Lancement Oblique d'un Projectile
Contexte : Le mouvement d'un projectileLe mouvement d'un objet lancé dans les airs et soumis uniquement à l'accélération de la pesanteur..
L'étude du mouvement d'un projectile est un cas classique de la cinématique en deux dimensions. Elle permet de modéliser une multitude de situations réelles, du lancer d'une balle au tir d'un obus de canon. Cet exercice a pour but d'appliquer les principes fondamentaux de la dynamique pour décrire et prédire la trajectoire d'un objet lancé depuis le sol avec une vitesse initiale formant un angle avec l'horizontale. Nous négligerons ici les forces de frottement de l'air pour simplifier l'étude.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de physique en 2D en deux problèmes plus simples en 1D (un horizontal et un vertical), à établir des équations horaires et à les manipuler pour trouver les caractéristiques clés du mouvement.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer le vecteur accélération.
- Établir les équations horaires de la vitesse et de la position.
- Déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire du projectile.
- Calculer la hauteur maximale (flèche) et la distance horizontale maximale (portée) du lancer.
Données de l'étude
Schéma du Lancement Oblique
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 40° |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 m/s² |
Questions à traiter
- Établir les équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\).
- Donner l'équation de la trajectoire \(y(x)\).
- Calculer la hauteur maximale atteinte par le projectile (la flèche).
- Calculer la distance horizontale parcourue par le projectile (la portée).
- Déterminer la durée totale du vol.
Les bases de la cinématique du projectile
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts de base de la cinématique et de la dynamique, notamment la deuxième loi de Newton.
1. Deuxième Loi de Newton
Le principe fondamental de la dynamique stipule que la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son accélération :
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
Dans le cas d'un projectile où l'on néglige les frottements de l'air, la seule force agissant sur l'objet est son poids \(\vec{P} = m\vec{g}\).
2. Projection et Intégration
Le mouvement est étudié en projetant les vecteurs (position, vitesse, accélération) sur les axes (Ox) et (Oy). L'obtention des équations de la vitesse se fait par intégration du vecteur accélération, et celle des équations de position par intégration du vecteur vitesse. Il faut utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.
Correction : Lancement Oblique d'un Projectile
Question 1 : Établir les équations horaires du mouvement
Principe (le concept physique)
Pour déterminer comment la position du projectile change avec le temps, nous devons d'abord comprendre ce qui cause le mouvement : les forces. En appliquant la deuxième loi de Newton, nous trouvons l'accélération constante du projectile (due à la gravité). Par intégrations successives, nous pouvons ensuite déduire les équations de la vitesse, puis celles de la position en fonction du temps.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
De la Force à la Position : La cinématique est l'étude du mouvement, tandis que la dynamique est l'étude des causes du mouvement (les forces). La deuxième loi de Newton (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) est le pont entre les deux. Une fois l'accélération \(\vec{a}\) connue, on utilise le calcul intégral pour "remonter" au mouvement : la vitesse \(\vec{v}(t)\) est la primitive de l'accélération \(\vec{a}(t)\), et la position \(\vec{OM}(t)\) est la primitive de la vitesse \(\vec{v}(t)\). Les constantes d'intégration sont déterminées par les "conditions initiales" (la vitesse et la position à t=0).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode est toujours la même pour ce type de problème : 1. Faire le bilan des forces. 2. Appliquer la 2ème loi de Newton pour trouver \(\vec{a}\). 3. Projeter sur les axes. 4. Intégrer une première fois pour obtenir \(\vec{v}(t)\) en utilisant \(\vec{v}(0)\). 5. Intégrer une seconde fois pour obtenir \(\vec{OM}(t)\) en utilisant \(\vec{OM}(0)\).
Normes (la référence réglementaire)
Dans le cadre de la physique classique, le "règlement" que nous suivons est la mécanique newtonienne. Ses lois, formulées par Isaac Newton, sont considérées comme valides pour décrire le mouvement des objets à notre échelle et à des vitesses bien inférieures à celle de la lumière.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Relation Vitesse-Accélération et Position-Vitesse
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour que nos calculs soient valables, nous posons le cadre suivant :
- Le projectile est assimilé à un point matériel (sa taille et sa rotation sont ignorées).
- Le référentiel terrestre est supposé galiléen (non accéléré).
- Les forces de frottement de l'air sont négligées.
- Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est considéré comme uniforme en direction et en intensité.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données d'entrée sont les conditions initiales du mouvement, c'est-à-dire l'état du système à l'instant \(t=0\).
| Paramètre | Symbole | Valeur à t=0 |
|---|---|---|
| Position initiale | \(\vec{OM}(0)\) | \( (0, 0) \) |
| Vecteur vitesse initiale | \(\vec{v}(0)\) | \( \vec{v_0} \) tel que \(||\vec{v_0}|| = 25 \, \text{m/s}\) et angle \(\alpha = 40°\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Souvenez-vous que le mouvement d'un projectile se décompose en deux mouvements indépendants et simples : un mouvement rectiligne uniforme sur l'axe horizontal (Ox) car \(a_x=0\), et un mouvement rectiligne uniformément accéléré sur l'axe vertical (Oy) car \(a_y=-g=\text{constante}\).
Schéma (Avant les calculs)
Conditions Initiales et Forces
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Détermination de l'accélération
La seule force est le poids : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{P} = m\vec{g}\). La 2ème loi de Newton donne : \(m\vec{a} = m\vec{g} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g}\). Dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), le vecteur pesanteur s'écrit \(\vec{g} = -g \vec{j}\).
Composantes du vecteur accélération
Étape 2 : Détermination de la vitesse (par intégration)
On obtient les composantes de la vitesse en intégrant celles de l'accélération par rapport au temps.
Intégration pour \(v_x(t)\)
Pour trouver la constante \(C_1\), on utilise la condition initiale à \(t=0\). On sait que \(v_x(0) = v_0 \cos(\alpha)\). En appliquant cela à notre équation : \(v_x(0) = C_1\). On en déduit :
Intégration pour \(v_y(t)\)
De même, à \(t=0\), on sait que \(v_y(0) = v_0 \sin(\alpha)\). En appliquant cela : \(v_y(0) = -g(0) + C_2 = C_2\). On en déduit :
Composantes finales du vecteur vitesse
Étape 3 : Détermination de la position (par intégration)
On obtient les équations horaires de la position en intégrant les composantes de la vitesse par rapport au temps.
Intégration pour \(x(t)\)
À \(t=0\), le projectile est à l'origine, donc \(x(0)=0\). En appliquant cela : \(x(0) = (v_0 \cos(\alpha))(0) + C_3 = C_3\). On en déduit :
Intégration pour \(y(t)\)
De même, à \(t=0\), \(y(0)=0\). En appliquant cela : \(y(0) = -\frac{1}{2}g(0)^2 + (v_0 \sin(\alpha))(0) + C_4 = C_4\). On en déduit :
Schéma (Après les calculs)
Vecteur vitesse à un instant t
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les équations horaires nous disent tout sur le mouvement. \(x(t)\) est une fonction linéaire du temps : le projectile avance horizontalement à vitesse constante. \(y(t)\) est une fonction quadratique du temps (un polynôme du second degré) : le projectile monte, atteint un sommet, puis redescend sous l'effet constant de la gravité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La plus grande source d'erreur est l'oubli ou le mauvais calcul des constantes d'intégration. Prenez toujours le temps de bien évaluer les conditions initiales (\(t=0\)) pour les trouver. Une autre erreur classique est une mauvaise projection des vecteurs sur les axes (attention aux signes !).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le mouvement d'un projectile sans frottement est la superposition d'un M.R.U. horizontal et d'un M.R.U.A. vertical.
- La méthode Force \(\rightarrow\) Accélération \(\rightarrow\) Vitesse \(\rightarrow\) Position est fondamentale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Galilée fut l'un des premiers à comprendre que le mouvement d'un projectile pouvait être décomposé en deux mouvements indépendants, horizontal et vertical. Cette idée a révolutionné la balistique et la compréhension du mouvement en général, bien avant que Newton ne formalise les lois de la dynamique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant les données numériques, calculez la valeur de la vitesse verticale \(v_y\) à l'instant \(t=1 \, \text{s}\).
Question 2 : Donner l'équation de la trajectoire y(x)
Principe (le concept physique)
La trajectoire est le chemin géométrique suivi par le projectile dans l'espace, indépendamment du temps. Pour la trouver, nous devons éliminer le paramètre "temps" \(t\) de nos deux équations horaires de position \(x(t)\) et \(y(t)\) pour obtenir une relation directe entre \(y\) et \(x\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En mathématiques, lorsque l'on a un système d'équations paramétriques comme \(x=f(t)\) et \(y=g(t)\), trouver l'équation cartésienne de la courbe revient à trouver une fonction \(h\) telle que \(y=h(x)\). La méthode la plus courante est d'isoler le paramètre \(t\) dans l'une des équations (la plus simple, généralement) et de le substituer dans l'autre. C'est exactement ce que nous faisons ici.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Choisissez toujours l'équation la plus simple pour isoler \(t\). Ici, \(x(t)\) est une équation linéaire, ce qui rend l'opération triviale. Si vous tentiez d'isoler \(t\) à partir de \(y(t)\), vous devriez résoudre une équation du second degré, ce qui serait beaucoup plus complexe !
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équations horaires de position
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que celles de la question 1, car cette question découle directement des résultats précédents.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 40° |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 m/s² |
Schéma (Avant les calculs)
Repère et conditions initiales
Calcul(s) (l'application numérique)
Expression du temps t en fonction de x
Substitution de t dans y(t)
Simplification de l'équation
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire Parabolique y(x)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'équation obtenue est de la forme \(y = A x^2 + B x\), où A est une constante négative. C'est la signature mathématique d'une parabole dont les branches sont tournées vers le bas. Cela confirme visuellement ce que nous attendions : le projectile monte puis redescend.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention lors de la substitution ! Lorsque vous remplacez \(t\), n'oubliez pas d'appliquer le carré à tous les termes du dénominateur : \((v_0 \cos(\alpha))^2 = v_0^2 \cos^2(\alpha)\). Une erreur d'algèbre ici faussera toute la suite.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La trajectoire d'un projectile sans frottement est parabolique.
- On l'obtient en éliminant le temps \(t\) entre les deux équations horaires de position.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les artilleurs utilisaient autrefois des "tables de tir" pour viser. Ces tables, calculées à la main, étaient des applications directes de cette équation de trajectoire, corrigée pour prendre en compte des facteurs comme le vent et la résistance de l'air.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la hauteur \(y\) du projectile lorsqu'il a parcouru une distance horizontale de \(x=20 \, \text{m}\).
Question 3 : Calculer la hauteur maximale (flèche)
Principe (le concept physique)
Le point le plus haut de la trajectoire (le sommet ou la flèche) est un moment unique où le projectile cesse de monter et commence à descendre. À cet instant précis, sa vitesse verticale devient nulle. Cette condition physique est la clé pour trouver la hauteur maximale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En analyse mathématique, pour trouver l'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, on cherche le point où sa dérivée s'annule. En physique, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps (\(v_y = dy/dt\)). Donc, trouver le maximum de la fonction hauteur \(y(t)\) revient à trouver le moment où sa dérivée, la vitesse verticale \(v_y(t)\), est égale à zéro.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Attention au piège classique : au sommet, seule la composante verticale de la vitesse est nulle. La vitesse totale n'est pas nulle ! Le projectile a toujours une vitesse horizontale (\(v_x\)) qui le fait avancer. Si la vitesse totale était nulle, il tomberait verticalement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition au sommet
Équation de la hauteur
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 40° |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 m/s² |
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du problème
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Expression littérale du temps d'ascension (\(t_H\))
Étape 2 : Expression littérale de la hauteur maximale (\(H\))
Application numérique pour le temps d'ascension \(t_H\)
Application numérique pour la flèche H
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Flèche
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La hauteur maximale de 13.14 m est la hauteur d'un immeuble de 4 à 5 étages. La formule montre que la flèche dépend fortement de la vitesse initiale (au carré !) et de l'angle. Pour une même vitesse, un tir plus vertical (\(\alpha\) proche de 90°) montera beaucoup plus haut.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour calculer sin(40°). De plus, n'oubliez pas d'élever au carré le sinus de l'angle, et non l'angle lui-même (\(\sin^2(\alpha) \neq \sin(\alpha^2)\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La condition clé au sommet de la trajectoire est \(v_y = 0\).
- La hauteur maximale (flèche) est donnée par la formule \(H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les athlètes de saut en hauteur utilisent intuitivement ces principes. Leur course d'élan leur donne une vitesse initiale, et leur impulsion vise à maximiser la composante verticale de cette vitesse (\(v_0 \sin(\alpha)\)) pour élever leur centre de gravité le plus haut possible.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la vitesse initiale était doublée (\(v_0 = 50 \, \text{m/s}\)) mais l'angle inchangé, quelle serait la nouvelle hauteur maximale ? (Astuce: comment \(H\) dépend-il de \(v_0\) ?)
Question 4 : Calculer la portée du tir
Principe (le concept physique)
La portée est la distance horizontale totale parcourue. Elle correspond à la position \(x\) du projectile lorsqu'il revient à son altitude de départ, c'est-à-dire quand \(y=0\). La méthode consiste donc à trouver le temps de vol total, puis à calculer la distance horizontale parcourue pendant ce temps.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Résoudre \(y(t) = 0\) pour trouver le temps de vol est un exemple de recherche de racines d'un polynôme. L'équation \(-\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin(\alpha))t = 0\) est une équation du second degré sans terme constant, qui se factorise facilement en \(t(-\frac{1}{2}gt + v_0 \sin(\alpha)) = 0\). Les solutions (racines) sont les instants où le projectile est à l'altitude zéro.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'équation \(y(t)=0\) a deux solutions : \(t=0\), qui est l'instant de départ, et une deuxième solution \(t_P > 0\), qui est l'instant d'arrivée et correspond à la durée du vol. Ne vous trompez pas de solution ! Pour une trajectoire symétrique, vous pouvez aussi utiliser l'astuce : \(t_P = 2 \times t_H\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition à l'arrivée
Équation de la portée
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 40° |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 m/s² |
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du problème
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Expression littérale du temps de vol (\(t_P\))
Étape 2 : Expression littérale de la portée (\(P\))
Application numérique pour le temps de vol \(t_P\)
Application numérique pour la portée P
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Portée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une portée de 62.75 m est considérable. La formule \(P = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\) montre que la portée est maximale lorsque \(\sin(2\alpha)\) est maximal, c'est-à-dire quand \(2\alpha=90°\), donc \(\alpha=45°\). Notre angle de 40° est proche de cet optimum.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de doubler l'angle dans la formule finale : c'est \(\sin(2\alpha)\) et non \(2\sin(\alpha)\). De plus, cette formule de la portée n'est valable que si le point d'arrivée est à la même hauteur que le point de départ.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La condition pour trouver la durée du vol est \(y(t)=0\) (pour t > 0).
- La portée maximale pour une vitesse donnée est atteinte pour un angle de 45°.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans la réalité, la résistance de l'air n'est pas négligeable, surtout pour les objets rapides. Elle réduit la portée et la flèche. À cause d'elle, l'angle optimal pour la portée maximale n'est en fait pas 45°, mais légèrement inférieur, souvent entre 35° et 45° selon la forme et la vitesse de l'objet.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sans refaire tout le calcul, quelle serait la portée pour un angle de tir de 50° (qui est complémentaire à 40°) ?
Question 5 : Déterminer la durée totale du vol
Principe (le concept physique)
La durée totale du vol est simplement le temps \(t_P\) que met le projectile pour revenir à son altitude de départ (\(y=0\)). Nous avons déjà calculé cette valeur lors de la recherche de la portée à la question précédente.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le temps de vol est directement lié à la composante verticale du mouvement. Il dépend du temps nécessaire pour que la vitesse verticale initiale (\(v_0 \sin(\alpha)\)) soit annulée par la gravité (montée), puis du temps nécessaire pour ré-accélérer vers le bas jusqu'à l'altitude de départ (descente). En raison de la symétrie de la parabole, le temps de montée est égal au temps de descente.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une bonne stratégie de résolution consiste souvent à garder les expressions littérales le plus longtemps possible avant de passer aux applications numériques. Vous voyez ici que la formule littérale de \(t_P\) trouvée pour la question 4 est directement réutilisable pour la question 5, ce qui évite de refaire le calcul.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la durée du vol
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 40° |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 m/s² |
Schéma (Avant les calculs)
Durée du vol
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique de la durée du vol
Schéma (Après les calculs)
Durée du vol mesurée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un temps de vol de 3.28 secondes est cohérent avec les distances calculées. La formule montre que pour maximiser le temps de vol ("hang time" en sport), il faut maximiser la composante verticale de la vitesse initiale, donc privilégier un tir vers le haut (\(\alpha\) proche de 90°).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas le temps de vol total (\(t_P\)) avec le temps pour atteindre le sommet (\(t_H\)). Le temps de vol est exactement le double du temps pour atteindre le sommet, uniquement si le départ et l'arrivée sont à la même altitude.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La durée du vol est le temps \(t>0\) pour lequel \(y(t)=0\).
- Formule : \(t_P = 2 t_H = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les systèmes de guidage de missiles balistiques, le calcul précis du temps de vol est absolument crucial. Il doit prendre en compte non seulement la gravité, mais aussi la rotation de la Terre (force de Coriolis), la variation de \(g\) avec l'altitude et les frottements atmosphériques à très haute vitesse.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel angle de tir (entre 0 et 90°) donnerait le plus long temps de vol pour une même vitesse initiale de 25 m/s ?
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier la vitesse initiale et l'angle de tir. Observez en temps réel l'impact sur la trajectoire, la portée et la hauteur maximale du projectile.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on néglige les frottements, quelle est la nature de l'accélération du projectile durant son vol ?
2. Au sommet de la trajectoire, que peut-on dire du vecteur vitesse ?
3. Pour une vitesse initiale \(v_0\) donnée, quel angle de tir permet d'obtenir la portée maximale ?
- Trajectoire
- L'ensemble des positions successives occupées par le projectile au cours du temps. Pour un lancer oblique sans frottements, c'est une parabole.
- Flèche
- La hauteur maximale \(H\) atteinte par le projectile par rapport à son point de départ.
- Portée
- La distance horizontale \(P\) entre le point de départ et le point d'arrivée du projectile, lorsque ces deux points sont à la même altitude.
- Équations horaires
- Les équations qui décrivent les coordonnées de position (\(x(t)\), \(y(t)\)) et de vitesse (\(v_x(t)\), \(v_y(t)\)) du projectile en fonction du temps \(t\).
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