Puissance lors d'une montée d'escalier

Une personne de 60 kg monte un escalier de 15 mètres de haut en 10 secondes.

Données

Masse de la personne (\(m\)) : 60 kg
Hauteur de l’escalier (\(h\)) : 15 m
Temps pour monter l’escalier (\(t\)) : 10 s
Accélération due à la gravité (\(g\)) : 9,81 m/s²

Questions

Calcul du travail réalisé : Calculez le travail (\(W\)) réalisé par cette personne pour monter l’escalier.
Calcul de la puissance développée : Calculez la puissance (\(P\)) développée par cette personne lors de la montée.

Correction : Puissance lors d’une montée d’escalier

1. Calcul du Travail Réalisé (\(W\))

Le travail réalisé par la personne pour monter l'escalier correspond au travail effectué contre la force de gravité. Cette force est égale au poids de la personne (\(Poids = m \times g\)). Le travail (\(W\)) est le produit de cette force par le déplacement vertical (\(h\)). La formule du travail contre la gravité est : \(W = Poids \times h = m \times g \times h\). Le travail est exprimé en Joules (J).

Données pour cette étape

Masse (\(m\)) = 60 kg
Gravité (\(g\)) = 9,81 m/s²
Hauteur (\(h\)) = 15 m

Calcul

\begin{aligned} W &= m \times g \times h \\ W &= (60 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (15 \, \text{m}) \\ W &= 588.6 \, \text{N} \times 15 \, \text{m} \\ W &= 8829 \, \text{J} \end{aligned}

Note : \(1 \, \text{kg} \times \text{m/s}^2 = 1 \, \text{Newton (N)}\) et \(1 \, \text{N} \times \text{m} = 1 \, \text{Joule (J)}\).

Résultat

Le travail réalisé par la personne est \(W = 8829 \, \text{J}\).

2. Calcul de la Puissance Développée (\(P\))

La puissance (\(P\)) est le taux auquel le travail est effectué, c'est-à-dire le travail réalisé par unité de temps. Elle est calculée en divisant le travail (\(W\)) par le temps (\(t\)) mis pour l'accomplir. La formule de la puissance est : \(P = \frac{W}{t}\). La puissance est exprimée en Watts (W), où \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\).

Données pour cette étape

Travail (\(W\)) = 8829 J (calculé à l'étape 1)
Temps (\(t\)) = 10 s

Calcul

\begin{aligned} P &= \frac{W}{t} \\ P &= \frac{8829 \, \text{J}}{10 \, \text{s}} \\ P &= 882.9 \, \text{J/s} \\ P &= 882.9 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat

La puissance développée par la personne est \(P = 882.9 \, \text{W}\).

À titre de comparaison, un cheval-vapeur (hp) équivaut à environ 746 W. La personne développe donc un peu plus d'un cheval-vapeur pendant cette montée rapide.