Datation au Carbone-14 d’un Artéfact Ancien
Comprendre le principe de la datation au carbone-14 et calculer l'âge d'un artéfact archéologique.
La datation au carbone-14 est une méthode de datation radiométrique basée sur la désintégration radioactive de l'isotope 14 du carbone (\(^{14}C\)). Le carbone-14 est produit en continu dans la haute atmosphère par l'action des rayons cosmiques sur l'azote. Les organismes vivants (plantes, animaux) absorbent ce carbone-14 (directement ou indirectement) tout au long de leur vie, maintenant ainsi un rapport \(^{14}C / ^{12}C\) approximativement constant et similaire à celui de l'atmosphère.
À la mort d'un organisme, l'échange de carbone avec l'environnement cesse. La quantité de \(^{14}C\) qu'il contient commence alors à diminuer par désintégration \(\beta^-\) pour former de l'azote-14 (\(^{14}N\)), avec une période radioactive (demi-vie) connue. En mesurant la quantité restante de \(^{14}C\) ou son activité résiduelle dans un échantillon organique ancien, on peut estimer le temps écoulé depuis sa mort.
Les lois de la radioactivité sont :
- Loi de décroissance du nombre de noyaux : \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)
- Loi de décroissance de l'activité : \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\)
- Relation période-constante radioactive : \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\)
Où \(N_0\) est le nombre initial de noyaux de \(^{14}C\), \(A_0\) l'activité initiale, \(N(t)\) et \(A(t)\) le nombre de noyaux et l'activité à l'instant \(t\), \(\lambda\) la constante de désintégration, et \(T_{1/2}\) la période radioactive.
Données du Problème
Des archéologues découvrent un fragment de bois ancien dans un site. Ils souhaitent déterminer son âge par la méthode de datation au carbone-14.
- Période radioactive (demi-vie) du Carbone-14 (\(T_{1/2}\)) : \(5730 \text{ ans}\)
- Activité massique du carbone-14 dans un échantillon de bois actuel (vivant ou récemment mort, servant de référence pour \(A_0\)) : \(a_0 = 0.230 \text{ Bq/g}\) de carbone. (Cela correspond à 13.56 désintégrations par minute par gramme de carbone).
- L'analyse d'un échantillon de \(m_{ech} = 10.0 \text{ g}\) de carbone extrait du bois ancien révèle une activité mesurée \(A_{mes} = 17.25 \text{ désintégrations par minute (dpm)}\).
- Conversions et constantes :
- \(1 \text{ an} \approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\)
- \(1 \text{ minute} = 60 \text{ s}\)
- \(\ln 2 \approx 0.693\)
Questions
- Convertir la période radioactive \(T_{1/2}\) du Carbone-14 en secondes.
- Calculer la constante de désintégration \(\lambda\) du Carbone-14 en \(s^{-1}\) puis en \(an^{-1}\).
- L'activité mesurée \(A_{mes}\) est donnée pour un échantillon de 10.0 g. Calculer l'activité massique \(a_{ech}\) de l'échantillon ancien en Bq/g. (Rappel : \(1 \text{ Bq} = 1 \text{ désintégration/seconde}\)).
- En utilisant la loi de décroissance radioactive \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\) (ou \(a(t) = a_0 e^{-\lambda t}\) pour les activités massiques), établir l'expression littérale de l'âge \(t\) de l'échantillon en fonction de \(a_0\), \(a_{ech}\) et \(\lambda\).
- Calculer l'âge \(t\) de l'artéfact en années.
- Quel pourcentage de Carbone-14 initial reste-t-il dans l'échantillon ancien par rapport à un échantillon actuel de même masse ?
Correction : Datation au Carbone-14 d’un Artéfact Ancien
1. Conversion de la Période \(T_{1/2}\) en Secondes
La période du Carbone-14 est donnée en années. Pour l'utiliser avec d'autres grandeurs exprimées en unités SI (comme le Becquerel qui est en \(s^{-1}\)), il est souvent nécessaire de la convertir en secondes.
Données : \(T_{1/2} = 5730 \text{ ans}\), \(1 \text{ an} \approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\).
La période du Carbone-14 est \(T_{1/2} \approx 1.808 \times 10^{11} \text{ s}\).
2. Calcul de la Constante de Désintégration \(\lambda\)
La constante de désintégration \(\lambda\) est liée à la période radioactive \(T_{1/2}\) par la relation \(\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\). Nous la calculerons d'abord en \(s^{-1}\) en utilisant \(T_{1/2}\) en secondes, puis en \(an^{-1}\) en utilisant \(T_{1/2}\) en années.
En \(s^{-1}\), avec \(T_{1/2, s} \approx 1.808148 \times 10^{11} \text{ s}\) et \(\ln 2 \approx 0.693\):
En \(an^{-1}\), avec \(T_{1/2} = 5730 \text{ ans}\) :
La constante de désintégration est \(\lambda \approx 3.83 \times 10^{-12} \text{ s}^{-1}\) ou \(\lambda \approx 1.21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}\).
Quiz Intermédiaire : Constante de Désintégration
3. Activité Massique \(a_{ech}\) de l'Échantillon Ancien
L'activité mesurée \(A_{mes}\) est de \(17.25 \text{ dpm}\) (désintégrations par minute) pour un échantillon de masse \(m_{ech} = 10.0 \text{ g}\). Nous devons convertir cette activité en Bq (désintégrations par seconde) puis la diviser par la masse de l'échantillon pour obtenir l'activité massique \(a_{ech}\) en Bq/g.
Conversion de \(A_{mes}\) en Bq :
Calcul de l'activité massique \(a_{ech}\) :
L'activité massique de l'échantillon ancien est \(a_{ech} \approx 0.02875 \text{ Bq/g}\).
4. Expression Littérale de l'Âge \(t\) de l'Échantillon
On part de la loi de décroissance pour les activités massiques : \(a(t) = a_0 e^{-\lambda t}\). Ici, \(a(t)\) est l'activité massique de l'échantillon ancien \(a_{ech}\), et \(a_0\) est l'activité massique de référence pour un échantillon actuel. Nous devons isoler \(t\).
On peut aussi exprimer cela en fonction de la période \(T_{1/2}\) en remplaçant \(\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\) :
L'expression littérale de l'âge est \(t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{a_0}{a_{ech}}\right)\) ou \(t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(\frac{a_0}{a_{ech}}\right)\).
Quiz Intermédiaire : Formule de Datation
5. Calcul de l'Âge \(t\) de l'Artéfact
Nous utilisons l'expression trouvée avec les valeurs numériques. Il est plus simple d'utiliser la formule avec \(T_{1/2}\) en années et \(\lambda\) en \(an^{-1}\) si on veut l'âge directement en années, ou d'utiliser \(\lambda\) en \(an^{-1}\) et les activités massiques. Données : \(a_0 = 0.230 \text{ Bq/g}\), \(a_{ech} \approx 0.02875 \text{ Bq/g}\), \(T_{1/2} = 5730 \text{ ans}\), \(\ln 2 \approx 0.693\). Ou \(\lambda_{an^{-1}} \approx 1.2094 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}\).
Calcul du rapport des activités :
Calcul de l'âge \(t\) :
Alternative avec \(\lambda_{an^{-1}}\) :
La légère différence est due aux arrondis de \(\lambda\) et \(\ln 2\).
L'âge de l'artéfact est d'environ \(t \approx 17190 \text{ ans}\).
6. Pourcentage de Carbone-14 Initial Restant
Le rapport entre l'activité massique actuelle \(a_{ech}\) et l'activité massique initiale \(a_0\) est égal au rapport entre le nombre de noyaux de \(^{14}C\) restants \(N(t)\) et le nombre initial de noyaux \(N_0\). \[ \frac{a_{ech}}{a_0} = \frac{N(t)}{N_0} \] Nous avons calculé \(\frac{a_0}{a_{ech}} = 8\), donc \(\frac{a_{ech}}{a_0} = \frac{1}{8}\).
En pourcentage :
Cela est cohérent avec un âge de \(3 \times T_{1/2}\), car après 3 demi-vies, la fraction restante est \((1/2)^3 = 1/8 = 0.125\).
Il reste environ 12.5% du Carbone-14 initial dans l'échantillon.
Quiz Intermédiaire : Interprétation de l'Âge
Quiz : Testez vos connaissances !
Glossaire des Termes Clés
Datation au Carbone-14 :
Méthode de datation radiométrique utilisant la décroissance de l'isotope radioactif carbone-14 pour déterminer l'âge de matériaux organiques anciens.
Isotope :
Variantes d'un même élément chimique qui possèdent le même nombre de protons (même numéro atomique Z) mais un nombre différent de neutrons (nombre de masse A différent).
Carbone-14 (\(^{14}C\)) :
Isotope radioactif du carbone, avec 6 protons et 8 neutrons. Il se désintègre par émission \(\beta^-\).
Période Radioactive (\(T_{1/2}\) ou Demi-vie) :
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux.
Constante de Désintégration (\(\lambda\)) :
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Liée à la période par \(T_{1/2} = \ln(2)/\lambda\).
Activité (\(A\)) :
Nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq).
Activité Massique (\(a\)) :
Activité par unité de masse d'un échantillon. Unité courante : Bq/g ou Bq/kg.
Becquerel (Bq) :
Unité d'activité radioactive, équivalant à une désintégration par seconde.
Désintégration \(\beta^-\) (Bêta moins) :
Type de désintégration radioactive où un neutron du noyau se transforme en proton, avec émission d'un électron (particule \(\beta^-\)) et d'un antineutrino électronique.
Loi de Décroissance Radioactive :
Loi mathématique (exponentielle) qui décrit la diminution du nombre de noyaux radioactifs ou de l'activité d'un échantillon au cours du temps.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Quelles sont les principales sources d'incertitude et les limites de la méthode de datation au carbone-14 ?
2. Pourquoi la datation au carbone-14 n'est-elle pas adaptée pour dater des objets très anciens (par exemple, des fossiles de dinosaures) ou des matériaux non organiques (comme des roches) ?
3. Comment les variations passées de la concentration de \(^{14}C\) dans l'atmosphère (dues par exemple aux essais nucléaires ou aux variations du champ magnétique terrestre) sont-elles prises en compte pour calibrer les datations au carbone-14 ?
4. D'autres isotopes radioactifs sont utilisés pour la datation. Donner un exemple et expliquer brièvement pour quel type d'objets et sur quelle échelle de temps il est utilisé.
5. Qu'est-ce que l'âge "conventionnel" au radiocarbone et en quoi diffère-t-il de l'âge calendaire calibré ?
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires