Calculer l'Hélium pour des Ballons
Contexte : Organisation d'un anniversaire surprise.
Vous organisez une fête d'anniversaire et vous souhaitez décorer la salle avec des ballons qui flottent dans l'air. Pour cela, vous devez utiliser de l'HéliumUn gaz plus léger que l'air (symbole He).. Votre objectif est de calculer la quantité de gaz nécessaire pour gonfler tous les ballons et de vérifier si votre bouteille de gaz est suffisante.
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de travailler la multiplication de nombres décimaux et les conversions d'unités de volume (Litres et mètres cubes) en situation réelle.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer un volume total à partir d'une quantité unitaire.
- Convertir des volumes (Litres en mètres cubes).
- Résoudre un problème concret de la vie courante.
Données de l'étude
Vous disposez de 40 ballons de baudruche identiques à gonfler. Chaque ballon, une fois gonflé, occupe un volume bien précis. Vous avez loué une petite bouteille d'hélium au magasin de fête.
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Nombre de ballons | 40 |
| Volume d'un ballon (\(V_{\text{unitaire}}\)) | 15 Litres |
| Capacité de la bouteille louée | 0,5 \(\text{m}^3\) (mètre cube) |
| Coût du gazPrix moyen par litre d'hélium. | 0,30 € par Litre |
Situation Initiale : Matériel
Questions à traiter
- Calculer le volume total d'hélium nécessaire en Litres.
- Convertir ce volume total en mètres cubes (\(\text{m}^3\)).
- La bouteille louée est-elle suffisante ?
- Calculer le coût total du gaz utilisé.
- Si on voulait gonfler 100 ballons, quel volume faudrait-il ?
Les bases théoriques
En sciences, pour résoudre ce type de problème, nous utilisons des opérations simples mais essentielles : la multiplication et la conversion d'unités.
Principe 1 : Le Volume Total
Si on a plusieurs objets identiques, le volume total est égal au nombre d'objets multiplié par le volume d'un seul objet.
Formule du volume total
Où :
- \(V_{\text{tot}}\) est le volume global cherché.
- \(N\) est le nombre d'objets (ballons).
- \(V_{\text{u}}\) est le volume d'un seul objet.
Principe 2 : Les Conversions
Le mètre cube (\(\text{m}^3\)) est une unité beaucoup plus grande que le Litre (L). Il faut savoir passer de l'un à l'autre.
Équivalence Litre / Mètre cube
Pour passer des Litres aux \(\text{m}^3\), on divise par 1000. Pour passer des \(\text{m}^3\) aux Litres, on multiplie par 1000.
Correction : Calculer l'Hélium pour des Ballons
Question 1 : Calculer le volume total nécessaire
Principe
Nous cherchons à connaître le volume total occupé par l'ensemble des ballons. Puisque chaque ballon a le même volume, c'est une situation de proportionnalité qui se résout par une multiplication. C'est comme si vous achetiez 40 bouteilles de jus de fruit de 1,5L : pour connaître le volume total, vous multipliez le nombre de bouteilles par le volume d'une bouteille.
Mini-Cours
Le volume est la mesure de l'espace en 3 dimensions occupé par un objet. Contrairement à un liquide, le gaz prendra toute la place disponible à l'intérieur du ballon élastique.
Remarque Pédagogique
Prenez l'habitude de bien noter l'unité de départ (ici le Litre). C'est crucial pour ne pas se tromper quand on comparera avec la bouteille plus tard.
Normes
Dans le Système International (SI), l'unité de volume dérivée est le mètre cube (\(\text{m}^3\)), mais le litre (L) est accepté et très courant pour les liquides et les gaz.
Formule(s)
Formule utilisée
Calcul du Volume Total
Hypothèses
Nous supposons que :
- Tous les ballons sont gonflés exactement à la même taille (15L).
- Il n'y a aucune perte de gaz (fuite) lors du remplissage.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de ballons | \(N\) | 40 | - |
| Volume unitaire | \(V_{\text{u}}\) | 15 | L |
Astuces
Calcul mental : Pour faire \(40 \times 15\), ignorez le zéro du 40 d'abord : faites \(4 \times 15 = 60\). Ensuite, remettez le zéro à la fin : \(600\).
Schématisation du problème
Calcul(s)
Calcul Principal
Application numérique
On remplace les lettres de la formule par les valeurs de l'énoncé : \(N\) par 40 et \(V_{\text{u}}\) par 15.
Opération
Le résultat de cette multiplication est 600. L'unité reste le Litre.
Le volume total de gaz nécessaire est donc de 600 Litres.
Schéma (Résultat)
Réflexions
600 Litres, c'est l'équivalent de 3 ou 4 baignoires remplies d'eau ! C'est un volume important, même si le gaz est très léger.
Points de vigilance
Ne confondez pas l'addition et la multiplication. Ici, on ne fait pas \(15 + 40\) (ce qui ferait 55L), mais bien \(15\) répété 40 fois.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Pour un lot d'objets identiques : Total = Nombre \(\times\) Valeur d'un seul.
- L'unité du résultat est la même que l'unité de départ (ici des Litres).
Le saviez-vous ?
L'hélium est un gaz rare extrait du sous-sol. Une fois relâché dans l'air, il monte si haut qu'il finit par s'échapper dans l'espace !
FAQ
Pourquoi ne pas utiliser de l'air normal ?
L'air normal est plus lourd que l'hélium. Si on gonfle les ballons à la bouche (avec de l'air), ils resteront au sol. L'hélium est plus léger que l'air, c'est pour cela qu'il monte.
A vous de jouer
Si vous aviez 10 ballons de 10 Litres, quel serait le total ?
📝 Mémo
Total = \(N \times V\).
Question 2 : Convertir en mètres cubes
Principe
À la question 1, nous avons trouvé un résultat en Litres. Or, la capacité de la bouteille est donnée en mètres cubes (\(\text{m}^3\)). Pour pouvoir comparer ces deux valeurs, elles doivent être dans la même unité. Nous allons donc convertir nos 600 Litres en \(\text{m}^3\).
Mini-Cours
Le tableau de conversion :
1 \(\text{m}^3\) = 1000 \(\text{dm}^3\) = 1000 Litres.
Le mètre cube est une unité 1000 fois plus grande que le litre. Pour passer d'une petite unité (L) à une grande (\(\text{m}^3\)), on doit diviser.
Remarque Pédagogique
Visualisez un cube de 1 mètre de côté (1m de haut, 1m de large, 1m de long). C'est énorme ! On peut y verser 1000 bouteilles d'un litre d'eau.
Normes
L'unité SI (Système International) officielle pour le volume est le mètre cube (\(\text{m}^3\)). C'est l'unité standard utilisée par les ingénieurs et les scientifiques.
Formule(s)
Formule de conversion
Hypothèses
La conversion est purement mathématique. On suppose que la température et la pression ne changent pas pendant le calcul.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Volume en Litres (calculé en Q1) | 600 | L |
| Facteur de conversion | 1000 | L pour 1 \(\text{m}^3\) |
Astuces
Diviser par 1000 revient à décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Exemple : 600,0 \(\rightarrow\) 60,00 \(\rightarrow\) 6,00 \(\rightarrow\) 0,600.
Conversion Visuelle
Calcul(s)
Conversion
Nous appliquons la conversion en divisant le volume en litres par 1000 :
Opération
On prend notre volume de 600 L et on le divise par le facteur de conversion 1000.
Détail : Pour diviser par 1000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche :
\(600 \rightarrow 60,0 \rightarrow 6,0 \rightarrow 0,6\).
On obtient donc 0,6 mètre cube.
Schéma (Résultat)
Réflexions
0,6 est un chiffre qui semble petit ("zéro virgule quelque chose"), mais rappelez-vous qu'il représente un grand volume de gaz (600 bouteilles d'eau !).
Points de vigilance
Ne multipliez pas par 1000 ! Si vous trouvez 600 000 \(\text{m}^3\), cela représenterait le volume de plusieurs piscines olympiques. C'est impossible pour des ballons d'anniversaire.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Pour passer de L à \(\text{m}^3\) : on divise par 1000.
- Pour passer de \(\text{m}^3\) à L : on multiplie par 1000.
Le saviez-vous ?
La masse volumique de l'air est d'environ 1,2 kg par \(\text{m}^3\). Celle de l'hélium est de seulement 0,18 kg par \(\text{m}^3\). C'est cette énorme différence de poids pour un même volume qui crée la force d'ascension.
FAQ
Est-ce que je peux laisser le résultat en Litres ?
Pour la question 1 oui, mais pour la question 3 il faudra comparer avec la bouteille qui est en \(\text{m}^3\). Il est donc indispensable de faire la conversion maintenant pour pouvoir répondre correctement ensuite.
A vous de jouer
Combien font 500 Litres en \(\text{m}^3\) ?
📝 Mémo
L \(\xrightarrow{\div 1000}\) \(\text{m}^3\).
Question 3 : La bouteille louée est-elle suffisante ?
Principe
Maintenant que nous avons exprimé notre besoin (le volume des ballons) et notre disponibilité (le volume de la bouteille) dans la même unité (\(\text{m}^3\)), nous pouvons les comparer directement. Si le besoin est plus grand que la disponibilité, alors il n'y a pas assez de gaz.
Mini-Cours
Comparaison de nombres décimaux :
Pour comparer 0,6 et 0,5, on regarde le premier chiffre après la virgule (les dixièmes).
6 est plus grand que 5, donc \(0,6 > 0,5\).
Remarque Pédagogique
Dans la gestion de projet ou l'organisation d'événements, il est toujours recommandé de prévoir une marge de sécurité. Ici, on n'a même pas la quantité juste !
Normes
Les bouteilles d'hélium pour particuliers sont souvent vendues en "kit". Les tailles standards sont 0,25 \(\text{m}^3\) (pour 30 ballons) ou 0,42 \(\text{m}^3\) (pour 50 ballons). Une bouteille de 0,5 \(\text{m}^3\) est un grand format.
Formule(s)
Inéquation de comparaison
Hypothèses
On suppose que la bouteille est neuve et contient bien exactement 0,5 \(\text{m}^3\) de gaz utilisable, et qu'il n'y a pas de reste inutilisable au fond de la bouteille.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Besoin (calculé en Q2) | 0,6 | \(\text{m}^3\) |
| Disponibilité (Énoncé) | 0,5 | \(\text{m}^3\) |
Astuces
Imaginez que ce sont des seaux d'eau. Si vous avez besoin de 6 litres d'eau (0,6) mais que votre seau n'en contient que 5 (0,5), l'eau va déborder ou il en manquera !
Comparaison Visuelle
Calcul(s)
Calcul du manque
On soustrait la quantité disponible de la quantité nécessaire pour voir ce qu'il reste à trouver :
Différence
Le résultat est 0,1 \(\text{m}^3\). Comme ce chiffre est positif, cela confirme qu'il manque du gaz.
En litres, cela représente \(0,1 \times 1000 = 100\) Litres manquants.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Avec 100 Litres manquants, sachant qu'un ballon fait 15 Litres, cela correspond à environ \(100 \div 15 \approx 6,6\) ballons. Vous ne pourrez pas gonfler les 6 ou 7 derniers ballons du paquet.
Points de vigilance
Attention à ne pas conclure trop vite "c'est bon" juste parce que les chiffres sont proches (0,5 et 0,6). En sciences et en ingénierie, "presque" n'est pas suffisant ! Si vous construisez un pont, "presque assez solide" veut dire qu'il va tomber.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Pour savoir si "ça suffit", on compare : Offre vs Demande.
- Toujours vérifier que la quantité disponible est supérieure ou égale à la quantité nécessaire.
- Calculer le "reste" ou le "manque" permet de quantifier précisément le problème.
Le saviez-vous ?
Dans la bouteille, le gaz est comprimé à très haute pression (souvent 200 bars). C'est pour ça qu'une petite bouteille en métal peut contenir beaucoup de gaz (0,5 \(\text{m}^3\)) !
FAQ
Est-ce que je peux mélanger avec de l'air pour compléter ?
Techniquement oui, mais le ballon volera moins haut et moins longtemps car l'air alourdit le mélange. Si vous mettez trop d'air, le ballon ne décollera même pas.
A vous de jouer
J'ai besoin de 0,4 \(\text{m}^3\) et j'ai une bouteille de 0,5 \(\text{m}^3\). Est-ce bon ?
📝 Mémo
Besoin > Dispo = Pas bon !
Question 4 : Calculer le coût total
Principe
Pour connaître le budget total, on multiplie la quantité consommée par le prix unitaire. C'est le même principe que lorsque vous achetez des légumes au poids (prix au kilo) ou de l'essence (prix au litre).
Mini-Cours
Le coût total est une grandeur proportionnelle à la quantité. Si on double le volume de gaz acheté, on double le prix à payer.
Remarque Pédagogique
Attention à bien utiliser le volume en Litres (600 L) car le prix est donné "par Litre" (0,30€/L). Si vous utilisez les \(\text{m}^3\), le résultat sera faux.
Normes
La monnaie utilisée est l'Euro (€). Dans les calculs financiers, on arrondit généralement à deux chiffres après la virgule pour représenter les centimes.
Formule(s)
Calcul du Coût
Hypothèses
On suppose que le prix est fixe quel que soit le volume acheté (pas de tarif dégressif ou de réduction pour grosse quantité).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Volume total (calculé en Q1) | 600 | L |
| Prix unitaire | 0,30 | € / L |
Astuces
Calcul mental : Multiplier par 0,3 revient à multiplier par 3 puis diviser par 10.
\(600 \times 3 = 1800\).
\(1800 \div 10 = 180\).
Calcul du Coût
Calcul(s)
Calcul Principal
On remplace le Volume par 600 et le Prix Unitaire par 0,30.
Opération
Détail du calcul :
Multiplier par \(0,30\) revient à multiplier par 3, puis diviser par 10.
\(600 \times 3 = 1800\).
\(1800 \div 10 = 180\).
Le coût du gaz s'élève à 180 euros.
Schéma (Résultat)
Réflexions
L'hélium est un gaz cher ! 180€ pour gonfler des ballons est un budget conséquent pour un anniversaire. Cela s'explique par la rareté de ce gaz sur Terre.
Points de vigilance
Si vous aviez utilisé le volume en \(\text{m}^3\) (0,6) au lieu des Litres, vous auriez trouvé \(0,6 \times 0,30 = 0,18\)€. Un coût de 18 centimes pour 40 ballons est impossible (trop peu cher) ! Vérifiez toujours la cohérence de vos résultats avec la réalité.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Toujours vérifier que l'unité du volume (L) correspond à l'unité du prix (€/L).
- Si les unités sont différentes, il faut faire une conversion avant de calculer le prix.
Le saviez-vous ?
À cause de son prix élevé et de sa rareté, on recycle l'hélium dans les laboratoires scientifiques (par exemple dans les machines IRM des hôpitaux) au lieu de le laisser s'échapper.
FAQ
Le prix inclut-il la location de la bouteille ?
Non, ici nous avons calculé seulement le coût théorique du gaz consommé. Souvent, il faut ajouter le prix de la location du contenant (la bouteille en métal) ou une consigne.
A vous de jouer
Si le prix était de 2€ par litre pour 10 Litres, combien ça coûte ?
📝 Mémo
Prix = Quantité \(\times\) Prix unitaire.
Question 5 : Si on voulait gonfler 100 ballons, quel volume faudrait-il ?
Principe
C'est exactement le même type de problème qu'à la question 1, mais avec une donnée qui change : le nombre de ballons (\(N\)) passe de 40 à 100. Nous allons réutiliser la même logique de multiplication.
Mini-Cours
On peut résoudre ce problème de deux façons :
1. Recalculer avec la formule : \(100 \times 15\).
2. Utiliser la proportionnalité : 100 ballons, c'est 2,5 fois plus que 40 ballons, donc le volume sera 2,5 fois plus grand.
Remarque Pédagogique
Multiplier par 10, 100 ou 1000 est très facile en système décimal : il suffit souvent de déplacer la virgule ou d'ajouter des zéros.
Normes
On exprime le résultat en Litres, puis éventuellement en \(\text{m}^3\) pour voir si ça rentre dans une plus grosse bouteille.
Formule(s)
Calcul du nouveau Volume
Hypothèses
Les ballons sont toujours les mêmes modèles standards (15 L chacun).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Nouveau nombre (\(N_{\text{new}}\)) | 100 | - |
| Volume unitaire (\(V_{\text{u}}\)) | 15 | L |
Astuces
Pour multiplier un nombre entier par 100, on ajoute simplement deux zéros à la fin du nombre.
Nouvelle situation
Calcul(s)
Calcul Principal
On remplace le nouveau nombre \(N_{\text{new}}\) par 100 et le volume \(V_{\text{u}}\) par 15.
Opération
Détail du calcul : Pour multiplier 15 par 100, on écrit 15 et on ajoute deux zéros à la fin : \(15 \rightarrow 1500\).
Il faut donc 1500 Litres d'hélium pour cette grande fête.
Conversion facultative
Si on veut savoir combien de mètres cubes cela représente :
On divise par 1000 : \(1500 \div 1000 = 1,5\).
Cela fait 1,5 \(\text{m}^3\).
Schéma (Résultat)
Réflexions
Pour une fête de cette taille, il faudrait prévoir une bouteille industrielle (type "B50") ou louer 3 bouteilles de 0,5 \(\text{m}^3\) (car \(3 \times 0,5 = 1,5\)).
Points de vigilance
Ne pas confondre le nombre de ballons (100) avec le volume (1500). Les chiffres se ressemblent parfois (1 et 5) mais l'ordre de grandeur est différent.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La méthode de calcul reste la même quel que soit le nombre d'objets.
- Multiplier par 10, 100, 1000 est une opération de base à maîtriser.
Le saviez-vous ?
Le plus grand rassemblement de ballons au monde (Balloonfest '86 à Cleveland) a lâché simultanément 1,5 million de ballons ! Imaginez le volume de gaz titanesque nécessaire pour cela...
FAQ
Est-ce que ça coûtera plus cher ?
Oui, absolument. Plus de volume = plus de coût. Si on refaisait le calcul du prix : \(1500 \times 0,30 = 450\) euros. C'est un budget très important !
A vous de jouer
Et pour 50 ballons de 15L ?
📝 Mémo
Plus de ballons = Plus de gaz.
Schéma Bilan de l'Exercice
Visualisation du résultat : il manque du gaz pour finir les ballons.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir
-
✖️
Multiplication : Pour trouver un total, on multiplie le nombre d'objets par la quantité unitaire.
-
💧
Conversion : 1000 Litres = 1 mètre cube (\(\text{m}^3\)). C'est comme un gros cube de 1m de côté.
-
🎈
Gaz : Un gaz comme l'hélium occupe tout l'espace qu'on lui donne (le ballon).
🎛️ Simulateur de Volume
Modifiez le nombre de ballons ou leur taille pour voir combien de gaz il faut.
Paramètres
📝 Quiz final : Avez-vous compris ?
1. Si j'ai 10 ballons de 5 Litres, quel est le volume total ?
2. Combien font 2000 Litres en mètres cubes (\(\text{m}^3\)) ?
📚 Glossaire
- Hélium
- Gaz très léger, incolore et inodore, utilisé pour faire voler les ballons.
- Volume
- La place qu'occupe un objet ou un gaz dans l'espace.
- Litre (L)
- Unité de mesure de volume courante (comme pour une bouteille d'eau).
- Mètre cube (\(\text{m}^3\))
- Unité de volume officielle. C'est un cube de 1 mètre de côté (très grand !).
Le Saviez-vous ?
Chargement...
D’autres exercices de chimie 6 ème:
Laisser un commentaire