Exercices Physique Chimie

Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Comprendre l'Énergie Mécanique

Dans une montagne russe, un chariot subit des transformations d'énergie fascinantes. L'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{\text{p}}\)) est l'énergie qu'un objet possède en raison de son altitude. Plus il est haut, plus son énergie potentielle est grande. L'énergie cinétique (\(E_{\text{c}}\)) est l'énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement (sa vitesse). Plus il va vite, plus son énergie cinétique est grande.

L'énergie mécanique (\(E_{\text{m}}\)) d'un objet est la somme de son énergie potentielle de pesanteur et de son énergie cinétique : \(E_{\text{m}} = E_{\text{p}} + E_{\text{c}}\). Dans une situation idéale où les frottements sont négligeables (ce que nous supposerons ici), l'énergie mécanique d'un objet se conserve : elle reste constante tout au long de son mouvement, même si l'énergie potentielle et l'énergie cinétique se transforment l'une en l'autre.

Données de l'étude

Un chariot de montagne russe, de masse \(m = 200 \, \text{kg}\), part du repos au sommet de la première descente (Point A), situé à une hauteur \(h_A = 30 \, \text{m}\) par rapport au point le plus bas du parcours. Il descend ensuite et remonte jusqu'à un deuxième sommet (Point B) situé à une hauteur \(h_B = 10 \, \text{m}\).

Informations complémentaires :

  • Masse du chariot (\(m\)) : \(200 \, \text{kg}\)
  • Hauteur du Point A (\(h_A\)) : \(30 \, \text{m}\)
  • Hauteur du Point B (\(h_B\)) : \(10 \, \text{m}\)
  • Vitesse initiale au Point A (\(v_A\)) : \(0 \, \text{m/s}\) (part du repos)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,8 \, \text{N/kg}\) (ou \(\text{m/s}^2\))
  • On néglige les frottements.
Schéma : Parcours du Chariot de Montagne Russe
A h_A = 30m B h_B = 10m Référence (h=0m)

Schéma illustrant le parcours d'un chariot de montagne russe avec les points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{\text{p,A}}\)) du chariot au Point A.
  2. Quelle est l'énergie cinétique (\(E_{\text{c,A}}\)) du chariot au Point A ? En déduire son énergie mécanique (\(E_{\text{m,A}}\)) au Point A.
  3. En supposant que l'énergie mécanique se conserve, quelle est l'énergie mécanique (\(E_{\text{m,B}}\)) du chariot au Point B ?
  4. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{\text{p,B}}\)) du chariot au Point B.
  5. En déduire l'énergie cinétique (\(E_{\text{c,B}}\)) du chariot au Point B.
  6. Calculer la vitesse (\(v_B\)) du chariot au Point B. (Rappel : si \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\), alors \(v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}\))

Correction : Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Question 1 : Énergie potentielle au Point A (\(E_{\text{p,A}}\))

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{\text{p}}\)) d'un objet est donnée par la formule \(E_{\text{p}} = m \times g \times h\), où \(m\) est la masse, \(g\) l'intensité de la pesanteur, et \(h\) l'altitude par rapport à une référence.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{p}} = m \times g \times h\]
Données spécifiques pour le Point A :
  • Masse du chariot (\(m\)) : \(200 \, \text{kg}\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,8 \, \text{N/kg}\)
  • Hauteur au Point A (\(h_A\)) : \(30 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{p,A}} &= 200 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \times 30 \, \text{m} \\ &= 1960 \, \text{N} \times 30 \, \text{m} \\ &= 58800 \, \text{J} \end{aligned} \]

(Rappel : \(1 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 1 \, \text{J}\))

Résultat Question 1 : L'énergie potentielle de pesanteur du chariot au Point A est \(E_{\text{p,A}} = 58800 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un objet de 10 kg est à une hauteur de 5 m (avec g=10 N/kg), son énergie potentielle est de :

Question 2 : Énergie cinétique (\(E_{\text{c,A}}\)) et énergie mécanique (\(E_{\text{m,A}}\)) au Point A

Principe :

L'énergie cinétique (\(E_{\text{c}}\)) est nulle si l'objet est au repos (vitesse nulle). L'énergie mécanique (\(E_{\text{m}}\)) est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{c}} = \frac{1}{2} m v^2\] \[E_{\text{m}} = E_{\text{p}} + E_{\text{c}}\]
Données spécifiques pour le Point A :
  • Vitesse initiale au Point A (\(v_A\)) : \(0 \, \text{m/s}\)
  • Énergie potentielle au Point A (\(E_{\text{p,A}}\)) : \(58800 \, \text{J}\) (calculée à la question 1)
  • Masse du chariot (\(m\)) : \(200 \, \text{kg}\)
Calcul de \(E_{\text{c,A}}\) :
\[ \begin{aligned} E_{\text{c,A}} &= \frac{1}{2} \times 200 \, \text{kg} \times (0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 200 \, \text{kg} \times 0 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(E_{\text{m,A}}\) :
\[ \begin{aligned} E_{\text{m,A}} &= E_{\text{p,A}} + E_{\text{c,A}} \\ &= 58800 \, \text{J} + 0 \, \text{J} \\ &= 58800 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Au Point A, l'énergie cinétique est \(E_{\text{c,A}} = 0 \, \text{J}\) et l'énergie mécanique est \(E_{\text{m,A}} = 58800 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un oiseau est posé immobile sur une branche. Son énergie cinétique est :

Question 3 : Énergie mécanique au Point B (\(E_{\text{m,B}}\))

Principe :

Si l'on néglige les frottements, l'énergie mécanique totale du système se conserve. Cela signifie que l'énergie mécanique au Point B est la même qu'au Point A.

Formule(s) / Principe utilisé(s) :
\[E_{\text{m,B}} = E_{\text{m,A}} \quad (\text{conservation de l'énergie mécanique})\]
Données spécifiques :
  • Énergie mécanique au Point A (\(E_{\text{m,A}}\)) : \(58800 \, \text{J}\) (calculée à la question 2)
Calcul :
\[ E_{\text{m,B}} = 58800 \, \text{J} \]
Résultat Question 3 : L'énergie mécanique du chariot au Point B est \(E_{\text{m,B}} = 58800 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Dans une descente de montagne russe sans frottement, l'énergie mécanique du chariot :

Question 4 : Énergie potentielle au Point B (\(E_{\text{p,B}}\))

Principe :

On utilise la même formule que pour le Point A : \(E_{\text{p}} = m \times g \times h\), mais avec la hauteur du Point B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{p}} = m \times g \times h\]
Données spécifiques pour le Point B :
  • Masse du chariot (\(m\)) : \(200 \, \text{kg}\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,8 \, \text{N/kg}\)
  • Hauteur au Point B (\(h_B\)) : \(10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{p,B}} &= 200 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \times 10 \, \text{m} \\ &= 1960 \, \text{N} \times 10 \, \text{m} \\ &= 19600 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie potentielle de pesanteur du chariot au Point B est \(E_{\text{p,B}} = 19600 \, \text{J}\).

Quiz Q4 : Si un chariot descend une pente, son énergie potentielle :

Question 5 : Énergie cinétique au Point B (\(E_{\text{c,B}}\))

Principe :

Puisque l'énergie mécanique se conserve (\(E_{\text{m,B}} = E_{\text{p,B}} + E_{\text{c,B}}\)), on peut trouver l'énergie cinétique au Point B en soustrayant l'énergie potentielle au Point B de l'énergie mécanique totale (qui est la même qu'au Point A).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{c,B}} = E_{\text{m,B}} - E_{\text{p,B}}\]
Données spécifiques :
  • Énergie mécanique au Point B (\(E_{\text{m,B}}\)) : \(58800 \, \text{J}\) (de la question 3)
  • Énergie potentielle au Point B (\(E_{\text{p,B}}\)) : \(19600 \, \text{J}\) (de la question 4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{c,B}} &= 58800 \, \text{J} - 19600 \, \text{J} \\ &= 39200 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie cinétique du chariot au Point B est \(E_{\text{c,B}} = 39200 \, \text{J}\).

Quiz Q5 : Si l'énergie mécanique d'un objet est 100 J et son énergie potentielle est 30 J, son énergie cinétique est :

Question 6 : Vitesse au Point B (\(v_B\))

Principe :

Connaissant l'énergie cinétique (\(E_{\text{c,B}}\)) et la masse (\(m\)) du chariot, on peut calculer sa vitesse (\(v_B\)) en réarrangeant la formule de l'énergie cinétique.

Formule(s) utilisée(s) :

De \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\), on tire \(v^2 = \frac{2 E_c}{m}\), donc :

\[v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m}}\]
Données spécifiques :
  • Énergie cinétique au Point B (\(E_{\text{c,B}}\)) : \(39200 \, \text{J}\) (de la question 5)
  • Masse du chariot (\(m\)) : \(200 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_B &= \sqrt{\frac{2 \times 39200 \, \text{J}}{200 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{78400 \, \text{J}}{200 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{392 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 19,8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

(Note : \(1 \, \text{J/kg} = 1 \, (\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2)/\text{kg} = 1 \, \text{m}^2/\text{s}^2\))

Résultat Question 6 : La vitesse du chariot au Point B est \(v_B \approx 19,8 \, \text{m/s}\).

Quiz Q6 : Pour calculer la vitesse à partir de l'énergie cinétique et de la masse, on doit prendre :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. L'énergie potentielle de pesanteur dépend de :

8. Quand un chariot de montagne russe descend une pente (sans frottement) :

9. L'unité de l'énergie (cinétique, potentielle, mécanique) est :

Glossaire

Énergie
Capacité à effectuer un travail ou à produire de la chaleur. Son unité est le Joule (J).
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_{\text{p}}\))
Énergie stockée par un objet en raison de sa position (altitude) dans un champ de pesanteur. \(E_{\text{p}} = m \cdot g \cdot h\).
Énergie Cinétique (\(E_{\text{c}}\))
Énergie que possède un objet en raison de son mouvement. \(E_{\text{c}} = \frac{1}{2} m v^2\).
Énergie Mécanique (\(E_{\text{m}}\))
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un objet. \(E_{\text{m}} = E_{\text{p}} + E_{\text{c}}\).
Conservation de l'Énergie Mécanique
Principe selon lequel, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale d'un système isolé reste constante.
Masse (\(m\))
Quantité de matière d'un objet. Unité SI : kilogramme (kg).
Vitesse (\(v\))
Rapidité et direction du mouvement d'un objet. Unité SI : mètre par seconde (m/s).
Altitude (\(h\))
Hauteur d'un objet par rapport à un niveau de référence (souvent le sol). Unité : mètre (m).
Intensité de la Pesanteur (\(g\))
Accélération subie par un corps à la surface d'un astre en raison de la gravitation. Sur Terre, \(g \approx 9,8 \, \text{N/kg}\) ou \(9,8 \, \text{m/s}^2\).
Joule (J)
Unité de mesure de l'énergie et du travail dans le Système International.
Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe - Exercice d'Application (Physique 3ème)

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