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Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Comprendre la Force de Gravitation Universelle

La loi de la gravitation universelle, formulée par Isaac Newton, décrit l'attraction mutuelle entre deux corps massifs. Cette force est ce qui maintient les planètes en orbite autour du Soleil, la Lune autour de la Terre, et c'est aussi ce qui nous donne notre poids sur Terre. L'intensité de cette force dépend de la masse des deux corps et de la distance qui sépare leurs centres. Plus les masses sont importantes, plus la force est grande. Plus la distance est grande, plus la force est faible (elle diminue avec le carré de la distance).

Données de l'étude

On souhaite calculer la force gravitationnelle exercée par la planète Mars sur un astronaute de \(70,0 \, \text{kg}\) se trouvant à sa surface. On assimilera Mars et l'astronaute à des objets à répartition de masse sphérique.

Données utiles :

  • Constante de gravitation universelle : \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • Masse de Mars : \(M_{\text{Mars}} = 6,417 \times 10^{23} \, \text{kg}\)
  • Rayon moyen de Mars : \(R_{\text{Mars}} = 3,3895 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • Masse de l'astronaute : \(m_{\text{astronaute}} = 70,0 \, \text{kg}\)
  • Intensité du champ de pesanteur terrestre : \(g_{\text{Terre}} \approx 9,81 \, \text{N/kg}\)
Schéma : Astronaute à la surface de Mars
Mars Astronaute R_Mars F_g Force gravitationnelle sur l'astronaute.

L'astronaute est à la surface de Mars. La distance \(d\) entre le centre de Mars et l'astronaute est égale au rayon de Mars \(R_{\text{Mars}}\).

Questions à traiter

  1. Énoncer la loi de la gravitation universelle de Newton en donnant sa formule littérale et la signification de chaque terme (unités incluses).
  2. Calculer la valeur de la force gravitationnelle \(F_g\) exercée par Mars sur l'astronaute.
  3. Calculer le poids \(P_{\text{Terre}}\) de ce même astronaute sur Terre. Comparer \(F_g\) sur Mars et \(P_{\text{Terre}}\).
  4. En déduire l'intensité du champ de pesanteur \(g_{\text{Mars}}\) à la surface de Mars.

Correction : Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Question 1 : Loi de la gravitation universelle

Principe :

La loi de la gravitation universelle décrit l'interaction attractive entre deux corps massifs.

Deux corps A et B, de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\) (distance entre leurs centres d'inertie), exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction gravitationnelle \(\vec{F}_{A/B}\) (force exercée par A sur B) et \(\vec{F}_{B/A}\) (force exercée par B sur A). Ces forces sont :

  • Directement opposées : \(\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}\).
  • Dirigées selon la droite joignant les centres d'inertie des deux corps.
  • Leur valeur (ou intensité) commune est donnée par :
\[F_g = F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}\]

Où :

  • \(F_g\) est la valeur de la force gravitationnelle en Newtons (\(\text{N}\)).
  • \(G\) est la constante de gravitation universelle, \(G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
  • \(m_A\) et \(m_B\) sont les masses des deux corps en kilogrammes (\(\text{kg}\)).
  • \(d\) est la distance entre les centres d'inertie des deux corps en mètres (\(\text{m}\)).
Résultat Question 1 : La loi de la gravitation universelle stipule que deux corps A et B de masses \(m_A\) et \(m_B\), distants de \(d\), s'attirent avec une force d'intensité \(F_g = G \frac{m_A m_B}{d^2}\).

Question 2 : Calcul de la force gravitationnelle sur Mars

Principe :

On applique la formule de la gravitation universelle avec les données de Mars et de l'astronaute. La distance \(d\) est ici le rayon de Mars, \(R_{\text{Mars}}\), car l'astronaute est à la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_g = G \frac{M_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{astronaute}}}{R_{\text{Mars}}^2}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_{\text{Mars}} = 6,417 \times 10^{23} \, \text{kg}\)
  • \(m_{\text{astronaute}} = 70,0 \, \text{kg}\)
  • \(R_{\text{Mars}} = 3,3895 \times 10^6 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} F_g &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{(6,417 \times 10^{23}) \cdot (70,0)}{(3,3895 \times 10^6)^2} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{4,4919 \times 10^{25}}{(3,3895)^2 \times (10^6)^2} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{4,4919 \times 10^{25}}{11,4887 \times 10^{12}} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \times (0,39098 \times 10^{13}) \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \times (3,9098 \times 10^{12}) \\ &\approx 260,9 \, \text{N} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs (comme \(m_{\text{astronaute}}\)) : \(F_g \approx 261 \, \text{N}\).

Résultat Question 2 : La force gravitationnelle exercée par Mars sur l'astronaute est \(F_g \approx 261 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance entre deux corps double, la force gravitationnelle entre eux est :

Question 3 : Poids de l'astronaute sur Terre et comparaison

Principe :

Le poids \(P\) d'un objet de masse \(m\) sur une planète où l'intensité du champ de pesanteur est \(g\) est donné par \(P = m \cdot g\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{Terre}} = m_{\text{astronaute}} \cdot g_{\text{Terre}}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(m_{\text{astronaute}} = 70,0 \, \text{kg}\)
  • \(g_{\text{Terre}} \approx 9,81 \, \text{N/kg}\)

Calcul du poids sur Terre :

\[ \begin{aligned} P_{\text{Terre}} &= 70,0 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{N/kg} \\ &= 686,7 \, \text{N} \end{aligned} \]

Comparaison :
Force gravitationnelle sur Mars : \(F_g \approx 261 \, \text{N}\).
Poids sur Terre : \(P_{\text{Terre}} \approx 687 \, \text{N}\) (arrondi à 3 chiffres significatifs).
On constate que \(F_g (\text{sur Mars}) < P_{\text{Terre}}\). L'astronaute "pèse" moins lourd sur Mars que sur Terre.
Rapport : \(\frac{F_g}{P_{\text{Terre}}} = \frac{260,9}{686,7} \approx 0,38\). La force gravitationnelle sur Mars est environ 38% de celle sur Terre pour le même objet.

Résultat Question 3 :
  • Le poids de l'astronaute sur Terre est \(P_{\text{Terre}} \approx 687 \, \text{N}\).
  • La force gravitationnelle sur Mars (\(\approx 261 \, \text{N}\)) est significativement plus faible que le poids sur Terre.

Quiz Intermédiaire 2 : La masse d'un astronaute sur Mars, comparée à sa masse sur Terre, est :

Question 4 : Intensité du champ de pesanteur sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\))

Principe :

La force gravitationnelle exercée par une planète sur un objet à sa surface est aussi le poids de cet objet sur cette planète. On a donc \(F_g = P_{\text{Mars}} = m_{\text{astronaute}} \cdot g_{\text{Mars}}\). On peut donc déduire \(g_{\text{Mars}}\).

Alternativement, on sait que pour un objet à la surface d'une planète de masse \(M_{\text{planète}}\) et de rayon \(R_{\text{planète}}\), l'intensité du champ de pesanteur \(g_{\text{planète}}\) est donnée par \(g_{\text{planète}} = G \frac{M_{\text{planète}}}{R_{\text{planète}}^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[g_{\text{Mars}} = \frac{F_g}{m_{\text{astronaute}}}\]

Ou, en utilisant la formule générale :

\[g_{\text{Mars}} = G \frac{M_{\text{Mars}}}{R_{\text{Mars}}^2}\]
Données spécifiques et Calculs :

En utilisant \(F_g \approx 260,9 \, \text{N}\) (valeur non arrondie pour plus de précision) et \(m_{\text{astronaute}} = 70,0 \, \text{kg}\) :

\[ \begin{aligned} g_{\text{Mars}} &= \frac{260,9 \, \text{N}}{70,0 \, \text{kg}} \\ &\approx 3,727 \, \text{N/kg} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(g_{\text{Mars}} \approx 3,73 \, \text{N/kg}\).

Vérification avec la formule générale :

\[ \begin{aligned} g_{\text{Mars}} &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{6,417 \times 10^{23}}{(3,3895 \times 10^6)^2} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{6,417 \times 10^{23}}{11,4887 \times 10^{12}} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \times (0,55856 \times 10^{11}) \\ &\approx 3,727 \, \text{N/kg} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui est cohérent.

Résultat Question 4 : L'intensité du champ de pesanteur à la surface de Mars est \(g_{\text{Mars}} \approx 3,73 \, \text{N/kg}\).

Quiz Q4 : L'intensité du champ de pesanteur \(g\) à la surface d'une planète dépend :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La force de gravitation universelle est toujours :

6. Le poids d'un objet est :

7. Si la masse de Mars était deux fois plus grande, mais son rayon restait le même, la force gravitationnelle sur l'astronaute à sa surface serait :

Glossaire

Force de gravitation universelle
Force d'attraction mutuelle entre deux corps possédant une masse. Son intensité est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres.
Masse (m)
Grandeur physique intrinsèque d'un corps, représentant sa quantité de matière et son inertie. Unité SI : kilogramme (kg).
Distance (d)
Dans le contexte de la gravitation entre corps sphériques, il s'agit de la distance entre les centres de ces corps.
Constante de gravitation universelle (G)
Constante physique fondamentale qui intervient dans la loi de la gravitation. \(G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
Newton (N)
Unité de mesure de la force dans le Système International.
Poids (P)
Force gravitationnelle exercée par un astre (planète, étoile, etc.) sur un objet situé à sa surface ou à proximité. \(P = m \cdot g\).
Champ de pesanteur (g)
Grandeur vectorielle caractérisant l'influence gravitationnelle d'un astre en un point de l'espace. Son intensité \(g\) est la force de pesanteur par unité de masse (en N/kg ou m/s²).
Rayon planétaire (R)
Distance du centre d'une planète à sa surface. Pour un objet à la surface, la distance \(d\) dans la loi de Newton est égale à \(R\).
Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars - Exercice d'Application (Niveau Première)

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