Ondes Stationnaires avec le Vibreur de Melde

On convertit les masses de grammes (g) en kilogrammes (kg) en divisant par 1000.

Données :
\(m_{\text{corde}} = 3.00 \text{ g}\)
\(M = 150 \text{ g}\)

La masse linéique \(\mu\) est la masse de la corde divisée par sa longueur totale : \(\mu = m_{\text{corde}} / L_{\text{totale}}\).

Données :
\(m_{\text{corde}} = 0.00300 \text{ kg}\)
\(L_{\text{totale}} = 1.50 \text{ m}\)

La tension \(T\) de la corde est due au poids de la masse suspendue \(M\). \(T = Poids = M \cdot g\).

Données :
\(M = 0.150 \text{ kg}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)

On utilise la formule \(v = \sqrt{T/\mu}\).

Données :
\(T \approx 1.4715 \text{ N}\)
\(\mu = 0.00200 \text{ kg/m}\)

On utilise la relation \(v = \lambda f\), donc \(\lambda = v/f\).

Données :
\(v \approx 27.1247 \text{ m/s}\)
\(f = 50 \text{ Hz}\)

Pour des ondes stationnaires sur une corde de longueur \(L\) fixée aux deux extrémités, la condition est \(L = k \frac{\lambda}{2}\). Nous cherchons l'entier \(k\) qui satisfait cette condition ou s'en approche le plus, étant donné que la fréquence \(f\) est fixée par le vibreur, ce qui impose la longueur d'onde \(\lambda = v/f\).

Données :
\(L = 1.20 \text{ m}\)
\(\lambda \approx 0.5425 \text{ m}\)

Puisque \(k\) doit être un nombre entier pour qu'un mode stationnaire parfait s'établisse avec des nœuds aux extrémités, le résultat de \(4.424\) indique que la corde ne vibrera pas selon un mode propre simple et pur à exactement 50 Hz avec ces paramètres. Cependant, dans un contexte expérimental ou d'exercice simplifié, on cherche souvent le mode le plus proche. Calculons les fréquences des modes propres pour \(k=4\) et \(k=5\) :
Fréquence pour \(k\) fuseaux : \(f_k = k \frac{v}{2L}\).
Pour \(k=4\) : \(f_4 = 4 \times \frac{27.1247 \text{ m/s}}{2 \times 1.20 \text{ m}} \approx 4 \times \frac{27.1247}{2.4} \approx 45.21 \text{ Hz}\).
Pour \(k=5\) : \(f_5 = 5 \times \frac{27.1247 \text{ m/s}}{2 \times 1.20 \text{ m}} \approx 5 \times \frac{27.1247}{2.4} \approx 56.51 \text{ Hz}\).
La fréquence du vibreur (50 Hz) est entre la fréquence du mode à 4 fuseaux (45.21 Hz) et celle du mode à 5 fuseaux (56.51 Hz). Elle est plus proche de 45.21 Hz (écart de 4.79 Hz) que de 56.51 Hz (écart de 6.51 Hz). Si l'on doit observer un nombre entier de fuseaux, le mode à 4 fuseaux serait celui dont la fréquence propre est la plus proche de la fréquence d'excitation. On observerait donc 4 fuseaux, mais la résonance ne serait pas maximale.

Pour \(k'=2\) fuseaux, la nouvelle longueur d'onde est \(\lambda' = 2L/k' = 2L/2 = L\). La célérité \(v'\) doit être \(v' = \lambda' f = Lf\). On sait aussi que \(v' = \sqrt{T'/\mu}\), où \(T' = M'g\). Donc \(Lf = \sqrt{M'g/\mu}\). On isole \(M'\).

Données :
\(L = 1.20 \text{ m}\)
\(f = 50 \text{ Hz}\)
\(\mu = 0.00200 \text{ kg/m}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)

Nouvelle célérité \(v'\) :

Calcul de \(M'\) :

En grammes : \(M' \approx 0.7339 \text{ kg} \times 1000 \text{ g/kg} \approx 733.9 \text{ g}\).

Onde Stationnaire :

Onde résultant de la superposition de deux ondes progressives de même fréquence et amplitude se propageant en sens opposés. Elle présente des points d'amplitude nulle (nœuds) et maximale (ventres) fixes dans l'espace.

Nœud :

Point d'une onde stationnaire où l'amplitude de vibration est constamment nulle.

Ventre (Antinœud) :

Point d'une onde stationnaire où l'amplitude de vibration est maximale.

Fuseau :

Segment d'une onde stationnaire compris entre deux nœuds consécutifs. Un fuseau correspond à un ventre.

Célérité (\(v\)) :

Vitesse de propagation d'une onde.

Masse Linéique (\(\mu\)) :

Masse par unité de longueur d'une corde ou d'un fil. Unité : kg/m.

Tension (\(T\)) :

Force qui tend à étirer une corde ou un fil. Unité : Newton (N).

Vibreur de Melde :

Dispositif expérimental utilisé pour générer des ondes stationnaires sur une corde tendue.

Mode Propre (ou Fréquence Propre) :

Fréquence spécifique à laquelle un système peut vibrer naturellement pour former une onde stationnaire.