Étude du Rayonnement Radioactif du Césium-137

Comprendre les caractéristiques de la désintégration radioactive du Césium-137 et calculer son activité et l'énergie libérée.

La radioactivité est un phénomène naturel ou artificiel par lequel des noyaux atomiques instables (radionucléides) se transforment spontanément en d'autres noyaux plus stables, en émettant des particules et/ou de l'énergie sous forme de rayonnement. Le Césium-137 (\(^{137}_{55}Cs\)) est un isotope radioactif du césium, produit principalement par la fission nucléaire de l'uranium et du plutonium. Il est connu pour sa longue période radioactive et sa présence dans les retombées radioactives.

Les lois fondamentales de la radioactivité incluent :

La loi de décroissance radioactive : \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\), où \(N(t)\) est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant \(t\), \(N_0\) le nombre initial de noyaux, et \(\lambda\) la constante radioactive.
L'activité \(A(t)\) d'un échantillon, qui est le nombre de désintégrations par seconde : \(A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}\). L'unité d'activité est le Becquerel (Bq), où \(1 \text{ Bq} = 1 \text{ désintégration/seconde}\).
La relation entre la période radioactive \(T_{1/2}\) (ou demi-vie) et la constante radioactive \(\lambda\) : \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\).

Données du Problème

On étudie un échantillon de Césium-137 (\(^{137}_{55}Cs\)).

Période radioactive (demi-vie) du Césium-137 (\(T_{1/2}\)) : \(30.2 \text{ ans}\)
Activité initiale de l'échantillon (\(A_0\)) : \(3.70 \times 10^7 \text{ Bq}\)
Masse molaire atomique du Césium-137 (\(M_{Cs}\)) : \(136.907 \text{ g/mol} \approx 137 \text{ g/mol}\)
Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\)
Le Césium-137 se désintègre principalement en Baryum-137m (\(^{137m}_{56}Ba\)), un état métastable du Baryum-137, par émission \(\beta^-\). Le Baryum-137m se désexcite ensuite rapidement en Baryum-137 stable (\(^{137}_{56}Ba\)) en émettant un rayon gamma. Pour simplifier, nous considérerons la désintégration globale vers le Baryum-137 stable.
Énergie moyenne libérée par une désintégration \(\beta^-\) du Césium-137 (incluant l'énergie du \(\beta^-\) et de l'antineutrino, et l'énergie du gamma de désexcitation du Ba-137m) : \(E_{des} \approx 1.174 \text{ MeV}\) par désintégration.
Conversions utiles :
- \(1 \text{ an} = 365.25 \text{ jours} \approx 3.15576 \times 10^7 \text{ s}\) (On utilisera \(3.156 \times 10^7 \text{ s}\) pour simplifier les calculs où une grande précision n'est pas cruciale pour la compréhension du concept).
- \(1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}\)
- \(\ln 2 \approx 0.693\)

Schéma de la désintégration \(\beta^-\) du Césium-137 en Baryum-137.

Questions

Rappeler la loi de décroissance radioactive pour l'activité \(A(t)\) en fonction de l'activité initiale \(A_0\), de la constante de désintégration \(\lambda\) et du temps \(t\).
En utilisant les mesures d'activité \(A_0\) et \(A_1\) aux instants \(t_0=0\) et \(t_1=24.0\) heures, calculer la valeur de la constante de désintégration \(\lambda\) de l'isotope X. Donner le résultat en \(h^{-1}\) puis en \(s^{-1}\).
Calculer la période radioactive (demi-vie) \(T_{1/2}\) de cet isotope X. Donner le résultat en heures.
Calculer le nombre de noyaux radioactifs \(N_1\) présents dans l'échantillon à l'instant \(t_1 = 24.0\) heures.
Au bout de combien de temps \(t_2\) (en heures) l'activité de l'échantillon sera-t-elle réduite à 10% de son activité initiale \(A_0\) ?
Un autre échantillon fraîchement préparé de cet isotope X a une masse initiale \(m_0 = 1.20 \text{ µg}\) (microgrammes). Calculer son activité initiale \(A'_0\). (Prendre \(1 \text{ an} \approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\) si besoin de convertir \(\lambda\) ou \(T_{1/2}\)).

Correction : Étude du Rayonnement Radioactif du Césium-137

1. Équation de Désintégration \(\beta^-\)

La désintégration \(\beta^-\) se produit lorsqu'un neutron (\(n\)) dans un noyau instable se transforme en un proton (\(p^+\)), un électron (\(e^-\), aussi appelé particule \(\beta^-\)), et un antineutrino électronique (\(\bar{\nu}_e\)). Le neutron est \(^{1}_{0}n\) et le proton est \(^{1}_{1}p\). L'électron est \(^{0}_{-1}e\). Lors de cette transformation :

Le nombre de masse \(A\) (nombre total de nucléons) du noyau reste inchangé.
Le numéro atomique \(Z\) (nombre de protons) du noyau augmente de 1 (car un neutron devient un proton).

Le Césium-137 a \(Z=55\) et \(A=137\). Le noyau fils sera donc un élément avec \(Z' = 55+1 = 56\) et \(A'=137\). L'élément de numéro atomique 56 est le Baryum (Ba).

^{137}_{55}Cs \rightarrow ^{A'}_{Z'}X + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e

Conservation du nombre de masse (nombre de nucléons) :

137 = A' + 0 \Rightarrow A' = 137

Conservation du nombre de charge (numéro atomique) :

55 = Z' + (-1) \Rightarrow Z' = 55 + 1 = 56

Le noyau fils est donc \(^{137}_{56}Ba\).

L'équation de désintégration est : \(^{137}_{55}Cs \rightarrow ^{137}_{56}Ba + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e\).

2. Calcul de la Constante Radioactive \(\lambda\)

La constante radioactive \(\lambda\) est liée à la période radioactive (demi-vie) \(T_{1/2}\) par la relation \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\). Nous devons d'abord convertir la période \(T_{1/2} = 30.2 \text{ ans}\) en secondes, en utilisant \(1 \text{ an} = 3.156 \times 10^7 \text{ s}\).

Conversion de la période en secondes :

\begin{aligned} T_{1/2} &= 30.2 \text{ ans} \times 3.156 \times 10^7 \text{ s/an} \\ &\approx 9.53112 \times 10^8 \text{ s} \end{aligned}

Calcul de \(\lambda\) :

\begin{aligned} \lambda &= \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \\ &\approx \frac{0.693}{9.53112 \times 10^8 \text{ s}} \\ &\approx 7.2709 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1} \end{aligned}

La constante radioactive du Césium-137 est \(\lambda \approx 7.27 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}\).

Quiz Intermédiaire : Période et Constante Radioactive

3. Nombre Initial de Noyaux \(N_0\)

L'activité initiale \(A_0\) est liée au nombre initial de noyaux \(N_0\) et à la constante radioactive \(\lambda\) par la relation \(A_0 = \lambda N_0\). Nous connaissons \(A_0 = 3.70 \times 10^7 \text{ Bq}\) et nous avons calculé \(\lambda \approx 7.27 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}\).

\begin{aligned} N_0 &= \frac{A_0}{\lambda} \\ &\approx \frac{3.70 \times 10^7 \text{ Bq}}{7.2709 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}} \\ &\approx 5.0886 \times 10^{16} \text{ noyaux} \end{aligned}

Le nombre initial de noyaux de Césium-137 est \(N_0 \approx 5.09 \times 10^{16} \text{ noyaux}\).

Quiz Intermédiaire : Relation Activité et Nombre de Noyaux

4. Activité \(A(t)\) après \(t = 60.4\) ans

Nous utilisons la loi de décroissance de l'activité : \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\). Il faut d'abord convertir la durée \(t = 60.4 \text{ ans}\) en secondes, ou utiliser \(\lambda\) en \(ans^{-1}\) et \(t\) en ans. Une autre approche, plus simple ici, est de noter que \(60.4 \text{ ans} = 2 \times 30.2 \text{ ans} = 2 \times T_{1/2}\). Après une période, l'activité est divisée par 2. Après \(n\) périodes, l'activité est divisée par \(2^n\).

Méthode 1 : Utilisation du nombre de périodes.

Puisque \(t = 60.4 \text{ ans} = 2 \times T_{1/2}\), l'activité sera divisée par \(2^2 = 4\).

\begin{aligned} A(t=2T_{1/2}) &= \frac{A_0}{2^2} \\ &= \frac{A_0}{4} \\ &= \frac{3.70 \times 10^7 \text{ Bq}}{4} \\ &= 9.25 \times 10^6 \text{ Bq} \end{aligned}

Méthode 2 : Utilisation de la formule \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).

Convertissons \(t = 60.4 \text{ ans}\) en secondes :

\begin{aligned} t &= 60.4 \text{ ans} \times 3.156 \times 10^7 \text{ s/an} \\ &\approx 1.906224 \times 10^9 \text{ s} \end{aligned}

Calcul de l'exposant \(\lambda t\) :

\begin{aligned} \lambda t &\approx (7.2709 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}) \times (1.906224 \times 10^9 \text{ s}) \\ &\approx 1.3859 \end{aligned}

Note : On sait que \(\lambda t = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \times (2 T_{1/2}) = 2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4\). Donc \(e^{-\lambda t} = e^{-\ln 4} = e^{\ln (1/4)} = 1/4\).

\begin{aligned} A(t) &= A_0 e^{-\lambda t} \\ &\approx (3.70 \times 10^7 \text{ Bq}) \times e^{-1.3859} \\ &\approx (3.70 \times 10^7 \text{ Bq}) \times 0.2501 \\ &\approx 9.2537 \times 10^6 \text{ Bq} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent des résultats cohérents, la première étant plus directe lorsque le temps est un multiple simple de la période.

L'activité de l'échantillon après 60.4 ans est \(A(t) \approx 9.25 \times 10^6 \text{ Bq}\).

Quiz Intermédiaire : Décroissance Radioactive

5. Masse \(m(t)\) de Césium-137 restante après 60.4 ans

La masse \(m(t)\) de substance radioactive restante est proportionnelle au nombre de noyaux \(N(t)\) restants. On sait que \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\). Comme \(t = 2T_{1/2}\), \(N(t) = N_0 / 4\). La masse \(m\) est liée au nombre de noyaux \(N\) par la relation \(N = \frac{m}{M} N_A\), où \(M\) est la masse molaire et \(N_A\) le nombre d'Avogadro. Donc, \(m = \frac{N \cdot M}{N_A}\).

Nombre de noyaux restants \(N(t)\) après 60.4 ans :

\begin{aligned} N(t) &= \frac{N_0}{4} \\ &\approx \frac{5.0886 \times 10^{16}}{4} \\ &\approx 1.27215 \times 10^{16} \text{ noyaux} \end{aligned}

Masse restante \(m(t)\) :

\begin{aligned} m(t) &= \frac{N(t) \cdot M_{Cs}}{N_A} \\ &\approx \frac{(1.27215 \times 10^{16}) \times (137 \text{ g/mol})}{6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \\ &\approx \frac{1.7428 \times 10^{18} \text{ g}}{6.022 \times 10^{23}} \\ &\approx 2.894 \times 10^{-6} \text{ g} \end{aligned}

La masse initiale \(m_0\) était :

\begin{aligned} m_0 &= \frac{N_0 \cdot M_{Cs}}{N_A} \\ &\approx \frac{(5.0886 \times 10^{16}) \times (137 \text{ g/mol})}{6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \\ &\approx 1.1576 \times 10^{-5} \text{ g} \end{aligned}

On vérifie que \(m(t) \approx m_0 / 4\), ce qui est cohérent.

La masse de Césium-137 restante après 60.4 ans est \(m(t) \approx 2.89 \times 10^{-6} \text{ g}\) (soit 2.89 µg).

6. Énergie Totale \(E_{lib}\) Libérée en 60.4 ans

L'énergie libérée est proportionnelle au nombre de noyaux qui se sont désintégrés. Le nombre de noyaux désintégrés \(\Delta N\) est \(N_0 - N(t)\). L'énergie libérée par une désintégration est \(E_{des} = 1.174 \text{ MeV}\). Il faut convertir cette énergie en Joules : \(1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}\).

Nombre de noyaux désintégrés \(\Delta N\) :

\begin{aligned} \Delta N &= N_0 - N(t) \\ &= N_0 - \frac{N_0}{4} = \frac{3N_0}{4} \\ &\approx \frac{3 \times 5.0886 \times 10^{16}}{4} \\ &\approx 3.81645 \times 10^{16} \text{ noyaux désintégrés} \end{aligned}

Énergie libérée par désintégration en Joules :

\begin{aligned} E_{des, J} &= 1.174 \text{ MeV} \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV} \\ &\approx 1.880748 \times 10^{-13} \text{ J} \end{aligned}

Énergie totale libérée \(E_{lib}\) :

\begin{aligned} E_{lib} &= \Delta N \times E_{des, J} \\ &\approx (3.81645 \times 10^{16}) \times (1.880748 \times 10^{-13} \text{ J}) \\ &\approx 7.1779 \times 10^3 \text{ J} \\ &\approx 7178 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie totale libérée pendant 60.4 ans est \(E_{lib} \approx 7180 \text{ J}\) (ou 7.18 kJ).

Glossaire des Termes Clés

Radioactivité :

Phénomène par lequel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules et/ou de l'énergie.

Constante de Désintégration (\(\lambda\)) :

Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Unité : \(s^{-1}\), \(h^{-1}\), \(an^{-1}\), etc.

Période Radioactive (\(T_{1/2}\) ou Demi-vie) :

Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux.

Activité (\(A\)) :

Nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq).

Becquerel (Bq) :

Unité d'activité radioactive, équivalant à une désintégration par seconde.

Noyau Radioactif (Radionucléide) :

Noyau atomique instable qui subit une désintégration radioactive.

Loi de Décroissance Radioactive :

Loi mathématique (exponentielle) qui décrit la diminution du nombre de noyaux radioactifs ou de l'activité d'un échantillon au cours du temps.

Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) :

Nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules, etc.) dans une mole de substance. \(N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\).

Masse Molaire (M) :

Masse d'une mole d'une substance (atomes, molécules). Unité : g/mol.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la constante de désintégration \(\lambda\) est-elle liée à la "durée de vie moyenne" \(\tau\) d'un noyau radioactif ?

2. Expliquer pourquoi la datation au Carbone-14 est une application de la loi de décroissance radioactive. Quel type d'objets peut-on dater avec cette méthode et quelles en sont les limites ?

3. Si l'on dispose de deux échantillons radioactifs A et B, où l'isotope A a une période \(T_{A}\) plus courte que la période \(T_{B}\) de l'isotope B. Si les deux échantillons ont initialement la même activité, lequel sera le plus actif après un long moment ? Lequel aura le plus de noyaux désintégrés ?

4. Quelles sont les principales unités utilisées pour mesurer l'exposition aux rayonnements et la dose absorbée par les tissus biologiques ? Quelle est la différence entre elles ?

5. Discuter des précautions à prendre lors de la manipulation de sources radioactives, même celles de faible activité.

Étude du Rayonnement Radioactif du Césium-137