Analyse de la nature d'une Onde Progressive sur une Corde
Contexte : L'étude des ondes mécaniques progressivesPhénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie mais sans transport de matière..
Nous étudions une onde transversale se propageant le long d'une corde élastique tendue horizontalement. Un vibreur, situé à l'origine (x=0), impose un mouvement sinusoïdal vertical à l'extrémité de la corde. Cette perturbation se propage ensuite le long de la corde vers les x positifs. L'objectif de cet exercice est de caractériser entièrement cette onde : sa vitesse, ses propriétés spatiales et temporelles, et son expression mathématique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un classique qui permet de mobiliser toutes les relations fondamentales des ondes progressives sinusoïdales. Comprendre ce cas simple est essentiel pour aborder des phénomènes plus complexes comme les ondes sonores ou électromagnétiques.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la formule de la célérité d'une onde sur une corde tendue.
- Maîtriser la relation fondamentale entre la célérité, la fréquence et la longueur d'onde.
- Établir l'équation d'une onde sinusoïdale progressive à une dimension.
- Distinguer la célérité de l'onde de la vitesse d'un point du milieu de propagation.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension de la corde (\(T\)) | 40 N |
| Masse linéique (\(\mu\)) | 10 g/m |
| Fréquence du vibreur (\(f\)) | 50 Hz |
| Amplitude de l'onde (\(A\)) | 2,0 cm |
Schéma du dispositif expérimental
Questions à traiter
- Déterminer la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde le long de la corde.
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) de cette onde.
- Établir l'expression mathématique de l'élongation \(y(x,t)\) d'un point de la corde d'abscisse \(x\) à l'instant \(t\). On supposera que l'élongation à la source (x=0) est nulle à t=0 et qu'elle augmente initialement (phase à l'origine nulle).
- Calculer la vitesse transversale maximale d'un point de la corde. Comparer cette vitesse à la célérité de l'onde.
Les bases sur les Ondes Mécaniques Progressives
Pour résoudre cet exercice, il est nécessaire de maîtriser quelques concepts et formules clés relatifs aux ondes sinusoïdales.
1. Célérité sur une corde
La célérité \(v\) d'une onde transversale sur une corde ne dépend que des propriétés du milieu : sa tension \(T\) (en Newtons) et sa masse linéique \(\mu\) (en kg/m). Une corde plus tendue ou plus légère propage l'onde plus rapidement.
2. Onde progressive sinusoïdale
Une onde sinusoïdale est caractérisée par une double périodicité : temporelle (période \(T_p\), fréquence \(f\)) et spatiale (longueur d'onde \(\lambda\)). Ces grandeurs sont liées par la relation fondamentale :
Son équation générale est de la forme :
Avec \(A\) l'amplitude, \(\omega = 2\pi f\) la pulsation, \(k = 2\pi/\lambda\) le nombre d'onde et \(\phi\) la phase à l'origine.
Correction : Analyse de la nature d'une Onde Progressive sur une Corde
Question 1 : Déterminer la célérité de l'onde.
Principe
La vitesse de propagation d'une onde sur une corde (célérité) ne dépend pas de la source (le vibreur) mais uniquement des caractéristiques physiques de la corde elle-même : à quel point elle est tendue et à quel point elle est "lourde".
Mini-Cours
La célérité est une propriété intrinsèque du milieu de propagation. Pour une corde, cela signifie que peu importe la fréquence ou l'amplitude de la vibration que vous lui imposez, la vitesse à laquelle la perturbation se déplace le long de la corde restera la même tant que vous ne modifiez pas sa tension ou sa masse.
Remarque Pédagogique
Pensez à la ola dans un stade : sa vitesse de propagation dépend de la réactivité des spectateurs, pas de la personne qui la lance. De même ici, la corde a ses propres "règles de propagation" que l'onde doit suivre.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie, mais découle directement de l'application de la deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) à un petit segment de la corde en mouvement. C'est donc un résultat fondamental de la mécanique classique.
Formule(s)
La relation qui lie la célérité \(v\) à la tension \(T\) et à la masse linéique \(\mu\) est une formule fondamentale à connaître.
Hypothèses
Pour que cette formule soit valide, on suppose que :
- La corde est parfaitement flexible et élastique.
- L'amplitude de l'onde est faible par rapport à sa longueur d'onde, ce qui permet de linéariser les équations du mouvement.
- La tension est uniforme tout le long de la corde et n'est pas affectée par le passage de l'onde.
Donnée(s)
On extrait les données de l'énoncé qui sont pertinentes pour cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | \(T\) | 40 | N |
| Masse linéique | \(\mu\) | 10 | g/m |
Astuces
Pour vérifier l'homogénéité de la formule, analysez les unités : \(T\) est en \(\text{N}\) soit \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\), et \(\mu\) est en \(\text{kg} \cdot \text{m}^{-1}\). Le rapport \(T/\mu\) est donc en \(\text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}\). La racine carrée donne bien des \(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\), l'unité d'une vitesse.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la corde comme un milieu caractérisé par sa tension interne qui tend à la ramener à l'équilibre et son inertie (sa masse) qui s'oppose au mouvement.
Paramètres physiques de la corde
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la masse linéique
Étape 2 : Application de la formule
On remplace les valeurs numériques dans la formule pour calculer la célérité.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne une valeur scalaire. Le schéma pertinent est celui de l'onde se propageant, où l'on peut annoter cette vitesse.
Propagation de l'onde
Réflexions
Une vitesse de 63 m/s correspond à environ 227 km/h. C'est une vitesse de propagation très rapide, ce qui est cohérent pour une corde tendue comme celle d'une guitare, où le son doit se propager quasi-instantanément d'un bout à l'autre.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est de ne pas convertir les unités dans le Système International avant le calcul. La masse linéique est donnée en g/m alors que les Newtons (unité de la tension) sont basés sur les kilogrammes. Il est impératif de convertir \(\mu\) en kg/m.
Points à retenir
- La célérité d'une onde sur une corde dépend uniquement du milieu (\(T, \mu\)).
- La formule \(v = \sqrt{T/\mu}\) est fondamentale.
- La cohérence des unités (Système International) est cruciale avant tout calcul.
Le saviez-vous ?
Les musiciens accordent leurs instruments à cordes (guitare, violon, piano) en ajustant la tension \(T\). En tournant la cheville, ils modifient \(T\), ce qui change la célérité \(v\) de l'onde et donc la fréquence du son produit (car \(f = v/\lambda\)).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on utilise une corde plus lourde avec \(\mu=20\) g/m, quelle serait la nouvelle célérité (en m/s) en gardant la même tension ?
Question 2 : Calculer la longueur d'onde \(\lambda\).
Principe
La longueur d'onde \(\lambda\) est la "période spatiale" de l'onde. C'est la distance parcourue par l'onde pendant une période temporelle \(T_p\) de la source. Elle représente la plus petite distance qui sépare deux points de la corde vibrant exactement de la même manière (en phase).
Mini-Cours
La relation \(v = \lambda \cdot f\) est universelle pour toutes les ondes progressives périodiques. Elle traduit le fait que pendant une période \(T_p = 1/f\), l'onde parcourt exactement une distance \(\lambda\) à la vitesse \(v\). Cette équation connecte la description temporelle de l'onde (via \(f\)) à sa description spatiale (via \(\lambda\)).
Remarque Pédagogique
Imaginez des vagues sur l'eau. La fréquence \(f\) est le nombre de vagues qui passent devant vous chaque seconde. La longueur d'onde \(\lambda\) est la distance entre deux crêtes. La vitesse \(v\) est la rapidité avec laquelle ces crêtes se déplacent. La relation \(v=\lambda f\) lie ces trois observations de manière logique.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme mais d'une définition découlant directement de la nature périodique de l'onde.
Formule(s)
La relation fondamentale des ondes lie la longueur d'onde \(\lambda\), la célérité \(v\) et la fréquence \(f\). On l'utilise ici pour isoler \(\lambda\).
Hypothèses
On suppose que le milieu de propagation est non-dispersif, ce qui signifie que la célérité \(v\) de l'onde est la même pour toutes les fréquences. C'est une excellente approximation pour les ondes sur une corde.
Donnée(s)
On utilise la célérité calculée à la question précédente et la fréquence donnée dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité | \(v\) | 63,245 | m/s |
| Fréquence | \(f\) | 50 | Hz |
Astuces
Retenez que pour un milieu donné (v fixée), la longueur d'onde est inversement proportionnelle à la fréquence. Un son aigu (haute fréquence) aura une petite longueur d'onde, un son grave (basse fréquence) aura une grande longueur d'onde.
Schéma (Avant les calculs)
Avant de calculer la valeur, il est important de visualiser ce que représente la longueur d'onde.
Visualisation de la longueur d'onde
Calcul(s)
Calcul de la longueur d'onde
Schéma (Après les calculs)
Le schéma visualisant le concept de longueur d'onde reste le même, cette grandeur physique étant maintenant quantifiée.
Représentation de la longueur d'onde
Réflexions
Une longueur d'onde de 1,26 m est souvent plus grande que la longueur de la corde d'une guitare. Cela signifie que sur un instantané, on ne "voit" pas toujours une sinusoïde complète sur la corde. Le concept de longueur d'onde reste cependant essentiel car il définit l'échelle spatiale de la répétition du motif.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités sont cohérentes : la célérité en m/s et la fréquence en Hz (qui est équivalent à s⁻¹) donnent bien une longueur d'onde en mètres. Ne confondez pas la période temporelle \(T_p\) (en s) et la longueur d'onde \(\lambda\) (en m).
Points à retenir
- La relation \(v = \lambda \cdot f\) est universelle et fondamentale.
- La longueur d'onde est la "période spatiale" de l'onde.
- Pour un milieu donné, \(\lambda\) est inversement proportionnelle à \(f\).
Le saviez-vous ?
Cette même relation \(v = \lambda f\) (avec \(v=c\), la vitesse de la lumière) régit tout le spectre électromagnétique. Les antennes des radios FM sont dimensionnées pour être une fraction (souvent 1/2 ou 1/4) de la longueur d'onde des ondes qu'elles captent (qui est de l'ordre de 3 mètres).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la fréquence est maintenant de 100 Hz (un son plus aigu), quelle est la nouvelle longueur d'onde (en m) ?
Question 3 : Établir l'expression mathématique \(y(x,t)\).
Principe
L'équation d'onde \(y(x,t)\) est une fonction mathématique qui doit nous donner la position verticale (élongation) de n'importe quel point de la corde (d'abscisse \(x\)) à n'importe quel instant \(t\). Pour une onde sinusoïdale, cette fonction est une sinusoïde dont la phase dépend à la fois du temps et de la position.
Mini-Cours
La forme générale pour une onde se propageant vers les \(x\) positifs est \(y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi)\). Le signe "$-$" devant \(kx\) indique la direction de propagation (+x). Un signe "$+$" indiquerait une propagation vers les x négatifs. Chaque paramètre a un rôle précis : \(A\) est l'élongation maximale, \(\omega\) régit l'oscillation dans le temps, et \(k\) régit l'oscillation dans l'espace.
Remarque Pédagogique
Voyez cette équation comme une "machine" à deux entrées (\(x\) et \(t\)) qui sort une position \(y\). Vous lui demandez "Où est le morceau de corde à 2m du début après 3 secondes ?" et elle vous donne la réponse. C'est un modèle prédictif complet du comportement de la corde.
Normes
Cette expression est une solution de l'équation d'onde de d'Alembert, une équation aux dérivées partielles fondamentale en physique qui décrit la propagation de nombreux types d'ondes.
Formule(s)
Pulsation
Nombre d'onde
Hypothèses
En plus des hypothèses précédentes, on suppose que le vibreur impose un mouvement parfaitement sinusoïdal et que la phase à l'origine \(\phi\) est nulle, conformément aux conditions initiales de l'énoncé (\(y(0,0)=0\) et la vitesse initiale est positive).
Donnée(s)
On rassemble toutes les données nécessaires.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude | \(A\) | 2,0 | cm |
| Fréquence | \(f\) | 50 | Hz |
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 1,264 | m |
Astuces
Retenez l'analogie : \(\omega\) est à la période temporelle \(T_p\) ce que \(k\) est à la période spatiale \(\lambda\). Les deux sont une conversion de la période en une "vitesse angulaire" (temporelle ou spatiale) via un facteur \(2\pi\).
Schéma (Avant les calculs)
Le but est de trouver l'équation qui décrit cette forme et son déplacement.
Représentation de l'onde à modéliser
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de l'amplitude
Étape 2 : Calcul de la pulsation \(\omega\)
Étape 3 : Calcul du nombre d'onde \(k\)
Étape 4 : Assemblage de l'équation finale
On assemble tous les paramètres dans la formule générale avec \(\phi=0\).
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter les deux aspects de l'équation : la vue spatiale (photo de la corde à \(t=0\)) et la vue temporelle (mouvement du point à \(x=0\)).
Vue spatiale et temporelle
Réflexions
Cette unique équation contient une quantité d'information considérable. En la dérivant par rapport à \(t\), on obtient la vitesse de chaque point. En la dérivant par rapport à \(x\), on obtient la pente de la corde. Elle est le point de départ de toute analyse plus poussée.
Points de vigilance
Veillez à utiliser les unités du Système International pour tous les paramètres (\(A\) en m, \(\omega\) en rad/s, \(k\) en rad/m, \(x\) en m, \(t\) en s) pour que l'équation soit homogène. Le sinus attend un angle en radians, ce que garantissent \(\omega t\) et \(kx\).
Points à retenir
- La forme générale de l'onde progressive sinusoïdale est \(y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi)\).
- Le signe '$-$' indique une propagation dans le sens des \(x\) positifs.
- \(\omega = 2\pi f\) (pulsation temporelle), \(k = 2\pi/\lambda\) (pulsation spatiale).
Le saviez-vous ?
Le concept d'onde progressive se généralise en 3D pour décrire le son ou la lumière. L'équation devient \(A \sin(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \phi)\), où \(\vec{k}\) est le "vecteur d'onde" qui indique la direction de propagation et \(\vec{r}\) est le vecteur position.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(k\) (en rad/m) si la longueur d'onde était de 2 m ?
Question 4 : Calculer la vitesse transversale maximale.
Principe
Il est crucial de ne pas confondre la célérité de l'onde (\(v\), qui est la vitesse de propagation de la perturbation, constante et horizontale) avec la vitesse d'un point matériel de la corde (\(v_y\)). Chaque point de la corde exécute un mouvement oscillatoire vertical. Sa vitesse est donc variable au cours du temps.
Mini-Cours
En physique, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. Pour obtenir la vitesse transversale \(v_{\text{y}}\) d'un point d'abscisse \(x\), on dérive son élongation \(y(x,t)\) par rapport à la variable temporelle \(t\), en considérant \(x\) comme une constante. Le résultat est une fonction cosinusoïdale, dont l'amplitude est \(A\omega\).
Remarque Pédagogique
Imaginez un bouchon flottant sur des vagues. L'onde (la vague) se propage horizontalement avec la célérité \(v\). Le bouchon, lui, ne fait que monter et descendre avec une vitesse verticale \(v_y\). Il n'avance pas avec la vague.
Normes
Ce calcul est une application directe des règles de la dérivation en mathématiques (dérivée de fonctions composées).
Formule(s)
Vitesse transversale
Vitesse transversale maximale
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour l'établissement de l'équation d'onde, à savoir que le modèle mathématique \(y(x,t)\) est une description fidèle de la réalité physique.
Donnée(s)
On utilise l'amplitude \(A\) (en m) et la pulsation \(\omega\) (en rad/s) calculées précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude | \(A\) | 0,020 | m |
| Pulsation | \(\omega\) | \(100\pi\) | rad/s |
Astuces
Puisque la fonction cosinus a une valeur maximale de 1, la vitesse maximale est simplement le facteur qui se trouve devant le cosinus dans l'expression de \(v_{\text{y}}(x,t)\). Il n'est pas nécessaire d'étudier la fonction, il suffit d'identifier l'amplitude.
Schéma (Avant les calculs)
Un point de la corde oscille comme un oscillateur harmonique. Sa vitesse est nulle aux extrema de sa trajectoire (points haut et bas) et maximale lorsqu'il passe par sa position d'équilibre (\(y=0\)).
Mouvement d'un point de la corde
Calcul(s)
Calcul de la vitesse transversale maximale
Schéma (Après les calculs)
On peut visualiser les graphes de la position \(y(t)\) et de la vitesse \(v_{\text{y}}(t)\) pour un point donné (par ex. \(x=0\)). La vitesse est maximale lorsque la position est nulle, montrant un déphasage de \(\pi/2\) (un quart de période).
Position et Vitesse en fonction du temps
Réflexions
On compare la vitesse transversale maximale à la célérité de l'onde : \(v_{\text{y,max}} \approx 6,28\) m/s et \(v \approx 63,2\) m/s. On constate que \(v_{\text{y,max}} \ll v\). C'est un résultat général pour les petites amplitudes : les points du milieu oscillent bien moins vite que l'onde ne se propage. Cela justifie l'hypothèse des "petites perturbations".
Points de vigilance
La plus grande source de confusion est de mélanger la célérité \(v\) et la vitesse transversale \(v_{\text{y}}\). Retenez : \(v\) est constante et caractérise la propagation de l'onde, \(v_{\text{y}}\) est variable et caractérise le mouvement d'un point de la corde.
Points à retenir
- La vitesse transversale s'obtient en dérivant l'élongation par rapport au temps : \(v_{\text{y}} = \partial y / \partial t\).
- Sa valeur maximale est \(v_{\text{y,max}} = A \cdot \omega\).
- La vitesse transversale \(v_{\text{y}}\) est généralement très différente de la célérité de l'onde \(v\).
Le saviez-vous ?
Dans les vagues en mer, la vitesse des particules d'eau est bien plus faible que la vitesse de la vague elle-même, sauf lorsque la vague déferle près du rivage. À ce moment, la vitesse de la matière (l'eau) rattrape la vitesse de l'onde, provoquant l'effondrement de la vague.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse transversale maximale (en m/s) si l'amplitude était doublée (\(A=4\) cm) ?
Outil Interactif : Célérité et Longueur d'onde
Utilisez les curseurs pour voir comment la tension de la corde et la fréquence du vibreur influencent la célérité de l'onde et sa longueur d'onde. La masse linéique est fixée à 10 g/m.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La célérité d'une onde sur une corde dépend principalement de :
2. Si l'on double la fréquence du vibreur sans changer la corde ni sa tension, la nouvelle longueur d'onde sera :
3. L'unité du nombre d'onde \(k\) dans le Système International est :
4. Pour une onde transversale, le déplacement des points du milieu de propagation s'effectue...
5. La pulsation \(\omega\) est liée à la période temporelle \(T_p\) par la relation :
- Célérité
- Vitesse de propagation de l'onde dans le milieu. Elle est constante pour un milieu donné.
- Longueur d'onde (\(\lambda\))
- Période spatiale de l'onde : plus petite distance séparant deux points dans le même état vibratoire.
- Masse linéique (\(\mu\))
- Masse par unité de longueur du milieu de propagation (ici, la corde). Son unité est le kg/m.
- Pulsation (\(\omega\))
- Vitesse angulaire de l'oscillation, liée à la fréquence par \(\omega=2\pi f\). Son unité est le rad/s.
- Nombre d'onde (\(k\))
- Equivalent spatial de la pulsation, lié à la longueur d'onde par \(k=2\pi/\lambda\). Son unité est le rad/m.
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