Lancement oblique d’un projectile
Analyser le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale et un angle par rapport à l'horizontale, en négligeant les frottements de l'air.
Le lancement oblique d'un projectile est un mouvement classique en physique où un objet est lancé avec une vitesse initiale \(v_0\) formant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale. En négligeant la résistance de l'air, le projectile n'est soumis qu'à son propre poids, ce qui correspond à une accélération constante \(\vec{g}\) (accélération de la pesanteur).
Les équations du mouvement sont établies en décomposant le mouvement selon deux axes, horizontal (x) et vertical (y) :
- Composantes de la vitesse initiale :
\[ v_{0x} = v_0 \cos\alpha \] \[ v_{0y} = v_0 \sin\alpha \]
- Équations horaires du mouvement (si le lancement se fait depuis l'origine \(O(0,0)\)) :
\[ x(t) = (v_0 \cos\alpha) \cdot t \] \[ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin\alpha) \cdot t \]
- Équation de la trajectoire \(y(x)\) :
\[ y(x) = -\frac{g}{2(v_0 \cos\alpha)^2} x^2 + (\tan\alpha) x \]C'est l'équation d'une parabole.
Plusieurs grandeurs caractérisent ce mouvement :
- La flèche (hauteur maximale \(H\)) : altitude maximale atteinte par le projectile.
- La portée (\(P\)) : distance horizontale parcourue par le projectile lorsqu'il retombe à son altitude de lancement initiale (si \(y_0 = 0\)).
- Le temps de vol (\(t_f\)).
Données du Problème
Un projectile est lancé depuis le sol (\(y_0 = 0 \text{ m}\)) avec une vitesse initiale \(v_0 = 20.0 \text{ m/s}\) et un angle de lancement \(\alpha = 30.0^\circ\) par rapport à l'horizontale.
- Vitesse initiale : \(v_0 = 20.0 \text{ m/s}\)
- Angle de lancement : \(\alpha = 30.0^\circ\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
On négligera les frottements de l'air.
Questions
- Calculer les composantes horizontale \(v_{0x}\) et verticale \(v_{0y}\) de la vitesse initiale.
- Écrire les équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\).
- Calculer le temps \(t_s\) mis par le projectile pour atteindre le sommet de sa trajectoire (la flèche).
- Calculer la hauteur maximale \(H\) (la flèche) atteinte par le projectile.
- Calculer le temps de vol total \(t_f\) du projectile (temps pour retomber au sol, \(y=0\)).
- Calculer la portée \(P\) du projectile.
- Établir l'équation de la trajectoire \(y(x)\) du projectile.
Correction : Lancement oblique d’un projectile
1. Calcul des Composantes de la Vitesse Initiale
On utilise \(v_{0x} = v_0 \cos\alpha\) et \(v_{0y} = v_0 \sin\alpha\).
Données :
\(v_0 = 20.0 \text{ m/s}\)
\(\alpha = 30.0^\circ\)
\(v_{0x} \approx 17.32 \text{ m/s}\).
\(v_{0y} = 10.0 \text{ m/s}\).
2. Équations Horaires du Mouvement
On utilise \(x(t) = v_{0x} t\) et \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} t\), car \(y_0=0\).
Données :
\(v_{0x} \approx 17.32 \text{ m/s}\)
\(v_{0y} = 10.0 \text{ m/s}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
Équation horaire en x : \(x(t) = 17.32 t\).
Équation horaire en y : \(y(t) = -4.905 t^2 + 10.0 t\).
Quiz Intermédiaire : Mouvement Horizontal
3. Temps pour Atteindre la Flèche (\(t_s\))
Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse \(v_y(t)\) est nulle. On a \(v_y(t) = -gt + v_{0y}\).
Le temps pour atteindre la flèche est \(t_s \approx 1.02 \text{ s}\).
4. Hauteur Maximale (\(H\))
La hauteur maximale \(H\) est la valeur de \(y(t)\) à l'instant \(t_s\).
Données :
\(t_s \approx 1.019 \text{ s}\)
Alternativement, \(H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(10.0)^2}{2 \times 9.81} = \frac{100}{19.62} \approx 5.0968 \text{ m}\).
La hauteur maximale atteinte est \(H \approx 5.10 \text{ m}\).
5. Temps de Vol Total (\(t_f\))
Le projectile retombe au sol lorsque \(y(t_f) = 0\). Puisque \(y_0=0\), une solution est \(t_f=0\) (départ). L'autre est \(t_f = 2t_s\) car la trajectoire est parabolique et symétrique par rapport au sommet (si le point de départ et d'arrivée sont à la même altitude).
Données :
\(t_s \approx 1.019 \text{ s}\)
Vérification avec \(y(t_f) = 0\):
\(-4.905 t_f^2 + 10.0 t_f = 0 \rightarrow t_f(-4.905 t_f + 10.0) = 0\).
Donc \(t_f=0\) ou \(-4.905 t_f + 10.0 = 0 \rightarrow t_f = 10.0 / 4.905 \approx 2.0387 \text{ s}\).
Le temps de vol total est \(t_f \approx 2.04 \text{ s}\).
Quiz Intermédiaire : Sommet de la Trajectoire
6. Portée (\(P\)) du Projectile
La portée \(P\) est la distance horizontale parcourue pendant le temps de vol \(t_f\). \(P = x(t_f) = v_{0x} \cdot t_f\).
Données :
\(v_{0x} \approx 17.32 \text{ m/s}\)
\(t_f \approx 2.038 \text{ s}\)
Alternativement, \(P = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{(20.0)^2 \sin(2 \times 30.0^\circ)}{9.81} = \frac{400 \sin(60^\circ)}{9.81} = \frac{400 \times \sqrt{3}/2}{9.81} \approx \frac{346.41}{9.81} \approx 35.31 \text{ m}\).
La portée du projectile est \(P \approx 35.3 \text{ m}\).
7. Équation de la Trajectoire \(y(x)\)
On utilise \(y(x) = -\frac{g}{2(v_0 \cos\alpha)^2} x^2 + (\tan\alpha) x\).
Données :
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
\(v_0 = 20.0 \text{ m/s}\)
\(\alpha = 30.0^\circ\) ; \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\), \(\tan(30^\circ) = 1/\sqrt{3} \approx 0.577\)
Calcul du coefficient de \(x^2\):
Équation de la trajectoire :
L'équation de la trajectoire est \(y(x) \approx -0.0164 x^2 + 0.577 x\).
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Glossaire des Termes Clés
Projectile :
Objet lancé dans l'espace et soumis uniquement à la force de gravité (et éventuellement aux frottements de l'air, négligés ici).
Trajectoire :
Courbe décrite par le centre d'inertie du projectile au cours de son mouvement.
Vitesse Initiale (\(v_0\)) :
Vitesse du projectile à l'instant du lancement.
Angle de Lancement (\(\alpha\)) :
Angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale.
Équations Horaires :
Équations qui décrivent les coordonnées de position (\(x(t), y(t)\)) du projectile en fonction du temps.
Flèche (Hauteur Maximale, H) :
Altitude maximale atteinte par le projectile au cours de son mouvement.
Portée (P) :
Distance horizontale maximale parcourue par le projectile avant de retomber à son altitude de lancement initiale.
Temps de Vol (\(t_f\)) :
Durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment les frottements de l'air modifieraient-ils la trajectoire, la flèche et la portée d'un projectile réel par rapport aux calculs idéalisés ?
2. Pour une vitesse initiale \(v_0\) donnée, existe-t-il deux angles de lancement différents qui donnent la même portée (en négligeant la hauteur initiale) ? Si oui, quelle est la relation entre ces angles ?
3. Comment la hauteur initiale de lancement \(h_0\) (si \(h_0 \ne 0\)) affecte-t-elle le temps de vol et la portée du projectile ?
4. Citez des exemples concrets d'application du mouvement de projectile dans le sport, l'ingénierie ou les sciences naturelles.
5. Si un projectile est lancé sur un plan incliné, comment cela modifie-t-il l'analyse du mouvement et le calcul de la portée sur ce plan ?
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