Temps et Vitesse pour un Parachutiste
Contexte : La mécanique du vol.
Un parachutiste saute d'un avion à haute altitude. Son mouvement est gouverné par deux forces principales : son poidsLa force de gravité exercée par la Terre sur un objet, dirigée verticalement vers le bas. P = m × g., qui l'attire vers le bas, et la force de frottement de l'airUne force qui s'oppose au mouvement d'un objet dans un fluide (comme l'air). Elle augmente avec la vitesse., qui s'oppose à son mouvement. Nous modéliserons cette chute en deux phases distinctes : la chute "libre" initiale, puis la chute ralentie après l'ouverture du parachute.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'étude classique qui illustre l'application de la deuxième loi de Newton lorsque l'accélération n'est pas constante. Il vous initiera à l'établissement et à la résolution d'une équation différentielle du premier ordre, une compétence fondamentale en physique et dans de nombreuses sciences de l'ingénieur.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton à un mouvement de chute verticale.
- Établir et résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.
- Comprendre et calculer le concept de vitesse limite.
- Analyser l'influence d'un coefficient de frottement sur la dynamique d'un système.
Données de l'étude
Bilan des forces sur le parachutiste
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse totale (parachutiste + équipement) | \(m\) | 90 kg |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 m·s⁻² |
| Coefficient de frottement (Phase 1 : chute libre) | \(k_1\) | 15 kg·s⁻¹ |
| Coefficient de frottement (Phase 2 : parachute ouvert) | \(k_2\) | 120 kg·s⁻¹ |
On modélise la force de frottement de l'air par une force de la forme \(\vec{f} = -k \vec{v}\), où \(k\) est le coefficient de frottement et \(\vec{v}\) le vecteur vitesse.
Questions à traiter
- Phase 1 (Chute "libre") : En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse \(v(t)\) du parachutiste.
- Déterminer l'expression de la vitesse limite \(v_{\text{lim1}}\) durant cette première phase et la calculer.
- Phase 2 (Parachute ouvert) : Le parachute est ouvert. Établir la nouvelle équation différentielle du mouvement.
- Calculer la nouvelle vitesse limite \(v_{\text{lim2}}\) que le parachutiste atteint.
- Comparer les deux vitesses limites. Conclure sur l'utilité du parachute pour garantir une arrivée au sol en toute sécurité (on considère une vitesse d'impact sûre si elle est inférieure à 10 m/s).
Les bases sur la Mécanique Newtonienne
1. La Deuxième Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
Où \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\). Cette loi est la pierre angulaire de la mécanique classique.
2. Équation Différentielle Linéaire du Premier Ordre
Une équation de la forme \(y' + Ay = B\) (où A et B sont des constantes) admet une solution de la forme \(y(t) = C \cdot e^{-At} + \frac{B}{A}\). La constante \(C\) est déterminée à l'aide des conditions initiales du problème (par exemple, la valeur de \(y\) à \(t=0\)).
Correction : Temps et Vitesse pour un Parachutiste
Question 1 : Équation différentielle en phase 1
Principe
Pour trouver l'équation qui décrit l'évolution de la vitesse au cours du temps, nous utilisons la loi la plus fondamentale de la dynamique : la deuxième loi de Newton. Elle relie les causes du mouvement (les forces) à ses effets (l'accélération).
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton, ou Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), stipule que l'accélération \(\vec{a}\) d'un corps est directement proportionnelle à la somme des forces \(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\) qui lui sont appliquées, et inversement proportionnelle à sa masse \(m\). Comme l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\(\vec{a} = d\vec{v}/dt\)), cette loi mène naturellement à une équation différentielle lorsque les forces dépendent de la vitesse.
Remarque Pédagogique
La méthode est toujours la même : 1. Définir le système. 2. Choisir un référentiel (galiléen !). 3. Faire le bilan des forces extérieures. 4. Projeter la loi de Newton sur un axe bien choisi. Ne sautez jamais une étape !
Normes
Dans le cadre de la physique du programme de Terminale, la "norme" est d'appliquer les lois de Newton dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen pour des durées de chute courtes, et de modéliser le système comme un point matériel.
Formule(s)
Principe Fondamental de la Dynamique
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par les hypothèses suivantes :
- Le système {parachutiste + équipement} est assimilé à un point matériel.
- Le référentiel terrestre est supposé galiléen.
- La poussée d'Archimède est négligée devant le poids et les frottements.
- La force de frottement est modélisée par \(\vec{f} = -k_1 \vec{v}\).
Donnée(s)
Pour cette question, nous n'avons pas besoin de valeurs numériques, seulement des expressions littérales des forces.
| Force | Expression vectorielle | Projection sur \((Oz)\) |
|---|---|---|
| Poids | \(\vec{P} = m\vec{g}\) | \(P_z = mg\) |
| Frottement | \(\vec{f} = -k_1\vec{v}\) | \(f_z = -k_1 v\) |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma du bilan des forces est crucial pour correctement projeter les vecteurs.
Bilan des forces sur le parachutiste
Calcul(s)
Application de la deuxième loi de Newton
Projection sur l'axe \((Oz)\)
Substitution des expressions des forces
Schéma (Après les calculs)
L'équation différentielle nous informe sur l'évolution de l'accélération en fonction de la vitesse. Ce graphique illustre cette relation linéaire décroissante.
Accélération en fonction de la Vitesse (Phase 1)
Réflexions
L'équation \(\frac{dv}{dt} = g - \frac{k_1}{m}v\) montre que l'accélération n'est pas constante. Au début (\(v=0\)), elle vaut \(g\). Puis, à mesure que la vitesse augmente, le terme de frottement \(\frac{k_1}{m}v\) augmente, ce qui diminue l'accélération. L'accélération tendra vers zéro sans jamais l'atteindre (asymptotiquement).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une erreur de signe lors de la projection. Le poids \(\vec{P}\) est dans le même sens que l'axe \((Oz)\), sa projection est donc positive (\(+mg\)). La force de frottement \(\vec{f}\) est opposée au mouvement (donc au sens de l'axe), sa projection est négative (\(-k_1v\)).
Points à retenir
Pour un mouvement avec frottements fluides proportionnels à la vitesse, l'application du PFD mène toujours à une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme \(\frac{dv}{dt} + A v = B\).
Le saviez-vous ?
Le modèle de frottement en \(-k\vec{v}\) est une simplification valable pour les faibles vitesses (régime laminaire). Pour les vitesses plus élevées, comme en chute libre, un modèle en \(-k'v^2\vec{v}/v\) (régime turbulent) est souvent plus réaliste, mais il mène à une équation différentielle plus complexe.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'équation différentielle si l'axe \((Oz)\) était orienté vers le haut ?
Question 2 : Vitesse limite en phase 1
Principe
La vitesse limite est un concept d'équilibre dynamique. C'est la vitesse constante atteinte lorsque la force motrice (le poids) est parfaitement compensée par la force de résistance (le frottement de l'air). À cet instant, la somme des forces est nulle, et donc l'accélération est nulle.
Mini-Cours
Mathématiquement, la vitesse limite est la limite de la fonction vitesse \(v(t)\) lorsque \(t \to \infty\). Physiquement, cela correspond au régime permanent où la vitesse ne varie plus. Dans l'équation différentielle \(\frac{dv}{dt} + \frac{k_1}{m} v = g\), lorsque \(t \to \infty\), la vitesse devient constante (\(v \to v_{\text{lim1}}\)), donc sa dérivée \(\frac{dv}{dt}\) tend vers 0.
Remarque Pédagogique
Pour trouver une vitesse limite, il suffit de prendre l'équation différentielle et d'y annuler le terme de la dérivée (l'accélération). C'est une méthode rapide et efficace.
Formule(s)
Condition de la vitesse limite
Hypothèses
Les hypothèses du mouvement restent inchangées. On se place dans le cas particulier où le régime permanent est atteint.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs numériques fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse totale | \(m\) | 90 | kg |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | m·s⁻² |
| Coefficient de frottement | \(k_1\) | 15 | kg·s⁻¹ |
Astuces
Physiquement, la vitesse limite est atteinte quand les forces se compensent : Poids = Frottement. Donc \(mg = k_1 v_{\text{lim1}}\), ce qui mène directement au résultat sans passer par l'équation différentielle complète.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'équilibre des forces lorsque la vitesse limite est atteinte. Les vecteurs Poids et Frottement ont la même longueur, indiquant que leur somme est nulle.
Bilan des forces à la vitesse limite (a=0)
Calcul(s)
Expression littérale de la vitesse limite
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Ce graphique montre l'évolution de la vitesse au cours du temps. Elle part de 0 et tend asymptotiquement vers la vitesse limite calculée.
Évolution de la vitesse (Phase 1)
Réflexions
Une vitesse de 58,86 m/s correspond à 211,9 km/h. C'est une vitesse extrêmement élevée, typique d'un parachutiste en chute libre. Cette vitesse est clairement non viable pour un atterrissage.
Points de vigilance
Attention à ne pas faire d'erreur d'unité. Toutes les données sont dans le Système International (kg, m, s), le résultat est donc naturellement en m/s. Pensez à vérifier la cohérence des unités de votre formule : \([v] = \frac{[m][g]}{[k]} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}}{\text{kg} \cdot \text{s}^{-1}} = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\). C'est correct !
Points à retenir
La vitesse limite est proportionnelle à la masse du corps et inversement proportionnelle au coefficient de frottement. C'est pourquoi un objet plus lourd ou plus aérodynamique tombe plus vite.
Le saviez-vous ?
La vitesse terminale d'un chat est d'environ 100 km/h. Grâce à leur flexibilité et leur capacité à s'orienter pour maximiser la surface de frottement, ils ont un taux de survie étonnamment élevé lors de chutes de grande hauteur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre parachutiste plus léger (m = 75 kg) mais avec le même équipement (\(k_1 = 15\) kg/s) saute. Quelle sera sa vitesse limite en m/s (arrondir à 2 décimales) ?
Question 3 : Équation différentielle en phase 2
Principe
La physique fondamentale ne change pas. On applique à nouveau la deuxième loi de Newton, mais en tenant compte du changement de condition physique : l'ouverture du parachute, qui se traduit par un nouveau coefficient de frottement, \(k_2\).
Mini-Cours
L'efficacité d'un parachute réside dans sa capacité à augmenter la surface frontale du système en chute, ce qui maximise la résistance de l'air. Le coefficient de frottement \(k\) est directement lié à cette surface et à la forme de l'objet. En passant de \(k_1\) à \(k_2\), on modifie le point d'équilibre entre le poids et les frottements.
Remarque Pédagogique
Cette question montre comment un même modèle physique peut s'adapter à différentes phases d'un mouvement. La structure de l'équation reste la même, ce qui est un signe de la robustesse du modèle. Seul un paramètre change.
Normes
Le cadre d'application des lois de la physique reste inchangé.
Formule(s)
Principe Fondamental de la Dynamique
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la phase 1, mais la force de frottement devient \(\vec{f} = -k_2 \vec{v}\).
Donnée(s)
La seule donnée qui change par rapport à la Question 1 est le coefficient de frottement.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de frottement (parachute ouvert) | \(k_2\) | 120 | kg·s⁻¹ |
Astuces
Puisque la méthode est identique à la question 1, on peut directement reprendre le résultat final de la Q1 et simplement remplacer l'indice '1' par '2'.
Schéma (Avant les calculs)
Le bilan des forces est conceptuellement le même, mais la norme du vecteur frottement \(\vec{f}\) est maintenant beaucoup plus grande pour une même vitesse.
Bilan des forces (Phase 2)
Calcul(s)
Application de la deuxième loi de Newton
Projection sur l'axe \((Oz)\)
Substitution des expressions des forces (avec \(k_2\))
Schéma (Après les calculs)
Comme pour la phase 1, l'accélération diminue linéairement avec la vitesse, mais la pente de cette diminution est beaucoup plus forte, car \(k_2\) est bien plus grand que \(k_1\).
Accélération en fonction de la Vitesse (Phase 2)
Points de vigilance
Il est crucial de bien identifier quel paramètre change entre les deux phases. Ici, c'est le frottement. La masse \(m\) et l'accélération de la pesanteur \(g\) restent constantes tout au long du mouvement.
Points à retenir
La physique d'un problème peut être décomposée en plusieurs phases si les conditions changent. La méthode d'analyse reste la même, mais les paramètres d'entrée sont mis à jour.
Le saviez-vous ?
Les parachutes de type "drogue" sont de petits parachutes utilisés pour ralentir des objets très rapides comme des navettes spatiales lors de leur atterrissage ou des voitures de dragster, avant de déployer le parachute principal.
FAQ
Résultat Final
Question 4 : Vitesse limite en phase 2
Principe
Comme pour la première phase, la nouvelle vitesse limite \(v_{\text{lim2}}\) est atteinte lorsque le système atteint un nouvel état d'équilibre, c'est-à-dire lorsque l'accélération redevient nulle après la forte décélération due à l'ouverture du parachute.
Mini-Cours
L'ouverture du parachute augmente drastiquement le coefficient \(k\). Selon la relation \(v_{\text{lim}} = mg/k\), une augmentation de \(k\) (le dénominateur) à \(m\) et \(g\) constants entraîne une diminution de la vitesse limite. C'est le principe même du freinage aérodynamique.
Remarque Pédagogique
Le calcul est une simple application numérique, mais il est important de comprendre le sens physique : on cherche la nouvelle vitesse pour laquelle le poids est à nouveau équilibré par une force de frottement devenue beaucoup plus efficace.
Normes
Aucune norme spécifique n'est requise pour ce calcul, il s'agit d'une application directe des principes de la physique.
Formule(s)
Expression de la vitesse limite
Hypothèses
Les hypothèses du mouvement restent inchangées, nous sommes simplement dans une nouvelle phase du même phénomène.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs numériques avec le nouveau coefficient de frottement.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse totale | \(m\) | 90 | kg |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | m·s⁻² |
| Coefficient de frottement | \(k_2\) | 120 | kg·s⁻¹ |
Astuces
Avant de calculer, on peut faire une estimation. \(k_2\) est 8 fois plus grand que \(k_1\) (\(120/15 = 8\)). La vitesse limite devrait donc être environ 8 fois plus petite. \(58.9 / 8 \approx 7.4\). Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'équilibre des forces lorsque la nouvelle vitesse limite est atteinte. Les vecteurs Poids et Frottement ont de nouveau la même longueur.
Bilan des forces à la vitesse limite (Phase 2)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le graphique ci-dessous illustre la transition entre les deux régimes. La courbe rouge montre la vitesse durant les deux phases, avec une ouverture du parachute simulée à t=15s. La ligne pointillée verte représente la vitesse limite de sécurité (10 m/s).
Évolution de la vitesse du parachutiste
Réflexions
La nouvelle vitesse limite, \(v_{\text{lim2}} \approx 7,36\) m/s, correspond à environ 26,5 km/h. C'est une vitesse comparable à celle d'un sprint, ce qui rend l'atterrissage gérable et sûr, contrairement à la vitesse de 212 km/h de la phase 1.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser le bon coefficient de frottement (\(k_2\)) pour cette phase. Une erreur fréquente est de continuer les calculs avec \(k_1\).
Points à retenir
Le changement d'un seul paramètre physique (ici, \(k\)) peut radicalement modifier le comportement d'un système et son état d'équilibre final.
Le saviez-vous ?
Les parachutes de compétition modernes sont conçus pour avoir un coefficient de frottement juste assez grand pour la sécurité, mais assez petit pour permettre des vitesses horizontales élevées (plus de 100 km/h) et des atterrissages spectaculaires en "swooping" (longue glissade au ras du sol).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour garantir une vitesse d'atterrissage encore plus douce de 5 m/s, quel devrait être le coefficient de frottement \(k_2\) (en kg/s) pour ce même parachutiste ?
Question 5 : Conclusion sur l'utilité du parachute
Principe
Cette question est une analyse comparative. Il s'agit de mettre en perspective les résultats numériques des deux phases de la chute par rapport à un critère de sécurité concret pour en déduire l'efficacité et la nécessité du parachute.
Mini-Cours
En ingénierie de la sécurité, on compare toujours la "sollicitation" (ici, la vitesse d'impact) à la "résistance" (ici, la vitesse maximale supportable). Un système est considéré comme sûr si la résistance est supérieure à la sollicitation, idéalement avec une marge de sécurité.
Remarque Pédagogique
Un résultat numérique seul a peu de sens. C'est sa comparaison avec une valeur de référence (une norme, un critère, une autre situation) qui lui donne toute sa signification. C'est le cœur du métier d'ingénieur.
Normes
La "norme" à respecter dans cette question est le critère de sécurité imposé par l'énoncé : une vitesse d'impact inférieure à 10 m/s.
Formule(s)
Il n'y a pas de nouvelle formule, seulement la comparaison des valeurs calculées.
Hypothèses
Nous supposons que le parachutiste atteint effectivement sa vitesse limite avant de toucher le sol et que le critère de 10 m/s est un seuil de sécurité valide.
Donnée(s)
Nous comparons les deux vitesses limites calculées au critère de sécurité donné.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Vitesse limite 1 (\(v_{\text{lim1}}\)) | \( \approx 58,9\) m/s |
| Vitesse limite 2 (\(v_{\text{lim2}}\)) | \( \approx 7,4\) m/s |
| Critère de sécurité | Vitesse d'impact \(< 10\) m/s |
Astuces
Calculer le rapport \(v_{\text{lim1}} / v_{\text{lim2}}\) permet de quantifier rapidement le gain en sécurité. Un rapport de 8 signifie que le parachute a rendu la chute 8 fois moins rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma compare les deux situations physiques. La différence fondamentale est la taille du parachute, qui entraîne une force de frottement beaucoup plus importante dans le deuxième cas.
Comparaison des deux phases de chute
Calcul(s)
Comparaison au seuil de sécurité (Phase 1)
Comparaison au seuil de sécurité (Phase 2)
Calcul du facteur de réduction de vitesse
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme à barres ci-dessous compare visuellement les vitesses limites des deux phases au seuil de sécurité, mettant en évidence l'efficacité du parachute.
Comparaison des Vitesses Limites
Réflexions
La conclusion est sans appel. La chute sans parachute conduit à une vitesse d'impact près de 6 fois supérieure à la limite de sécurité, ce qui serait fatal. L'ouverture du parachute, en augmentant le coefficient de frottement par un facteur 8 (de 15 à 120 kg/s), divise la vitesse limite par ce même facteur 8, la ramenant sous le seuil de sécurité. Le parachute remplit donc parfaitement sa fonction.
Points de vigilance
Ne vous contentez pas de dire "c'est plus grand" ou "c'est plus petit". Quantifiez la différence (par exemple, "6 fois supérieur", "inférieur de 26%") pour donner de la force à votre conclusion.
Points à retenir
L'utilité d'un dispositif de sécurité (comme un parachute, un airbag ou une ceinture de sécurité) est souvent d'augmenter les frottements ou de prolonger la durée d'une décélération pour réduire les forces et les vitesses à des niveaux supportables par le corps humain.
Le saviez-vous ?
Léonard de Vinci a dessiné un des premiers concepts de parachute vers 1485. Sa conception, une pyramide de toile, était remarquablement visionnaire. En 2000, le parachutiste Adrian Nicholas a testé avec succès une réplique construite uniquement avec les matériaux disponibles à l'époque de Vinci.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le parachute de l'exercice (\(k_2=120\) kg/s), quelle est la masse maximale (en kg) qu'un parachutiste peut avoir pour atterrir en sécurité (v < 10 m/s) ?
Outil Interactif : Simulateur de Vitesse d'Atterrissage
Utilisez les curseurs pour faire varier la masse du parachutiste et l'efficacité de son parachute (représentée par le coefficient de frottement \(k_2\)). Observez comment ces paramètres influencent la vitesse d'atterrissage finale.
Paramètres d'Entrée
Vitesse d'Atterrissage
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lorsque la vitesse limite est atteinte, que vaut l'accélération du parachutiste ?
2. Si la masse du parachutiste augmente, sa vitesse limite :
3. L'équation différentielle du mouvement est établie à partir de :
4. La solution de l'équation différentielle pour la vitesse \(v(t)\) est une fonction :
5. L'ouverture du parachute a pour effet principal :
- Vitesse Limite
- Vitesse maximale atteinte par un objet en chute dans un fluide, lorsque la force de frottement compense exactement le poids. L'accélération devient alors nulle et la vitesse constante.
- Force de Frottement Fluide
- Force qui s'oppose au mouvement d'un objet se déplaçant dans un fluide (liquide ou gaz). Son intensité dépend de la vitesse de l'objet, de sa forme et de la nature du fluide.
- Équation Différentielle
- Relation mathématique qui lie une fonction à ses dérivées. En physique, elles permettent de décrire l'évolution temporelle d'un système.
- Deuxième Loi de Newton
- Aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique, elle énonce que l'accélération d'un objet est proportionnelle à la somme des forces qui s'exercent sur lui.
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