Analyse du Mouvement d’un Projectile : le Lancer de Javelot
Objet : Analyse balistique demandée avant la compétition de samedi ! 🏟️ Bonjour ! Je suis l’entraîneur du club d’athlétisme du lycée. Notre meilleur athlète prépare le concours de lancer de javelot et je dois optimiser sa technique. Le radar de mesure du stade est en panne, impossible de mesurer la trajectoire directement… J’ai donc besoin de vous, jeune physicien-chimiste ⚛️, pour prédire par le calcul la hauteur maximale et la distance du lancer !
- 📧 Expéditeur : L’entraîneur du club d’athlétisme du lycée, section lancer de javelot 🏃
- ⏰ L’urgence : La compétition régionale a lieu samedi et le radar de mesure est hors service : seule la physique peut fournir les chiffres maintenant !
- 🎯 L’attente : Prédire, équations à l’appui, où et à quelle hauteur volera le javelot avant même qu’il ne quitte la main de l’athlète !
📝 Contexte de l’Étude & Enjeux
🌟 Le Contexte : En physique, l’étude du mouvement d’un projectile est un grand classique de la mécanique du point. Qu’il s’agisse d’un ballon de basket 🏀, d’un boulet de canon ou de notre javelot 🎯, les principes sont exactement les mêmes ! Un athlète lance un javelot depuis l’origine d’un repère avec une vitesse initiale \( v_0 = 20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \) faisant un angle \( \alpha = 30^\circ \) avec l’horizontale. En négligeant les frottements de l’air, la seule force qui agit pendant le vol est le poids : la trajectoire est alors une parabole parfaitement prévisible. Notre enjeu : décomposer ce mouvement à deux dimensions en deux mouvements simples à une dimension, puis en tirer la hauteur maximale (la flèche) et la distance du lancer (la portée). C’est la méthode reine du scientifique : simplifier un problème complexe en le découpant en morceaux faciles ! 🚀
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l’esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
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🏹Enjeu Principal : Le javelot est modélisé par un point matériel lancé depuis l’origine \( O(0\,;0) \) du repère. Sa trajectoire ne dépend que de \( v_0 \), de \( \alpha \) et de la pesanteur.
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📐Environnement : On néglige la résistance de l’air et on considère le champ de pesanteur uniforme : \( g = 9{,}8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \), dirigé vers le bas.
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🎯L’objectif final : Prédire la flèche \( H \) et la portée \( D \) du lancer. Si le calcul est faux, l’entraîneur réglera le mauvais angle de lancer et la compétition sera compromise !
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💡L’astuce du physicien-chimiste : N’hésitez pas à faire de petits croquis ! Tracez le repère, le vecteur \( \vec{v_0} \) et ses deux composantes : le visuel aide toujours à débloquer des situations complexes. 🖍️
Vous êtes le conseiller scientifique officiel du club ! 🥼 Votre travail : mener l’analyse balistique complète du lancer, du vecteur vitesse initial jusqu’au point de chute, en exploitant le principe d’indépendance des mouvements (horizontal uniforme ↔ vertical uniformément accéléré).
- 🏹 Le grand défi : Transformer un vol de javelot en équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \), puis en extraire la flèche \( H \) et la portée \( D \).
- 📐 Votre rôle : Décomposer \( \vec{v_0} \) en composantes \( v_{0x} \) et \( v_{0y} \), établir les équations du mouvement, puis calculer et vérifier chaque résultat numérique.
- ✅ Les deux composantes du vecteur vitesse initiale : \( v_{0x} \) (horizontale 👉) et \( v_{0y} \) (verticale ☝️), calculées par projection trigonométrique.
- ✅ Les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \), établies proprement à partir de la deuxième loi de Newton 📜.
- ✅ Le temps de montée \( t_H \) et la hauteur maximale \( H \) (la flèche 🏔️), avec une vérification par formule directe.
- ✅ Le temps de vol total \( t_D \) et la portée \( D \) du lancer 🎯, c’est-à-dire la distance horizontale au point de chute (\( y = 0 \)).
Coup de théâtre au stade ! 😱 L’entraîneur vient de rappeler : le jury de la compétition exige un dossier technique chiffré pour valider la zone de sécurité du concours. Vos calculs ne serviront donc pas seulement à la performance… ils garantiront aussi que personne ne se trouve dans la zone de chute du javelot !
- 😱 Le problème inattendu : Sans valeur fiable de la portée \( D \), impossible de délimiter la zone de réception réglementaire.
- ⚡ Conséquence immédiate : Un calcul faux de quelques mètres et c’est la sécurité du public qui est en jeu : votre rigueur est non négociable !
Le lancer est étudié dans un repère cartésien \( (O\,;x\,;y) \) : l’axe \( (Ox) \) est horizontal, l’axe \( (Oy) \) est vertical et orienté vers le haut. Le javelot quitte la main de l’athlète au point \( O(0\,;0) \) à l’instant \( t = 0 \). Toutes les grandeurs utiles à l’étude sont rassemblées ci-dessous. 🔬
📚 Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Composante horizontale de la vitesse \( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \)
- Composante verticale de la vitesse \( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \)
- Équation horaire horizontale (mouvement uniforme) \( x(t) = v_{0x} \cdot t \)
- Équation horaire verticale (mouvement uniformément accéléré) \( y(t) = -\dfrac{1}{2} g t^2 + v_{0y} \cdot t \)
- Condition au sommet de la trajectoire \( v_y(t_H) = 0 \)
- Condition au point de chute (sol plat) \( y(t_D) = 0 \)
🏹 PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( v_0 \) | Vitesse initiale du javelot (norme du vecteur \( \vec{v_0} \)) 📜 Mesure d’entraînement | 20 | \( \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \) |
| \( \alpha \) | Angle de lancement par rapport à l’horizontale | 30 | degrés (°) |
- Position de départ : \( x_0 = \mathbf{0} \text{ m} \quad ; \quad y_0 = \mathbf{0} \text{ m} \)
- Instant initial : \( t_0 = \mathbf{0} \text{ s} \)
⬇️ CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( g \) | Accélération de la pesanteur terrestre 📜 Constante terrestre | 9,8 | \( \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \) |
| \( \vec{P} \) | Poids du javelot : seule force appliquée pendant le vol (chute libre) | \( m \cdot g \) | N |
- Frottements de l’air : \( \vec{f} = \vec{0} \) (résistance de l’air négligée)
- Champ de pesanteur : \( \vec{g} \) uniforme, vertical, dirigé vers le bas
📊 Documents Ressources (Tables, Abaques & Constantes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les constantes et valeurs tabulées nécessaires à votre résolution.
📌 Valeurs trigonométriques des angles remarquables| Angle \( \alpha \) | \( \cos(\alpha) \) |
|---|---|
| 30° | \( \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866 \) — et \( \sin(30^\circ) = 1/2 = 0{,}5 \) |
| 45° | \( \sqrt{2}/2 \approx 0{,}707 \) — et \( \sin(45^\circ) \approx 0{,}707 \) |
| 60° | \( 1/2 = 0{,}5 \) — et \( \sin(60^\circ) \approx 0{,}866 \) |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Afin de mener une démarche scientifique rigoureuse et cohérente, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.
Question 1 : Décomposer le vecteur vitesse initiale
💡 Besoin d’un indice ? (Niveau 1)
Dessinez le triangle rectangle formé par \( \vec{v_0} \) (l’hypoténuse) et ses deux projections sur les axes. Quel côté est adjacent à l’angle \( \alpha \) ? Quel côté est opposé ?
🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Utilisez \( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \) et \( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \), avec \( \cos(30^\circ) \approx 0{,}866 \) et \( \sin(30^\circ) = 0{,}5 \). Attendez-vous à \( v_{0x} \approx 17{,}32 \text{ m/s} \).
Question 2 : Établir les équations horaires de la position
💡 Besoin d’un indice ? (Niveau 1)
Pendant le vol, la seule force est le poids. Que vaut alors l’accélération sur chaque axe ? Souvenez-vous : horizontalement il ne se passe rien, verticalement la gravité freine puis fait retomber.
🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Avec \( a_x = 0 \) et \( a_y = -g \), on obtient \( x(t) = v_{0x} \, t \) et \( y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} \, t \). Injectez ensuite les valeurs de la Question 1.
Question 3 : Calculer la hauteur maximale (la flèche)
💡 Besoin d’un indice ? (Niveau 1)
Au sommet, le javelot arrête de monter : sa vitesse verticale est nulle (mais pas sa vitesse horizontale !). Écrivez \( v_y(t_H) = 0 \) et isolez \( t_H \).
🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Avec \( v_y(t) = -g t + v_{0y} \), on trouve \( t_H = v_{0y}/g \approx 1{,}02 \text{ s} \). Reportez ensuite cette valeur dans \( y(t) \) pour obtenir \( H \).
Question 4 (Finale) : Calculer la portée du lancer
💡 Besoin d’un indice ? (Niveau 1)
L’équation \( y(t) = 0 \) se factorise : \( t \left( -\frac{1}{2} g t + v_{0y} \right) = 0 \). Elle a deux solutions : laquelle correspond au départ, laquelle à l’arrivée ?
🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Sur sol plat, la trajectoire est symétrique : \( t_D = 2 \, t_H \approx 2{,}04 \text{ s} \). La portée vaut alors \( D = v_{0x} \times t_D \).
Sas de Préparation
Avant de consulter la correction détaillée, assurez-vous d’avoir pris le temps de chercher. La vraie progression se trouve dans la réflexion, pas dans la lecture passive !
Analyse du Mouvement d’un Projectile
« Un vecteur vitesse incliné, c’est deux informations en une : une poussée vers l’avant ➡️ et une poussée vers le haut ⬆️. Mon premier réflexe est donc de séparer ces deux effets, car chacun obéira ensuite à sa propre loi du mouvement. C’est le geste fondateur de toute l’étude ! »
- 🔎 Observation : Le vecteur \( \vec{v_0} \) fait un angle \( \alpha = 30^\circ \) avec l’horizontale : il possède donc à la fois une composante horizontale et une composante verticale.
- 🤔 Analyse du risque : Le danger n°1 est d’inverser sinus et cosinus, ou de calculer avec une calculatrice en mode radians : tout l’exercice serait alors faux en cascade !
- ✅ Choix stratégique : La projection trigonométrique dans le triangle rectangle formé par \( \vec{v_0} \) et les axes : méthode exacte, rapide et universelle.
- 💡 Alternative : Une mesure graphique sur un schéma à l’échelle serait possible, mais elle est écartée : trop imprécise pour un dossier technique chiffré.
- 🎯 Objectif visé : Obtenir \( v_{0x} \) et \( v_{0y} \), les conditions initiales indispensables aux équations horaires de la Question 2.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
- 🔸 \( v_0 \) = 20 m/s (norme du vecteur vitesse initiale)
- 🔸 \( \alpha \) = 30 ° (angle de lancement, mode degrés !)
- 🔸 \( \cos(30^\circ) \) = 0,866 (sans unité) (valeur exacte : \( \sqrt{3}/2 \))
- 🔸 \( \sin(30^\circ) \) = 0,5 (sans unité) (valeur exacte : \( 1/2 \))
Un vecteur, c’est une flèche qui porte deux informations : une norme (sa longueur, ici 20 m/s) et une direction (ici 30° au-dessus de l’horizontale). Pour l’étudier facilement, on le remplace par ses deux ombres 🔦 : son ombre au sol (composante horizontale) et son ombre sur un mur vertical (composante verticale).
Deux formules de projection suffisent pour cette étape. Elles découlent directement de la trigonométrie du triangle rectangle.
Composante horizontale :Elle mesure la « poussée vers l’avant » du lancer : c’est elle qui fera avancer le javelot vers la zone de chute.
Le cosinus relie l’hypoténuse au côté adjacent de l’angle. Comme \( v_{0x} \) est « collée » à l’angle \( \alpha \), c’est forcément le cosinus qui intervient. 📐
- \( v_{0x} \) : composante horizontale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( v_0 \) : norme (longueur) du vecteur vitesse initiale, unité : m/s
- \( \cos(\alpha) \) : cosinus de l’angle de lancement, unité : sans unité
- \( \alpha \) : angle entre \( \vec{v_0} \) et l’horizontale, unité : degré (°)
Elle mesure la « poussée vers le haut » du lancer : c’est elle qui lutte contre la gravité et détermine la hauteur atteinte.
Le sinus relie l’hypoténuse au côté opposé de l’angle. La composante verticale \( v_{0y} \) fait face à l’angle \( \alpha \) : c’est donc le sinus qui s’impose. 📐
- \( v_{0y} \) : composante verticale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( v_0 \) : norme du vecteur vitesse initiale, unité : m/s
- \( \sin(\alpha) \) : sinus de l’angle de lancement, unité : sans unité
- \( \alpha \) : angle entre \( \vec{v_0} \) et l’horizontale, unité : degré (°)
« Beaucoup d’étudiants font l’erreur de calculer avec une calculatrice en mode radians, ou d’inverser sinus et cosinus… »
- L’erreur : En mode radians, \( \cos(30) \approx 0{,}154 \) au lieu de \( 0{,}866 \) : le résultat devient complètement faux sans aucun message d’erreur !
- La bonne méthode : Vérifier que l’écran affiche DEG, puis associer : adjacent → cos, opposé → sin.
- L’astuce de pro : Tester \( \sin(30^\circ) \) : si la calculatrice ne renvoie pas exactement 0,5, le mode est mauvais !
- Le moyen mnémotechnique : « CAH-SOH » : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ; Sinus = Opposé / Hypoténuse.
- L’impact direct : Des composantes justes dès le départ, donc des équations horaires fiables pour toute la suite de l’exercice.
Exécution de la Démarche de Résolution
- \( v_0 \) : déjà en m/s (unité SI), aucune conversion nécessaire
- \( \alpha \) : en degrés — vérifier le mode DEG de la calculatrice
- \( \cos(\alpha) \) et \( \sin(\alpha) \) : sans unité — les composantes gardent donc l’unité de \( v_0 \)
Aucune conversion à faire ici : toutes les données sont déjà exprimées dans les unités du Système International. 📐 Il ne reste qu’à appliquer proprement les deux projections.
1. Résolution Numérique Calcul de la composante horizontale \( v_{0x} \)Pourquoi fait-on ce calcul ? C’est la vitesse d’avancée du javelot : elle restera constante pendant tout le vol et servira directement au calcul de la portée (Question 4).
On applique la formule de projection en remplaçant chaque lettre par sa valeur, dans l’ordre et sans sauter d’étape. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( v_0 = 20 \text{ m/s} \) et \( \alpha = 30^\circ \) dans \( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \).
- 📐 Piège évité : Mode degrés contrôlé : \( \cos(30^\circ) \approx 0{,}866 \) (et non 0,154 !).
- 📋 Hypothèse validée : L’angle est bien mesuré depuis l’horizontale, conformément au schéma de repérage.
- ⚙️ Vérification croisée : \( 0{,}866 < 1 \) donc \( v_{0x} < v_0 \) : une projection est toujours plus courte que le vecteur !
- 🎯 Finalité : Cette valeur alimente l’équation \( x(t) \) de la Question 2 puis le calcul de la portée en Question 4.
Le javelot avance à environ 17,3 m/s, soit à peu près 62 km/h : l’ordre de grandeur d’une voiture en ville. 🚗
- ✅ Ordre de grandeur : 17,32 m/s est bien inférieur à 20 m/s : cohérent pour une projection.
- 🏹 Impact sur la suite : Cette vitesse restant constante, chaque seconde de vol fera gagner 17,32 m de distance.
- 🔍 Cohérence : À 30°, le lancer est plus « tendu » que « cloche » : logique que \( v_{0x} \) domine.
- ⚠️ Attention : On conserve 17,32 (deux décimales) pour limiter les erreurs d’arrondi dans les calculs suivants.
- 📊 Comparaison : \( v_{0x} \approx 0{,}87 \, v_0 \) : environ 87 % de la vitesse sert à avancer.
💡 Remarque pédagogique : La valeur exacte est \( v_{0x} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ m/s} \) : connaître les angles remarquables permet d’aller plus vite et de vérifier son résultat.
Calcul de la composante verticale \( v_{0y} \)Pourquoi fait-on ce calcul ? C’est la vitesse d’ascension initiale : elle déterminera la hauteur maximale (Question 3) et le temps de vol (Question 4).
Même démarche que pour \( v_{0x} \), mais avec le sinus cette fois : la composante verticale fait face à l’angle. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( v_0 = 20 \text{ m/s} \) et \( \alpha = 30^\circ \) dans \( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \).
- 📐 Piège évité : Pas de confusion sin/cos : la composante opposée à l’angle utilise le sinus.
- 📋 Hypothèse validée : \( \sin(30^\circ) = 0{,}5 \) est une valeur exacte : aucun arrondi introduit ici.
- ⚙️ Vérification croisée : Pythagore : \( 17{,}32^2 + 10{,}0^2 \approx 300 + 100 = 400 = 20^2 \) ✔️
- 🎯 Finalité : \( v_{0y} \) entre dans \( y(t) \) et donnera \( t_H = v_{0y}/g \) à la Question 3.
Le javelot démarre son ascension à 10 m/s exactement : la moitié de sa vitesse totale, puisque \( \sin(30^\circ) = 1/2 \). ✨
- ✅ Ordre de grandeur : 10 m/s vers le haut : de quoi monter quelques mètres avant que la gravité ne l’arrête.
- 🏹 Impact sur la suite : Cette valeur ronde simplifiera agréablement tous les calculs des Questions 3 et 4.
- 🔍 Cohérence : \( v_{0y} < v_{0x} \) : conforme à un angle de lancement inférieur à 45°.
- ⚠️ Attention : Contrairement à \( v_{0x} \), cette composante va diminuer de 9,8 m/s à chaque seconde de montée !
- 📊 Comparaison : \( v_{0y} = 0{,}5 \, v_0 \) : exactement 50 % de la vitesse sert à monter.
💡 Remarque pédagogique : Retenez ce réflexe de contrôle : si l’angle diminue vers 0°, \( v_{0y} \) doit tendre vers 0 (lancer horizontal) ; s’il augmente vers 90°, \( v_{0x} \) doit tendre vers 0 (lancer vertical).
« Le problème en deux dimensions vient d’être coupé en deux : une avancée régulière à 17,32 m/s d’un côté, une ascension freinée par la gravité de l’autre. Chacune vivra désormais sa propre vie, et c’est exactement ce qui rend la suite si simple ! »
- 🏹 Conséquence pratique : On peut maintenant traiter séparément l’axe horizontal et l’axe vertical, sans jamais les mélanger.
- 👷 Action corrective : Consigner les valeurs \( v_{0x} \approx 17{,}32 \text{ m/s} \) et \( v_{0y} = 10{,}0 \text{ m/s} \) : elles serviront à chaque question suivante.
- 📅 Délai : Étape rapide mais fondatrice : une erreur ici se propagerait à toute l’étude.
- 💰 Coût : Deux multiplications seulement : le meilleur rapport effort/importance de l’exercice !
- 🤝 Communication : Signaler à l’entraîneur que 87 % de la vitesse sert à avancer et 50 % à monter : l’angle influence directement ce partage.
Et si l’athlète lançait à 45° au lieu de 30°, avec la même vitesse de 20 m/s ? 🤸
- 🔄 Modification : \( \alpha = 45^\circ \) au lieu de 30°, à \( v_0 = 20 \text{ m/s} \) constant.
- 📈 Nouvel Impact : \( v_{0x} = v_{0y} = 20 \times 0{,}707 \approx 14{,}14 \text{ m/s} \) : le partage devient parfaitement équilibré.
- 💡 Conclusion : À 45°, la portée théorique dans le vide est maximale : c’est l’angle « idéal » du modèle sans frottements.
- 📐 Bénéfice/Risque : On gagne en distance, mais le javelot monte plus haut et vole plus longtemps : plus sensible au vent réel.
- 🔮 Perspective : En vrai, les lanceurs visent plutôt 35-40° : hauteur de lâcher et aérodynamique du javelot modifient l’optimum !
« Je veux savoir où est le javelot à chaque instant. La recette est toujours la même en mécanique : je pars des forces (Newton), j’en déduis l’accélération, puis je remonte à la vitesse et enfin à la position. Une véritable chaîne de déduction ! ⛓️ »
- 🔎 Observation : Pendant le vol, le javelot n’est soumis qu’à son poids \( \vec{P} = m\vec{g} \) : c’est une chute libre au sens de la physique.
- 🤔 Analyse du risque : Les deux pièges mortels : oublier le signe moins devant \( g \) (axe vertical vers le haut !) et oublier le facteur ½ devant \( g t^2 \).
- ✅ Choix stratégique : Appliquer la deuxième loi de Newton, projeter sur chaque axe, puis « remonter » de l’accélération à la position.
- 💡 Alternative : Réciter les équations « toutes faites » par cœur… écarté : sans la démonstration, impossible de s’adapter si l’énoncé change (lancer depuis une falaise, par exemple).
- 🎯 Objectif visé : Obtenir le couple \( x(t) \), \( y(t) \) : la description complète de la trajectoire, socle des Questions 3 et 4.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
- 🔸 \( v_{0x} \) = 17,32 m/s (résultat de la Question 1)
- 🔸 \( v_{0y} \) = 10,0 m/s (résultat de la Question 1)
- 🔸 \( g \) = 9,8 m/s² (accélération de la pesanteur)
- 🔸 \( x_0 = y_0 \) = 0 m (lancer depuis l’origine du repère)
C’est l’idée géniale de cette étude, due à Galilée 🔭 : le mouvement d’un projectile est la superposition de deux mouvements qui s’ignorent totalement l’un l’autre. On peut donc les étudier séparément !
Les deux équations horaires ci-dessous constituent la « carte d’identité » du mouvement : l’une décrit l’avancée, l’autre l’altitude.
Équation horaire horizontale :Elle donne la distance parcourue vers l’avant à l’instant \( t \) : un simple produit « vitesse × temps ».
Sur l’axe horizontal, aucune force ne pousse ni ne freine le javelot : sa vitesse \( v_{0x} \) reste constante, et la distance croît proportionnellement au temps. 🛤️
- \( x(t) \) : abscisse (position horizontale) à l’instant \( t \), unité : m
- \( v_{0x} \) : composante horizontale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( t \) : durée écoulée depuis le lancer, unité : s
Elle donne l’altitude à l’instant \( t \) : une compétition entre l’élan initial vers le haut et la gravité qui tire vers le bas.
La deuxième loi de Newton impose \( a_y = -g \) : en « remontant » deux fois cette accélération constante (accélération → vitesse → position), le terme caractéristique \( -\frac{1}{2} g t^2 \) apparaît naturellement. ⚛️
- \( y(t) \) : ordonnée (altitude) à l’instant \( t \), unité : m
- \( g \) : accélération de la pesanteur (9,8), unité : m/s²
- \( v_{0y} \) : composante verticale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( t \) : durée écoulée depuis le lancer, unité : s
« Beaucoup d’étudiants font l’erreur d’écrire \( y(t) = -g t^2 + v_{0y} t \) (oubli du facteur ½) ou \( y(t) = +\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} t \) (oubli du signe moins)… »
- L’erreur : Écrire l’équation de mémoire, sans repasser par l’accélération : le ½ et le signe se perdent en route.
- La bonne méthode : Toujours repartir de \( a_y = -g \), puis intégrer deux fois en ajoutant les conditions initiales à chaque étape.
- L’astuce de pro : Contrôler l’homogénéité : \( \left[\text{m/s}^2\right] \times \left[\text{s}^2\right] = \left[\text{m}\right] \) ✔️ chaque terme de \( y(t) \) est bien une longueur.
- Le moyen mnémotechnique : « MRU en x, MRUA en y » : uniforme là où il n’y a pas de force, accéléré là où le poids agit.
- L’impact direct : Des équations justes ici garantissent des valeurs de flèche et de portée correctes dans les deux questions suivantes.
Exécution de la Démarche de Résolution
- \( v_{0x} \) et \( v_{0y} \) : déjà en m/s — aucune conversion
- \( g \) : déjà en m/s² — aucune conversion
- \( t \) : exprimé en secondes dans toutes les équations → les positions sortiront en mètres
Tout est déjà en unités SI 📐 : la démarche consiste à dérouler la chaîne Newton → accélération → vitesse → position, axe par axe.
1. Résolution Numérique Établissement des équations littérales (Newton → position)Pourquoi fait-on ce calcul ? La démonstration littérale garantit qu’on maîtrise l’origine des équations : indispensable pour les adapter à toute autre situation (falaise, angle différent…).
On applique la deuxième loi de Newton, on projette sur les deux axes, puis on remonte deux fois vers la position. ⛓️
- ⚙️ Substitution : Bilan des forces : poids seul → \( m\vec{a} = m\vec{g} \) → \( \vec{a} = \vec{g} \), soit \( a_x = 0 \) et \( a_y = -g \).
- 📐 Piège évité : La masse s’est simplifiée : le mouvement ne dépend pas de la masse du javelot !
- 📋 Hypothèse validée : Chute libre (frottements négligés) : le bilan des forces se réduit bien au poids.
- ⚙️ Vérification croisée : En dérivant les positions obtenues, on doit retrouver les vitesses, puis les accélérations de départ. ✔️
- 🎯 Finalité : Obtenir les formes littérales dans lesquelles injecter les valeurs numériques de la Question 1.
Les constantes d’intégration ont été fixées par les conditions initiales : vitesses \( (v_{0x}\,; v_{0y}) \) et position \( (0\,;0) \) à \( t = 0 \). 🎯
- ✅ Ordre de grandeur : Pas encore de chiffres, mais la structure est là : linéaire en x, parabolique en y.
- 🏹 Impact sur la suite : Ces deux formes littérales servent de moules : il n’y a plus qu’à y couler les valeurs numériques.
- 🔍 Cohérence : \( v_x \) constant et \( v_y \) décroissant : conforme au principe d’indépendance des mouvements.
- ⚠️ Attention : Ces équations supposent le lancer depuis l’origine : ajouter \( x_0 \) et \( y_0 \) sinon.
- 📊 Comparaison : On reconnaît les équations générales du MRU (\( x = vt + x_0 \)) et du MRUA (\( y = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + y_0 \)).
💡 Remarque pédagogique : C’est ici qu’on démontre que la masse ne joue aucun rôle : une bille de plomb et un javelot lancés pareillement suivent la même trajectoire (sans air) — l’expérience du marteau et de la plume sur la Lune l’a confirmé en direct ! 🌙
Application numérique des équations horairesPourquoi fait-on ce calcul ? Les formes numériques sont les outils opérationnels : ce sont elles qu’on manipulera pour trouver la flèche et la portée.
Simple substitution : on injecte \( v_{0x} = 17{,}32 \), \( v_{0y} = 10{,}0 \) et \( g = 9{,}8 \) dans les formes littérales. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( \frac{1}{2} \times 9{,}8 = 4{,}9 \) : le coefficient du terme en \( t^2 \).
- 📐 Piège évité : Le signe moins est bien conservé devant 4,9 : la gravité tire vers le bas.
- 📋 Hypothèse validée : Les valeurs injectées sortent de la Question 1, elle-même vérifiée par Pythagore.
- ⚙️ Vérification croisée : Test à \( t = 1 \text{ s} \) : \( y(1) = -4{,}9 + 10 = 5{,}1 \text{ m} \) : altitude positive et plausible. ✔️
- 🎯 Finalité : Ces deux équations numériques sont le point d’entrée direct des Questions 3 et 4.
Le système paramétrique est complet : donnez-moi un instant \( t \), je vous donne la position exacte \( (x\,; y) \) du javelot ! 📍
- ✅ Ordre de grandeur : À \( t = 1 \text{ s} \) : \( x = 17{,}32 \text{ m} \) et \( y = 5{,}1 \text{ m} \) : des valeurs tout à fait réalistes pour un lancer.
- 🏹 Impact sur la suite : La Question 3 exploitera \( v_y(t) = -9{,}8t + 10 \) ; la Question 4 résoudra \( y(t) = 0 \).
- 🔍 Cohérence : En éliminant \( t = x/17{,}32 \), on obtient \( y(x) \) : une parabole, conforme à la trajectoire attendue.
- ⚠️ Attention : Ces équations sont en unités SI : \( t \) en secondes, positions en mètres, toujours.
- 📊 Comparaison : Le coefficient 4,9 m/s² est universel sur Terre : on le retrouve dans toute chute libre (g/2).
💡 Remarque pédagogique : Pour obtenir l’équation de la trajectoire \( y(x) \) (sans le temps), isolez \( t = x / v_{0x} \) dans la première équation et remplacez dans la seconde : \( y(x) = -\dfrac{g}{2 v_{0x}^2} x^2 + \tan(\alpha) \, x \). C’est bien l’équation d’une parabole !
« Nous tenons la carte d’identité complète du vol : à chaque instant \( t \), les deux équations nous disent où se trouve le javelot. Le plus dur est fait : les deux dernières questions ne sont plus que de l’exploitation de ces équations ! »
- 🏹 Conséquence pratique : On peut désormais prédire la position du javelot sans aucune mesure : le radar en panne n’est plus un problème !
- 👷 Action corrective : Garder les équations sous leur forme numérique \( x(t) = 17{,}32t \) et \( y(t) = -4{,}9t^2 + 10t \) à portée de main.
- 📅 Délai : L’étape la plus « théorique » est passée : les deux suivantes sont des applications directes.
- 💰 Coût : Une démonstration rigoureuse maintenant = zéro erreur de formule ensuite : investissement rentable !
- 🤝 Communication : Expliquer à l’entraîneur que la masse du javelot n’intervient pas dans la trajectoire (sans air) : contre-intuitif mais fondamental !
Et si le lancer avait lieu depuis une tribune surélevée de 2 m au lieu du sol ? 🏟️
- 🔄 Modification : Position initiale \( y_0 = 2 \text{ m} \) au lieu de 0.
- 📈 Nouvel Impact : L’équation devient \( y(t) = -4{,}9t^2 + 10t + 2 \) : seule la constante change, la démarche reste identique.
- 💡 Conclusion : Le javelot volerait plus longtemps (il a 2 m de plus à descendre) et la portée augmenterait.
- 📐 Bénéfice/Risque : Attention : la trajectoire n’est alors plus symétrique, et \( t_D \neq 2t_H \) : le raccourci de la Question 4 ne s’applique plus !
- 🔮 Perspective : C’est exactement le cas réel du javelot, lâché à ~1,8 m du sol : voilà pourquoi les athlètes visent un angle un peu inférieur à 45°.
« Imaginez une balle lancée en l’air 🎾 : elle monte, ralentit, s’immobilise verticalement un très court instant au sommet… puis redescend. Ce point d’arrêt vertical, c’est ma clé d’entrée : au sommet, la vitesse verticale est nulle. Je traduis cette phrase en équation, et la hauteur maximale tombera toute seule ! »
- 🔎 Observation : La fonction \( y(t) = -4{,}9t^2 + 10t \) est une parabole « tournée vers le bas » : elle possède un maximum unique.
- 🤔 Analyse du risque : Confondre le temps de montée \( t_H \) avec le temps de vol total \( t_D \), ou croire que la vitesse totale s’annule au sommet (faux : seule \( v_y \) s’annule !).
- ✅ Choix stratégique : Écrire la condition physique \( v_y(t_H) = 0 \), en tirer \( t_H \), puis reporter ce temps dans \( y(t) \).
- 💡 Alternative : Chercher le sommet de la parabole par les mathématiques pures (\( t = -b/2a \)) : possible, mais écarté car la condition physique est plus parlante et plus générale.
- 🎯 Objectif visé : Obtenir \( t_H \) et \( H \), et livrer à l’entraîneur la hauteur du vol de son javelot.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
- 🔸 \( v_{0y} \) = 10,0 m/s (composante verticale, Question 1)
- 🔸 \( g \) = 9,8 m/s² (accélération de la pesanteur)
- 🔸 \( y(t) \) = −4,9 t² + 10,0 t (SI) (équation horaire verticale, Question 2)
- 🔸 \( v_y(t) \) = −9,8 t + 10,0 (SI) (équation de la vitesse verticale, Question 2)
Le sommet de la trajectoire — appelé flèche en balistique 🏹 — est le point où le javelot cesse de monter sans avoir encore commencé à descendre. Une seule grandeur traduit ce basculement : la vitesse verticale.
Deux outils pour cette étape : la condition au sommet (pour trouver le temps de montée) et le report dans l’équation horaire (pour trouver la hauteur).
Condition au sommet :Elle transforme une observation physique (« le javelot arrête de monter ») en équation résoluble.
La vitesse verticale part de +10 m/s et perd 9,8 m/s chaque seconde à cause de la gravité : elle doit forcément passer par zéro. Cet instant précis est le sommet ! ⏱️
- \( t_H \) : temps de montée (durée pour atteindre le sommet), unité : s
- \( v_{0y} \) : composante verticale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( g \) : accélération de la pesanteur, unité : m/s²
Une fois l’instant du sommet connu, l’équation horaire donne directement l’altitude correspondante.
L’équation \( y(t) \) sait donner l’altitude à n’importe quel instant… y compris à l’instant du sommet ! Il suffit d’y injecter \( t_H \). En combinant littéralement, on obtient aussi la formule directe \( H = v_{0y}^2 / (2g) \). 🏔️
- \( H \) : hauteur maximale de la trajectoire (la flèche), unité : m
- \( y(t_H) \) : altitude à l’instant du sommet, unité : m
- \( v_{0y} \) : composante verticale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( g \) : accélération de la pesanteur, unité : m/s²
« Beaucoup d’étudiants font l’erreur de croire que la vitesse du javelot est nulle au sommet, ou confondent le temps de montée \( t_H \) avec le temps de vol total… »
- L’erreur : Écrire « \( v = 0 \) au sommet » : si c’était vrai, le javelot s’arrêterait en l’air et tomberait tout droit !
- La bonne méthode : Écrire précisément \( v_y(t_H) = 0 \), avec l’indice y : c’est lui qui porte toute la physique.
- L’astuce de pro : Au sommet, la vitesse vaut exactement \( v_x = v_0\cos(\alpha) \) : le minimum de vitesse du vol, mais jamais zéro.
- Le moyen mnémotechnique : « Au sommet, l’ascenseur s’arrête ⬆️🛑 mais le tapis roulant continue ➡️ » : l’axe y fait une pause, l’axe x jamais.
- L’impact direct : Ne pas confondre \( t_H \) (montée) et \( t_D \) (vol complet) : sur sol plat \( t_D = 2t_H \), mais ce n’est plus vrai depuis une falaise !
Exécution de la Démarche de Résolution
- \( t_H = v_{0y}/g \) : \( \left[\text{m/s}\right] / \left[\text{m/s}^2\right] = \) secondes ✔️ homogène à un temps
- \( H = v_{0y}^2/(2g) \) : \( \left[\text{m}^2\text{/s}^2\right] / \left[\text{m/s}^2\right] = \) mètres ✔️ homogène à une longueur
L’analyse dimensionnelle confirme la cohérence des formules 📐 : on peut dérouler le calcul en toute confiance, en deux temps : quand (le temps), puis où (la hauteur).
1. Résolution Numérique Calcul du temps de montée \( t_H \)Pourquoi fait-on ce calcul ? Impossible de connaître la hauteur du sommet sans savoir quand le javelot y passe : le temps est la porte d’entrée de l’équation horaire.
On écrit la condition au sommet \( v_y(t_H) = 0 \) avec \( v_y(t) = -gt + v_{0y} \), puis on isole \( t_H \). 🧮
- ⚙️ Substitution : \( v_{0y} = 10{,}0 \text{ m/s} \) et \( g = 9{,}8 \text{ m/s}^2 \) dans \( t_H = v_{0y}/g \).
- 📐 Piège évité : C’est bien \( v_y \) qui s’annule, pas la vitesse totale ni \( v_x \) !
- 📋 Hypothèse validée : \( v_{0y} > 0 \) : le javelot monte réellement, le sommet existe.
- ⚙️ Vérification croisée : \( 10/9{,}8 \) est légèrement supérieur à 1 : le résultat doit dépasser 1 s de peu. ✔️
- 🎯 Finalité : Ce temps sera injecté dans \( y(t) \) juste après, et doublé à la Question 4 (\( t_D = 2t_H \)).
Un peu plus d’une seconde de montée : court, mais suffisant pour grimper plusieurs mètres ! ⏱️
- ✅ Ordre de grandeur : 1,02 s est typique d’un lancer sportif : ni trop bref, ni interminable.
- 🏹 Impact sur la suite : La symétrie de la parabole donnera immédiatement \( t_D = 2 \times 1{,}02 = 2{,}04 \text{ s} \) à la Question 4.
- 🔍 Cohérence : Vérification : \( v_y(1{,}02) = -9{,}8 \times 1{,}02 + 10 \approx 0 \) ✔️ la condition est bien satisfaite.
- ⚠️ Attention : Garder la valeur non arrondie \( 10/9{,}8 = 1{,}0204… \) en mémoire de calculatrice pour la suite.
- 📊 Comparaison : Avec \( v_{0y} = 19{,}6 \text{ m/s} \) (lancer bien plus vertical), on aurait \( t_H = 2{,}0 \text{ s} \) : le temps de montée est proportionnel à l’élan vertical.
💡 Remarque pédagogique : Ne confondez jamais \( t_H \) (temps de montée) et le temps de vol total : au sommet, le voyage n’est qu’à moitié terminé (sur sol plat) !
Calcul de la hauteur maximale \( H \) (et vérification)Pourquoi fait-on ce calcul ? C’est la flèche demandée par l’énoncé : l’altitude du point culminant de la trajectoire du javelot.
On reporte \( t_H \approx 1{,}02 \text{ s} \) dans l’équation horaire \( y(t) = -4{,}9t^2 + 10t \), puis on contrôle le résultat avec la formule directe. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( t = t_H = 1{,}0204 \text{ s} \) (valeur non arrondie) dans les deux termes de \( y(t) \), en respectant le carré.
- 📐 Piège évité : Bien élever \( t_H \) au carré avant de multiplier par 4,9 : l’ordre des opérations compte !
- 📋 Hypothèse validée : \( t_H \) appartient bien à la durée du vol (entre 0 et \( t_D \)).
- ⚙️ Vérification croisée : Formule directe : \( H = v_{0y}^2/(2g) = 100/19{,}6 \approx 5{,}10 \text{ m} \) : même résultat ✔️
- 🎯 Finalité : Livrer la flèche du lancer, première des deux grandeurs attendues par l’entraîneur.
Le javelot culmine à 5,10 m : environ la hauteur d’un premier étage d’immeuble ! 🏠
- ✅ Ordre de grandeur : 5,1 m pour un lancer à 20 m/s (72 km/h) : parfaitement réaliste pour un lancer de niveau scolaire.
- 🏹 Impact sur la suite : La flèche valide la moitié du dossier technique : reste la portée pour délimiter la zone de sécurité.
- 🔍 Cohérence : Les deux méthodes (report de \( t_H \) et formule directe) donnent 5,10 m : résultat verrouillé. 🔒
- ⚠️ Attention : Ne pas écrire « H ≈ 5,1 m après un temps de vol de 1,02 s » : 1,02 s est le temps de montée, pas le temps de vol !
- 📊 Comparaison : À 45° avec la même vitesse, la flèche grimperait à \( (14{,}14)^2/19{,}6 \approx 10{,}2 \text{ m} \) : le double !
💡 Remarque pédagogique : La formule directe \( H = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} \) est précieuse pour les démonstrations littérales : elle s’obtient en remplaçant \( t_H = v_{0y}/g \) dans \( y(t_H) \). Apprenez à la redémontrer, pas à la réciter !
« Le javelot grimpe à 5,10 m en 1,02 s : la moitié verticale de la mission est accomplie ! Et cerise sur le gâteau 🍒 : la symétrie de la parabole nous offre déjà, gratuitement, le temps de vol total pour la question suivante. »
- 🏹 Conséquence pratique : La flèche de 5,10 m confirme un lancer « tendu » : à 30°, le javelot privilégie la distance à la hauteur.
- 👷 Action corrective : Noter \( t_H \approx 1{,}02 \text{ s} \) sans arrondir davantage : la Question 4 en dépend directement.
- 📅 Délai : Grâce à la relation \( t_D = 2t_H \), la moitié du travail de la Question 4 est déjà fait !
- 💰 Coût : La double vérification (report + formule directe) n’a coûté qu’une ligne et sécurise tout le dossier.
- 🤝 Communication : Informer l’entraîneur : à 5,10 m d’altitude maximale, aucun obstacle du stade (filets, projecteurs) n’interfère avec le vol. ✅
Et si l’athlète doublait sa composante verticale, avec \( v_{0y} = 20 \text{ m/s} \) au lieu de 10 m/s ? 💪
- 🔄 Modification : \( v_{0y} \) passe de 10 à 20 m/s (élan vertical doublé).
- 📈 Nouvel Impact : \( H = 20^2/(2 \times 9{,}8) = 400/19{,}6 \approx 20{,}4 \text{ m} \) : la hauteur est quadruplée, pas doublée !
- 💡 Conclusion : \( H \) dépend de \( v_{0y} \) au carré : chaque m/s vertical supplémentaire rapporte de plus en plus de hauteur.
- 📐 Bénéfice/Risque : Monter plus haut allonge le temps de vol (\( t_H = 2{,}04 \text{ s} \)), mais un lancer trop vertical sacrifie la portée.
- 🔮 Perspective : Cette relation quadratique explique pourquoi les feux d’artifice 🎆 tirés à peine plus vite montent tellement plus haut !
« Question finale, et démonstration parfaite de l’indépendance des mouvements : l’axe vertical me dit combien de temps le javelot reste en l’air ⏱️, et l’axe horizontal me dit quelle distance il parcourt pendant ce temps ➡️. Deux questions simples pour un seul résultat spectaculaire ! »
- 🔎 Observation : Le javelot touche le sol lorsque son altitude redevient nulle : la condition d’atterrissage s’écrit \( y(t_D) = 0 \).
- 🤔 Analyse du risque : L’équation \( y(t) = 0 \) est du second degré : elle a deux solutions, et il faut choisir la bonne !
- ✅ Choix stratégique : Factoriser par \( t \) (pas besoin de discriminant !), éliminer la solution \( t = 0 \), puis reporter \( t_D \) dans \( x(t) \).
- 💡 Alternative : Utiliser directement la symétrie \( t_D = 2t_H \) : parfaitement valable sur sol plat, on la gardera comme vérification express.
- 🎯 Objectif visé : La portée \( D \) : LE chiffre attendu par l’entraîneur et le jury pour la performance et la zone de sécurité.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
- 🔸 \( x(t) \) = 17,32 t (SI) (équation horaire horizontale, Question 2)
- 🔸 \( y(t) \) = −4,9 t² + 10,0 t (SI) (équation horaire verticale, Question 2)
- 🔸 \( t_H \) = 1,02 s (temps de montée, Question 3 — pour vérification)
- 🔸 Condition d’atterrissage : y = 0 m (sol plat : départ et arrivée à la même altitude)
La portée est la distance horizontale totale parcourue avant l’impact 🎯. Toute la subtilité tient dans la traduction de « le javelot touche le sol » en langage mathématique.
Deux outils : la condition d’atterrissage (pour le temps de vol) et le report dans \( x(t) \) (pour la distance).
Condition d’atterrissage :Elle détermine l’instant où le javelot retrouve l’altitude du sol : c’est la « fin du chronomètre » du vol.
L’altitude \( y \) raconte toute l’histoire verticale du vol : elle part de 0, monte, redescend… et l’impact correspond exactement à son retour à zéro. 🎯
- \( t_D \) : temps de vol total (durée entre lancer et impact), unité : s
- \( g \) : accélération de la pesanteur, unité : m/s²
- \( v_{0y} \) : composante verticale de la vitesse initiale, unité : m/s
Le temps de vol étant connu, la distance parcourue s’obtient par la plus simple des équations : celle du mouvement uniforme.
Pendant tout le vol, l’axe horizontal avance à vitesse constante \( v_{0x} \). La portée est donc simplement « vitesse × durée totale » : l’indépendance des mouvements dans toute sa splendeur ! ➡️
- \( D \) : portée du lancer (distance horizontale à l’impact), unité : m
- \( v_{0x} \) : composante horizontale de la vitesse initiale, unité : m/s
- \( t_D \) : temps de vol total, unité : s
« Beaucoup d’étudiants font l’erreur de paniquer devant la solution \( t = 0 \) de l’équation, ou de calculer la portée avec le temps de montée au lieu du temps de vol… »
- L’erreur : Rejeter \( t = 0 \) comme « faux » : cette solution est correcte (au départ, on est bien au sol !), simplement ce n’est pas celle qui nous intéresse.
- La bonne méthode : Factoriser \( t(-4{,}9t + 10) = 0 \), identifier \( t = 0 \) → départ, et \( t = 10/4{,}9 \) → impact.
- L’astuce de pro : Contrôler avec la symétrie : \( t_D = 2t_H = 2 \times 1{,}02 = 2{,}04 \text{ s} \) ✔️ les deux chemins concordent.
- Le moyen mnémotechnique : « Le sol est touché deux fois : au décollage 🛫 et à l’atterrissage 🛬 » : deux contacts, deux solutions.
- L’impact direct : Utiliser \( t_H \) au lieu de \( t_D \) donnerait une portée de moitié (17,7 m) : la zone de sécurité serait dangereusement sous-estimée !
Exécution de la Démarche de Résolution
- \( t_D = v_{0y} / \left(\frac{1}{2}g\right) \) : \( \left[\text{m/s}\right] / \left[\text{m/s}^2\right] = \) secondes ✔️
- \( D = v_{0x} \times t_D \) : \( \left[\text{m/s}\right] \times \left[\text{s}\right] = \) mètres ✔️
Unités cohérentes de bout en bout 📐 : le plan d’attaque en deux temps peut s’exécuter : 1) combien de temps le javelot vole-t-il ? 2) quelle distance parcourt-il pendant ce temps ?
1. Résolution Numérique Calcul du temps de vol total \( t_D \)Pourquoi fait-on ce calcul ? La portée dépend directement de la durée du vol : chaque dixième de seconde en l’air, c’est 1,73 m de distance en plus !
On résout \( y(t_D) = 0 \) par factorisation : la méthode la plus rapide et la plus élégante ici. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( y(t) = -4{,}9t^2 + 10{,}0t \), égalée à zéro puis factorisée par \( t \).
- 📐 Piège évité : Les deux solutions sont examinées : on garde celle qui correspond à l’impact.
- 📋 Hypothèse validée : Sol plat confirmé par l’énoncé : la condition \( y = 0 \) à l’arrivée est légitime.
- ⚙️ Vérification croisée : Symétrie : \( t_D = 2 \times t_H = 2 \times 1{,}02 = 2{,}04 \text{ s} \) ✔️ concordance parfaite.
- 🎯 Finalité : Ce temps entre directement dans \( x(t) \) pour le calcul final de la portée.
Le javelot reste 2,04 secondes en l’air : 1,02 s de montée + 1,02 s de descente, en parfaite symétrie. ⏱️
- ✅ Ordre de grandeur : Environ 2 s de vol pour un lancer sportif : tout à fait plausible (comptez mentalement lors d’un match !).
- 🏹 Impact sur la suite : Il ne reste qu’une multiplication : \( D = 17{,}32 \times 2{,}04 \).
- 🔍 Cohérence : \( t_D = 2t_H \) exactement : la parabole est bien symétrique sur sol plat. ✔️
- ⚠️ Attention : La valeur exacte est \( 10/4{,}9 = 2{,}0408… \) : utiliser cette valeur complète pour le calcul final.
- 📊 Comparaison : À 45°, le temps de vol grimperait à \( 2 \times 14{,}14/9{,}8 \approx 2{,}9 \text{ s} \) : presque une seconde de plus en l’air.
💡 Remarque pédagogique : Le raccourci \( t_D = 2t_H \) n’est valable que si départ et arrivée sont à la même altitude. Depuis une falaise ou vers une cible surélevée, il faut résoudre l’équation complète du second degré !
Calcul de la portée \( D \) (et vérification)Pourquoi fait-on ce calcul ? C’est la réponse finale de la mission : la distance officielle du lancer, qui fixe aussi la limite de la zone de sécurité du concours.
Report du temps de vol dans l’équation horizontale, puis double contrôle avec la formule experte de la portée. 🧮
- ⚙️ Substitution : \( v_{0x} = 17{,}32 \text{ m/s} \) et \( t_D = 2{,}04 \text{ s} \) dans \( D = v_{0x} \times t_D \).
- 📐 Piège évité : C’est bien \( t_D \) (vol complet) qui est utilisé, et non \( t_H \) (demi-vol) !
- 📋 Hypothèse validée : \( v_x \) constante pendant tout le vol : hypothèse des frottements négligés.
- ⚙️ Vérification croisée : Formule directe : \( D = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \dfrac{400 \times \sin(60^\circ)}{9{,}8} = \dfrac{400 \times 0{,}866}{9{,}8} \approx 35{,}3 \text{ m} \) ✔️
- 🎯 Finalité : Clore la mission avec le chiffre attendu par l’entraîneur et le jury. 🏁
35,3 mètres : plus du tiers d’un terrain de football ! ⚽ Une belle performance de niveau scolaire.
- ✅ Ordre de grandeur : 35 m pour un lancer à 72 km/h : réaliste (le record du monde, ~98 m, exige une vitesse initiale bien supérieure).
- 🏹 Impact sur la suite : La zone de sécurité du concours devra s’étendre au-delà de 36 m avec une marge réglementaire.
- 🔍 Cohérence : Les deux méthodes (report + formule directe) concordent à l’arrondi près : résultat verrouillé. 🔒
- ⚠️ Attention : Notre modèle néglige l’air : la portée réelle serait un peu inférieure, la trajectoire réelle n’étant pas parfaitement symétrique.
- 📊 Comparaison : À 45°, la portée atteindrait \( 400/9{,}8 \approx 40{,}8 \text{ m} \) : environ 5,5 m de mieux qu’à 30° !
💡 Remarque pédagogique : La formule \( D = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} \) montre que deux angles complémentaires (30° et 60°) donnent la même portée, car \( \sin(60^\circ) = \sin(120^\circ) \) : un grand classique des questions de quiz !
« Mission accomplie ! 🏆 Sans radar, sans mesure, avec pour seuls outils la deuxième loi de Newton et un peu de trigonométrie, nous avons prédit tout le vol du javelot : 5,10 m de flèche, 35,3 m de portée, 2,04 s de vol. La physique a remplacé l’appareil de mesure ! »
- 🏹 Conséquence pratique : L’entraîneur peut annoncer la performance attendue et délimiter la zone de chute autour de 35 m.
- 👷 Action corrective : Prévoir une marge de sécurité au-delà de la valeur calculée : le modèle sans air reste une idéalisation.
- 📅 Délai : Le dossier technique chiffré sera prêt avant samedi : le jury aura ses chiffres à temps. ✅
- 💰 Coût : Quatre questions, zéro instrument : la modélisation physique est l’outil de mesure le plus économique qui soit !
- 🤝 Communication : Transmettre au jury les deux valeurs clés (\( H \) et \( D \)) avec leurs hypothèses : un résultat sans ses conditions de validité ne vaut rien.
Et si on cessait de négliger la résistance de l’air ? Le modèle tiendrait-il encore ? 🌬️
- 🔄 Modification : Ajout d’une force de frottement fluide \( \vec{f} \) opposée au mouvement.
- 📈 Nouvel Impact : La trajectoire n’est plus une parabole symétrique : le sommet est atteint un peu avant la mi-parcours, et la portée diminue.
- 💡 Conclusion : Pour un javelot dense et rapide sur ~35 m, l’écart reste modéré : notre modèle est une bonne première approximation.
- 📐 Bénéfice/Risque : Le modèle simple donne 90 % de la réponse pour 10 % de l’effort ; le modèle complet exige des équations différentielles résolues numériquement.
- 🔮 Perspective : C’est exactement le travail des ingénieurs en balistique : partir de notre parabole idéale, puis ajouter les corrections (air, vent, rotation de la Terre) une à une !
BILAN FINAL & EXPLOITATION
✅ Checklist d’Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche scientifique globale :
L’objectif est atteint : à partir des seules données \( v_0 = 20 \text{ m/s} \) et \( \alpha = 30^\circ \), la démarche a fourni les composantes de la vitesse (\( v_{0x} \approx 17{,}32 \text{ m/s} \) ; \( v_{0y} = 10{,}0 \text{ m/s} \)), les équations horaires complètes, la flèche \( H \approx 5{,}10 \text{ m} \) et la portée \( D \approx 35{,}3 \text{ m} \). Chaque résultat a été confirmé par une vérification indépendante (Pythagore, formule directe de la flèche, formule directe de la portée) : le modèle est cohérent de bout en bout.
Au-delà des chiffres, cet exercice illustre la stratégie fondamentale de la mécanique : traduire les forces en accélération (deuxième loi de Newton), remonter à la vitesse puis à la position, et exploiter des conditions physiques (\( v_y = 0 \) au sommet, \( y = 0 \) à l’impact) pour extraire les grandeurs utiles. Cette méthode se transpose telle quelle à tout projectile : balle, obus, jet d’eau ou sonde spatiale.
📊 Tableau de Bord des Résultats
VERDICT DU PROFESSEUR
« Démarche exemplaire : chaque étape découle rigoureusement de la précédente, et chaque valeur numérique a été confirmée par une méthode indépendante. Le modèle de la chute libre parabolique est validé pour cette étude : la flèche de 5,10 m et la portée de 35,3 m peuvent être transmises à l’entraîneur et au jury avec confiance — en gardant à l’esprit que la résistance de l’air, négligée ici, réduirait légèrement ces valeurs sur le terrain. »
