Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Contexte : L'exploration de la planète Mars.

Le rover Perseverance, envoyé par la NASA, explore la surface de Mars depuis février 2021. L'un des concepts fondamentaux de la physique qui régit son interaction avec la planète est la force gravitationnelleForce d'attraction mutuelle qui s'exerce entre deux corps ayant une masse. C'est elle qui nous retient sur Terre et qui gouverne le mouvement des planètes.. Cet exercice vous guidera pour calculer le poids du rover sur la planète rouge et comprendre pourquoi il est différent de son poids sur Terre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la loi de la gravitation universelle de Newton, un pilier de la physique classique. Il permet de bien distinguer les concepts de masse (invariante) et de poids (qui dépend de l'astre).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton dans un cas concret.
Calculer la valeur du poids d'un objet à la surface de Mars.
Distinguer et calculer l'intensité de la pesanteur sur un autre astre.
Comparer le poids sur Mars et sur Terre pour en comprendre les implications.

Données de l'étude

On s'intéresse au rover Perseverance, considéré comme un objet ponctuel posé à la surface de la planète Mars.

Interaction gravitationnelle entre Mars et Perseverance

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de Mars	\(M_{\text{Mars}}\)	\(6,417 \times 10^{23}\)	\(\text{kg}\)
Rayon de Mars	\(R_{\text{Mars}}\)	\(3389,5\)	\(\text{km}\)
Masse du rover Perseverance	\(m_{\text{rover}}\)	\(1025\)	\(\text{kg}\)
Constante gravitationnelle	\(G\)	\(6,674 \times 10^{-11}\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)

Questions à traiter

Énoncer la loi de la gravitation universelle et donner son expression vectorielle pour la force \(\vec{F}_{\text{Mars/rover}}\) exercée par Mars sur le rover.
Calculer la valeur (ou norme) de cette force. Que représente physiquement cette valeur ?
En déduire la valeur de l'intensité de la pesanteur, notée \(g_{\text{Mars}}\), à la surface de Mars.
Calculer le poids du rover sur Terre (on prendra \(g_{\text{Terre}} = 9,81 \text{ N/kg}\)) et le comparer à son poids sur Mars. Conclure.

Les bases sur la Gravitation

Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés de la mécanique céleste sont nécessaires.

1. Loi de la gravitation universelle (Newton, 1687)
Deux corps ponctuels A et B, de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction opposées. La valeur de ces forces est donnée par : \[ F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \] Où \(G\) est la constante de gravitation universelle.

2. Poids et intensité de la pesanteur
Le poidsLe poids d'un objet est la force de gravitation exercée sur cet objet par un astre (planète, étoile...). Il se mesure en Newtons (N). \(\vec{P}\) d'un objet de masse \(m\) est la force de gravitation exercée sur lui par un astre. Sa valeur est proportionnelle à la masse de l'objet : \[ P = m \cdot g \] Le coefficient \(g\) est l'intensité de la pesanteurCaractérise le champ de gravitation en un lieu donné. Elle s'exprime en N/kg ou en m/s². Sur Terre, sa valeur moyenne est de 9,81 N/kg.. Elle dépend de l'astre et de l'altitude.

Correction : Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars

Question 1 : Énoncer la loi de la gravitation universelle et donner son expression vectorielle

Principe

La loi de Newton décrit comment deux masses s'attirent. Il s'agit d'une force d'attraction, toujours dirigée d'un corps vers l'autre. La question demande de formuler ce principe de manière littérale et mathématique (vectorielle).

Mini-Cours

La loi de la gravitation universelle stipule que deux corps massiques s'attirent mutuellement avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. L'expression vectorielle de la force exercée par un corps A sur un corps B est : \(\vec{F}_{\text{A/B}} = -G \frac{m_{\text{A}} m_{\text{B}}}{d^2} \vec{u}_{\text{A} \to \text{B}}\), où \(\vec{u}_{\text{A} \to \text{B}}\) est un vecteur unitaire dirigé de A vers B. Le signe "-" indique que la force est attractive (dirigée dans le sens opposé du vecteur \(\vec{u}_{\text{A} \to \text{B}}\)).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien comprendre le sens du vecteur unitaire. Pour la force exercée PAR Mars SUR le rover, le vecteur unitaire \(\vec{u}_{\text{Mars} \to \text{rover}}\) part du centre de Mars et pointe vers le rover. La force étant attractive, elle tire le rover vers Mars, donc dans le sens opposé à ce vecteur, d'où le signe "moins".

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme de construction, mais d'une loi fondamentale de la physique classique, établie par Isaac Newton. Elle sert de cadre de référence pour tous les calculs de mécanique céleste non-relativiste.

Formule(s)

Expression vectorielle de la force

\vec{F}_{\text{Mars/rover}} = -G \frac{M_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{rover}}}{R_{\text{Mars}}^2} \vec{u}_{\text{Mars} \to \text{rover}}

Hypothèses

Pour cette question purement théorique, on considère des corps (Mars, rover) comme des points matériels pour simplifier l'écriture.

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour répondre à cette question, il s'agit d'une application littérale de la loi.

Astuces

Cette section n'est pas applicable ici, car il n'y a pas de calcul à optimiser. La clarté dans la définition des vecteurs est la seule "astuce" pour ne pas se tromper.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre les éléments de l'expression vectorielle : les deux corps, la distance qui les sépare (le rayon de Mars), le vecteur unitaire \(\vec{u}\) qui définit la direction, et le vecteur force \(\vec{F}\) qui est attractif (dirigé vers Mars).

Représentation vectorielle de la force

Calcul(s)

Cette section n'est pas applicable, car aucune application numérique n'est demandée.

Schéma (Après les calculs)

Comme cette question est purement théorique et ne comporte pas d'application numérique, le schéma représentant le résultat est identique au schéma initial. Il représente le concept de la force gravitationnelle.

Concept de la force gravitationnelle

Réflexions

L'équation vectorielle contient toutes les informations sur la force : sa direction (la droite joignant les centres des deux corps), son sens (attractif, donc vers Mars) et sa valeur (l'intensité, que l'on calculera à la question suivante).

Points de vigilance

Ne pas oublier les flèches sur les vecteurs (\(\vec{F}\) et \(\vec{u}\)) et le signe négatif, qui sont essentiels pour une expression vectorielle correcte.

Points à retenir

L'essentiel à retenir est que la gravitation est une interaction attractive, qui dépend des masses des objets et de la distance au carré qui les sépare.

Le saviez-vous ?

Isaac Newton aurait eu l'intuition de la loi de la gravitation universelle en observant une pomme tomber d'un arbre. Il a fait le lien génial entre ce mouvement terrestre et le mouvement de la Lune autour de la Terre, unifiant ainsi la mécanique terrestre et la mécanique céleste.

FAQ

Résultat Final

Loi de la gravitation universelle : Deux corps A et B s'attirent mutuellement avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance. L'expression vectorielle pour la force exercée par Mars sur le rover est : \[ \vec{F}_{\text{Mars/rover}} = -G \frac{M_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{rover}}}{R_{\text{Mars}}^2} \vec{u}_{\text{Mars} \to \text{rover}} \] Où \(\vec{u}_{\text{Mars} \to \text{rover}}\) est un vecteur unitaire dirigé du centre de Mars vers le rover.

A vous de jouer

En utilisant le principe des actions réciproques (3ème loi de Newton), donnez l'expression vectorielle de la force exercée par le rover sur Mars, \(\vec{F}_{\text{rover/Mars}}\).

Question 2 : Calculer la valeur de cette force

Principe

Pour trouver la valeur (la norme) de la force, il suffit d'appliquer la formule de Newton avec les données numériques fournies, en faisant attention aux unités. Cette force représente le poids du rover sur Mars.

Mini-Cours

La norme d'un vecteur \(\vec{V} = -k \vec{u}\) est simplement \(V = k\). En appliquant cela à la force de gravitation, on obtient la formule de sa valeur (ou intensité), qui est toujours positive. Cette valeur correspond au poids de l'objet sur l'astre considéré.

Remarque Pédagogique

Organisez bien votre calcul. Commencez par la conversion d'unité, puis posez l'application numérique littérale avant de remplacer par les valeurs. Cela limite les erreurs et rend votre raisonnement facile à suivre pour un correcteur.

Normes

Le calcul doit être mené dans le Système International d'unités (SI) pour être cohérent avec la constante G. Les masses doivent être en kg, les distances en mètres, et la force résultante sera en Newtons.

Formule(s)

Expression de la norme de la force

F_{\text{Mars/rover}} = G \frac{M_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{rover}}}{R_{\text{Mars}}^2}

Hypothèses

On suppose que Mars est une sphère parfaite à répartition de masse homogène. Le rover est assimilé à un point matériel situé à la surface de la planète. La distance entre les centres de masse est donc le rayon de Mars.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs du tableau de l'énoncé.

\(G = 6,674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
\(M_{\text{Mars}} = 6,417 \times 10^{23} \text{ kg}\)
\(m_{\text{rover}} = 1025 \text{ kg}\)
\(R_{\text{Mars}} = 3389,5 \text{ km}\)

Astuces

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de la conversion des unités. La constante G est en N.m².kg⁻², il est donc impératif de convertir le rayon de Mars qui est en km vers des m avant de faire le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la situation physique : le rover est à la surface de Mars, la distance pertinente pour la loi de la gravitation est donc le rayon de la planète.

Interaction gravitationnelle Mars-Rover

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du rayon de Mars en mètres

R_{\text{Mars}} = 3389,5 \text{ km} = 3389,5 \times 10^3 \text{ m} = 3,3895 \times 10^6 \text{ m}

Étape 2 : Application numérique et résolution

\begin{aligned} F & = G \frac{M_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{rover}}}{R_{\text{Mars}}^2} \\ & = (6,674 \times 10^{-11}) \frac{(6,417 \times 10^{23}) \cdot (1025)}{(3,3895 \times 10^6)^2} \\ & = \frac{4,389 \times 10^{16}}{1,1489 \times 10^{13}} \\ & \approx 3820 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma représente le résultat du calcul : un vecteur force, dirigé vers le centre de Mars, dont la norme (longueur symbolique) correspond à la valeur calculée.

Visualisation de la Force Calculée

Réflexions

La valeur de 3820 N représente le poids du rover Perseverance sur Mars. C'est la force avec laquelle la planète rouge attire le rover. Si un astronaute essayait de le soulever, il devrait exercer une force supérieure à 3820 N.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré sur le rayon (\(R^2\)) dans la formule. C'est une source d'erreur très commune. De plus, soyez méticuleux avec les puissances de 10 lors de l'utilisation de la calculatrice.

Points à retenir

La force gravitationnelle se calcule avec les masses en kg et la distance en m.
Le résultat est une force, exprimée en Newtons (N).
Cette force est ce que l'on appelle communément le "poids" de l'objet.

Le saviez-vous ?

La constante G est l'une des constantes fondamentales les plus difficiles à mesurer avec précision. Sa valeur a légèrement changé au fil des décennies avec l'amélioration des techniques expérimentales, notamment grâce à des expériences de balance de torsion très sensibles.

FAQ

Résultat Final

Le poids du rover Perseverance à la surface de Mars est d'environ 3820 Newtons.

A vous de jouer

Maintenant que vous maîtrisez le calcul, essayez avec un autre objet ! Quel serait le poids sur Mars du futur rover lunaire VIPER, dont la masse est de 430 kg ?

Question 3 : Calculer l'intensité de la pesanteur \(g_{\text{Mars}}\)

Principe

Le poids est lié à la masse par la relation \(P = m \cdot g\). Puisque nous connaissons le poids (\(P = F_{\text{Mars/rover}}\)) et la masse (\(m_{\text{rover}}\)), nous pouvons facilement isoler \(g_{\text{Mars}}\). Cette valeur \(g\) ne dépend que de l'astre (Mars) et du lieu (sa surface), pas de l'objet que l'on y pose.

Mini-Cours

En identifiant les deux expressions du poids (\(P = m \cdot g\) et \(F = G \frac{M \cdot m}{R^2}\)), on obtient \(m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}\). On peut simplifier par la masse \(m\) de l'objet, ce qui montre que l'intensité de la pesanteur \(g\) à la surface d'un astre ne dépend que des caractéristiques de l'astre lui-même : \(g = G \frac{M}{R^2}\).

Remarque Pédagogique

Vous avez deux méthodes pour trouver \(g_{\text{Mars}}\) : soit en utilisant le résultat de la question 2 (\(g = P/m\)), soit en le recalculant directement à partir des caractéristiques de Mars (\(g = G \cdot M / R^2\)). Les deux doivent donner le même résultat. Utiliser la deuxième méthode est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs.

Normes

Le calcul doit être mené dans le Système International d'unités (SI). Le résultat pour \(g\) sera en N/kg, une unité homogène à des m/s².

Formule(s)

Relation Poids-Masse-Pesanteur

P_{\text{Mars}} = m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Mars}} \Rightarrow g_{\text{Mars}} = \frac{P_{\text{Mars}}}{m_{\text{rover}}}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 2 : Mars est une sphère parfaite et le rover est à sa surface.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question précédente et la masse du rover.

\(P_{\text{Mars}} \approx 3820 \text{ N}\)
\(m_{\text{rover}} = 1025 \text{ kg}\)

Astuces

Puisque \(g\) ne dépend pas de l'objet, une fois que vous l'avez calculé pour Mars, vous pouvez trouver le poids de N'IMPORTE QUEL objet sur Mars simplement en faisant \(P = m \cdot g_{\text{Mars}}\). C'est beaucoup plus rapide que de refaire le calcul complet de la gravitation.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma représente le concept de champ de pesanteur : l'espace autour de Mars est modifié par sa masse, et tout objet placé en un point de ce champ subira une force.

Champ de pesanteur de Mars

Calcul(s)

Application numérique pour g_Mars

\begin{aligned} g_{\text{Mars}} &= \frac{P_{\text{Mars}}}{m_{\text{rover}}} \\ &= \frac{3820}{1025} \\ &\approx 3,73 \text{ N/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre le résultat : la valeur de l'intensité de la pesanteur est une caractéristique de la surface de la planète.

Valeur de g à la surface de Mars

Réflexions

Cette valeur de 3,73 N/kg est une caractéristique fondamentale de la surface de Mars. Tout objet de 1 kg posé sur Mars pèsera 3,73 N. C'est l'équivalent du fameux "9,81 N/kg" pour la Terre.

Points de vigilance

L'unité de \(g\) est le Newton par kilogramme (N/kg). Elle est homogène à une accélération (m/s²), mais il est préférable d'utiliser le N/kg dans ce contexte pour garder le lien avec la définition \(g=P/m\).

Points à retenir

L'intensité de la pesanteur \(g\) est une propriété locale d'un astre. Elle est indépendante de la masse de l'objet étudié.

Le saviez-vous ?

La valeur de \(g\) n'est pas parfaitement constante sur la surface d'une planète. Elle varie légèrement avec l'altitude (elle diminue quand on s'élève) et avec la latitude (à cause de la rotation de la planète et de son aplatissement aux pôles).

FAQ

Résultat Final

L'intensité de la pesanteur à la surface de Mars est d'environ 3,73 N/kg.

A vous de jouer

En utilisant la deuxième formule (\(g = G \cdot M / R^2\)) et les données de l'énoncé, vérifiez que vous retrouvez bien la valeur de \(g_{\text{Mars}} \approx 3,73\) N/kg.

Question 4 : Comparer le poids du rover sur Terre et sur Mars

Principe

On calcule le poids du rover sur Terre en utilisant la valeur de \(g_{\text{Terre}}\) et on le compare au poids sur Mars calculé précédemment. Cela permet de quantifier la différence de gravité entre les deux planètes.

Mini-Cours

La masse d'un objet est une propriété intrinsèque (quantité de matière), elle ne change pas, que l'objet soit sur Terre, sur Mars ou dans l'espace. Le poids, étant une force (\(P=m \cdot g\)), dépend directement de l'intensité de la pesanteur locale \(g\). Si \(g\) change, le poids change proportionnellement.

Remarque Pédagogique

Pour comparer deux valeurs, un rapport est souvent plus parlant qu'une simple soustraction. Dire que le poids est "2,63 fois plus grand" est une information plus riche que de dire qu'il y a une différence de "6235 N".

Normes

La valeur de \(g_{\text{Terre}} = 9,81\) N/kg est une valeur standard internationale moyenne au niveau de la mer. En réalité, elle varie légèrement selon le lieu sur Terre.

Formule(s)

Calcul du poids sur Terre

P_{\text{Terre}} = m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Terre}}

Hypothèses

On utilise la valeur moyenne fournie pour l'intensité de la pesanteur terrestre, \(g_{\text{Terre}} = 9,81\) N/kg.

Donnée(s)

\(m_{\text{rover}} = 1025 \text{ kg}\) (la masse est invariante !)
\(g_{\text{Terre}} = 9,81 \text{ N/kg}\)
\(P_{\text{Mars}} \approx 3820 \text{ N}\) (résultat Q2)

Astuces

Un moyen encore plus rapide de comparer les poids est de simplement faire le rapport des intensités de pesanteur : \(\frac{P_{\text{Terre}}}{P_{\text{Mars}}} = \frac{m \cdot g_{\text{Terre}}}{m \cdot g_{\text{Mars}}} = \frac{g_{\text{Terre}}}{g_{\text{Mars}}} = \frac{9,81}{3,73} \approx 2,63\). On retrouve le même rapport !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma compare les deux situations. On représente les deux planètes (Terre et Mars) et le rover à leur surface, pour visualiser les deux calculs de poids à effectuer.

Comparaison des situations Terre / Mars

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du poids sur Terre

\begin{aligned} P_{\text{Terre}} &= m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Terre}} \\ &= 1025 \times 9,81 \\ &= 10055,25 \text{ N} \end{aligned}

Étape 2 : Comparaison par un rapport

\begin{aligned} \frac{P_{\text{Terre}}}{P_{\text{Mars}}} &= \frac{10055,25}{3820} \\ &\approx 2,63 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre les résultats. Les vecteurs poids sont dessinés approximativement à l'échelle pour montrer visuellement que le poids sur Terre est bien plus important que sur Mars.

Comparaison des Poids Calculés

Réflexions

Le poids du rover Perseverance est environ 2,63 fois plus élevé sur la Terre que sur Mars. Cela est dû au fait que la Terre est plus massive et plus dense que Mars, créant un champ gravitationnel plus intense à sa surface. Cette différence a des conséquences majeures pour la conception des missions spatiales (propulsion, atterrisseurs) et pour la physiologie des astronautes.

Points de vigilance

Ne jamais confondre masse et poids. La masse du rover (1025 kg) est la même partout. Son poids, qui est une force, change en fonction de l'astre sur lequel il se trouve.

Points à retenir

La masse est une quantité de matière (kg), le poids est une force (N). Le poids d'un même objet varie d'un astre à l'autre car l'intensité de la pesanteur \(g\) varie.

Le saviez-vous ?

Cette faible gravité est l'une des raisons pour lesquelles les astronautes peuvent faire des bonds impressionnants sur la Lune (où \(g\) est encore plus faible, environ 1,62 N/kg). Sur Mars, un humain se sentirait environ 62% plus léger que sur Terre !

FAQ

Résultat Final

Le poids du rover sur Terre est de 10055 N, soit environ 2,6 fois son poids sur Mars (3820 N). Un objet est donc significativement plus léger sur Mars.

A vous de jouer

Un astronaute pèse 785 N sur Terre. Quelle est sa masse ? Quel serait son poids sur Mars ?

Outil Interactif : Simulateur Gravitationnel Martien

Utilisez les curseurs pour voir comment la masse d'un objet et son altitude par rapport à la surface de Mars influencent la force gravitationnelle.

Paramètres d'Entrée

Masse de l'objet (kg) 1025 kg

Altitude au-dessus de la surface (km) 0 km

Résultats Clés

Force Gravitationnelle (Poids) - N

Intensité de la pesanteur "g" - N/kg

Force gravitationnelle: Force d'attraction mutuelle qui s'exerce entre deux corps du simple fait de leur masse. C'est l'une des quatre interactions fondamentales de la physique.
Poids: Le poids d'un objet est la force de gravitation exercée sur cet objet par un astre (planète, étoile...). Il se mesure en Newtons (N) et dépend du lieu où l'on se trouve.
Masse: La masse d'un objet représente la quantité de matière qu'il contient. C'est une grandeur intrinsèque, invariable, qui se mesure en kilogrammes (kg).
Intensité de la pesanteur (g): Caractérise le champ de gravitation en un lieu donné. Elle correspond à la force de gravitation par unité de masse (g = P/m) et s'exprime en N/kg.

D’autres exercices de physique premiere: