{\frac{2s}{a}}\).
Correction : Mouvement d’un skateboarder dans un parc
1. Calcul de l’angle d’inclinaison de la rampe
Visualisons la rampe comme un triangle : la rampe elle-même est l’hypoténuse (longueur s), et sa hauteur verticale est h. L’angle θ correspond à l’inclinaison par rapport au sol. Pour chaque mètre parcouru le long de la rampe, on monte de \(\frac{h}{s}\) mètres verticalement. Cette idée s’exprime avec la fonction tangente, qui est simplement le rapport « hauteur sur longueur ».
Formule
\[\tan(\theta)=\frac{h}{s}\]
Données
- \(h=3,0\:\mathrm{m}\)
- \(s=12,0\:\mathrm{m}\)
Calcul
\[ \theta=\arctan\Bigl(\frac{3,0}{12,0}\Bigr) \] \[ \theta =\arctan(0,25) \] \[ \theta \approx14,04^\circ \]
2. Détermination de l’accélération d’Alex sur la rampe
Sans frottement, la seule force qui agit est le poids d’Alex (masse × gravité). Sur la pente, cette force se décompose en une composante perpendiculaire à la rampe et une composante parallèle qui fait glisser Alex. Cette composante parallèle vaut \(mg\sin(\theta)\). En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient l’accélération.
Formule
\[a=g\sin(\theta)\]
Données
- \(g=9,8\:\mathrm{m/s^2}\)
- \(\theta\approx14,04^\circ\)
Calculs
\[ \sin(14,04^\circ)\approx0,242 \quad\Longrightarrow\quad a=9,8\times0,242 \] \[ a \approx2,37\:\mathrm{m/s^2} \]
3. Calcul de la vitesse d’Alex en bas de la rampe
Alex part du repos (vitesse initiale = 0) et accélère de façon constante. La formule du mouvement uniformément accéléré relie \(a\), \(s\) et la vitesse finale \(v\).
Formule
\[v=\sqrt{2as}\]
Données
- \(a\approx2,37\:\mathrm{m/s^2}\)
- \(s=12,0\:\mathrm{m}\)
Calcul
\[ v=\sqrt{2\times2,37\times12,0} \] \[ v =\sqrt{56,88} \] \[ v \approx7,54\:\mathrm{m/s} \]
4. Évaluation du temps mis par Alex pour atteindre le bas de la rampe
La formule \(s=\frac{1}{2}at^2\) relie la distance parcourue \(s\), l’accélération \(a\) et le temps \(t\). Pour trouver \(t\), on isole et on prend la racine carrée.
Formule
\[t=\sqrt{\frac{2s}{a}}\]
Données
- \(s=12,0\:\mathrm{m}\)
- \(a\approx2,37\:\mathrm{m/s^2}\)
Calcul
\[ t=\sqrt{\frac{2\times12,0}{2,37}} \] \[ t =\sqrt{10,13} \] \[ t \approx3,18\:\mathrm{s} \]
Mouvement d’un skateboarder dans un parc
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