Interaction entre deux patineurs sur glace

Les lois de Newton permettent de décrire les interactions entre objets et les mouvements qui en résultent. Le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) est particulièrement important pour comprendre comment deux objets interagissant s'influencent mutuellement.

Troisième loi de Newton : Lorsqu'un corps A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un corps B, le corps B exerce simultanément sur le corps A une force $\vec{F}_{B/A}$ telle que $\vec{F}_{B/A} = -\vec{F}_{A/B}$. Ces forces ont même direction, même valeur, mais des sens opposés.
Deuxième loi de Newton : La somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse $m$ par son vecteur accélération $\vec{a}$ : $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$.

Si un corps est initialement au repos et soumis à une force constante pendant une durée $\Delta t$, il acquiert une vitesse $v = a \Delta t$, où $a$ est son accélération.

Données du Problème

Deux patineurs, A et B, sont initialement immobiles l'un en face de l'autre sur une patinoire horizontale. On néglige les frottements avec la glace et la résistance de l'air.

Masse du patineur A : $m_A = 60 \text{ kg}$
Masse du patineur B : $m_B = 75 \text{ kg}$

Le patineur A exerce une poussée horizontale constante sur le patineur B pendant une durée $\Delta t = 0.20 \text{ s}$. La valeur de cette force de poussée est $\|\vec{F}_{A/B}\| = 150 \text{ N}$.

Questions

Quelle est la force $\vec{F}_{B/A}$ exercée par le patineur B sur le patineur A pendant la poussée ? Préciser sa direction, son sens et sa valeur.
Calculer la valeur de l'accélération $a_B$ du patineur B pendant la poussée.
Calculer la valeur de l'accélération $a_A$ du patineur A pendant la poussée.
Calculer la valeur de la vitesse $v_B$ acquise par le patineur B immédiatement après la poussée.
Calculer la valeur de la vitesse $v_A$ acquise par le patineur A immédiatement après la poussée.
Quel est le rapport des vitesses $v_A / v_B$ ? Comment ce rapport est-il lié aux masses des patineurs ?
Décrire qualitativement le mouvement de chaque patineur après la fin de la poussée (en négligeant toujours les frottements).

Correction : Interaction entre deux patineurs sur glace

1. Force exercée par B sur A ($\vec{F}_{B/A}$)

On applique le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton).

Données :
Force exercée par A sur B : $\|\vec{F}_{A/B}\| = 150 \text{ N}$ (dirigée de A vers B, par exemple vers la droite)

D'après la troisième loi de Newton, si A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur B, alors B exerce sur A une force $\vec{F}_{B/A}$ telle que :

\vec{F}_{B/A} = -\vec{F}_{A/B}

Cela signifie que $\vec{F}_{B/A}$ a :

La même direction (horizontale) que $\vec{F}_{A/B}$.
Un sens opposé à celui de $\vec{F}_{A/B}$ (donc de B vers A, vers la gauche si $\vec{F}_{A/B}$ est vers la droite).
La même valeur (norme) : $\|\vec{F}_{B/A}\| = \|\vec{F}_{A/B}\| = 150 \text{ N}$.

La force $\vec{F}_{B/A}$ a une valeur de $150 \text{ N}$, une direction horizontale et un sens opposé à la poussée de A sur B.

Quiz Intermédiaire

2. Accélération du Patineur B ($a_B$)

On applique la deuxième loi de Newton au patineur B. La seule force horizontale agissant sur B pendant la poussée est $\vec{F}_{A/B}$.

Données :
$m_B = 75 \text{ kg}$
$\|\vec{F}_{A/B}\| = 150 \text{ N}$

\begin{aligned} \|\vec{a}_B\| &= \frac{\|\vec{F}_{A/B}\|}{m_B} \\ &= \frac{150 \text{ N}}{75 \text{ kg}} \\ &= 2.0 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

L'accélération $\vec{a}_B$ a la même direction et le même sens que $\vec{F}_{A/B}$.

L'accélération du patineur B est $a_B = 2.0 \text{ m/s}^2$, dans le sens de la poussée de A.

3. Accélération du Patineur A ($a_A$)

On applique la deuxième loi de Newton au patineur A. La seule force horizontale agissant sur A pendant la poussée est $\vec{F}_{B/A}$.

Données :
$m_A = 60 \text{ kg}$
$\|\vec{F}_{B/A}\| = 150 \text{ N}$

\begin{aligned} \|\vec{a}_A\| &= \frac{\|\vec{F}_{B/A}\|}{m_A} \\ &= \frac{150 \text{ N}}{60 \text{ kg}} \\ &= 2.5 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

L'accélération $\vec{a}_A$ a la même direction et le même sens que $\vec{F}_{B/A}$ (donc opposé à $\vec{a}_B$).

L'accélération du patineur A est $a_A = 2.5 \text{ m/s}^2$, dans le sens opposé à la poussée de A sur B.

Quiz Intermédiaire

4. Vitesse acquise par le Patineur B ($v_B$)

Le patineur B part du repos ($v_{0,B} = 0$) et subit une accélération constante $a_B$ pendant $\Delta t$.

Données :
$a_B = 2.0 \text{ m/s}^2$
$\Delta t = 0.20 \text{ s}$

\begin{aligned} v_B &= v_{0,B} + a_B \Delta t \\ &= 0 + (2.0 \text{ m/s}^2 \times 0.20 \text{ s}) \\ &= 0.40 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse acquise par le patineur B est $v_B = 0.40 \text{ m/s}$.

5. Vitesse acquise par le Patineur A ($v_A$)

Le patineur A part du repos ($v_{0,A} = 0$) et subit une accélération constante $a_A$ pendant $\Delta t$.

Données :
$a_A = 2.5 \text{ m/s}^2$
$\Delta t = 0.20 \text{ s}$

\begin{aligned} v_A &= v_{0,A} + a_A \Delta t \\ &= 0 + (2.5 \text{ m/s}^2 \times 0.20 \text{ s}) \\ &= 0.50 \text{ m/s} \end{aligned}

Cette vitesse est dirigée dans le sens de $\vec{a}_A$, c'est-à-dire dans le sens opposé à $\vec{v}_B$.

La vitesse acquise par le patineur A est $v_A = 0.50 \text{ m/s}$ (en valeur absolue).

Quiz Intermédiaire

6. Rapport des Vitesses et Relation avec les Masses

On calcule le rapport $v_A / v_B$ et on le compare au rapport des masses.

Données :
$v_A = 0.50 \text{ m/s}$
$v_B = 0.40 \text{ m/s}$
$m_A = 60 \text{ kg}$
$m_B = 75 \text{ kg}$

Rapport des vitesses :

\frac{v_A}{v_B} = \frac{0.50 \text{ m/s}}{0.40 \text{ m/s}} = 1.25

Rapport des masses (inverse) :

\frac{m_B}{m_A} = \frac{75 \text{ kg}}{60 \text{ kg}} = 1.25

On constate que $\frac{v_A}{v_B} = \frac{m_B}{m_A}$, ce qui peut s'écrire $m_A v_A = m_B v_B$.

Cela découle de la conservation de la quantité de mouvement du système {patineur A + patineur B}, car les forces $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ sont des forces intérieures au système. Initialement, la quantité de mouvement totale est nulle. Après la poussée, elle doit rester nulle (en l'absence de forces extérieures nettes) : $m_A \vec{v}_A + m_B \vec{v}_B = \vec{0}$, donc $m_A v_A = m_B v_B$ si l'on considère les valeurs absolues des vitesses et des directions opposées.

Le rapport des vitesses $v_A / v_B = 1.25$. Ce rapport est égal au rapport inverse des masses $m_B / m_A$.

7. Mouvement Après la Poussée

Après la fin de la poussée, il n'y a plus de forces horizontales agissant sur les patineurs (frottements négligés).

D'après la première loi de Newton (principe d'inertie), si la somme des forces extérieures agissant sur un corps est nulle, celui-ci persévère dans son état de mouvement rectiligne uniforme.

Ainsi, après la poussée :

Le patineur A continuera à se déplacer en ligne droite à la vitesse constante $v_A = 0.50 \text{ m/s}$ (dans sa direction).
Le patineur B continuera à se déplacer en ligne droite à la vitesse constante $v_B = 0.40 \text{ m/s}$ (dans la direction opposée à A).

Après la poussée, chaque patineur se déplace en mouvement rectiligne uniforme avec la vitesse acquise.

Glossaire des Termes Clés

Force ($\vec{F}$) :

Action mécanique modélisant une interaction capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle.

Masse (m) :

Mesure de la quantité de matière d'un corps et de son inertie. Unité : kilogramme (kg).

Accélération ($\vec{a}$) :

Vecteur représentant la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Unité : mètre par seconde carrée (m/s²).

Vitesse ($\vec{v}$) :

Vecteur représentant la rapidité et la direction du déplacement d'un point. Unité : mètre par seconde (m/s).

Première loi de Newton (Principe d'inertie) :

Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur un système est nulle, alors le centre d'inertie du système persévère en son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération ($\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$).

Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques) :

Lorsqu'un corps A exerce une force sur un corps B, le corps B exerce simultanément sur A une force de même valeur, de même direction, mais de sens opposé.

Quantité de mouvement ($\vec{p}$) :

Grandeur vectorielle égale au produit de la masse d'un corps par son vecteur vitesse ($\vec{p} = m\vec{v}$). Pour un système isolé, la quantité de mouvement totale se conserve.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Si les patineurs avaient des masses très différentes (par exemple, un adulte et un enfant), comment cela affecterait-il leurs vitesses respectives après la poussée ?

2. Que se passerait-il si la poussée n'était pas constante mais variait dans le temps ? Pourrait-on toujours calculer facilement les vitesses finales ?

3. Comment les forces de frottement (avec la glace et l'air), si elles n'étaient pas négligeables, modifieraient-elles le mouvement des patineurs après la poussée ?

4. Le centre de masse du système {patineur A + patineur B} est-il affecté par la poussée ? Quel est son mouvement avant, pendant et après la poussée ?

5. Si les patineurs se tenaient par la main et se mettaient à tourner ensemble après s'être légèrement poussés, quelles autres lois de la physique interviendraient pour décrire leur mouvement ?

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