Exercice : Dispersion de la Lumière par un Prisme
Contexte : La dispersion de la lumièrePhénomène de décomposition de la lumière blanche en ses différentes couleurs (spectre) lorsqu'elle traverse un milieu transparent, comme un prisme..
Un faisceau de lumière blanche, comme celle émise par le Soleil, est en réalité un mélange de toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Lorsqu'elle traverse un milieu transparent comme un prisme de verre, ces couleurs sont séparées. Ce phénomène fascinant est dû au fait que l'indice de réfractionGrandeur qui caractérise la capacité d'un milieu à ralentir la lumière. Il dépend de la nature du milieu et de la longueur d'onde de la lumière. du verre n'est pas le même pour toutes les couleurs ; il varie légèrement avec la longueur d'ondeCaractéristique d'une onde lumineuse qui est directement liée à sa couleur. La lumière visible s'étend du violet (courte longueur d'onde) au rouge (longue longueur d'onde)..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les lois de Snell-Descartes dans un cas concret et de quantifier la séparation des couleurs par un prisme, un concept fondamental en optique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer les deux lois de Snell-Descartes pour la réfraction.
- Maîtriser les relations géométriques des angles dans un prisme.
- Calculer l'angle de déviation pour une radiation monochromatique.
- Définir et calculer l'angle de dispersion entre deux radiations.
Données de l'étude
Trajet d'un rayon lumineux dans un prisme
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle au sommet du prisme | \( A \) | 60° |
| Angle d'incidence du rayon | \( i \) | 45° |
| Indice pour la lumière rouge | \( n_{\text{rouge}} \) | 1,510 |
| Indice pour la lumière violette | \( n_{\text{violet}} \) | 1,530 |
Questions à traiter
- Calculer l'angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\) pour la lumière rouge à l'entrée du prisme.
- En déduire l'angle d'incidence \(r'_{\text{rouge}}\) sur la face de sortie pour cette même lumière.
- Calculer l'angle de réfraction final \(i'_{\text{rouge}}\) avec lequel le rayon rouge émerge du prisme.
- Déterminer l'angle de déviation total \(D_{\text{rouge}}\) subi par la lumière rouge.
- Effectuer les mêmes calculs pour la lumière violette afin de trouver sa déviation \(D_{\text{violet}}\), puis calculer l'angle de dispersion \(\delta D = D_{\text{violet}} - D_{\text{rouge}}\).
Les bases sur l'Optique Géométrique
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les lois de la réfraction et la géométrie du prisme.
1. Lois de Snell-Descartes
Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu d'indice \(n_1\) à un milieu d'indice \(n_2\), les angles d'incidence (\(i_1\)) et de réfraction (\(i_2\)) par rapport à la normale sont liés par la relation :
\[ n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2) \]
2. Formules du Prisme
Les angles dans un prisme sont gouvernés par deux relations géométriques clés :
\[ A = r + r' \quad \text{et} \quad D = i + i' - A \]
Où \(A\) est l'angle au sommet, \(r\) et \(r'\) sont les angles à l'intérieur du prisme, et \(D\) est la déviation totale.
Correction : Dispersion de la Lumière par un Prisme
Question 1 : Calcul de l'angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\)
Principe
Le rayon lumineux, en passant de l'air (milieu 1) au verre du prisme (milieu 2), change de direction. Ce phénomène est la réfraction. Le concept physique clé ici est que la lumière est ralentie par le verre, ce qui provoque sa déviation. Pour quantifier cette déviation, on utilise la loi de Snell-Descartes.
Mini-Cours
La loi de Snell-Descartes stipule que le produit de l'indice de réfraction du premier milieu par le sinus de l'angle d'incidence est égal au produit de l'indice du second milieu par le sinus de l'angle de réfraction. Les angles sont toujours mesurés par rapport à la normale (la perpendiculaire) à la surface de séparation des deux milieux.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier clairement les deux milieux, leurs indices (\(n_1\) et \(n_2\)), et de bien repérer les angles d'incidence et de réfraction par rapport à la normale. Un schéma rapide est votre meilleur ami pour éviter les confusions.
Normes
En optique, les lois de Snell-Descartes sont des principes fondamentaux de la physique. Elles ne sont pas des "normes" au sens industriel, mais des lois universelles qui décrivent le comportement de la lumière dans des conditions idéales.
Formule(s)
Loi de Snell-Descartes pour la première réfraction
Hypothèses
Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les surfaces du prisme sont parfaitement planes et lisses.
- Le milieu du prisme (verre) est homogène et isotrope (ses propriétés sont les mêmes partout et dans toutes les directions).
- L'indice de réfraction de l'air est considéré comme étant égal à 1.
Donnée(s)
Voici les valeurs numériques nécessaires pour cette question :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle d'incidence | \(i\) | 45° |
| Indice de l'air | \(n_{\text{air}}\) | 1,000 |
| Indice du prisme pour le rouge | \(n_{\text{rouge}}\) | 1,510 |
Astuces
Comme le rayon lumineux entre dans un milieu plus réfringent (verre, \(n_{\text{rouge}} > n_{\text{air}}\)), il doit se rapprocher de la normale. On s'attend donc à trouver un angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\) plus petit que l'angle d'incidence \(i\). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Réfraction sur la première face du prisme
Calcul(s)
Calcul du sinus de l'angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\)
Calcul de l'angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\)
Schéma (Après les calculs)
Angle de réfraction calculé
Réflexions
Le résultat \(r_{\text{rouge}} \approx 27,95°\) est bien inférieur à \(i = 45°\), ce qui confirme notre intuition : le rayon s'est rapproché de la normale en entrant dans le prisme. La déviation a bien eu lieu comme prévu.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de régler sa calculatrice en mode "degrés" ! Assurez-vous de toujours vérifier ce paramètre avant de faire des calculs trigonométriques. Une autre erreur est d'inverser les indices \(n_1\) et \(n_2\).
Points à retenir
Pour réussir cette étape, il faut maîtriser deux choses : savoir poser correctement la loi de Snell-Descartes (\(n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2\)) et savoir manipuler la formule pour isoler un angle inconnu à l'aide de la fonction arc sinus.
Le saviez-vous ?
Le nom de la loi vient du mathématicien néerlandais Willebrord Snellius, qui l'a découverte vers 1621. Cependant, elle fut formulée pour la première fois par le scientifique persan Ibn Sahl au 10ème siècle ! René Descartes l'a ensuite redécouverte de manière indépendante et popularisée en Europe.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez l'angle de réfraction \(r_{\text{rouge}}\) si le rayon incident arrivait avec un angle de 60°.
Question 2 : Calcul de l'angle d'incidence \(r'_{\text{rouge}}\)
Principe
Cette étape est purement géométrique. Le rayon lumineux se propage en ligne droite à l'intérieur du prisme. La géométrie du prisme impose une relation simple entre l'angle au sommet A, le premier angle de réfraction r, et l'angle d'incidence sur la deuxième face, r'.
Mini-Cours
En considérant le triangle formé par le rayon lumineux à l'intérieur du prisme et le sommet A, on peut démontrer que la somme des angles \(r\) et \(r'\) est égale à l'angle au sommet \(A\). Cette relation est fondamentale pour lier ce qui se passe sur la première face du prisme à ce qui se passe sur la seconde.
Remarque Pédagogique
N'oubliez pas que cette formule est une étape intermédiaire cruciale. Sans elle, il serait impossible de calculer la sortie du rayon. C'est le "pont" géométrique entre les deux réfractions successives que subit la lumière.
Formule(s)
Relation des angles du prisme
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat précédent et une donnée de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle au sommet | \(A\) | 60° |
| Angle de réfraction | \(r_{\text{rouge}}\) | 27,95° |
Schéma (Avant les calculs)
Relation géométrique des angles internes
Calcul(s)
Calcul de l'angle \(r'_{\text{rouge}}\)
Schéma (Après les calculs)
Angles internes calculés
Points de vigilance
La principale source d'erreur ici provient d'une erreur de calcul dans la question précédente. Soyez méticuleux à l'étape 1, car toute imprécision sera reportée ici et dans les étapes suivantes.
Points à retenir
La relation \(A = r + r'\) est l'une des deux formules clés du prisme. Il faut la connaître par cœur et savoir l'utiliser pour trouver l'un des angles si les deux autres sont connus.
Le saviez-vous ?
Certains instruments optiques, comme les jumelles, utilisent des paires de prismes (prismes de Porro) non pas pour disperser la lumière, mais pour la réfléchir plusieurs fois afin de redresser l'image (qui serait sinon inversée) et de réduire la longueur de l'instrument.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un prisme a un angle au sommet de 50° et que le rayon est réfracté à 25° sur la première face, quel est l'angle d'incidence sur la seconde face ?
Question 3 : Calcul de l'angle de réfraction final \(i'_{\text{rouge}}\)
Principe
Le rayon lumineux arrive sur la deuxième interface et passe cette fois du verre à l'air. C'est une nouvelle réfraction. Le rayon est à nouveau dévié. On applique une seconde fois la loi de Snell-Descartes pour déterminer l'angle final avec lequel le rayon quitte le prisme.
Mini-Cours
Le principe de retour inverse de la lumière stipule que si un rayon allant de A à B suit un certain trajet, un rayon partant de B dans la direction opposée suivra exactement le même trajet pour arriver en A. C'est pourquoi la loi de Snell-Descartes s'applique de la même manière, que la lumière entre ou sorte d'un milieu.
Remarque Pédagogique
La logique est exactement la même que pour la première question, mais les rôles des milieux sont inversés. Le milieu 1 est maintenant le verre (\(n_1=n_{\text{rouge}}\)) et le milieu 2 est l'air (\(n_2=n_{\text{air}}\)). Comme le rayon passe dans un milieu moins réfringent, il va s'écarter de la normale. On s'attend donc à ce que \(i'_{\text{rouge}} > r'_{\text{rouge}}\).
Normes
Comme précédemment, la loi de Snell-Descartes est une loi fondamentale de la physique optique.
Formule(s)
Loi de Snell-Descartes pour la deuxième réfraction
Hypothèses
Les hypothèses de milieux homogènes et de surfaces planes sont toujours valables.
Donnée(s)
Nous utilisons les données et le résultat de la question 2 :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle d'incidence interne | \(r'_{\text{rouge}}\) | 32,05° |
| Indice du prisme pour le rouge | \(n_{\text{rouge}}\) | 1,510 |
| Indice de l'air | \(n_{\text{air}}\) | 1,000 |
Astuces
Attention au phénomène de réflexion totale interne ! Si le calcul de \(n_{\text{rouge}} \sin(r'_{\text{rouge}})\) donne une valeur supérieure à 1, cela signifie que \(\sin(i'_{\text{rouge}})\) serait supérieur à 1, ce qui est impossible. Le rayon ne pourrait pas sortir et serait totalement réfléchit à l'intérieur du prisme. C'est une vérification importante à faire.
Schéma (Avant les calculs)
Réfraction sur la deuxième face du prisme
Calcul(s)
Calcul du sinus de l'angle d'émergence \(i'_{\text{rouge}}\)
Calcul de l'angle d'émergence \(i'_{\text{rouge}}\)
Schéma (Après les calculs)
Angle d'émergence calculé
Réflexions
Le résultat \(i'_{\text{rouge}} \approx 53,28°\) est bien supérieur à \(r'_{\text{rouge}} = 32,05°\), comme nous l'avions anticipé. Le rayon s'est bien écarté de la normale en sortant du prisme.
Points de vigilance
Le principal point de vigilance est de bien identifier le sens de la réfraction (verre vers air) pour ne pas inverser les indices dans la formule. Pensez toujours : "d'où vient la lumière, et où va-t-elle ?".
Le saviez-vous ?
La fibre optique fonctionne grâce au principe de réflexion totale interne. La lumière est "piégée" à l'intérieur du cœur de la fibre (en verre ou plastique) car elle frappe constamment l'interface avec la gaine (d'indice plus faible) avec un angle supérieur à l'angle critique. [Image de la structure d'une fibre optique]
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes indices, quel serait l'angle de sortie \(i'_{\text{rouge}}\) si l'angle d'incidence interne \(r'_{\text{rouge}}\) était de 25° ?
Question 4 : Calcul de la déviation totale \(D_{\text{rouge}}\)
Principe
La déviation \(D\) est l'angle qui mesure de combien la direction du rayon a été "cassée" par son passage à travers le prisme. On la trouve en prolongeant le rayon incident et le rayon émergent : la déviation est l'angle entre ces deux droites. C'est la mesure globale de l'effet du prisme sur la trajectoire.
Mini-Cours
La déviation totale est la somme des déviations subies à chaque interface. Une analyse géométrique du trajet du rayon montre qu'elle peut être calculée directement à partir des angles d'entrée (\(i\)), de sortie (\(i'\)) et de l'angle au sommet du prisme (\(A\)).
Remarque Pédagogique
Cette formule est une conclusion logique de la géométrie du prisme. Elle permet d'obtenir le résultat final (la déviation) sans avoir à construire géométriquement les prolongements des rayons, ce qui est très pratique.
Formule(s)
Formule de la déviation du prisme
Donnée(s)
Voici les valeurs numériques nécessaires pour cette question :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle d'incidence | \(i\) | 45° |
| Angle d'émergence | \(i'_{\text{rouge}}\) | 53,28° |
| Angle au sommet | \(A\) | 60° |
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'angle de déviation D
Calcul(s)
Calcul de l'angle de déviation \(D_{\text{rouge}}\)
Schéma (Après les calculs)
Angle de déviation calculé
Réflexions
Une déviation de plus de 38 degrés est considérable. Cela montre qu'un prisme est un outil optique très efficace pour dévier la lumière. C'est cette forte déviation, couplée à sa dépendance à l'indice (et donc à la couleur), qui le rend si utile.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de soustraire l'angle au sommet A, ou de l'additionner par erreur. Retenez la structure de la formule : (somme des angles extérieurs) - (angle au sommet).
Points à retenir
La formule \(D = i + i' - A\) est la seconde formule clé du prisme. Elle conclut le calcul de la trajectoire en donnant une mesure globale de l'effet du prisme.
Le saviez-vous ?
C'est en 1666 qu'Isaac Newton, à l'aide de deux prismes, a mené ses expériences cruciales (Experimentum Crucis). Il a prouvé que la lumière blanche était un mélange de couleurs et que le prisme ne faisait que les séparer sans les modifier. [Image de l'Experimentum crucis de Newton]
Résultat Final
A vous de jouer
Un rayon entre à i=50° et sort à i'=55° d'un prisme d'angle A=60°. Quelle est sa déviation D ?
Question 5 : Déviation violette et angle de dispersion
Principe
Le cœur du phénomène de dispersion réside dans le fait que l'indice de réfraction du verre n'est pas le même pour toutes les couleurs. Il est légèrement plus élevé pour le violet que pour le rouge. Cette petite différence d'indice va entraîner une différence dans les angles de réfraction et donc une déviation totale différente pour chaque couleur. La dispersion est simplement cette différence de déviation.
Mini-Cours
Un milieu est dit "dispersif" si son indice de réfraction \(n\) dépend de la longueur d'onde \(\lambda\) (c'est-à-dire de la couleur) de la lumière. Pour le verre ordinaire, \(n\) diminue lorsque \(\lambda\) augmente. Ainsi, \(n_{\text{violet}} > n_{\text{bleu}} > n_{\text{vert}} > ... > n_{\text{rouge}}\). Par conséquent, la lumière violette est toujours plus déviée que la lumière rouge.
Remarque Pédagogique
Cette question est la synthèse de tout l'exercice. Elle ne demande pas de nouveau concept, mais d'appliquer rigoureusement la même méthode que pour la lumière rouge. La clé du succès est d'être organisé : refaites le cheminement étape par étape, en remplaçant simplement l'indice du rouge par celui du violet, pour éviter toute confusion.
Formule(s)
Définition de la dispersion angulaire
Donnée(s)
Voici les valeurs numériques nécessaires pour cette question :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle d'incidence | \(i\) | 45° |
| Angle au sommet | \(A\) | 60° |
| Indice pour le violet | \(n_{\text{violet}}\) | 1,530 |
| Déviation pour le rouge | \(D_{\text{rouge}}\) | 38,28° |
Schéma (Avant les calculs)
Incidence de la lumière blanche
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(r_{\text{violet}}\)
Étape 2 : Calcul de \(r'_{\text{violet}}\)
Étape 3 : Calcul de \(i'_{\text{violet}}\)
Étape 4 : Calcul de \(D_{\text{violet}}\)
Étape 5 : Calcul de l'angle de dispersion
Schéma (Après les calculs)
Dispersion de la lumière par le prisme
Réflexions
Un écart de presque 2° entre le rouge et le violet est significatif. Si on place un écran à quelques mètres, les deux couleurs formeront des taches lumineuses bien distinctes. C'est la preuve visible que l'indice de réfraction dépend de la couleur.
Points de vigilance
Le plus grand risque est de se mélanger dans les calculs. Il faut être très méthodique : faire d'abord toute la séquence pour le rouge, puis la refaire entièrement pour le violet. Ne mélangez pas les indices ou les angles intermédiaires !
Le saviez-vous ?
Le phénomène de dispersion est responsable des arcs-en-ciel, où les gouttes d'eau en suspension dans l'air agissent comme des millions de petits prismes décomposant la lumière du soleil. [Image de l'arc-en-ciel]
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Une lumière jaune, d'indice \(n_{\text{jaune}} = 1,515\), traverse le même prisme avec le même angle d'incidence. Quelle serait sa déviation \(D_{\text{jaune}}\) ?
Outil Interactif : Simulateur de Prisme
Utilisez les curseurs pour faire varier l'angle d'incidence et l'angle au sommet du prisme. Observez comment la déviation et la dispersion des couleurs rouge et violette sont affectées. Le graphique montre la courbe de déviation en fonction de l'angle d'incidence, mettant en évidence le minimum de déviation.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est le principal phénomène responsable de la séparation des couleurs par un prisme ?
2. Si l'indice de réfraction d'un verre augmente, comment la déviation d'un rayon lumineux traversant un prisme de ce verre sera-t-elle affectée (tous autres paramètres égaux) ?
3. Dans le vide, la vitesse de la lumière rouge et celle de la lumière violette sont...
- Dispersion de la lumière
- Phénomène de décomposition de la lumière blanche en ses différentes couleurs (spectre) lorsqu'elle traverse un milieu transparent, comme un prisme.
- Indice de réfraction (n)
- Grandeur sans dimension qui caractérise la capacité d'un milieu à ralentir et à dévier la lumière. Il est défini par le rapport \( n = c/v \), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide et \(v\) est sa vitesse dans le milieu.
- Loi de Snell-Descartes
- Loi fondamentale de l'optique qui décrit le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux différents. Elle s'écrit \( n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2) \).
- Longueur d'onde (\(\lambda\))
- Caractéristique d'une onde lumineuse qui est directement liée à sa couleur perçue. La lumière visible s'étend du violet (courte longueur d'onde, ~400 nm) au rouge (longue longueur d'onde, ~700 nm).
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires