Interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune

La Lune tourne autour de la Terre sous l’effet de la gravitation. On considère ici la Terre et la Lune comme deux points matériels et on néglige les effets d’autres corps célestes.

Données

Masse de la Terre : \(M_T = 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
Masse de la Lune : \(M_L = 7.35 \times 10^{22} \, \text{kg}\)
Distance moyenne Terre-Lune : \(d = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}\)
Constante gravitationnelle : \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
Vitesse orbitale moyenne de la Lune : \(v = 1.022 \, \text{km/s} = 1022 \, \text{m/s}\)

Questions

Calcul de la force gravitationnelle : Utilisez la loi de la gravitation universelle pour calculer la force gravitationnelle \(F\) entre la Terre et la Lune.
Discussion sur les effets de cette force : Expliquez comment cette force gravitationnelle influence le mouvement de la Lune autour de la Terre.
Modification des paramètres : Supposez que la distance entre la Terre et la Lune double (\(d' = 2d\)). Calculez la nouvelle force gravitationnelle \(F'\) et discutez de son effet sur le système Terre-Lune.
Application réelle : En utilisant la force gravitationnelle calculée, déterminez si cette force est suffisante pour maintenir la Lune en orbite autour de la Terre. Considérez que la force nécessaire pour maintenir un objet en orbite circulaire est donnée par la formule de la force centripète : \(F_c = M_L \frac{v^2}{d}\).

Correction : Interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune

1. Calcul de la Force Gravitationnelle (\(F\))

La loi de la gravitation universelle de Newton énonce que la force d'attraction gravitationnelle (\(F\)) entre deux corps de masses \(M_1\) et \(M_2\), séparés par une distance \(d\) (entre leurs centres de masse), est directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. \[ F = G \frac{M_1 M_2}{d^2} \] Ici, \(M_1 = M_T\) et \(M_2 = M_L\). La force est exprimée en Newtons (N).

Schéma illustrant la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune.

Données pour cette étape

\(M_T = 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
\(M_L = 7.35 \times 10^{22} \, \text{kg}\)
\(d = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}\)
\(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)

Calcul

\begin{aligned} F &= G \frac{M_T M_L}{d^2} \\ F &= (6.674 \times 10^{-11}) \frac{(5.97 \times 10^{24}) \times (7.35 \times 10^{22})}{(3.84 \times 10^8)^2} \\ F &= (6.674 \times 10^{-11}) \frac{4.38795 \times 10^{47}}{1.47456 \times 10^{17}} \\ F &= (6.674 \times 10^{-11}) \times (2.9757 \times 10^{30}) \\ F &\approx 1.985 \times 10^{20} \, \text{N} \end{aligned}

Résultat

La force gravitationnelle entre la Terre et la Lune est \(F \approx 1.99 \times 10^{20} \, \text{N}\).

2. Discussion sur les Effets de cette Force

Cette force d'attraction mutuelle a plusieurs effets majeurs :

Orbite de la Lune : La force exercée par la Terre sur la Lune est la force centripète qui maintient la Lune sur son orbite quasi-circulaire autour de la Terre. Sans cette force, la Lune continuerait en ligne droite selon le principe d'inertie.
Marées : La force gravitationnelle exercée par la Lune (et dans une moindre mesure par le Soleil) sur la Terre provoque les marées océaniques et, de façon moins perceptible, des marées terrestres et atmosphériques. La différence de force gravitationnelle entre le côté de la Terre le plus proche de la Lune et le côté le plus éloigné crée des "bourrelets" d'eau.
Rotation de la Terre : Le frottement dû aux marées ralentit très progressivement la rotation de la Terre (la durée du jour augmente de quelques millisecondes par siècle).
Éloignement de la Lune : Par conservation du moment cinétique du système Terre-Lune, le ralentissement de la rotation terrestre entraîne un très lent éloignement de la Lune (environ 3.8 cm par an).
Stabilité de l'axe terrestre : La présence de la Lune et son interaction gravitationnelle contribuent à stabiliser l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre, favorisant des conditions climatiques plus stables sur de longues périodes.

Conclusion

La force gravitationnelle est responsable de l'orbite lunaire, des marées terrestres et influence subtilement la rotation de la Terre et l'éloignement progressif de la Lune.

3. Modification des Paramètres (Distance Doublée)

Si la distance \(d\) double (\(d' = 2d\)), la nouvelle force gravitationnelle \(F'\) sera calculée avec cette nouvelle distance. La loi de gravitation montre que la force est inversement proportionnelle au carré de la distance (\(F \propto 1/d^2\)).

Données pour cette étape

Nouvelle distance : \(d' = 2d = 2 \times (3.84 \times 10^8 \, \text{m}) = 7.68 \times 10^8 \, \text{m}\)
Masses \(M_T\), \(M_L\) et constante \(G\) inchangées.
Force initiale : \(F \approx 1.985 \times 10^{20} \, \text{N}\)

Calcul

\begin{aligned} F' &= G \frac{M_T M_L}{(d')^2} = G \frac{M_T M_L}{(2d)^2} \\ F' &= G \frac{M_T M_L}{4d^2} \\ F' &= \frac{1}{4} \left( G \frac{M_T M_L}{d^2} \right) \\ F' &= \frac{1}{4} F \\ F' &\approx \frac{1}{4} \times (1.985 \times 10^{20} \, \text{N}) \\ F' &\approx 4.96 \times 10^{19} \, \text{N} \end{aligned}

Résultat et Discussion

Si la distance double, la nouvelle force gravitationnelle est \(F' \approx 4.96 \times 10^{19} \, \text{N}\), ce qui correspond à un quart de la force initiale (\(F' = F/4\)).

Effet sur le système : Une force gravitationnelle quatre fois plus faible aurait des conséquences majeures. La Lune ne pourrait pas maintenir son orbite actuelle. Pour rester en orbite à cette nouvelle distance plus grande, sa vitesse orbitale devrait être plus faible (conformément aux lois de Kepler et à la dynamique orbitale). Sa période orbitale (la durée d'un "mois") serait également beaucoup plus longue. Les effets de marée sur Terre seraient considérablement réduits.

4. Application Réelle (Comparaison avec Force Centripète)

Pour que la Lune reste sur une orbite (supposée circulaire pour simplifier) autour de la Terre, la force gravitationnelle (\(F\)) doit fournir la force centripète (\(F_c\)) nécessaire pour constamment dévier la trajectoire de la Lune de la ligne droite. La force centripète requise dépend de la masse de la Lune (\(M_L\)), de sa vitesse orbitale (\(v\)) et de la distance (\(d\)). \[ F_c = M_L \frac{v^2}{d} \] Nous allons calculer cette force centripète requise et la comparer à la force gravitationnelle calculée à la question 1.

Données pour cette étape

Masse de la Lune : \(M_L = 7.35 \times 10^{22} \, \text{kg}\)
Vitesse orbitale : \(v = 1022 \, \text{m/s}\)
Distance : \(d = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}\)
Force gravitationnelle calculée : \(F \approx 1.985 \times 10^{20} \, \text{N}\)

Calcul de la Force Centripète Requise (\(F_c\))

\begin{aligned} F_c &= M_L \frac{v^2}{d} \\ F_c &= (7.35 \times 10^{22} \, \text{kg}) \frac{(1022 \, \text{m/s})^2}{3.84 \times 10^8 \, \text{m}} \\ F_c &= (7.35 \times 10^{22}) \frac{1044484}{3.84 \times 10^8} \, \frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} \\ F_c &= (7.35 \times 10^{22}) \times (2.7199 \times 10^{-3}) \, \text{N} \\ F_c &\approx 1.999 \times 10^{20} \, \text{N} \end{aligned}

Comparaison et Conclusion

Comparons la force gravitationnelle calculée (\(F\)) et la force centripète requise (\(F_c\)) :

F \approx 1.99 \times 10^{20} \, \text{N} \] \[ F_c \approx 2.00 \times 10^{20} \, \text{N}

La force gravitationnelle calculée (\(F \approx 1.99 \times 10^{20} \, \text{N}\)) est quasiment égale à la force centripète requise (\(F_c \approx 2.00 \times 10^{20} \, \text{N}\)) pour maintenir la Lune sur son orbite avec la vitesse donnée.

Les légères différences proviennent des arrondis dans les calculs et de l'approximation d'une orbite parfaitement circulaire. Cela confirme que c'est bien la force de gravitation exercée par la Terre qui agit comme force centripète et maintient la Lune en orbite.

Interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune