Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente

Application du principe de conservation de l'énergie mécanique pour un objet en descente.

Énoncé : Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente

Lorsqu'un objet descend une pente, son énergie potentielle de pesanteur se transforme en énergie cinétique (énergie de mouvement), en supposant que les frottements sont négligeables. Ce principe de conservation de l'énergie mécanique permet de calculer la vitesse de l'objet en fin de descente.

Contexte

La transformation d'énergie potentielle en énergie cinétique est un concept fondamental en physique. On l'observe dans de nombreuses situations : un skieur dévalant une piste, une bille roulant sur un plan incliné, l'eau d'une cascade actionnant une turbine, ou encore les montagnes russes. Comprendre cette conversion permet de prédire les vitesses atteintes et de concevoir des systèmes où l'énergie est utilisée efficacement.

Objet de masse \(m\) glissant (sans frottement) d'une hauteur \(h_A\) à une hauteur \(h_B=0\).

Données du Problème

Un chariot de masse \(m\) est lâché sans vitesse initiale du sommet A d'une piste inclinée. Il descend jusqu'au point B situé à la base de la piste. On néglige tous les frottements.

Masse du chariot : \(m = 500 \, \text{g}\)
Hauteur initiale (altitude du point A par rapport au point B) : \(h_A = 1,80 \, \text{m}\)
Altitude du point B (prise comme référence des énergies potentielles) : \(h_B = 0 \, \text{m}\)
Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\) (ou \(9,8 \, \text{m/s}^2\))

Questions

Convertir la masse \(m\) du chariot en kilogrammes (kg).
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p,A}\)) du chariot au point A.
Quelle est l'énergie cinétique (\(E_{c,A}\)) du chariot au point A, sachant qu'il est lâché sans vitesse initiale ?
Enoncer le principe de conservation de l'énergie mécanique dans le cas où les frottements sont négligés. Quelle est la valeur de l'énergie mécanique (\(E_{m,A}\)) du chariot au point A ?
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p,B}\)) du chariot au point B ?
En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, déterminer l'énergie cinétique (\(E_{c,B}\)) du chariot au point B.
Calculer la vitesse (\(v_B\)) du chariot au point B.

Correction : Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente

1. Conversion de la Masse

La masse est donnée en grammes (g). Pour les calculs d'énergie en Joules, la masse doit être exprimée en kilogrammes (kg). Rappel : \(1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{g}\), donc \(1 \, \text{g} = 10^{-3} \, \text{kg}\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 500 \, \text{g}\)

Calcul

\begin{aligned} m &= 500 \, \text{g} \\ &= 500 \times 10^{-3} \, \text{kg} \\ &= 0,500 \, \text{kg} \end{aligned}

Résultat

La masse du chariot est \(m = 0,500 \, \text{kg}\).

2. Énergie Potentielle de Pesanteur en A (\(E_{p,A}\))

L'énergie potentielle de pesanteur \(E_p\) d'un objet de masse \(m\) situé à une altitude \(h\) est donnée par la formule : \(E_p = m \times g \times h\).

Données pour cette étape

\(m = 0,500 \, \text{kg}\) (calculée à l'étape 1)
\(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
\(h_A = 1,80 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} E_{p,A} &= m \times g \times h_A \\ &= 0,500 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \times 1,80 \, \text{m} \\ &= 8,82 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie potentielle de pesanteur du chariot au point A est \(E_{p,A} = 8,82 \, \text{J}\).

3. Énergie Cinétique en A (\(E_{c,A}\))

L'énergie cinétique \(E_c\) d'un objet de masse \(m\) se déplaçant à une vitesse \(v\) est donnée par : \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). Si le chariot est lâché sans vitesse initiale, sa vitesse initiale \(v_A\) est nulle.

Données pour cette étape

\(m = 0,500 \, \text{kg}\)
Vitesse initiale \(v_A = 0 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} E_{c,A} &= \frac{1}{2} m v_A^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0,500 \, \text{kg} \times (0 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie cinétique du chariot au point A est \(E_{c,A} = 0 \, \text{J}\).

4. Conservation de l'Énergie Mécanique et \(E_{m,A}\)

L'énergie mécanique \(E_m\) d'un système est la somme de son énergie potentielle \(E_p\) et de son énergie cinétique \(E_c\) : \(E_m = E_p + E_c\). Si les frottements sont négligés, l'énergie mécanique du système se conserve au cours du mouvement.

Données pour cette étape

\(E_{p,A} = 8,82 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 2)
\(E_{c,A} = 0 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 3)

Calcul de \(E_{m,A}\)

\begin{aligned} E_{m,A} &= E_{p,A} + E_{c,A} \\ &= 8,82 \, \text{J} + 0 \, \text{J} \\ &= 8,82 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

Le principe de conservation de l'énergie mécanique stipule qu'en l'absence de frottements, l'énergie mécanique d'un système isolé se conserve. L'énergie mécanique du chariot au point A est \(E_{m,A} = 8,82 \, \text{J}\).

5. Énergie Potentielle de Pesanteur en B (\(E_{p,B}\))

Le point B est pris comme référence pour l'énergie potentielle, donc son altitude \(h_B\) est nulle.

Données pour cette étape

\(m = 0,500 \, \text{kg}\)
\(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
\(h_B = 0 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} E_{p,B} &= m \times g \times h_B \\ &= 0,500 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \times 0 \, \text{m} \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie potentielle de pesanteur du chariot au point B est \(E_{p,B} = 0 \, \text{J}\).

6. Énergie Cinétique en B (\(E_{c,B}\))

D'après le principe de conservation de l'énergie mécanique (frottements négligés), l'énergie mécanique au point B (\(E_{m,B}\)) est égale à l'énergie mécanique au point A (\(E_{m,A}\)). \(E_{m,B} = E_{p,B} + E_{c,B}\).

Données pour cette étape

\(E_{m,A} = 8,82 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 4)
\(E_{p,B} = 0 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 5)

Calcul

\begin{aligned} E_{m,B} &= E_{m,A} \\ E_{p,B} + E_{c,B} &= E_{m,A} \\ 0 \, \text{J} + E_{c,B} &= 8,82 \, \text{J} \\ E_{c,B} &= 8,82 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie cinétique du chariot au point B est \(E_{c,B} = 8,82 \, \text{J}\).

7. Vitesse \(v_B\) du Chariot au Point B

On utilise la formule de l'énergie cinétique \(E_{c,B} = \frac{1}{2} m v_B^2\) pour trouver la vitesse \(v_B\). \[ v_B = \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} \]

Données pour cette étape

\(E_{c,B} = 8,82 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 6)
\(m = 0,500 \, \text{kg}\)

Calcul

\begin{aligned} v_B &= \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 8,82 \, \text{J}}{0,500 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{17,64}{0,500}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{35,28} \, \text{m/s} \\ &\approx 5,94 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat

La vitesse du chariot au point B est \(v_B \approx 5,94 \, \text{m/s}\).

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