Propagation d'un signal : vitesse et retard

Contexte : Le SonarTechnique utilisant la propagation des ondes sonores dans l'eau pour détecter des objets (obstacles, fonds marins, autres navires). et la mesure de distances.

Un sous-marin en plongée utilise son sonar pour naviguer en toute sécurité. Il envoie une très courte impulsion sonore (un "ping") et écoute son échoOnde sonore réfléchie qui revient à son point d'émission. après qu'elle a frappé un obstacle. Le temps que met l'écho à revenir permet de calculer la distance de l'obstacle. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de base utilisé par les opérateurs sonar.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la relation fondamentale entre la vitesse, la distance et la durée dans un cas concret. Vous apprendrez à gérer la notion de "retard" et à faire attention à la distance parcourue (un aller-retour !).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et savoir utiliser la relation entre la vitesse, la distance et la durée (\(v = d/t\)).
Faire la distinction entre la distance à un objet et la distance totale parcourue par un écho.
Calculer une distance à partir de la vitesse d'un signal et d'un retard (délai).
Calculer un temps de retard à partir d'une distance et d'une vitesse.

Données de l'étude

Un sous-marin navigue dans l'océan. Il émet un "ping" sonar pour détecter une épave située droit devant lui.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de signal	Onde sonore (ultrasons)
Milieu de propagation	Eau de mer
Température de l'eau	15°C

Schéma de la situation

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Vitesse du son (\(v\))	Aussi appelée "célérité" dans l'eau.	1500	m/s
Temps de retard (\(t\))	Temps mesuré entre l'émission et la réception de l'écho.	1.2	s

Questions à traiter

Quelle est la formule mathématique qui lie la vitesse (\(v\)), la distance parcourue (\(d\)) et la durée du parcours (\(t\)) ?
Le temps mesuré \(t = 1.2\) s correspond-il à la distance entre le sous-marin et l'épave ? Expliquez ce que représente ce temps.
Calculez la distance totale (notée \(D_{\text{total}}\)) parcourue par l'onde sonore pendant ces 1.2 secondes.
En déduire la distance (notée \(d\)) entre le sous-marin et l'épave.
Plus tard, le sous-marin détecte une autre épave à une distance \(d = 1800\) m. Quel sera le temps de retard \(t\) mesuré par le sonar (en supposant que la vitesse du son est toujours de 1500 m/s) ?

Les bases sur la Propagation d'un Signal

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de comprendre comment un signal (comme le son) se déplace dans un milieu (comme l'eau) à une vitesse constante.

1. Relation Vitesse, Distance, Durée
La vitesse (\(v\)) d'un objet ou d'une onde qui se déplace à vitesse constante est définie comme la distance (\(d\)) qu'il parcourt divisée par la durée (\(t\)) que cela lui prend. \[ v = \frac{d}{t} \] À partir de cette formule, on peut aussi exprimer :

La distance : \(d = v \times t\)
Le temps : \(t = \frac{d}{v}\)

2. Notion de Retard et d'Écho
Un échoOnde sonore réfléchie qui revient à son point d'émission. est le son que l'on entend lorsque l'onde sonore originale se réfléchit sur un obstacle et revient à nos oreilles (ou au détecteur du sonar).
Le temps mesuré (le retardTemps mesuré entre l'émission d'un signal et sa réception (ici, de l'écho).) n'est pas le temps pour un "aller simple", mais le temps pour un "aller-retour".
Distance totale parcourue = Distance (Aller) + Distance (Retour).

Correction : Propagation d’un signal : Vitesse et Retard

Question 1 : Quelle est la formule mathématique qui lie la vitesse (\(v\)), la distance parcourue (\(d\)) et la durée du parcours (\(t\)) ?

Principe

Cette question fondamentale vérifie votre compréhension de la relation la plus basique en physique du mouvement. La vitesse n'est pas juste un nombre, c'est un *taux* : elle décrit comment une quantité (la distance) change par rapport à une autre (le temps). Nous cherchons à formaliser cette idée simple en une équation mathématique universelle qui lie ces trois grandeurs.

Mini-Cours

En physique, pour un mouvement à vitesse constante (dit 'uniforme'), la vitesse (\(v\)) est définie comme le rapport de la distance parcourue (\(d\)) sur la durée du parcours (\(t\)).
Le 'triangle magique' est un moyen mnémotechnique visuel pour retenir les 3 formes de la relation. Imaginez un triangle divisé en trois : la distance \(d\) est au sommet ; la vitesse \(v\) et le temps \(t\) sont à la base. En masquant avec votre doigt la grandeur que vous cherchez, les deux autres vous donnent l'opération :

Cachez \(d\) : il reste \(v \times t\). Donc \(d = v \times t\).
Cachez \(v\) : il reste \(d / t\). Donc \(v = d/t\).
Cachez \(t\) : il reste \(d / v\). Donc \(t = d/v\).

Remarque Pédagogique

Prenez un instant pour bien mémoriser cette formule, car elle est le pilier de tout ce chapitre, et de nombreux autres en physique. Plus important que la formule elle-même, comprenez ce que chaque lettre signifie : \(v\) n'est pas 'vitesse' mais la *valeur* de la vitesse, \(d\) la *valeur* de la distance. Et surtout, les unités doivent être cohérentes ! Si \(v\) est en m/s, \(d\) *doit* être en m et \(t\) *doit* être en s.

Formule(s)

Ces trois équations sont en fait la même relation, simplement 'réarrangée' pour isoler la grandeur que l'on cherche. C'est une compétence algébrique de base :
- Si \(v = d/t\), multipliez les deux côtés par \(t\) \(\rightarrow\) \(v \times t = d\). C'est la 2ème formule.
- Si \(d = v \times t\), divisez les deux côtés par \(v\) \(\rightarrow\) \(d/v = t\). C'est la 3ème formule.

Vitesse

v = \frac{d}{t}

Distance

d = v \times t

Durée

t = \frac{d}{v}

Hypothèses

Cette formule, \(v = d/t\), n'est pas toujours vraie ! Elle ne fonctionne que sous des conditions précises, que nous appelons 'hypothèses'. Ici, l'hypothèse principale est que la vitesse est *constante* (on parle de mouvement uniforme). Si le son accélérait ou ralentissait, le calcul serait bien plus complexe. On suppose aussi que le son va en ligne droite, ce qui est le cas s'il n'y a pas d'obstacle ou de changement de milieu étrange sur son chemin.

La vitesse \(v\) est constante.
Le signal se propage en ligne droite.

Astuces

C'est ce qu'on appelle une 'analyse dimensionnelle'. C'est le meilleur moyen de vérifier si votre formule est plausible. [Vitesse] = [Distance] / [Temps]. En unités SI (Système International) : [m/s] = [m] / [s]. L'équation est équilibrée. Si vous aviez écrit \(v = d \times t\), vous auriez [m/s] = [m] \(\times\) [s], ce qui est visiblement incorrect. Prenez cette habitude, elle vous sauvera de nombreuses erreurs.

Schéma

Ce schéma montre le 'déploiement' du mouvement dans le temps. À l'instant initial (t=0), l'onde part de l'origine. Après une certaine durée \(t\), elle a atteint la distance \(d\). La vitesse \(v\) est le 'lien' entre cette distance et cette durée ; c'est la pente de la droite qui relie l'origine au point (t, d).

Relation Distance-Temps

Réflexions

Absolument. La physique est souvent une affaire d'outils. Cette formule est l'outil principal de notre 'boîte à outils' pour cet exercice. Les questions 3, 4 et 5 ne seront que des applications de cet outil dans différentes situations. Avoir le bon outil est la première étape, savoir l'utiliser est la suivante.

Points de vigilance

Ne pas confondre les formules ! C'est une erreur d'inattention très fréquente. Si vous avez un doute, repensez à une situation simple : 'Je roule à 50 km/h (\(v\)) pendant 2 heures (\(t\)). J'ai parcouru 100 km (\(d\))'. Comment obtenir 100 avec 50 et 2 ? En multipliant. Donc \(d = v \times t\). Vous pouvez retrouver toutes les autres à partir de celle-là.

Points à retenir

La relation fondamentale est \(v=d/t\).
Les trois grandeurs sont la vitesse, la distance et le temps.
Les unités SI (Système International) sont : m/s, m, s.
Cette formule n'est valable que si la vitesse est *constante*.

Le saviez-vous ?

Plus le milieu est dense et rigide, plus le son s'y propage vite ! C'est l'inverse de la lumière. Dans l'air (très peu dense), le son va à \(\approx\) 340 m/s. Dans l'eau (plus dense), \(\approx\) 1500 m/s. Dans l'acier (très dense et rigide), il voyage à plus de 5000 m/s. C'est pour cela que dans les vieux films, on collait son oreille au rail pour savoir si le train arrivait : le son arrive bien plus vite par l'acier du rail que par l'air.

Résultat Final

La formule liant les trois grandeurs est \(v = \frac{d}{t}\), ou \(d = v \times t\), ou \(t = \frac{d}{v}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Définition de la vitesse constante (mouvement uniforme).
Formule Essentielle : \(v = d/t\).
Point de Vigilance Majeur : Connaître les 3 formes de la formule et leurs unités (m/s, m, s).

Question 2 : Le temps mesuré \(t = 1.2\) s correspond-il à la distance entre le sous-marin et l'épave ? Expliquez ce que représente ce temps.

Principe

C'est le concept central de l'exercice. Le sonar est un système *actif* : il envoie (émission) puis il écoute (réception). Le chronomètre interne de l'appareil mesure le temps total entre ces deux événements, l'envoi du "ping" et le retour de l'"écho". Il ne peut pas savoir à quel moment le son a *atteint* l'obstacle, il sait seulement quand il est *revenu*.

Mini-Cours

Le temps \(t = 1.2\) s est le retardTemps mesuré entre l'émission d'un signal et sa réception (ici, de l'écho). de l'écho. Le son doit voyager du sous-marin jusqu'à l'épave (c'est le trajet 'aller'), puis il doit 'rebondir' (se réfléchir) et voyager de l'épave jusqu'au sous-marin (c'est le trajet 'retour'). Le temps mesuré de 1.2 s est la somme de ces deux durées : \(t_{\text{total}} = t_{\text{aller}} + t_{\text{retour}}\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante de l'exercice ! C'est le piège principal des exercices sur l'écho (sonar, télémètre laser, ou même le tonnerre). Si on oublie l'aller-retour, le résultat final sera faux (d'un facteur 2). On est tellement pressé d'appliquer la formule \(d = v \times t\) qu'on oublie que le \(d\) dans la formule représente la distance *effectivement parcourue* pendant le temps \(t\). Et ici, la distance parcourue est un aller-retour !

Formule(s)

Temps total (retard)

t_{\text{total}} = t_{\text{aller}} + t_{\text{retour}}

Hypothèses

On suppose que le sous-marin et l'épave sont immobiles l'un par rapport à l'autre pendant le court instant de la mesure (1.2 s). On suppose aussi que le milieu (l'eau) est homogène, c'est-à-dire que la vitesse du son est la même partout sur le trajet.

La distance ne change pas pendant la mesure.
La vitesse du son est la même à l'aller et au retour.
Par conséquent : \(t_{\text{aller}} = t_{\text{retour}}\).

Donnée(s)

La seule donnée utile ici est la description du problème : on mesure un "écho", et ce temps est donné.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temps de retard (écho)	\(t\)	1.2	s

Astuces

Pensez à quand vous criez "écho" face à une montagne. Vous criez (émission, t=0), le son va jusqu'à la montagne (temps d'aller), frappe la montagne, et revient à vos oreilles (temps de retour). Vous n'entendez l'écho qu'après la *somme* des deux durées. Le sonar, c'est pareil.

Schéma

Le schéma de l'énoncé illustre parfaitement cela avec les deux flèches "Aller" et "Retour". Ce schéma conceptuel est crucial pour visualiser le double trajet.

Trajet de l'onde sonar (Aller-Retour)

Calcul(s)

Puisque le milieu est homogène et les objets immobiles, le temps d'aller est égal au temps de retour. On peut donc écrire :

t_{\text{total}} = t_{\text{aller}} + t_{\text{aller}} = 2 \times t_{\text{aller}}

Le temps \(t = 1.2\) s correspond donc au double du temps nécessaire pour un aller simple.

Réflexions

Non, le temps \(t = 1.2\) s ne correspond pas à la distance \(d\) (l'aller simple). Il correspond au temps nécessaire pour parcourir la distance totale \(D_{\text{total}}\), qui est égale à deux fois la distance \(d\) (l'aller-retour). C'est la réponse clé à la question.

Points de vigilance

Le piège est de penser que 1.2 s est le temps pour l'aller simple. C'est faux. Le mot "écho", "réception" ou "retour" dans un énoncé de physique implique *toujours* un aller-retour, sauf indication contraire explicite (ce qui est très rare).

Points à retenir

Un écho (sonar, radar, écholocation) implique un trajet aller-retour.
Le temps mesuré \(t\) est le temps total de ce trajet (émission \(\rightarrow\) réflexion \(\rightarrow\) réception).
La distance totale parcourue est \(D_{\text{total}} = 2 \times d\), où \(d\) est la distance à l'obstacle.

Le saviez-vous ?

Les chauves-souris utilisent exactement le même principe ! Elles émettent des ultrasons avec leur gueule (l'équivalent du "ping") et écoutent l'écho avec leurs oreilles (le "récepteur"). Leur cerveau est un ordinateur biologique ultra-performant capable de calculer la distance, la taille, et même la texture d'un insecte en vol en analysant les infimes variations du retard de l'écho. Cela s'appelle l'écholocation.

Résultat Final

Non, le temps \(t = 1.2\) s ne correspond pas à la distance \(d\). Il correspond au temps total mis par le son pour faire l'aller-retour entre le sous-marin et l'épave.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : L'écho est un aller-retour.
Formule Essentielle : \(t_{\text{total}} = t_{\text{aller}} + t_{\text{retour}}\).
Point de Vigilance Majeur : Le temps mesuré \(t\) est le temps total, pour une distance totale \(D_{\text{total}} = 2 \times d\).

Question 3 : Calculez la distance totale (notée \(D_{\text{total}}\)) parcourue par l'onde sonore pendant ces 1.2 secondes.

Principe

Maintenant que nous avons la formule \(d = v \times t\) (de Q1) et que nous savons que le temps \(t = 1.2\) s est le temps total (de Q2), nous pouvons calculer la distance *totale* parcourue par le son. Il s'agit d'une application numérique directe de la formule de la distance.

Mini-Cours

Nous appliquons directement la formule de la distance : \(distance = vitesse \times temps\).
La vitesse est la vitesse du son \(v = 1500\) m/s.
La durée est le temps total de l'écho \(t = 1.2\) s.
La distance que nous calculons est donc la distance totale parcourue par l'onde : \(D_{\text{total}}\).

Remarque Pédagogique

Avant de vous jeter sur la calculatrice, vérifiez toujours les unités. C'est un réflexe qui sauve des points !
Vitesse : en m/s
Temps : en s
Les secondes "s" sont au dénominateur pour la vitesse et au numérateur pour le temps, elles vont donc s'annuler (\(m/s \times s = m\)). Le résultat sera bien en mètres, ce qui est cohérent pour une distance. Les unités sont compatibles, on peut calculer.

Normes

C'est une application directe de la loi de la cinématique (le mouvement uniforme) vue à la question 1.

Formule(s)

Distance totale

D_{\text{total}} = v \times t

Hypothèses

On reprend les hypothèses de Q1 et Q2 : la vitesse du son \(v\) est constante et vaut 1500 m/s pendant tout le trajet (aller et retour).

Donnée(s)

Nous utilisons les données numériques de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse du son	\(v\)	1500	m/s
Temps de retard (écho)	\(t\)	1.2	s

Astuces

Pour calculer \(1500 \times 1.2\) de tête, c'est facile :
C'est \(1500 \times 1\) + \(1500 \times 0.2\).
\(1500 \times 1 = 1500\).
\(1500 \times 0.2\) c'est comme \(1500 \times 2 / 10\), soit \(3000 / 10\), ce qui fait \(300\).
Le résultat est donc : \(1500 + 300 = 1800\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons de la situation de la Q2. Nous connaissons la vitesse \(v\) et le temps total \(t\) de l'aller-retour. Nous cherchons la distance totale \(D_{\text{total}}\) parcourue.

Situation pour Q3 : Calculer \(D_{\text{total}}\)

Calcul(s)

Nous allons maintenant appliquer la formule \(d = v \times t\) en utilisant les valeurs de l'énoncé. C'est l'étape de l'application numérique.

Étape 1 : Poser la formule avec les bonnes variables

Nous cherchons la distance totale \(D_{\text{total}}\). Nous utilisons la vitesse \(v\) et le temps total \(t\).

D_{\text{total}} = v \times t

Étape 2 : Remplacer les variables par les valeurs de l'énoncé

On prend \(v = 1500\) m/s et \(t = 1.2\) s.

D_{\text{total}} = 1500 \text{ m/s} \times 1.2 \text{ s}

Étape 3 : Effectuer le calcul

Comme vu dans l'astuce, \(1500 \times 1.2 = 1500 + 300 = 1800\).

D_{\text{total}} = 1800 \text{ m}

Note : Les unités sont cohérentes. Les 'secondes' (s) s'annulent : \(\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}\). Le résultat est bien une distance en mètres.

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant représenter cette distance totale calculée. Pour plus de clarté, on "déplie" le trajet aller-retour en une seule ligne droite.

Résultat : Distance Totale (Dépliée)

Réflexions

L'onde sonore a parcouru 1800 mètres en tout. C'est une distance considérable ! Mais ce n'est pas la distance à l'épave, c'est bien la distance de l'aller-retour complet. C'est une étape intermédiaire indispensable pour trouver la réponse finale.

Points de vigilance

Attention à ne pas s'arrêter là ! 1800 m n'est pas la réponse à la question "à quelle distance est l'épave ?". C'est la réponse à la question "quelle distance le son a-t-il parcourue ?". Il faut toujours bien lire la question posée.

Points à retenir

On applique \(d = v \times t\) avec les données brutes du sonar (vitesse et temps total).
Le résultat \(D_{\text{total}} = 1800\) m est la distance de l'aller-retour.
La vérification des unités (m/s \(\times\) s = m) confirme que le calcul est correct.

Le saviez-vous ?

Cette distance de 1800 m est appelée le "chemin acoustique". Dans des domaines comme l'acoustique des salles (concerts, opéras), les ingénieurs calculent des milliers de chemins acoustiques (le son direct de la scène à l'auditeur, le son réfléchi sur le mur 1, sur le plafond, etc.) pour prédire la qualité sonore et éviter les échos désagréables.

FAQ

Question fréquente sur ce point.

Résultat Final

La distance totale parcourue par l'onde sonore est de 1800 mètres.

A vous de jouer

Si la vitesse du son était de 1400 m/s et le retard de l'écho de 2 s, quelle serait la distance totale parcourue ? On applique la même formule : \(D_{\text{total}} = v \times t = 1400 \times 2 = 2800\) m.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul de la distance totale (aller-retour).
Formule Essentielle : \(D_{\text{total}} = v \times t\).
Calcul : \(1500 \text{ m/s} \times 1.2 \text{ s} = 1800 \text{ m}\).

Question 4 : En déduire la distance (notée \(d\)) entre le sous-marin et l'épave.

Principe

C'est la conclusion logique des étapes précédentes. Nous savons que la distance totale \(D_{\text{total}} = 1800\) m (calculée en Q3) correspond à un aller-retour (établi en Q2). La distance à l'épave, \(d\), n'est que l'aller simple. Il faut donc logiquement diviser la distance totale par deux pour trouver la distance de l'aller simple.

Mini-Cours

Puisque le trajet est un aller-retour et que la distance \(d\) est constante (l'épave ne bouge pas), la distance totale est le double de la distance \(d\) à l'obstacle.
\(D_{\text{total}} = d_{\text{aller}} + d_{\text{retour}}\)
Comme \(d_{\text{aller}} = d_{\text{retour}} = d\), on a :
\(D_{\text{total}} = d + d = 2 \times d\).
Pour trouver \(d\), il suffit d'isoler \(d\) dans cette équation : on divise les deux côtés par 2.

Remarque Pédagogique

C'est la deuxième étape clé. Le raisonnement complet est :
1. On calcule la distance totale avec le temps total (\(D_{\text{total}} = v \times t\)).
2. On divise par deux pour avoir la distance à l'obstacle (\(d = D_{\text{total}} / 2\)).
Ne faites jamais l'inverse (diviser le temps par deux *puis* calculer la distance), même si cela donne le même résultat. C'est moins rigoureux et peut prêter à confusion. Il est plus clair de traiter d'abord les distances.

Normes

C'est une simple résolution d'équation du premier degré, une compétence mathématique de base.

Formule(s)

Relation distance / distance totale

D_{\text{total}} = 2 \times d

Formule de la distance à l'obstacle

d = \frac{D_{\text{total}}}{2}

Hypothèses

On suppose que la distance \(d\) est la même à l'aller et au retour, ce qui est le cas ici (on a supposé l'épave et le sous-marin immobiles pendant la mesure).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question précédente :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance totale (aller-retour)	\(D_{\text{total}}\)	1800	m

Astuces

Pour combiner Q3 et Q4 en une seule formule (ce qui est souvent fait par les experts) :
On sait \(d = D_{\text{total}} / 2\) et \(D_{\text{total}} = v \times t\).
On peut remplacer \(D_{\text{total}}\) dans la première équation : \(d = \frac{v \times t}{2}\).
Vérifions : \(d = (1500 \times 1.2) / 2 = 1800 / 2 = 900\) m. Ça marche ! C'est la formule directe du sonar.

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons du résultat de Q3 : la distance totale "dépliée" est de 1800 m. Nous cherchons \(d\), qui est la moitié de cette distance totale.

Situation pour Q4 : Trouver \(d\)

Calcul(s)

Nous utilisons la formule \(d = D_{\text{total}} / 2\) et la valeur de \(D_{\text{total}}\) que nous venons de trouver à la question 3.

Étape 1 : Poser la formule de la distance à l'obstacle

d = \frac{D_{\text{total}}}{2}

Étape 2 : Remplacer la variable par la valeur calculée en Q3

d = \frac{1800 \text{ m}}{2}

Étape 3 : Effectuer le calcul

d = 900 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant annoter le schéma de l'énoncé avec le résultat final. La distance inconnue \(d\) est maintenant connue.

Résultat : Distance à l'épave

Réflexions

Le sous-marin se trouve à 900 mètres (ou 0.9 km) de l'épave. C'est une distance de sécurité confortable, mais l'opérateur sonar sait maintenant qu'il y a un obstacle sur sa route et qu'il devra manœuvrer s'il continue dans cette direction.

Points de vigilance

Ne pas oublier de diviser par 2 ! C'est l'erreur la plus fréquente. La réponse n'est pas 1800 m, mais bien 900 m. 1800 m est la distance parcourue par le son, pas la distance de l'obstacle.

Points à retenir

La distance à l'obstacle \(d\) est la MOITIÉ de la distance totale \(D_{\text{total}}\) parcourue par l'écho.
Formule finale combinée (à retenir pour le sonar) : \(d = \frac{v \times t}{2}\).

Le saviez-vous ?

Le "ping" du sonar dans les films est très reconnaissable. Ce son est si puissant (souvent plus de 200 décibels, plus fort qu'un moteur d'avion au décollage) qu'il peut perturber gravement la faune marine, notamment les baleines et les dauphins qui utilisent eux-mêmes l'écholocation pour communiquer et chasser. C'est un sujet de préoccupation écologique majeur.

FAQ

Question fréquente sur ce point.

Résultat Final

La distance \(d\) entre le sous-marin et l'épave est de 900 mètres.

A vous de jouer

Un télémètre laser (qui utilise la lumière, \(v \approx 300 000 000\) m/s) mesure un retard de 0.000002 s (2 microsecondes). Quelle est la distance \(d\) de l'objet ?
Calcul : \(D_{\text{total}} = v \times t = 300 000 000 \times 0.000002 = 300 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6} = 600\) m.
Distance \(d = D_{\text{total}} / 2 = 600 / 2 = 300\) m. L'objet est à 300 m.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Distance à l'obstacle = moitié de la distance de l'écho.
Formule Essentielle : \(d = D_{\text{total}} / 2\).
Formule combinée : \(d = (v \times t) / 2\).
Calcul : \(1800 \text{ m} / 2 = 900 \text{ m}\).

Question 5 : Si l'épave était à 1800 m, quel serait le temps de retard \(t\) mesuré par le sonar (en supposant \(v = 1500\) m/s) ?

Principe

C'est le problème inverse de ce que nous venons de faire. Cette fois, on nous donne la distance \(d\) (l'aller simple) et on cherche le temps de retard \(t\) (l'aller-retour). Il faut faire le chemin de calcul dans l'autre sens, en n'oubliant pas l'aller-retour !

Mini-Cours

La démarche logique est la suivante :
1. On connaît la distance de l'aller simple (\(d = 1800\) m).
2. On doit d'abord calculer la distance totale \(D_{\text{total}}\) que le son devra parcourir (l'aller-retour).
3. Une fois qu'on a la distance totale et la vitesse, on utilise la formule de base (réarrangée) pour trouver le temps total : \(t = D_{\text{total}} / v\).

Remarque Pédagogique

Ici, le piège est d'oublier de multiplier la distance \(d\) par 2 AVANT de calculer le temps. Si on calcule \(t = d / v\), on ne trouve que le temps pour un aller simple, pas le temps de l'écho, ce qui serait une réponse incomplète à la question "quel sera le temps de retard mesuré ?".

Normes

C'est toujours l'application des mêmes principes de cinématique, mais en réarrangeant les formules pour trouver le temps au lieu de la distance.

Formule(s)

Distance totale

D_{\text{total}} = 2 \times d

Temps total (retard)

t = \frac{D_{\text{total}}}{v}

Hypothèses

La vitesse du son \(v\) est constante et vaut 1500 m/s, comme indiqué dans la question.

Donnée(s)

Données pour cette question spécifique :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance (aller simple)	\(d\)	1800	m
Vitesse du son	\(v\)	1500	m/s

Astuces

Pour calculer \(3600 / 1500\) : on peut simplifier la fraction en enlevant les deux zéros en haut et en bas.
Cela donne \(36 / 15\).
On peut diviser en haut et en bas par 3 (car 3+6=9 et 1+5=6, tous deux divisibles par 3) : \(12 / 5\).
Pour diviser par 5, on peut multiplier en haut et en bas par 2 : \((12 \times 2) / (5 \times 2) = 24 / 10\).
Et diviser par 10 est facile : \(2.4\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la situation initiale : nous connaissons la distance \(d\) et la vitesse \(v\). Nous devons trouver le temps \(t\) de l'aller-retour.

Situation pour Q5 : Trouver \(t_{\text{total}}\)

Calcul(s)

Nous devons procéder en deux étapes. D'abord, trouver la distance totale de l'aller-retour. Ensuite, utiliser cette distance pour trouver le temps total.

Étape 1 : Calcul de la distance totale (aller-retour)

La distance à l'obstacle \(d\) est 1800 m. Le son doit faire l'aller-retour.

\begin{aligned} D_{\text{total}} &= 2 \times d \\ D_{\text{total}} &= 2 \times 1800 \text{ m} \\ D_{\text{total}} &= 3600 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du temps total (retard)

Maintenant nous utilisons la formule \(t = d/v\), mais avec la distance *totale* \(D_{\text{total}}\) et la vitesse \(v\).

\begin{aligned} t &= \frac{D_{\text{total}}}{v} \\ t &= \frac{3600 \text{ m}}{1500 \text{ m/s}} \\ t &= 2.4 \text{ s} \end{aligned}

Note : Les unités sont \(\text{m} / (\text{m/s})\), ce qui donne \(\text{m} \times (\text{s/m})\). Les 'mètres' (m) s'annulent, et il reste bien des 'secondes' (s).

Schéma (Après les calculs)

Nous pouvons maintenant annoter le schéma avec le résultat de notre calcul : le temps total pour l'aller-retour.

Résultat : Temps de retard calculé

Réflexions

Il faudrait 2.4 secondes à l'écho pour revenir si l'épave était à 1800 m. C'est logique et proportionnel : dans Q4, l'obstacle était à 900 m et le temps était de 1.2 s. Ici, l'obstacle est 2 fois plus loin (1800 m au lieu de 900 m), donc le temps de l'aller-retour est logiquement 2 fois plus long (2.4 s au lieu de 1.2 s). Cette relation de proportionnalité est un bon moyen de vérifier son résultat.

Points de vigilance

Ne pas oublier de multiplier \(d\) par 2 !
L'erreur classique serait : \(t = d / v = 1800 / 1500 = 1.2\) s. C'est faux, 1.2 s est le temps pour un *aller simple*, pas le temps de l'écho mesuré par l'appareil.

Points à retenir

Pour trouver le retard \(t\) à partir de la distance \(d\) :
1. Calculer la distance totale : \(D_{\text{total}} = 2 \times d\).
2. Calculer le temps total : \(t = D_{\text{total}} / v\).
Formule combinée (pour les experts) : \(t = \frac{2 \times d}{v}\).

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de proportionnalité (distance double \(\rightarrow\) temps double) qui permet aux écrans de sonar d'afficher directement une distance. L'appareil ne "connaît" pas la distance, il ne fait que mesurer le temps \(t\). Ensuite, son processeur calcule \(d = (v \times t) / 2\) et affiche le résultat \(d\) sur l'écran, tout cela en une fraction de seconde.

FAQ

Question fréquente sur ce point.

Résultat Final

Le temps de retard \(t\) mesuré par le sonar serait de 2.4 secondes.

A vous de jouer

Avec \(v = 1500\) m/s, quelle est la distance \(d\) si le sonar mesure un temps \(t = 1.0\) s ?
On utilise la formule \(d = (v \times t) / 2\).
\(d = (1500 \times 1.0) / 2 = 1500 / 2 = 750\) m.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Calcul du retard à partir de la distance (problème inverse).
Formule Essentielle : \(t = (2 \times d) / v\).
Calcul : \(D_{\text{total}} = 2 \times 1800 = 3600\) m. Puis \(t = 3600 / 1500 = 2.4\) s.

Outil Interactif : Simulateur de Sonar

Utilisez les curseurs pour changer la vitesse du son ou la distance de l'obstacle et voir comment le temps de retard de l'écho est affecté.

Paramètres d'Entrée

Vitesse du son (\(v\)) (m/s) 1500 m/s

Distance de l'obstacle (\(d\)) (m) 900 m

Résultats Clés

Distance Aller-Retour (\(D_{\text{total}}\)) - m

Temps de retard (\(t\)) - s

Glossaire

Célérité: Terme scientifique pour désigner la vitesse de propagation d'une onde (comme le son ou la lumière). On utilise souvent le symbole \(c\) (par ex: \(c_{\text{lumière}}\)) ou \(v\) (par ex: \(v_{\text{son}}\)).
Écho: Onde (sonore, radar, etc.) qui est réfléchie par un obstacle et qui revient vers son point d'émission, où elle peut être détectée.
Retard (ou Délai): Durée mesurée entre l'émission d'un signal (le "ping") et la réception de son écho. C'est le temps de l'aller-retour.
Sonar: Acronyme de SOund NAvigation and Ranging. C'est une technique qui utilise les ondes sonores pour détecter des objets sous l'eau et mesurer leur distance.
Propagation: Fait pour une onde (ou un signal) de se déplacer, de "voyager" à travers un milieu (air, eau, vide...).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de la situation

Questions à traiter

Les bases sur la Propagation d'un Signal

Correction : Propagation d’un signal : Vitesse et Retard

Question 1 : Quelle est la formule mathématique qui lie la vitesse (\(v\)), la distance parcourue (\(d\)) et la durée du parcours (\(t\)) ?

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Astuces

Schéma

Relation Distance-Temps

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Le temps mesuré \(t = 1.2\) s correspond-il à la distance entre le sous-marin et l'épave ? Expliquez ce que représente ce temps.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma

Trajet de l'onde sonar (Aller-Retour)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculez la distance totale (notée \(D_{\text{total}}\)) parcourue par l'onde sonore pendant ces 1.2 secondes.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Situation pour Q3 : Calculer \(D_{\text{total}}\)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Distance Totale (Dépliée)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : En déduire la distance (notée \(d\)) entre le sous-marin et l'épave.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Situation pour Q4 : Trouver \(d\)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Distance à l'épave

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?