Puissance lors d’une montée d’escalier
Contexte : Qu'est-ce que la puissance en physique ?
En physique, la puissanceGrandeur physique qui mesure la rapidité avec laquelle un travail est fourni ou une énergie est transférée. Son unité est le Watt (W). n'est pas une question de force brute, mais de rapidité. Deux personnes peuvent soulever la même charge (fournir le même travailEn physique, le travail est l'énergie fournie par une force lorsque son point d'application se déplace. Son unité est le Joule (J).), mais celle qui le fait le plus vite est la plus "puissante". Monter un escalier est un exemple parfait : il faut fournir un travail pour vaincre la force de gravité (le poidsForce de gravitation exercée par la Terre sur un objet. Il se calcule par P = m × g et s'exprime en Newtons (N).). Le faire en courant demande plus de puissance que de le faire en marchant, car on fournit la même énergie en moins de temps.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer le travail du poids, une forme d'énergie, puis à calculer la puissance développée pour effectuer ce travail en un temps donné. Vous verrez comment ces deux notions, travail et puissance, sont intimement liées.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le poids d'un objet à partir de sa masse.
- Calculer le travail du poids lors d'un déplacement vertical.
- Appliquer la formule de la puissance en fonction du travail et du temps.
- Comprendre la différence entre travail (énergie) et puissance (débit d'énergie).
- Manipuler les unités du Système International : Newton, Joule, Seconde, Watt.
Données de l'étude
Schéma de la situation
- Intensité de la pesanteur terrestre : \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\).
- Formule du poids : \(P = m \times g\).
- Formule du travail du poids (lors d'une montée) : \(W(P) = -P \times h\). Le travail de la force exercée par l'élève pour monter est l'opposé du travail du poids, soit \(W_{\text{élève}} = P \times h\).
- Formule de la puissance moyenne : \(\mathcal{P} = \frac{W}{t}\).
Questions à traiter
- Calculer le poids \(P\) de l'élève.
- Calculer le travail \(W_{\text{élève}}\) fourni par l'élève pour vaincre son propre poids et monter l'escalier.
- Calculer la puissance moyenne \(\mathcal{P}\) développée par l'élève pendant la montée.
Correction : Puissance lors d’une montée d’escalier
Question 1 : Calculer le poids P de l'élève
Principe avec image animée (le concept physique)
Le poidsForce de gravitation exercée par un astre (comme la Terre) sur un objet. Son unité est le Newton (N). d'un objet est la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur lui. Il ne faut pas le confondre avec la masseQuantité de matière d'un objet. Elle est invariable et son unité est le kilogramme (kg)., qui représente la quantité de matière de l'objet. Le poids est une force, dirigée vers le centre de la Terre, et se calcule en multipliant la masse de l'objet par l'intensité de la pesanteur, notée \(g\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'intensité de la pesanteur \(g\) n'est pas une constante universelle. Sa valeur de \(9,8 \, \text{N/kg}\) est une moyenne à la surface de la Terre. Elle varie légèrement avec l'altitude (elle diminue si on monte) et la latitude. Sur la Lune, \(g\) vaut environ \(1,6 \, \text{N/kg}\). Un objet a donc la même masse sur la Terre et sur la Lune, mais son poids y est environ 6 fois plus faible.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La masse doit toujours être en kilogrammes (\(\text{kg}\)) pour que le poids calculé soit en Newtons (\(\text{N}\)). C'est une erreur fréquente si la masse est donnée en grammes.
Normes (la référence réglementaire)
Le NewtonUnité de force du Système International (N). 1 N est la force nécessaire pour accélérer une masse de 1 kg à 1 m/s². (N) et le kilogrammeUnité de masse du Système International (kg). C'est l'une des sept unités de base du SI. (kg) sont des unités de base ou dérivées du Système International (SI). La relation \(P=m \times g\) est une application de la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) dans le cas particulier de la gravité.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère que l'intensité de la pesanteur \(g\) est constante sur toute la hauteur de l'escalier, ce qui est une excellente approximation pour une si faible variation d'altitude.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse de l'élève : \(m = 60 \, \text{kg}\)
- Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'élève, qui a une masse de 60 kg, est attiré vers le bas par la Terre avec une force de 588 Newtons. C'est cette force qu'il devra constamment vaincre pour pouvoir s'élever en montant les escaliers.
Point à retenir
Le poids de l'élève est une force de \(588 \, \text{N}\). C'est la valeur de la force contre laquelle l'élève doit lutter.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul du poids est indispensable pour pouvoir calculer le travail. Le travail d'une force dépend de la valeur de cette force. Sans connaître le poids, on ne peut pas savoir quelle énergie est nécessaire pour le vaincre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais confondre masse (en kg) et poids (en N). Ce sont deux grandeurs différentes ! On "pèse" une masse sur une balance, mais le résultat est bien une masse en kg. Le poids est une force.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 2 : Calculer le travail W fourni par l'élève
Principe avec image animée (le concept physique)
Le travailEn physique, le travail est l'énergie fournie par une force lorsque son point d'application se déplace. Son unité est le Joule (J). d'une force est l'énergie fournie par cette force lors d'un déplacement. Pour monter, l'élève doit exercer une force vers le haut, au moins égale à son propre poids, sur une distance verticale \(h\). Le travail qu'il fournit correspond à l'énergie qu'il dépense pour s'élever. Ce travail est dit "moteur" car il aide au mouvement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le travail du poids, lui, est \(W(P) = -P \times h\) lors d'une montée. Le signe "moins" signifie que le poids s'oppose au mouvement : c'est un travail "résistant". La force exercée par l'élève est l'opposée du poids (\(\vec{F}_{\text{élève}} = -\vec{P}\)), elle est donc dans le sens du mouvement. Son travail est positif : \(W_{\text{élève}} = P \times h\). C'est cette énergie que le corps de l'élève doit fournir.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le travail ne dépend que du déplacement vertical (la hauteur \(h\)). Que l'escalier soit très raide ou très long et peu incliné, si la hauteur finale est la même, le travail fourni contre le poids est identique !
Normes (la référence réglementaire)
Le JouleUnité d'énergie et de travail du Système International (J). 1 Joule est le travail effectué par une force de 1 Newton dont le point d'application se déplace de 1 mètre. (J) est l'unité d'énergie et de travail du Système International. 1 Joule correspond au travail d'une force de 1 Newton se déplaçant sur 1 mètre.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la montée se fait à vitesse constante. S'il y avait une accélération, l'élève devrait fournir un travail supplémentaire pour augmenter son énergie cinétique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Poids de l'élève : \(P = 588 \, \text{N}\)
- Hauteur de la montée : \(h = 4,5 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'élève a dû fournir une énergie de 2646 Joules pour monter l'escalier. Pour avoir un ordre de grandeur, c'est à peu près l'énergie nécessaire pour soulever une bouteille d'eau de 1,5 L à une hauteur de 180 mètres !
Point à retenir
Le travail fourni par l'élève, qui correspond à l'énergie dépensée pour vaincre la gravité, est de \(2646 \, \text{J}\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul du travail est l'étape intermédiaire entre la force et la puissance. La puissance étant un débit de travail (une quantité de travail par seconde), il est indispensable de calculer d'abord la quantité totale de travail fournie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention au signe du travail. Le travail du poids est résistant (négatif) à la montée, mais le travail de la force de l'élève est moteur (positif). Il faut bien lire la question pour savoir quel travail on demande de calculer.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 3 : Calculer la puissance moyenne P développée par l'élève
Principe avec image animée (le concept physique)
La puissance est le "débit" d'énergie. Elle nous dit combien de Joules sont fournis chaque seconde. Pour la calculer, on prend l'énergie totale fournie (le travail \(W\)) et on la divise par la durée de l'effort (\(t\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'unité de puissance est le WattUnité de puissance du Système International (W). 1 Watt correspond à un travail de 1 Joule effectué en 1 seconde (1 W = 1 J/s). (W), en l'honneur de l'ingénieur James Watt. Un Watt correspond à un Joule par seconde (\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\)). Dans la vie courante, on utilise souvent ses multiples comme le kilowatt (kW = 1000 W) pour la puissance électrique, ou le cheval-vapeur (1 ch \(\approx\) 736 W) pour les moteurs de voiture.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Comprenez bien la différence : le travail (\(W\)) est une quantité d'énergie (en Joules), la puissance (\(\mathcal{P}\)) est la vitesse à laquelle cette énergie est dépensée (en Joules par seconde, c'est-à-dire en Watts).
Normes (la référence réglementaire)
Le Watt (W) est l'unité de puissance du Système International. Il est défini comme un Joule par seconde.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On calcule une puissance *moyenne* sur l'ensemble de la montée. En réalité, la puissance instantanée de l'élève a pu varier (démarrage, ralentissement à l'arrivée...).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Travail fourni : \(W_{\text{élève}} = 2646 \, \text{J}\)
- Temps de la montée : \(t = 9,0 \, \text{s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'élève a développé une puissance moyenne de 294 Watts. C'est une puissance respectable pour un effort bref. À titre de comparaison, un cycliste professionnel peut maintenir une puissance de plus de 400 W pendant une heure, mais monter un escalier est un effort plus intense et explosif.
Point à retenir
La puissance moyenne développée par l'élève est de \(294 \, \text{W}\). C'est le résultat final qui quantifie l'intensité de son effort.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de la puissance permet de comparer des efforts. Si un autre élève avait monté le même escalier (même travail) en 12 secondes, sa puissance aurait été plus faible. La puissance est donc une meilleure mesure de la "performance" sportive que le travail seul.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que le travail est en Joules et le temps en secondes pour obtenir une puissance en Watts. Ne divisez pas le poids par le temps, c'est bien le travail (Énergie) qui doit être divisé par le temps.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Mini Fiche Mémo : L'essentiel à retenir
Formules Clés :
- Poids : \( P = m \times g \)
- Travail (pour monter) : \( W = P \times h \)
- Puissance : \( \mathcal{P} = \frac{W}{t} \)
Unités du Système International (SI) :
- Masse (m) en kilogrammes (kg)
- Poids (P) et Force (F) en Newtons (N)
- Hauteur (h) en mètres (m)
- Travail (W) et Énergie en Joules (J)
- Temps (t) en secondes (s)
- Puissance (\(\mathcal{P}\)) en Watts (W)
Outil Interactif : Calculateur de Puissance
Modifiez la masse, la hauteur et le temps pour voir leur influence sur la puissance développée.
Paramètres de la Montée
Résultats Calculés
Pour Aller Plus Loin : Puissance et Vitesse
Lien entre Puissance et Vitesse : On peut combiner les formules. Comme \(W = F \times d\) et \(v = d/t\), on peut écrire \( \mathcal{P} = \frac{F \times d}{t} = F \times \frac{d}{t} \), ce qui donne la relation importante : \( \mathcal{P} = F \times v \). La puissance est égale au produit de la force par la vitesse. C'est très utile pour comprendre la puissance nécessaire pour maintenir un véhicule à une certaine vitesse contre les forces de frottement.
Le Saviez-Vous ?
La fusée Saturn V, qui a envoyé les astronautes sur la Lune, est la machine la plus puissante jamais construite par l'Homme. Au décollage, ses moteurs développaient une puissance d'environ 190 Gigawatts (190 milliards de Watts), soit plus que la puissance électrique consommée par toute la France à un instant donné !
Foire Aux Questions (FAQ)
Est-ce que le travail dépend du chemin suivi ?
Pour la force de pesanteur, non ! Le travail du poids ne dépend que de l'altitude de départ et d'arrivée, pas du chemin. Que vous montiez par un escalier, une échelle ou un ascenseur, le travail pour vaincre la gravité est le même. On dit que le poids est une force "conservative".
Et les forces de frottement ?
Dans un cas réel, l'élève doit aussi fournir un travail pour vaincre les frottements de l'air et les frottements internes à son corps. Notre calcul ne prend en compte que la puissance minimale nécessaire pour lutter contre la gravité. La puissance réelle dépensée par l'élève est donc légèrement supérieure.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si une personne monte le même escalier (même travail) mais en deux fois moins de temps, sa puissance est :
2. Le travail et la puissance s'expriment respectivement en :
- Force (F)
- Action mécanique capable de déformer un objet ou de modifier son mouvement. Son unité est le Newton (N).
- Poids (P)
- Force de gravitation exercée par un astre (comme la Terre) sur un objet. Il se calcule par \(P = m \times g\) et s'exprime en Newtons (N).
- Travail (W)
- Énergie transférée par une force lorsque son point d'application se déplace. Son unité est le Joule (J).
- Puissance (\(\mathcal{P}\))
- Rapidité avec laquelle un travail est effectué ou une énergie est transférée. C'est un débit d'énergie. Son unité est le Watt (W), où \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\).
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