Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe
Comprendre l’Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe
L’attraction la plus populaire du parc d’attractions est une montagne russe. Le départ se fait du point le plus haut du circuit pour garantir un maximum de sensations fortes. Avant de proposer l’attraction au public, le parc souhaite vérifier que toutes les normes de sécurité relatives à l’énergie potentielle et cinétique sont respectées.
Données :
- Hauteur initiale (h) = 40 mètres
- Masse du wagon avec passagers (m) = 500 kg
- Hauteur du point le plus bas (h1) = 2 mètres
- La résistance de l’air et les frottements sont négligeables.
Questions :
1. Calculez l’énergie potentielle du wagon au sommet des montagnes russes.
2. Déterminez la vitesse du wagon au point le plus bas du parcours.
3. Quelle est l’énergie cinétique du wagon au point le plus bas ?
Correction : Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe
1. Calcul de l’énergie potentielle au sommet
L’énergie potentielle gravitationnelle (EP) se calcule à partir de la hauteur d’un objet par rapport à un référentiel, ici le sol. La formule utilisée est:
\[ EP = mgh \]
où \(m\) est la masse de l’objet, \(g\) l’accélération due à la gravité (environ 9.81 m/s\(^2\) sur Terre), et \(h\) la hauteur de l’objet.
Données :
- \(m = 500\) kg (masse du wagon avec passagers)
- \(g = 9.81\) m/s\(^2\) (accélération gravitationnelle)
- \(h = 40\) mètres (hauteur initiale)
Calcul :
\[ EP = 500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 40 \, \text{m} \] \[ EP = 196,200 \, \text{Joules} \]
2. Calcul de la vitesse au point le plus bas
Au point le plus bas, l’énergie potentielle initiale est convertie en énergie cinétique (EC), en ignorant les pertes énergétiques (comme les frottements). La conservation de l’énergie mécanique nous dit que \(EP_{initiale} + EC_{initiale} = EP_{finale} + EC_{finale}\). Au départ, \(EC_{initiale}\) est nulle car le wagon part du repos.
Formule :
Pour l’énergie cinétique, nous utilisons:
\[ EC = \frac{1}{2}mv^2 \] où \(v\) est la vitesse.
Calcul de l’énergie potentielle finale au point le plus bas :
- \(h_1 = 2 \, \text{m}\)
\[ EP_{finale} = 500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2 \, \text{m} \] \[ EP_{finale} = 9,810 \, \text{Joules} \]
Conversion de l’énergie potentielle en énergie cinétique :
\[ EC_{finale} = EP_{initiale} – EP_{finale} \] \[ EC_{finale} = 196,200 \, \text{J} – 9,810 \, \text{J} \] \[ EC_{finale} = 186,390 \, \text{J} \]
Calcul de la vitesse :
\[ EC_{finale} = \frac{1}{2} \times 500 \, \text{kg} \times v^2 \] \[ v^2 = \frac{2 \times 186,390 \, \text{J}}{500 \, \text{kg}} \] \[ v^2 = 745.56 \] \[ v = \sqrt{745.56} \] \[ v \approx 27.31 \, \text{m/s} \]
3. Énergie cinétique au point le plus bas
L’énergie cinétique au point le plus bas a déjà été calculée dans la partie précédente pour déterminer la vitesse.
Formule :
\[ EC = \frac{1}{2}mv^2 \]
Données :
- \(v \approx 27.31\) m/s
Calcul :
\[ EC = \frac{1}{2} \times 500 \, \text{kg} \times (27.31 \, \text{m/s})^2 \] \[ EC = 186,390 \, \text{Joules} \]
Ces calculs montrent que l’énergie mécanique est conservée, et ils vérifient les normes de sécurité en termes d’énergies potentielles et cinétiques sur les montagnes russes.
Énergie et Vitesse sur une Montagne Russe
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