Analyse du mouvement d’un projectile

Contexte : La balistique, science du mouvement.

En physique, l'étude du mouvement d'un projectileTrajectoire d'un objet lancé dans un champ de pesanteur, en ne considérant que l'effet de la gravité et en négligeant les frottements de l'air. est un cas fondamental de la mécanique du point. De la trajectoire d'un ballon de basket à celle d'un boulet de canon, les principes sont les mêmes. Comprendre comment décomposer le mouvement, établir ses équations et prédire sa trajectoire est une compétence essentielle pour tout scientifique ou ingénieur. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse complète du lancer d'un javelot, en négligeant les frottements de l'air pour se concentrer sur l'effet de la gravité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la cinématique et de la dynamique. Nous allons utiliser un vecteur vitesse initial et les lois de Newton pour décomposer un problème en deux dimensions (horizontal et vertical) en deux problèmes plus simples à une dimension. C'est une méthode de résolution de problèmes classique en physique : simplifier un problème complexe en le décomposant en parties plus faciles à gérer.

Objectifs Pédagogiques

Décomposer un vecteur vitesse initial en ses composantes horizontales et verticales.
Établir les équations horaires de la vitesse et de la position.
Calculer le temps de vol et la hauteur maximale (la flèche) de la trajectoire.
Déterminer la distance horizontale maximale (la portée) du projectile.
Comprendre l'indépendance des mouvements horizontal (uniforme) et vertical (uniformément accéléré).

Données de l'étude

Un athlète lance un javelot depuis l'origine d'un repère (0,0). La vitesse initiale du javelot est $ v_0 $. Le vecteur vitesse initiale fait un angle $ \alpha $ avec l'horizontale. On néglige la résistance de l'air et on étudie le mouvement dans le champ de pesanteur terrestre, considéré comme uniforme.

Schéma du lancer de projectile

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse initiale	$v_0$	20	$\text{m} \cdot \text{s}^{-1}$
Angle de lancement	$\alpha$	30	$\text{degrés}$
Accélération de la pesanteur	$g$	9,8	$\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$

Questions à traiter

Déterminer les composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ du vecteur vitesse initiale $\vec{v_0}$.
Établir les équations horaires de la position, $x(t)$ et $y(t)$.
Calculer le temps $t_H$ nécessaire pour atteindre la hauteur maximale, puis calculer cette hauteur $H$.
Calculer la portée $D$ du lancer (la distance horizontale parcourue lorsque le javelot retombe au sol, $y=0$).

Les bases de la mécanique du projectile

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. Décomposition de vecteur :
Un vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale peut être décomposé en deux composantes rectangulaires : une horizontale $v_{0x}$ et une verticale $v_{0y}$. En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par ces vecteurs, on a : \[ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \quad \text{et} \quad v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \]

2. Principe d'indépendance des mouvements :
Le mouvement d'un projectile peut être étudié comme la superposition de deux mouvements indépendants :

Horizontalement : Aucune force n'agit (on néglige les frottements). L'accélération est nulle. Le mouvement est donc rectiligne uniforme.
Verticalement : Seul le poids agit. L'accélération est constante et vaut $-g$. Le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré.

3. Équations du mouvement :
En intégrant l'accélération pour obtenir la vitesse, puis la vitesse pour obtenir la position, on trouve les équations horaires : \[ \begin{cases} x(t) = v_{0x} \cdot t \\ y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} \cdot t \end{cases} \]

Correction : Analyse du mouvement d’un projectile

Question 1 : Déterminer les composantes du vecteur vitesse initiale

Principe (le concept physique)

Le principe fondamental est de décomposer un problème en deux dimensions en deux problèmes plus simples en une dimension. Le vecteur vitesse, qui a une direction et une norme, est projeté sur les axes horizontal (x) et vertical (y) du repère. Ces projections, appelées composantes, représentent l'effet de la vitesse initiale sur chaque axe indépendamment.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette décomposition est une application directe de la trigonométrie dans un triangle rectangle. Le vecteur vitesse $\vec{v_0}$ est l'hypoténuse. La composante horizontale $v_{0x}$ est le côté adjacent à l'angle $\alpha$, d'où l'utilisation du cosinus. La composante verticale $v_{0y}$ est le côté opposé à l'angle $\alpha$, d'où l'utilisation du sinus. Ces relations sont fondamentales pour l'étude de tous les mouvements en deux dimensions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez toujours à vérifier la cohérence de vos résultats. Si l'angle est petit (proche de 0°), la composante horizontale $v_{0x}$ doit être grande (proche de $v_0$) et la verticale $v_{0y}$ petite. Si l'angle est proche de 90°, c'est l'inverse. Cela vous permet de détecter rapidement une erreur de calcul ou une inversion entre sinus et cosinus.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation d'un repère cartésien (O, x, y) et la décomposition de vecteurs sont des conventions mathématiques universelles appliquées dans tous les domaines de la physique, conformément aux standards internationaux de la notation scientifique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules de projection d'un vecteur $\vec{v_0}$ de norme $v_0$ et d'angle $\alpha$ sont :

v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)

v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans un repère cartésien plan, avec l'axe (Ox) horizontal et l'axe (Oy) vertical orienté vers le haut. Le lancer s'effectue depuis l'origine O(0,0).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse initiale : $v_0 = 20 \, \text{m/s}$
Angle de lancement : $\alpha = 30^\circ$

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les angles remarquables comme 30°, 45° et 60°, il est utile de connaître les valeurs de leurs sinus et cosinus. Pour 30°, $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0,866$ et $\sin(30^\circ) = 1/2 = 0,5$. Cela peut accélérer les calculs et la vérification.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du vecteur vitesse initial

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la composante horizontale :

\begin{aligned} v_{0x} &= v_0 \times \cos(\alpha) \\ &= 20 \, \text{m/s} \times \cos(30^\circ) \\ &\approx 20 \times 0,866 \\ &\approx 17,32 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul de la composante verticale :

\begin{aligned} v_{0y} &= v_0 \times \sin(\alpha) \\ &= 20 \, \text{m/s} \times \sin(30^\circ) \\ &= 20 \times 0,5 \\ &= 10,0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Composantes calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs sont les vitesses initiales pour chacun des deux mouvements indépendants. Le projectile commence à se déplacer horizontalement à 17,32 m/s (et gardera cette vitesse) et commence à monter verticalement à 10,0 m/s (cette vitesse diminuera à cause de la gravité).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non en "radians" ou "grades". C'est l'une des erreurs les plus courantes en physique au lycée et elle conduit à des résultats complètement faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Composante horizontale (adjacent) : $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$.
Composante verticale (opposé) : $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$.
Vérifier le mode (degrés/radians) de la calculatrice.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En artillerie, les tables de tir utilisées depuis des siècles sont essentiellement des applications de ces calculs. Elles donnent la portée d'un obus en fonction de l'angle de tir (la hausse) et de la charge de poudre (qui détermine $v_0$), en y ajoutant des corrections complexes pour le vent et la résistance de l'air.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les composantes de la vitesse initiale sont $v_{0x} \approx 17,32 \, \text{m/s}$ et $v_{0y} = 10,0 \, \text{m/s}$.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse initiale était de 30 m/s avec un angle de 45°, que vaudrait $v_{0x}$ (en m/s) ? ($\cos(45^\circ) \approx 0,707$)

Question 2 : Établir les équations horaires de la position

Principe (le concept physique)

Les équations horaires, $x(t)$ et $y(t)$, sont des fonctions mathématiques qui décrivent la position du projectile à n'importe quel instant $t$ après le lancement. Elles sont obtenues en appliquant les lois fondamentales de la cinématique à chaque mouvement (horizontal et vertical) séparément.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La démarche est toujours la même : 1. Appliquer la deuxième loi de Newton ($\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$) pour trouver le vecteur accélération $\vec{a}$. Ici, la seule force est le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, donc $m\vec{a} = m\vec{g}$, ce qui donne $\vec{a} = \vec{g}$. 2. Projeter $\vec{a}$ sur les axes : $a_x = 0$ et $a_y = -g$. 3. Intégrer les accélérations pour trouver les vitesses : $v_x(t) = C_1$ et $v_y(t) = -gt + C_2$. Les constantes $C_1$ et $C_2$ sont les vitesses initiales $v_{0x}$ et $v_{0y}$. 4. Intégrer les vitesses pour trouver les positions : $x(t) = v_{0x} t + C_3$ et $y(t) = -1/2 gt^2 + v_{0y} t + C_4$. Les constantes $C_3$ et $C_4$ sont les positions initiales (ici, 0 et 0).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le point le plus important à retenir est la différence fondamentale entre les deux axes. Sur l'axe x, rien ne se passe, la vitesse est constante, donc la distance est simplement "vitesse fois temps". Sur l'axe y, la gravité tire constamment l'objet vers le bas, ce qui introduit le terme en $t^2$ caractéristique d'un mouvement uniformément accéléré.

Normes (la référence réglementaire)

Les équations du mouvement rectiligne uniforme ($x = vt + x_0$) et uniformément accéléré ($x = 1/2 at^2 + v_0t + x_0$) sont des résultats fondamentaux de la cinématique, enseignés de manière standardisée dans tous les cursus de physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les équations horaires générales pour un projectile lancé depuis l'origine sont :

x(t) = v_{0x} \cdot t

y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} \cdot t

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le champ de pesanteur $g$ est constant en altitude et que le repère d'étude est galiléen (le laboratoire est considéré comme immobile).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Composante horizontale de la vitesse : $v_{0x} \approx 17,32 \, \text{m/s}$
Composante verticale de la vitesse : $v_{0y} = 10,0 \, \text{m/s}$
Accélération de la pesanteur : $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$

Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez calculé $v_{0x}$ et $v_{0y}$, il suffit de les "injecter" dans les formules standards. Il n'y a pas d'autre calcul à faire pour cette étape, juste une substitution correcte des valeurs numériques.

Schéma (Avant les calculs)

Équations horaires à déterminer

x(t) = ?
y(t) = ?

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace les valeurs de $v_{0x}$, $v_{0y}$ et $g$ dans les formules générales :

x(t) = 17,32 \cdot t

\begin{aligned} y(t) &= -\frac{1}{2} \times 9,8 \times t^2 + 10,0 \times t \\ &= -4,9 t^2 + 10,0 t \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Équations horaires obtenues

x(t) = 17,32 t
y(t) = -4,9 t² + 10 t

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux équations forment un système paramétrique qui décrit entièrement la trajectoire. Si on nous demande la position du projectile après 1 seconde, il suffit de remplacer $t$ par 1 dans les deux équations pour trouver les coordonnées (x, y) du point.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le signe "-" devant le terme en $g$, car la gravité est orientée vers le bas alors que notre axe (Oy) est orienté vers le haut. Oublier le facteur 1/2 devant le terme $gt^2$ est aussi une erreur très classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Mouvement horizontal : $x(t) = v_{0x} t$.
Mouvement vertical : $y(t) = -1/2 gt^2 + v_{0y} t$.
Ces équations sont la base de tous les calculs ultérieurs (flèche, portée).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes de guidage des missiles balistiques effectuent des milliards de fois ces calculs, mais en y ajoutant des termes beaucoup plus complexes pour tenir compte de la rotation de la Terre (force de Coriolis), de la variation de $g$ avec l'altitude et de la friction atmosphérique qui change avec la densité de l'air.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les équations horaires de la position sont : $x(t) = 17,32 \cdot t$ et $y(t) = -4,9 t^2 + 10,0 t$.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec ces équations, quelle est la position verticale $y$ (en m) du javelot à l'instant $t=1 \, \text{s}$ ?

Question 3 : Calculer la hauteur maximale (Flèche)

Principe (le concept physique)

La hauteur maximale, ou flèche de la trajectoire, est le point le plus haut atteint par le projectile. À cet instant précis, la composante verticale de la vitesse, $v_y(t)$, s'annule. Le projectile arrête de monter et commence à redescendre. C'est cette condition physique ($v_y(t_H) = 0$) qui nous permet de trouver le temps $t_H$ pour atteindre le sommet.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En mathématiques, pour trouver l'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, on cherche le point où sa dérivée s'annule. En cinématique, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps ($v_y = dy/dt$). Trouver le maximum de la fonction $y(t)$ revient donc à trouver quand sa dérivée $v_y(t)$ est égale à zéro. C'est un lien puissant entre la physique et l'analyse mathématique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous lancez une balle en l'air. Elle monte, ralentit, s'arrête un très court instant au sommet, puis redescend. Notre calcul consiste simplement à trouver la durée de cette phase de montée. Une fois ce temps connu, il suffit de l'utiliser dans l'équation de la hauteur $y(t)$ pour savoir à quelle altitude cela s'est produit.

Normes (la référence réglementaire)

La terminologie "flèche" pour désigner la hauteur maximale est une convention issue de la balistique et du tir à l'arc, qui est passée dans le langage courant de la physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Équation de la vitesse verticale :

v_y(t) = -g t + v_{0y}

2. Condition au sommet :

\[v_y(t_H) = 0\]

3. Hauteur maximale :

\[H = y(t_H)\]

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans frottements.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Composante verticale de la vitesse initiale : $v_{0y} = 10,0 \, \text{m/s}$
Accélération de la pesanteur : $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$
Équation horaire de la position verticale : $y(t) = -4,9 t^2 + 10,0 t$

Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez la formule littérale $t_H = v_{0y}/g$, vous pouvez la substituer dans $y(t)$ pour obtenir une formule directe pour la hauteur maximale : $H = v_{0y}^2 / (2g)$. Cela permet de calculer H directement sans passer par la valeur numérique de $t_H$, ce qui est utile pour les démonstrations littérales.

Schéma (Avant les calculs)

Condition au sommet de la trajectoire

Au sommet (H), la vitesse verticale est nulle.
vᵧ(tₙ) = 0

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Trouver le temps $t_H$ pour atteindre le sommet :

\begin{aligned} v_y(t_H) &= 0 \\ -g t_H + v_{0y} &= 0 \\ \Rightarrow g t_H &= v_{0y} \\ \Rightarrow t_H &= \frac{v_{0y}}{g} \\ &= \frac{10,0 \, \text{m/s}}{9,8 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 1,02 \, \text{s} \end{aligned}

2. Calculer la hauteur maximale $H$ en utilisant $t_H$ :

\begin{aligned} H &= y(t_H) \\ &= -4,9 (t_H)^2 + 10,0 t_H \\ &= -4,9 \times (1,02)^2 + 10,0 \times 1,02 \\ &\approx -4,9 \times 1,04 + 10,2 \\ &\approx -5,1 + 10,2 \\ &\approx 5,1 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultats : Temps de montée et Flèche

tₙ ≈ 1,02 s

H ≈ 5,1 m

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut environ 1 seconde au javelot pour atteindre son point culminant, qui se situe à une hauteur d'environ 5,1 mètres. Ces valeurs sont cohérentes pour un lancer avec une vitesse initiale de 20 m/s (72 km/h).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas le temps pour atteindre le sommet ($t_H$) avec le temps de vol total. Dans le cas d'un départ et d'une arrivée à la même altitude, le temps de vol total est exactement le double ($2 \times t_H$), mais ce n'est pas toujours le cas (par exemple si on lance depuis une falaise).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La condition clé au sommet est $v_y = 0$.
Cette condition permet de trouver le temps de montée $t_H = v_{0y}/g$.
On calcule ensuite la hauteur maximale $H$ en remplaçant $t$ par $t_H$ dans $y(t)$.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour une vitesse initiale $v_0$ donnée, la portée d'un projectile (en l'absence de frottements) est maximale pour un angle de lancement de 45°. C'est un résultat classique de la balistique, mais en pratique, pour des sports comme le lancer de javelot ou de poids, l'angle optimal est plus faible (autour de 35-40°) car il faut tenir compte de la hauteur de lâcher de l'athlète et des effets aérodynamiques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le javelot atteint sa hauteur maximale $H \approx 5,1 \, \text{m}$ après un temps de vol de $t_H \approx 1,02 \, \text{s}$.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse initiale verticale $v_{0y}$ était de 19,6 m/s, quel serait le temps de montée $t_H$ (en s) ?

Question 4 : Calculer la portée du lancer

Principe (le concept physique)

La portée est la distance horizontale totale parcourue par le projectile avant de toucher le sol. La condition physique qui définit la fin du vol est que l'altitude du projectile redevient nulle, c'est-à-dire $y(t_D) = 0$, où $t_D$ est le temps de vol total. En résolvant cette équation, on trouve le temps de vol, qu'il suffit ensuite de reporter dans l'équation du mouvement horizontal $x(t)$ pour trouver la portée $D$.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation $y(t) = 0$ est une équation du second degré en $t$ : $-1/2 gt^2 + v_{0y} t = 0$. Elle peut s'écrire $t(-1/2 gt + v_{0y}) = 0$. Cette équation a deux solutions. La première, $t=0$, correspond au point de départ, ce qui est logique. La seconde solution, non nulle, correspond au point d'impact et nous donne le temps de vol total $t_D$. Pour un départ et une arrivée à la même altitude, on peut montrer que $t_D = 2 t_H$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul se fait en deux temps : 1. "Combien de temps le javelot reste-t-il en l'air ?" en résolvant $y(t)=0$. 2. "Pendant ce temps, de quelle distance a-t-il avancé horizontalement ?" en calculant $x(t)$ pour la durée trouvée. C'est l'illustration parfaite de l'indépendance des mouvements.

Normes (la référence réglementaire)

La modélisation de la trajectoire parabolique est un standard en mécanique classique. Dans des contextes plus avancés (ingénierie, balistique), ce modèle de base est complété par des termes correctifs pour les frottements, décrits par des équations différentielles plus complexes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Condition à l'arrivée :

\[y(t_D) = 0\]

2. Portée :

\[D = x(t_D)\]

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est plat et horizontal, de sorte que le point de départ et le point d'arrivée sont à la même altitude ($y=0$).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Équation horaire de la position horizontale : $x(t) = 17,32 t$
Équation horaire de la position verticale : $y(t) = -4,9 t^2 + 10,0 t$

Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque le départ et l'arrivée sont à la même altitude, la trajectoire est symétrique. Le temps de vol total est simplement le double du temps de montée : $t_D = 2 \times t_H$. C'est beaucoup plus rapide que de résoudre l'équation du second degré.

Schéma (Avant les calculs)

Condition à la fin de la trajectoire

À la portée D, l'altitude est nulle.
y(tₙ) = 0

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Trouver le temps de vol total $t_D$ :

\begin{aligned} y(t_D) &= 0 \\ -4,9 (t_D)^2 + 10,0 t_D &= 0 \\ t_D (-4,9 t_D + 10,0) &= 0 \end{aligned}

Cette équation a deux solutions : $t_D = 0 \, \text{s}$ (départ) et :

\begin{aligned} -4,9 t_D + 10,0 = 0 &\Rightarrow 4,9 t_D = 10,0 \\ &\Rightarrow t_D = \frac{10,0}{4,9} \\ &\approx 2,04 \, \text{s} \end{aligned}

(On note que $t_D \approx 2 \times t_H = 2 \times 1,02$)

2. Calculer la portée $D$ en utilisant $t_D$ :

\begin{aligned} D &= x(t_D) \\ &= 17,32 \times t_D \\ &= 17,32 \times 2,04 \\ &\approx 35,3 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultats : Temps de vol et Portée

tₙ ≈ 2,04 s

D ≈ 35,3 m

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le javelot reste en l'air un peu plus de 2 secondes et parcourt une distance horizontale d'environ 35,3 mètres. Ces valeurs sont réalistes pour un lancer de niveau scolaire. Un record du monde se situe autour de 98 mètres, ce qui implique une vitesse initiale beaucoup plus élevée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Lors de la résolution de $y(t)=0$, ne soyez pas surpris d'obtenir la solution $t=0$. Elle est physiquement correcte (à l'instant initial, on est bien à une altitude nulle), mais ce n'est pas celle qui nous intéresse pour la portée. Il faut prendre la seconde solution non nulle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La condition à la portée est $y=0$.
On résout $y(t_D)=0$ pour trouver le temps de vol $t_D$.
On calcule ensuite la portée $D$ avec $D = x(t_D)$.
Pour un sol plat, $t_D = 2 \times t_H$.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La trajectoire parabolique est une idéalisation. En réalité, la résistance de l'air fait que la trajectoire d'un projectile n'est pas parfaitement symétrique. Le projectile atteint sa hauteur maximale un peu avant la mi-parcours et la portée réelle est toujours inférieure à la portée calculée dans le vide.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La portée du lancer est d'environ $D \approx 35,3 \, \text{m}$.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le temps de vol total était de 3 secondes et que $v_{0x}$ était de 15 m/s, quelle serait la portée D (en m) ?

Outil Interactif : Paramètres du Lancer

Modifiez la vitesse initiale et l'angle de lancement pour observer leur influence sur la trajectoire, la flèche et la portée.

Paramètres d'Entrée

Vitesse Initiale (m/s) 20 m/s

Angle de Lancement (°) 30 °

Résultats Clés

Hauteur Maximale (m) -

Portée (m) -

Le Saviez-Vous ?

La célèbre expérience de pensée de Galilée, où il imagine un boulet de canon tiré depuis le haut du mât d'un navire en mouvement, a été cruciale pour établir le principe de l'indépendance des mouvements. Il a démontré que le boulet tomberait au pied du mât, car il conserve la vitesse horizontale du navire, prouvant que les mouvements horizontal et vertical ne s'influencent pas mutuellement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi néglige-t-on les frottements de l'air ?

Pour un objet dense et aérodynamique se déplaçant à faible vitesse (comme un javelot au lycée), l'effet de la gravité est prédominant et les frottements de l'air sont relativement faibles. Les négliger simplifie énormément les calculs (on obtient une parabole) tout en donnant une très bonne approximation du mouvement réel. Pour des objets légers (plume) ou très rapides (balle de fusil), les frottements deviennent essentiels et ne peuvent plus être ignorés.

Est-ce que la masse du projectile a une importance ?

Dans ce modèle simplifié (sans frottements), la masse n'apparaît dans aucune des équations finales de la trajectoire. Un piano et une bille de plomb, lancés avec la même vitesse initiale, suivraient exactement la même trajectoire. C'est seulement lorsque l'on introduit les frottements de l'air que la masse et la forme de l'objet commencent à jouer un rôle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un projectile est au sommet de sa trajectoire. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

Son accélération est dirigée vers le bas.
Sa vitesse est nulle.
Son accélération est nulle.

2. On lance deux balles identiques avec la même vitesse initiale $v_0$, l'une à 30° et l'autre à 60°. Laquelle ira le plus loin (aura la plus grande portée) ?

Celle lancée à 30°.
Celle lancée à 60°.
Elles auront la même portée.

Vecteur Vitesse: Outil mathématique qui décrit à la fois la rapidité (norme) et la direction du mouvement d'un point à un instant donné.
Trajectoire: Ensemble des positions successives occupées par un objet au cours de son mouvement. Dans le vide, la trajectoire d'un projectile est une parabole.
Champ de pesanteur (g): Modélisation de l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre. Il est représenté par un vecteur vertical dirigé vers le bas, et son intensité est d'environ 9,8 m/s² à la surface de la Terre.

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