Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Comprendre l’Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

L’attraction la plus populaire du parc d’attractions est une montagne russe. Le départ se fait du point le plus haut du circuit pour garantir un maximum de sensations fortes. Avant de proposer l’attraction au public, le parc souhaite vérifier que toutes les normes de sécurité relatives à l’énergie potentielle et cinétique sont respectées.

Schéma du Parcours de la Montagne Russe

Données

Hauteur initiale (\(h\)) = \(40 \text{ mètres}\)
Masse du wagon avec passagers (\(m\)) = \(500 \text{ kg}\)
Hauteur du point le plus bas (\(h_1\)) = \(2 \text{ mètres}\)
La résistance de l’air et les frottements sont négligeables.
Accélération due à la gravité (\(g\)) = \(9.8 \text{ m/s}^2\) (valeur standard sur Terre)

Questions

En utilisant les données fournies et les principes de conservation de l'énergie, réalisez les calculs suivants :

Calculez l’énergie potentielle de gravité du wagon au sommet des montagnes russes (en prenant le point le plus bas du parcours comme référence pour l'énergie potentielle nulle).
Déterminez la vitesse du wagon au point le plus bas du parcours.
Quelle est l’énergie cinétique du wagon au point le plus bas ?

Correction : Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe

Question 1 : Énergie potentielle au sommet.

L'énergie potentielle de gravité (\(E_p\)) est l'énergie stockée par un objet en raison de sa position verticale par rapport à une référence. Elle est calculée en multipliant la masse de l'objet par l'accélération due à la gravité et par sa hauteur par rapport au niveau de référence. Ici, on prend le point le plus bas du parcours comme référence où \(E_p = 0\).

Formule de l'énergie potentielle de gravité :

\[ E_p = m \times g \times h \]

Données :

Masse du wagon \(m = 500 \text{ kg}\)
Accélération due à la gravité \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Hauteur initiale (au sommet) \(h = 40 \text{ m}\)

Calcul de l'énergie potentielle au sommet :

\[ E_{p, \text{sommet}} = m \times g \times h \]

\[ E_{p, \text{sommet}} = 500 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 40 \text{ m} \]

\[ E_{p, \text{sommet}} = 196000 \text{ J} \]

Résultat :

L’énergie potentielle de gravité du wagon au sommet des montagnes russes est de \(196000 \text{ J}\).

Question 2 : Vitesse au point le plus bas.

Puisque la résistance de l'air et les frottements sont négligeables, l'énergie mécanique totale du wagon est conservée pendant tout le parcours. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle de gravité et de l'énergie cinétique. En haut du parcours (point initial), le wagon part du repos, donc son énergie cinétique initiale est nulle. Au point le plus bas, sa hauteur par rapport à la référence est \(h_1\), et il a une vitesse maximale.

Conservation de l'énergie mécanique :

\[ E_{mécanique, \text{initiale}} = E_{mécanique, \text{finale}} \] \[ E_{p, \text{initiale}} + E_{c, \text{initiale}} = E_{p, \text{finale}} + E_{c, \text{finale}} \] \[ mgh + \frac{1}{2}mv_{\text{initiale}}^2 = mgh_1 + \frac{1}{2}mv_{\text{finale}}^2 \]

Avec \(v_{\text{initiale}} = 0\), l'équation devient :

\[ mgh = mgh_1 + \frac{1}{2}mv_{\text{finale}}^2 \]

On peut simplifier par la masse \(m\) (qui n'est pas nulle) :

\[ gh = gh_1 + \frac{1}{2}v_{\text{finale}}^2 \]

On isole le terme de vitesse :

\[ \frac{1}{2}v_{\text{finale}}^2 = gh - gh_1 = g(h - h_1) \]

On résout pour \(v_{\text{finale}}\) :

\[ v_{\text{finale}}^2 = 2g(h - h_1) \] \[ v_{\text{finale}} = \sqrt{2g(h - h_1)} \]

Données :

Accélération due à la gravité \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Hauteur initiale \(h = 40 \text{ m}\)
Hauteur finale (point le plus bas) \(h_1 = 2 \text{ m}\)

Calcul de la vitesse au point le plus bas :

\[ v_{\text{finale}} = \sqrt{2 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (40 \text{ m} - 2 \text{ m})} \]

\[ v_{\text{finale}} = \sqrt{19.6 \text{ m/s}^2 \times 38 \text{ m}} \]

\[ v_{\text{finale}} = \sqrt{744.8 \text{ m}^2/\text{s}^2} \]

\[ v_{\text{finale}} \approx 27.29 \text{ m/s} \]

Résultat :

La vitesse du wagon au point le plus bas du parcours est d'environ \(27.3 \text{ m/s}\).

Question 3 : Énergie cinétique au point le plus bas.

L'énergie cinétique (\(E_c\)) est l'énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. Elle est calculée en utilisant sa masse et sa vitesse au carré. On peut la calculer directement avec la vitesse trouvée à la question précédente, ou utiliser la conservation de l'énergie.
Méthode 1 : Utiliser la vitesse calculée (moins précis si la vitesse est arrondie).: Formule de l'énergie cinétique :; \[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]; Données : Masse \(m = 500 \text{ kg}\), Vitesse \(v \approx 27.29 \text{ m/s}\).; \[ E_{c, \text{bas}} = \frac{1}{2} \times 500 \text{ kg} \times (27.29 \text{ m/s})^2 \]; \[ E_{c, \text{bas}} \approx 250 \text{ kg} \times 744.7361 \text{ m}^2/\text{s}^2 \]; \[ E_{c, \text{bas}} \approx 186184 \text{ J} \]
Méthode 2 : Utiliser la conservation de l'énergie (plus précis).: Par conservation de l'énergie, l'énergie cinétique au point le plus bas est égale à la différence entre l'énergie potentielle initiale et l'énergie potentielle au point le plus bas.; \[ E_{c, \text{bas}} = E_{p, \text{initiale}} - E_{p, \text{finale}} \] \[ E_{c, \text{bas}} = mgh - mgh_1 \] \[ E_{c, \text{bas}} = mg(h - h_1) \]; Données : Masse \(m = 500 \text{ kg}\), \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\), \(h = 40 \text{ m}\), \(h_1 = 2 \text{ m}\).; \[ E_{c, \text{bas}} = 500 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (40 \text{ m} - 2 \text{ m}) \]; \[ E_{c, \text{bas}} = 4900 \text{ N} \times 38 \text{ m} \]; \[ E_{c, \text{bas}} = 186200 \text{ J} \]; La légère différence entre les deux méthodes vient de l'arrondi de la vitesse dans la première méthode.
Résultat :: L’énergie cinétique du wagon au point le plus bas est de \(186200 \text{ J}\).