Calcul de la Position d’un Mobile
Comprendre le Calcul de la Position d’un Mobile
Un mobile auto-télécommandé est testé sur un terrain de course rectiligne. Le départ est donné à l’extrémité sud du terrain.
Le mobile accélère à un taux constant et parcourt une distance significative qui sera calculée dans cet exercice.
Pour comprendre l’Analyse de l’Inertie sur une Piste, cliquez sur le lien.
Données:
- Vitesse initiale du mobile, \( v_0 \) : 0 m/s (le mobile part du repos)
- Accélération constante, \( a \) : 3 m/s\(^2\)
- Temps écoulé depuis le départ, \( t_1 \) : 5 secondes
- Temps écoulé pour une deuxième mesure, \( t_2 \) : 10 secondes
Questions:
1. Calcul de la position à \( t_1 \).
2. Calcul de la position à \( t_2 \).
3. Analyse du mouvement entre \( t_1 \) et \( t_2 \) : Déterminez la distance parcourue entre \( t_1 \) et \( t_2 \) et discutez de l’évolution de la vitesse du mobile au cours de ce laps de temps.
Correction : Calcul de la Position d’un Mobile
1. Calcul de la position à \(t_1 = 5\) secondes
Pour calculer la position \(x(t)\) du mobile à un temps \(t\), nous utilisons la formule de la position pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré, en partant du repos :
\[ x(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 \]
Substituons les données :
- \(v_0 = 0\) m/s (vitesse initiale)
- \(a = 3\) m/s\(^2\) (accélération)
- \(t = 5\) s (temps)
\[ x(5) = 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \times 3 \times 5^2 \] \[ x(5) = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 25 \] \[ x(5) = 0 + 37.5 \] \[ x(5) = 37.5 \text{ m} \]
Le mobile se trouve donc à 37.5 mètres du point de départ après 5 secondes.
2. Calcul de la position à \(t_2 = 10\) secondes
Utilisons la même formule pour calculer la position à \(t_2\) :
- \(t = 10 \text{ s}\)
\[ x(10) = 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 \] \[ x(10) = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 100 \] \[ x(10) = 0 + 150 \] \[ x(10) = 150 \text{ m} \]
Le mobile se trouve à 150 mètres du point de départ après 10 secondes.
3. Analyse du mouvement entre \(t_1\) et \(t_2\)
Pour comprendre le mouvement entre ces deux instants, calculons la distance parcourue pendant cet intervalle et analysons l’évolution de la vitesse.
- Distance parcourue entre \(t_1\) et \(t_2\):
\[ \text{Distance parcourue} = x(10) – x(5) \] \[ \text{Distance parcourue} = 150 \text{ m} – 37.5 \text{ m} \] \[ \text{Distance parcourue} = 112.5 \text{ m} \]
Le mobile a donc parcouru 112.5 mètres entre la 5ème et la 10ème seconde.
- Évolution de la vitesse :
La vitesse à un instant donné dans un mouvement uniformément accéléré est donnée par :
\[ v(t) = v_0 + at \]
À \(t_1 = 5\) s et \(t_2 = 10\) s :
\[ v(5) = 0 + 3 \times 5 \] \[ v(5) = 15 \text{ m/s} \]
\[ v(10) = 0 + 3 \times 10 \] \[ v(10) = 30 \text{ m/s} \]
La vitesse du mobile augmente de 15 m/s à 30 m/s entre 5 et 10 secondes, ce qui confirme l’accélération constante.
Calcul de la Position d’un Mobile
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