Vitesse d’un point par rapport au châssis

Physique : Vitesse d’un point par rapport au châssis

Vitesse d’un point par rapport au châssis

Contexte : La complexité cachée d'une roue qui tourne.

Le mouvement est relatif. La vitesse d'un objet dépend de l'observateur, ou plus précisément, du référentielObjet ou système de coordonnées par rapport auquel on décrit le mouvement. Exemples : la route, la voiture. dans lequel on la mesure. Un passager assis dans un train est immobile par rapport au train, mais se déplace à grande vitesse par rapport au sol. Cet exercice explore cette idée en analysant le mouvement d'un point situé sur la jante d'une roue de voiture. Ce point a un mouvement de rotation simple par rapport à la voiture (le châssis), mais un mouvement beaucoup plus complexe par rapport à la route. Comprendre comment combiner ces mouvements est essentiel en mécanique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice introduit la composition des vitesses. Nous allons voir que la vitesse "absolue" d'un point (par rapport à la route) est la somme vectorielle de sa vitesse "relative" (par rapport à la voiture) et de la vitesse "d'entraînement" (celle de la voiture par rapport à la route). C'est un principe fondamental pour analyser des systèmes mécaniques complexes comme les engrenages ou les bras de robot.

Objectifs Pédagogiques

Différencier le mouvement dans différents référentiels (châssis, route).
Calculer la vitesse d'un point en mouvement circulaire uniforme.
Comprendre et appliquer le principe de composition des vitesses.
Utiliser l'addition vectorielle pour déterminer une vitesse résultante.
Analyser des points spécifiques d'un système en rotation (sommet et base de la roue).

Données de l'étude

Une voiture roule en ligne droite à une vitesse constante $v_{\text{voiture/sol}}$ sur une route horizontale. On s'intéresse au mouvement d'un point P situé à la périphérie d'une de ses roues, qui roule sans glisser. On note O le centre de la roue (l'axe).

Schéma de la situation

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de la voiture par rapport au sol	$v_{\text{voiture/sol}}$	72	$\text{km/h}$
Rayon de la roue	$R$	30	$\text{cm}$

Questions à traiter

Convertir la vitesse de la voiture en m/s et le rayon de la roue en m.
Calculer la vitesse du point P par rapport à l'axe O de la roue ($v_{\text{P/voiture}}$). On admettra que sa norme est égale à celle de la vitesse de la voiture par rapport au sol.
Déterminer par le calcul la vitesse du point P, lorsqu'il est au sommet de la roue, par rapport au sol ($v_{\text{P/sol}}$).
Déterminer par le calcul la vitesse du point I, lorsqu'il est en contact avec le sol, par rapport au sol ($v_{\text{I/sol}}$).

Les bases de la Composition des Mouvements

Pour comprendre cet exercice, il faut maîtriser la notion de référentiel et de vitesse relative.

1. Référentiels d'étude :
Nous avons deux référentiels principaux : le référentiel terrestre (lié à la route, considéré comme fixe) et le référentiel du châssis (lié à la voiture en mouvement). Le mouvement d'un point de la roue est une rotation simple dans le référentiel du châssis, mais plus complexe dans le référentiel terrestre.

2. Vitesse de Rotation :
Dans le référentiel du châssis, un point P à la périphérie de la roue a un mouvement circulaire uniforme. Sa vitesse, appelée vitesse tangentielle, est toujours perpendiculaire au rayon et sa valeur est constante. Pour une roue qui roule sans glisser, cette vitesse tangentielle est égale à la vitesse de translation de la voiture.

v_{\text{P/voiture}} = v_{\text{voiture/sol}}

3. Loi de Composition des Vitesses :
Pour trouver la vitesse d'un point P par rapport au sol (référentiel fixe), on doit additionner (vectoriellement) la vitesse du centre O par rapport au sol et la vitesse du point P par rapport au centre O.

\vec{v}_{\text{P/sol}} = \vec{v}_{\text{P/O}} + \vec{v}_{\text{O/sol}}

Ici, $\vec{v}_{\text{P/O}}$ est la vitesse de P par rapport à la voiture ($\vec{v}_{\text{P/voiture}}$) et $\vec{v}_{\text{O/sol}}$ est la vitesse de la voiture par rapport au sol.

Correction : Vitesse d’un point par rapport au châssis

Question 1 : Convertir les unités

Principe (le concept physique)

Pour effectuer des calculs cohérents en physique, toutes les grandeurs doivent être exprimées dans les unités du Système International (SI). Pour la mécanique, il s'agit du mètre (m) pour les longueurs et de la seconde (s) pour le temps. La vitesse doit donc être en mètres par seconde (m/s).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La conversion des vitesses de km/h en m/s se fait en divisant par 3,6, car $1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}$ et $1 \, \text{h} = 3600 \, \text{s}$. La conversion des longueurs de centimètres en mètres se fait en divisant par 100, car $1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prendre l'habitude de faire un "bilan des unités" avant de commencer tout calcul est une excellente pratique. Cela évite 90% des erreurs d'inattention dans les exercices de physique. Listez vos données et convertissez-les immédiatement en unités SI.

Normes (la référence réglementaire)

Le Système International d'unités (SI) est la convention mondiale pour les mesures scientifiques et techniques. L'utilisation systématique de ces unités garantit que les formules physiques s'appliquent sans facteurs de conversion supplémentaires et que les résultats sont universellement compréhensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules de conversion sont :

v_{\text{(m/s)}} = \frac{v_{\text{(km/h})}}{3.6}

L_{\text{(m)}} = \frac{L_{\text{(cm})}}{100}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les conversions sont basées sur des définitions exactes et ne nécessitent pas d'hypothèses physiques.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse de la voiture, $v_{\text{voiture/sol}} = 72 \, \text{km/h}$
Rayon de la roue, $R = 30 \, \text{cm}$

Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que 72 est le double de 36. Donc, $72 / 3.6$ est facile à calculer de tête : c'est $2 \times (36 / 3.6) = 2 \times 10 = 20$.

Schéma (Avant les calculs)

Nécessité de la Conversion

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion de la vitesse :

\begin{aligned} v_{\text{voiture/sol}} &= \frac{72}{3.6} \\ &= 20 \, \text{m/s} \end{aligned}

2. Conversion du rayon :

\begin{aligned} R &= \frac{30}{100} \\ &= 0.3 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Données en Unités SI

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous disposons maintenant de valeurs homogènes qui peuvent être utilisées dans les formules de la physique sans risque d'erreur. La voiture avance de 20 mètres chaque seconde, et ses roues ont un rayon de 0,3 mètre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir l'une des deux valeurs. Si vous mélangez des cm et des m/s, ou des km/h et des m, vos résultats n'auront aucun sens physique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Toujours convertir les données en unités du Système International (m, kg, s) avant de commencer les calculs.
Vitesse : diviser les km/h par 3,6 pour obtenir des m/s.
Longueur : diviser les cm par 100 pour obtenir des m.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'aéronautique et le transport maritime, l'unité de vitesse standard n'est ni le km/h ni le m/s, mais le nœud. Un nœud correspond à un mille marin par heure, soit environ 1,852 km/h ou 0,514 m/s. Cette unité est pratique pour la navigation sur les cartes marines.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de la voiture est de 20 m/s et le rayon de la roue est de 0.3 m.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Une roue de vélo a un rayon de 35 cm. Convertissez cette valeur en mètres.

Question 2 : Calculer la vitesse du point P par rapport à la voiture

Principe (le concept physique)

Dans le référentiel de la voiture (le châssis), la roue ne fait que tourner sur son axe O. Le point P a donc un mouvement circulaire uniforme. La condition de "roulement sans glissement" impose une relation directe entre la vitesse de rotation de la roue et la vitesse de translation de la voiture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour qu'une roue roule sans glisser, la longueur d'arc déroulée par la roue en une seconde doit être égale à la distance parcourue par la voiture en une seconde. La longueur d'arc est $v_{\text{tangentielle}} \times 1\text{s}$ et la distance est $v_{\text{voiture}} \times 1\text{s}$. Cela implique que la norme de la vitesse tangentielle d'un point à la périphérie de la roue est égale à la norme de la vitesse de la voiture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous enroulez une ficelle autour de la roue. Si vous tirez sur la ficelle à une vitesse de 20 m/s, le centre de la roue avancera aussi à 20 m/s. Le roulement sans glissement est ce lien direct entre la rotation et la translation.

Normes (la référence réglementaire)

La condition de roulement sans glissement est un modèle cinématique standard utilisé en ingénierie pour l'étude des véhicules et de tous les systèmes impliquant des roues ou des galets.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un roulement sans glissement :

v_{\text{P/voiture}} = v_{\text{voiture/sol}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse fondamentale est que la roue ne dérape pas sur le sol. Il n'y a aucun glissement au point de contact I.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse de la voiture, $v_{\text{voiture/sol}} = 20 \, \text{m/s}$ (résultat de Q1)

Astuces(Pour aller plus vite)

Il n'y a pas de calcul à faire ici, seulement appliquer le principe. C'est une question de compréhension physique plus que de mathématiques.

Schéma (Avant les calculs)

Mouvement dans le Référentiel de la Voiture

Calcul(s) (l'application numérique)

D'après la condition de roulement sans glissement :

v_{\text{P/voiture}} = v_{\text{voiture/sol}} = 20 \, \text{m/s}

Schéma (Après les calculs)

Vitesse de Rotation du Point P

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Par rapport à un passager de la voiture, le point P au sommet de la roue se déplace vers l'avant à 20 m/s. Un point en bas se déplacerait vers l'arrière à 20 m/s. Cette vitesse est purement due à la rotation de la roue.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la vitesse angulaire (en rad/s) et la vitesse tangentielle (en m/s). Bien que liées ($v = \omega R$), ce sont deux grandeurs différentes. L'exercice nous permet ici de trouver la vitesse tangentielle directement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le roulement sans glissement lie la rotation à la translation.
La vitesse tangentielle d'un point à la périphérie est égale à la vitesse du véhicule.
Cette vitesse est mesurée dans le référentiel du véhicule.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes d'antipatinage (ASR ou TCS) sur les voitures modernes sont conçus pour détecter quand une roue commence à glisser (c'est-à-dire quand la vitesse de rotation de la roue devient supérieure à la vitesse de la voiture). Le système réduit alors la puissance du moteur pour rétablir l'adhérence.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse du point P par rapport à la voiture est de 20 m/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la voiture roulait à 36 km/h, quelle serait la vitesse d'un point sur la jante par rapport au châssis ?

Question 3 : Calculer la vitesse du point P (au sommet) par rapport au sol

Principe (le concept physique)

Pour un observateur sur le bord de la route, le mouvement du point P est une combinaison de deux mouvements : la translation de la voiture vers l'avant et la rotation de la roue. Au sommet, ces deux mouvements s'ajoutent. La vitesse de P par rapport au sol est la somme vectorielle de la vitesse de la voiture et de la vitesse de P par rapport à la voiture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi de composition des vitesses $\vec{v}_{\text{P/sol}} = \vec{v}_{\text{P/voiture}} + \vec{v}_{\text{voiture/sol}}$ est une addition de vecteurs. Lorsque le point P est au sommet de la roue, son vecteur vitesse de rotation ($\vec{v}_{\text{P/voiture}}$) est horizontal et dirigé vers l'avant, tout comme le vecteur vitesse de la voiture ($\vec{v}_{\text{voiture/sol}}$). Les deux vecteurs ont même direction et même sens, leur somme est donc une simple addition de leurs normes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous marchez vers l'avant dans un train en mouvement. Votre vitesse par rapport au sol est votre vitesse de marche PLUS la vitesse du train. C'est exactement la même situation pour le point P au sommet de la roue.

Normes (la référence réglementaire)

La composition des vitesses est un principe fondamental de la cinématique galiléenne, qui s'applique à des vitesses faibles par rapport à celle de la lumière. Les vecteurs sont l'outil mathématique standard pour représenter et composer les vitesses.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La loi de composition vectorielle est :

\vec{v}_{\text{P/sol}} = \vec{v}_{\text{P/voiture}} + \vec{v}_{\text{voiture/sol}}

Au sommet, les vecteurs sont colinéaires et de même sens, donc :

v_{\text{P/sol}} = v_{\text{P/voiture}} + v_{\text{voiture/sol}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place à l'instant précis où le point P est à la verticale du centre de la roue, à sa position la plus haute.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse de la voiture, $v_{\text{voiture/sol}} = 20 \, \text{m/s}$
Vitesse de P par rapport à la voiture, $v_{\text{P/voiture}} = 20 \, \text{m/s}$ (résultat de Q2)

Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque les deux vitesses sont égales (condition de non-glissement), la vitesse au sommet est simplement le double de la vitesse de la voiture. C'est un résultat classique et facile à retenir.

Schéma (Avant les calculs)

Composition des Vitesses au Sommet

Calcul(s) (l'application numérique)

On additionne les normes des deux vitesses :

\begin{aligned} v_{\text{P/sol}} &= v_{\text{P/voiture}} + v_{\text{voiture/sol}} \\ &= 20 + 20 \\ &= 40 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vitesse Résultante au Sommet

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le sommet de la roue se déplace à 40 m/s (soit 144 km/h) par rapport à la route, soit le double de la vitesse de la voiture. Ce résultat, souvent surprenant, est une conséquence directe de la composition des mouvements de translation et de rotation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale serait d'oublier que les vitesses sont des vecteurs. On ne peut additionner simplement leurs normes que si les vecteurs ont même direction et même sens, ce qui est le cas particulier du point le plus haut de la roue.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vitesse absolue est la somme vectorielle de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.
Au sommet d'une roue qui roule sans glisser, la vitesse par rapport au sol est le double de la vitesse du véhicule.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La trajectoire d'un point sur la jante d'une roue par rapport au sol n'est pas un cercle, mais une courbe appelée cycloïde. C'est une courbe aux propriétés mathématiques fascinantes, étudiée par de grands esprits comme Pascal et Bernoulli.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse du point P au sommet de la roue par rapport au sol est de 40 m/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Une voiture roule à 10 m/s. Quelle est la vitesse du point le plus haut de sa roue par rapport à la route ?

Question 4 : Calculer la vitesse du point I (au contact) par rapport au sol

Principe (le concept physique)

On applique le même principe de composition des vitesses, mais cette fois pour le point I situé tout en bas de la roue, en contact avec le sol. La différence cruciale est que le vecteur vitesse de rotation de ce point est dirigé dans le sens opposé à celui de la translation de la voiture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Lorsque le point I est au contact du sol, son vecteur vitesse de rotation ($\vec{v}_{\text{I/voiture}}$) est horizontal et dirigé vers l'arrière. Le vecteur vitesse de la voiture ($\vec{v}_{\text{voiture/sol}}$) est toujours dirigé vers l'avant. Les deux vecteurs ont même direction mais des sens opposés. Leur somme vectorielle est donc une soustraction de leurs normes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la définition même du roulement sans glissement. Pour que la roue "accroche" au sol sans déraper, le point de contact doit être instantanément immobile par rapport au sol. Sa vitesse de rotation vers l'arrière doit parfaitement compenser la vitesse de translation de la voiture vers l'avant.

Normes (la référence réglementaire)

Ce résultat est une conséquence directe du modèle de roulement sans glissement, un concept clé en dynamique du solide et en ingénierie mécanique pour l'étude de la traction des véhicules.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La loi de composition vectorielle est :

\vec{v}_{\text{I/sol}} = \vec{v}_{\text{I/voiture}} + \vec{v}_{\text{voiture/sol}}

Au point de contact, les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés, donc :

v_{\text{I/sol}} = v_{\text{voiture/sol}} - v_{\text{I/voiture}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place à l'instant précis où le point I est en contact avec le sol, et on maintient l'hypothèse de roulement sans glissement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse de la voiture, $v_{\text{voiture/sol}} = 20 \, \text{m/s}$
Vitesse de I par rapport à la voiture, $v_{\text{I/voiture}} = 20 \, \text{m/s}$ (même norme que pour P)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le résultat est toujours zéro pour un roulement sans glissement. C'est une propriété fondamentale à connaître.

Schéma (Avant les calculs)

Composition des Vitesses au Point de Contact

Calcul(s) (l'application numérique)

On soustrait les normes des deux vitesses :

\begin{aligned} v_{\text{I/sol}} &= v_{\text{voiture/sol}} - v_{\text{I/voiture}} \\ &= 20 - 20 \\ &= 0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vitesse Résultante Nulle au Contact

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le point de la roue qui touche la route est instantanément immobile par rapport à la route. C'est ce qui permet à la voiture de "pousser" sur le sol pour avancer. Si ce point glissait, la voiture patinerait.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne soyez pas troublé par un résultat de zéro. En physique, une vitesse nulle est un résultat tout aussi significatif qu'une vitesse non nulle. Il décrit un état de mouvement (ou d'absence de mouvement) dans un référentiel donné.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Au point de contact avec le sol, la vitesse de rotation et la vitesse de translation se compensent exactement.
La vitesse du point de contact d'une roue qui roule sans glisser est nulle par rapport au sol.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les pneus de course sont conçus pour avoir un coefficient de frottement statique très élevé. Ce frottement statique, qui n'est possible que parce que le point de contact est immobile ($v=0$), est bien plus efficace que le frottement cinétique (de glissement) pour accélérer, freiner et tourner.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse du point I au contact du sol par rapport au sol est de 0 m/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un tank avance à 5 m/s. Quelle est la vitesse, par rapport au sol, du point de la chenille qui est en contact avec le sol ?

Outil Interactif : Explorez le Mouvement

Modifiez la vitesse de la voiture et le rayon de la roue pour voir l'impact sur les vitesses des points P (sommet) et I (contact).

Paramètres d'Entrée

Vitesse Voiture (km/h) 72 km/h

Rayon Roue (cm) 30 cm

Résultats Calculés

Vitesse de rotation (v_P/voiture) -

Vitesse au sommet (v_P/sol) -

Vitesse au contact (v_I/sol) -

Le Saviez-Vous ?

C'est Galilée (1564-1642) qui a été le premier à formuler l'idée qu'en l'absence de frottements, un objet en mouvement continuerait en ligne droite à vitesse constante indéfiniment. Cette idée, contre-intuitive à l'époque, a brisé avec la physique d'Aristote et a jeté les bases du principe d'inertie, qui sera plus tard formalisé par Isaac Newton.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la vitesse n'est pas constante ?

Si la vitesse change (la voiture accélère ou freine), le mouvement n'est plus "uniforme" mais "varié". L'équation horaire devient plus complexe et fait intervenir l'accélération. C'est une notion que vous étudierez plus tard dans votre scolarité.

Pourquoi la position initiale $x_{\text{0}}$ est-elle si importante ?

Elle définit le point de départ du mouvement par rapport à notre repère. Sans elle, on ne peut pas connaître la position absolue de l'objet, seulement la distance qu'il a parcourue depuis le début du chronomètre. Deux voitures peuvent avoir la même vitesse mais des positions très différentes si elles ne sont pas parties du même endroit.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'équation horaire d'un mobile est $x(t) = -10t + 30$. Que peut-on dire de son mouvement ?

Il part de la position -10 m et avance dans le sens positif.
Il part de la position 30 m et se déplace dans le sens négatif.
Il part de la position 30 m et sa vitesse est de 10 km/h.

2. Un objet met 5 secondes pour parcourir 100 mètres à vitesse constante. Sa vitesse est de :

20 km/h
500 m/s
72 km/h

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU): Mouvement d'un objet dont la trajectoire est une ligne droite et dont la vitesse est constante.
Référentiel: Objet ou ensemble d'objets par rapport auquel on décrit le mouvement. Le choix du référentiel est la première étape de toute étude de mouvement.
Équation Horaire: Relation mathématique qui lie la position d'un mobile au temps. Elle permet de calculer la position à n'importe quel instant.

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