Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

Un petit avion réalise une mission de reconnaissance au-dessus d’une région montagneuse. Il doit survoler trois points d’intérêt, désignés A, B et C, situés sur un même plan horizontal. Ces points sont atteints respectivement aux temps donnés ci-dessous, avec les positions suivantes :

Objectif

Calculer le vecteur vitesse moyenne de l’avion entre chaque paire de points (de A à B, puis de B à C).

Données

Point A : Position \(A = (x_A, y_A) = (0, 0) \, \text{m}\) au temps \(t_A = 0 \, \text{s}\).
Point B : Position \(B = (x_B, y_B) = (1500, 1000) \, \text{m}\) au temps \(t_B = 300 \, \text{s}\).
Point C : Position \(C = (x_C, y_C) = (3500, 500) \, \text{m}\) au temps \(t_C = 700 \, \text{s}\).

Trajectoire de l'avion et vecteurs déplacement.

Questions

Calculer le vecteur déplacement \(\vec{AB}\) de A à B.
Calculer le vecteur déplacement \(\vec{BC}\) de B à C.
Calculer les vecteurs vitesse moyenne :
- Déterminer le vecteur vitesse moyenne \(\vec{v}_{AB}\) de A à B.
- Déterminer le vecteur vitesse moyenne \(\vec{v}_{BC}\) de B à C.
Analyser et comparer les deux vecteurs vitesses (norme et direction).

Correction : Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

1. Calcul du Vecteur Déplacement \(\vec{AB}\)

Le vecteur déplacement d'un point \(P_1(x_1, y_1)\) à un point \(P_2(x_2, y_2)\) est donné par \(\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\).

Données pour cette étape

Point A : \(A = (0, 0) \, \text{m}\)
Point B : \(B = (1500, 1000) \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} \vec{AB} &= (x_B - x_A, y_B - y_A) \\ \vec{AB} &= (1500 - 0, 1000 - 0) \, \text{m} \\ \vec{AB} &= (1500, 1000) \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

Le vecteur déplacement de A à B est \(\vec{AB} = (1500 \, \text{m}, 1000 \, \text{m})\).

2. Calcul du Vecteur Déplacement \(\vec{BC}\)

De même, le vecteur déplacement de B à C est \(\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B)\).

Données pour cette étape

Point B : \(B = (1500, 1000) \, \text{m}\)
Point C : \(C = (3500, 500) \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} \vec{BC} &= (x_C - x_B, y_C - y_B) \\ \vec{BC} &= (3500 - 1500, 500 - 1000) \, \text{m} \\ \vec{BC} &= (2000, -500) \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

Le vecteur déplacement de B à C est \(\vec{BC} = (2000 \, \text{m}, -500 \, \text{m})\).

3. Calcul des Vecteurs Vitesse Moyenne

Le vecteur vitesse moyenne \(\vec{v}_{moy}\) entre deux points est le vecteur déplacement divisé par l'intervalle de temps \(\Delta t\) nécessaire pour effectuer ce déplacement. \[ \vec{v}_{moy} = \frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t} \]

a) Vecteur Vitesse Moyenne de A à B (\(\vec{v}_{AB}\))

Vecteur déplacement \(\vec{AB} = (1500, 1000) \, \text{m}\)
Temps \(t_A = 0 \, \text{s}\), \(t_B = 300 \, \text{s}\)
Intervalle de temps \(\Delta t_{AB} = t_B - t_A = 300 \, \text{s} - 0 \, \text{s} = 300 \, \text{s}\)

\begin{aligned} \vec{v}_{AB} &= \frac{\vec{AB}}{\Delta t_{AB}} \\ \vec{v}_{AB} &= \left( \frac{1500 \, \text{m}}{300 \, \text{s}}, \frac{1000 \, \text{m}}{300 \, \text{s}} \right) \\ \vec{v}_{AB} &= (5 \, \text{m/s}, 3.33 \, \text{m/s}) \end{aligned}

b) Vecteur Vitesse Moyenne de B à C (\(\vec{v}_{BC}\))

Vecteur déplacement \(\vec{BC} = (2000, -500) \, \text{m}\)
Temps \(t_B = 300 \, \text{s}\), \(t_C = 700 \, \text{s}\)
Intervalle de temps \(\Delta t_{BC} = t_C - t_B = 700 \, \text{s} - 300 \, \text{s} = 400 \, \text{s}\)

\begin{aligned} \vec{v}_{BC} &= \frac{\vec{BC}}{\Delta t_{BC}} \\ \vec{v}_{BC} &= \left( \frac{2000 \, \text{m}}{400 \, \text{s}}, \frac{-500 \, \text{m}}{400 \, \text{s}} \right) \\ \vec{v}_{BC} &= (5 \, \text{m/s}, -1.25 \, \text{m/s}) \end{aligned}

Résultats (Vecteurs Vitesse)

Vecteur vitesse moyenne de A à B : \(\vec{v}_{AB} = (5 \, \text{m/s}, 3.33 \, \text{m/s})\)
Vecteur vitesse moyenne de B à C : \(\vec{v}_{BC} = (5 \, \text{m/s}, -1.25 \, \text{m/s})\)

4. Analyse et Comparaison des Vecteurs Vitesses

Pour analyser et comparer les vecteurs vitesses, nous pouvons calculer leurs normes (vitesses scalaires moyennes) et leurs directions (angles par rapport à l'axe des x). La norme d'un vecteur \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) est \(||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\). L'angle \(\alpha\) par rapport à l'axe des x est \(\alpha = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\).

Calculs pour \(\vec{v}_{AB} = (5, 3.33) \, \text{m/s}\)

Norme (vitesse scalaire) :

||\vec{v}_{AB}|| = \sqrt{5^2 + (3.33)^2} \] \[ ||\vec{v}_{AB}|| = \sqrt{25 + 11.0889} \] \[ ||\vec{v}_{AB}|| = \sqrt{36.0889} \approx 6.01 \, \text{m/s}

Direction (angle par rapport à l'axe x positif) :

\alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{3.33}{5}\right) \] \[ \alpha_{AB} = \arctan(0.666) \] \[ \alpha_{AB} \approx 33.69^\circ

Calculs pour \(\vec{v}_{BC} = (5, -1.25) \, \text{m/s}\)

Norme (vitesse scalaire) :

||\vec{v}_{BC}|| = \sqrt{5^2 + (-1.25)^2} = \sqrt{25 + 1.5625} = \sqrt{26.5625} \approx 5.15 \, \text{m/s}

Direction (angle par rapport à l'axe x positif) :

\alpha_{BC} = \arctan\left(\frac{-1.25}{5}\right) \] \[ \alpha_{BC} = \arctan(-0.25) \] \[ \alpha_{BC} \approx -14.04^\circ

(Un angle négatif signifie une direction sous l'axe des x positifs).

Comparaison et Conclusion

Vitesse scalaire moyenne : L'avion a une vitesse scalaire moyenne d'environ \(6.01 \, \text{m/s}\) entre A et B, et d'environ \(5.15 \, \text{m/s}\) entre B et C. Il a donc ralenti entre le segment AB et le segment BC.
Direction :
- De A à B, la direction est d'environ \(33.7^\circ\) par rapport à l'horizontale (Est), indiquant un mouvement vers le Nord-Est.
- De B à C, la direction est d'environ \(-14.0^\circ\) par rapport à l'horizontale (Est), indiquant un mouvement vers le Sud-Est.

L'avion a donc changé de direction de manière significative et a réduit sa vitesse moyenne lors du passage du segment AB au segment BC.

Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet