Étude d’un Circuit RC

Après la fermeture de l'interrupteur K (à \(t=0\)), on applique la loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions) au circuit RC série. La tension aux bornes du générateur est \(E\). La tension aux bornes de la résistance est \(u_R(t)\) et celle aux bornes du condensateur est \(u_C(t)\).

Loi des mailles :

La tension aux bornes de la résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(u_R(t) = R i(t)\).

L'intensité du courant \(i(t)\) est liée à la charge \(q(t)\) du condensateur par \(i(t) = \frac{dq}{dt}\). La charge \(q(t)\) du condensateur est liée à la tension à ses bornes par \(q(t) = C u_C(t)\).

Donc, \(i(t) = \frac{d(C u_C(t))}{dt}\). Comme C est une constante :

En substituant \(u_R(t)\) et \(i(t)\) dans la loi des mailles :

C'est l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par \(u_C(t)\).

On nous donne la solution \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\). Nous devons la dériver par rapport au temps et la substituer dans l'équation différentielle pour vérifier si elle est correcte et pour trouver l'expression de \(\tau\).

Dérivée de \(u_C(t)\) :

Substitution dans l'équation différentielle \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\) :

Pour que cette équation soit vérifiée pour tout \(t\) (sachant que \(E \neq 0\) et \(e^{-t/\tau} \neq 0\)), il faut que le terme entre parenthèses soit nul :

\(\tau = RC\) est la constante de temps du circuit. Elle représente le temps caractéristique de la charge (ou de la décharge) du condensateur. Elle a la dimension d'un temps.

On utilise la formule \(\tau = RC\) avec les valeurs données.

Données : \(R = 100 \ \Omega\), \(C = 470 \times 10^{-6} \ F\).

On utilise l'expression de \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\) en remplaçant \(t\) par \(\tau\).

À \(t = \tau\) :

Sachant que \(e^{-1} \approx 0.368\) (ou \(1/e \approx 1/2.718 \approx 0.368\)) :

Avec \(E = 12.0 \text{ V}\) :

Le pourcentage de la tension maximale \(E\) est :

L'intensité du courant \(i(t)\) est donnée par \(i(t) = C \frac{du_C}{dt}\). Nous avons déjà calculé \(\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\) à la question 2. Et \(\tau = RC\).

On utilise l'expression de \(i(t)\) trouvée précédemment.

Intensité à \(t=0\) :

Intensité à \(t=\tau\) :

L'énergie emmagasinée par un condensateur de capacité \(C\) portant une charge \(Q\) et ayant une tension \(U_C\) à ses bornes est \(W_C = \frac{1}{2} C U_C^2 = \frac{1}{2} Q U_C = \frac{Q^2}{2C}\). Lorsque le condensateur est complètement chargé (\(t \rightarrow \infty\)), la tension à ses bornes est \(u_C(\infty) = E (1 - e^{-\infty}) = E (1 - 0) = E\).

Données : \(C = 470 \times 10^{-6} \text{ F}\), \(E = 12.0 \text{ V}\).

Réponses Correctes :

Question 1 : c) RC.

Question 2 : c) Augmente exponentiellement vers la tension du générateur E.

Question 3 : a) Est maximale à \(t=0\) et tend vers zéro.

Question 4 : c) 63% de E (car \(1 - e^{-1} \approx 0.632\)).

Circuit RC :

Circuit électrique comprenant une résistance (R) et un condensateur (C).

Condensateur :

Composant électronique qui stocke de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.

Capacité (\(C\)) :

Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Unité : Farad (F).

Résistance (\(R\)) :

Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Force Électromotrice (f.é.m., \(E\)) :

Tension fournie par un générateur à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant (ou tension à vide).

Équation Différentielle :

Équation mathématique qui relie une fonction à ses dérivées. En physique, elle décrit souvent l'évolution temporelle d'un système.

Constante de Temps (\(\tau\)) :

Dans un circuit RC, \(\tau = RC\). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur. Après un temps \(\tau\), le condensateur atteint environ 63% de sa charge maximale.

Régime Transitoire :

Période pendant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) varient dans un circuit après une modification (fermeture d'un interrupteur, etc.) avant d'atteindre un état stable.

Régime Permanent (ou Établi) :

État d'un circuit où les grandeurs électriques ne varient plus ou varient de manière périodique stable. Pour la charge d'un condensateur, c'est lorsque \(u_C = E\) et \(i=0\).

Énergie Emmagasinée par un Condensateur (\(W_C\)) :

Énergie stockée dans le champ électrique du condensateur. \(W_C = \frac{1}{2} C u_C^2\).