Calcul du Grandissement d'une Image
Contexte : L'optique, la science de la vision et des images.
En optique géométrique, le grandissement transversalLe grandissement (γ) est un nombre sans dimension qui compare la taille de l'image (A'B') à celle de l'objet (AB). S'il est négatif, l'image est renversée. S'il est supérieur à 1 (en valeur absolue), l'image est agrandie. est une grandeur fondamentale qui permet de caractériser l'image d'un objet formée par un système optique, comme une lentille. Savoir le calculer est essentiel pour comprendre le fonctionnement d'instruments comme l'appareil photo, le microscope ou la lunette astronomique. Cet exercice vous guidera à travers les calculs pour déterminer la position, la taille et le grandissement d'une image formée par une lentille mince convergente.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des formules de base de l'optique. Nous allons utiliser les relations de conjugaison et de grandissement pour prédire les caractéristiques d'une image. C'est une démarche fondamentale en physique : utiliser un modèle mathématique pour décrire et prédire un phénomène observable.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la relation de conjugaison pour trouver la position d'une image.
- Utiliser la relation de grandissement pour déterminer la taille et le sens de l'image.
- Maîtriser l'utilisation des mesures algébriques et des conventions de signe en optique.
- Interpréter les résultats : image réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite.
- Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en optique (cm, m, dioptries).
Données de l'étude
Schéma du montage optique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance focale image | \(\overline{OF'}\) | +10 | \(\text{cm}\) |
| Position de l'objet | \(\overline{OA}\) | -30 | \(\text{cm}\) |
| Hauteur de l'objet | \(\overline{AB}\) | +1,0 | \(\text{cm}\) |
Questions à traiter
- Déterminer la position \(\overline{OA'}\) de l'image A'B' en utilisant la relation de conjugaison.
- Calculer le grandissement transversal \(\gamma\) de la lentille.
- En déduire la hauteur \(\overline{A'B'}\) de l'image.
- Caractériser l'image obtenue (réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite).
Les bases de l'Optique Géométrique
Avant de plonger dans la correction, revoyons les formules essentielles pour les lentilles minces.
1. La Relation de Conjugaison :
Cette formule relie la position de l'objet \(\overline{OA}\), la position de l'image \(\overline{OA'}\) et la distance focale image \(\overline{OF'}\). Toutes ces grandeurs sont algébriques (elles peuvent être positives ou négatives).
\[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} \]
2. La Relation de Grandissement :
Le grandissement \(\gamma\) (gamma) est le rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet. Il est aussi égal au rapport des positions de l'image et de l'objet.
\[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]
3. Conventions de Signe :
- L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite).
- Les distances (\(\overline{OA}, \overline{OA'}, \overline{OF'}\)) sont positives si elles sont dans le sens de la lumière, négatives sinon.
- Les hauteurs (\(\overline{AB}, \overline{A'B'}\)) sont positives si elles sont orientées vers le haut, négatives vers le bas.
Correction : Calcul du Grandissement de l'Image
Question 1 : Déterminer la position de l'image (\(\overline{OA'}\))
Principe (le concept physique)
La relation de conjugaison est une conséquence directe des lois de la réfraction de la lumière (loi de Snell-Descartes) appliquées à une lentille mince. Elle établit un lien mathématique entre l'espace objet (d'où vient la lumière) et l'espace image (où la lumière converge ou semble diverger). En connaissant la nature de la lentille (sa distance focale) et la position de l'objet, on peut prédire sans ambiguïté où se formera son image nette.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule peut être réarrangée pour isoler la position de l'image : \(\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{\overline{OF'}} + \frac{1}{\overline{OA}}\). Il est crucial de manipuler les fractions correctement. Une fois le calcul de \(1/\overline{OA'}\) effectué, il ne faut pas oublier d'inverser le résultat pour obtenir \(\overline{OA'}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'erreur la plus fréquente est l'oubli des signes. Pensez "algébrique" ! L'objet est avant la lentille, donc \(\overline{OA}\) est négatif. La lentille est convergente, donc sa distance focale \(\overline{OF'}\) est positive. Une erreur de signe ici fausse complètement le résultat.
Normes (la référence réglementaire)
La convention de signe utilisée ici (origine au centre optique O, axe orienté dans le sens de la lumière) est la convention standard de l'optique géométrique française. Il est essentiel de toujours la respecter pour que les formules soient applicables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la relation de conjugaison de Descartes :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans les conditions de Gauss : la lentille est considérée comme mince et les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (rayons paraxiaux).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Position de l'objet, \(\overline{OA} = -30 \, \text{cm}\)
- Distance focale image, \(\overline{OF'} = +10 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, on peut anticiper. L'objet est placé au-delà de deux fois la distance focale (\(30 > 2 \times 10\)). Pour une lentille convergente, on s'attend donc à trouver une image réelle, renversée, et plus petite, située entre F' et 2F'. La position de l'image \(\overline{OA'}\) devrait donc être positive et inférieure à 30 cm.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche de la Position de l'Image
Calcul(s) (l'application numérique)
1. On isole \(1/\overline{OA'}\) :
2. On remplace par les valeurs numériques (en cm) :
3. On inverse pour trouver \(\overline{OA'}\) :
Schéma (Après les calculs)
Position de l'Image Trouvée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat \(\overline{OA'} = +15 \, \text{cm}\) est positif. Cela signifie que l'image se forme après la lentille, dans le sens de propagation de la lumière. C'est donc une image réelle. On peut la former sur un écran. Le résultat est cohérent avec notre prédiction.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne vous arrêtez pas au calcul de \(1/\overline{OA'}\). Une erreur classique est de donner \(1/15\) comme réponse finale. Il faut toujours penser à inverser la fraction pour obtenir la distance \(\overline{OA'}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La relation de conjugaison lie la position de l'objet, de l'image et la focale.
- Les grandeurs sont algébriques : le signe est crucial.
- Un \(\overline{OA'}\) positif signifie une image réelle (formée après la lentille).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La puissance d'une lentille, appelée vergence (C), est l'inverse de sa distance focale en mètres. Elle se mesure en dioptries (\(\delta\)). Pour notre lentille, \(f' = +0,10\) m, donc sa vergence est \(C = 1/0,10 = +10 \, \delta\). C'est cette valeur que votre ophtalmologue utilise sur votre ordonnance !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objet est placé à 20 cm de la lentille (\(\overline{OA}=-20 \, \text{cm}\)), où se trouve l'image \(\overline{OA'}\) en cm ?
Question 2 : Calculer le grandissement transversal (\(\gamma\))
Principe (le concept physique)
Le grandissement est un simple rapport de proportionnalité. Il découle directement de la géométrie du système, en particulier du fait que les rayons lumineux passant par le centre optique O ne sont pas déviés. En appliquant le théorème de Thalès aux triangles OAB et OA'B', on démontre facilement la relation \(\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}\). Le grandissement nous renseigne à la fois sur la taille relative et sur l'orientation de l'image.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le théorème de Thalès, appliqué aux triangles OAB et OA'B' qui sont en opposition par le sommet O, nous donne directement \(\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\). Cette relation est fondamentale car elle lie les dimensions transversales (hauteurs) aux dimensions longitudinales (positions).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez au grandissement comme à un "facteur d'échelle". S'il est de -2, cela signifie que vous appliquez un zoom x2 et que vous retournez l'image. S'il est de +0.5, vous dézoomez pour diviser la taille par 2, sans la retourner.
Normes (la référence réglementaire)
La définition du grandissement et les conventions de signe associées sont universelles en optique géométrique pour garantir que les résultats soient interprétables de la même manière par tous.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la deuxième partie de la formule du grandissement :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que pour la relation de conjugaison (conditions de Gauss), qui permettent d'établir la configuration géométrique simple (triangles de Thalès) à l'origine de cette formule.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Position de l'objet, \(\overline{OA} = -30 \, \text{cm}\)
- Position de l'image, \(\overline{OA'} = +15 \, \text{cm}\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez la cohérence des signes. Ici, \(\overline{OA'}\) est positif et \(\overline{OA}\) est négatif. Le résultat doit donc être négatif. Cela confirme que pour une lentille convergente formant une image réelle d'un objet réel, l'image est toujours renversée.
Schéma (Avant les calculs)
Triangles de Thalès pour le Grandissement
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les valeurs algébriques.
Schéma (Après les calculs)
Interprétation du Grandissement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le grandissement est un nombre sans unité. On trouve \(\gamma = -0,5\). L'interprétation est double :
1. Le signe est négatif : cela signifie que l'image est renversée par rapport à l'objet.
2. La valeur absolue est 0,5 (inférieure à 1) : cela signifie que l'image est deux fois plus petite que l'objet.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Encore une fois, l'erreur principale est d'oublier les signes et de calculer \(15/30 = 0,5\). Le signe négatif est crucial car il indique le sens de l'image. Un grandissement positif signifie une image droite.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}\).
- Si \(\gamma < 0\), l'image est renversée.
- Si \(|\gamma| < 1\), l'image est réduite.
- Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans un projecteur de cinéma ou un vidéoprojecteur, l'objectif est une lentille convergente qui forme une image réelle, renversée et très agrandie (\(|\gamma| \gg 1\)) sur l'écran. C'est pour cela que les diapositives ou les films doivent être insérés "à l'envers" dans l'appareil !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour le cas de la question précédente (\(\overline{OA}=-20 \, \text{cm}\) et \(\overline{OA'}=+20 \, \text{cm}\)), quel est le grandissement \(\gamma\) ?
Question 3 : En déduire la hauteur de l'image (\(\overline{A'B'}\))
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous connaissons le rapport de taille entre l'image et l'objet (le grandissement \(\gamma\)), et que nous connaissons la taille de l'objet, il est très simple de trouver la taille de l'image. C'est une simple multiplication. Cette étape relie directement le concept abstrait de grandissement à une grandeur mesurable et concrète : la hauteur de l'image que l'on observerait sur un écran.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(\overline{A'B'} = \gamma \cdot \overline{AB}\) est une simple relation de proportionnalité. Elle montre que si l'objet a une taille nulle (\(\overline{AB}=0\), un point sur l'axe), son image aura aussi une taille nulle (un point sur l'axe). Elle préserve aussi les signes : un grandissement négatif appliqué à un objet "droit" (positif) donne bien une image "renversée" (négative).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'étape la plus directe. Si vous avez correctement calculé le grandissement, il n'y a pas de piège ici. Assurez-vous simplement de multiplier les bonnes valeurs et de conserver le signe obtenu.
Normes (la référence réglementaire)
Pas de norme spécifique ici, il s'agit d'une application directe de la définition du grandissement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la première partie de la formule du grandissement, que l'on réarrange :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. Ce calcul est une conséquence directe des précédents.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Grandissement, \(\gamma = -0,5\) (du calcul Q2)
- Hauteur de l'objet, \(\overline{AB} = +1,0 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est immédiat. C'est une bonne occasion de vérifier la cohérence de l'ensemble. Si vous aviez trouvé un grandissement de -2, la hauteur de l'image serait de -2 cm. Si vous aviez trouvé +0.5, la hauteur serait de +0.5 cm, etc.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la Taille de l'Image
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule.
Schéma (Après les calculs)
Hauteur de l'Image Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) est de -0,5 cm. Le signe négatif confirme que l'image est bien renversée (elle pointe vers le bas). Sa taille est de 0,5 cm, ce qui est bien la moitié de la taille de l'objet (1,0 cm).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux unités. Si la taille de l'objet est en cm, la taille de l'image sera aussi en cm. Le grandissement, lui, n'a pas d'unité.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La taille de l'image est simplement la taille de l'objet multipliée par le grandissement.
- Le signe de la hauteur de l'image indique son sens (+ vers le haut, - vers le bas).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Sur le capteur d'un appareil photo numérique, la taille de l'image formée par l'objectif est minuscule, souvent de l'ordre de quelques millimètres seulement. Le grandissement est donc très faible (par exemple 0.05). C'est la résolution du capteur (le nombre de pixels) qui permet ensuite d'obtenir une photo détaillée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objet mesure 3 cm (\(\overline{AB}=+3 \, \text{cm}\)) et que le grandissement est de -1, quelle est la hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) en cm ?
Question 4 : Caractériser l'image
Principe (le concept physique)
Cette dernière étape est une synthèse de tous les résultats précédents. En physique, un calcul n'est pas une fin en soi ; il doit être interprété pour décrire le monde réel. Caractériser l'image, c'est traduire les résultats mathématiques (\(\overline{OA'} > 0, \gamma < 0, |\gamma| < 1\)) en un langage descriptif qui correspond à ce que l'on observerait dans une expérience réelle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La caractérisation d'une image se fait toujours sur trois critères :
1. Nature : Réelle (\(\overline{OA'} > 0\)) ou Virtuelle (\(\overline{OA'} < 0\)).
2. Sens : Droite (\(\gamma > 0\)) ou Renversée (\(\gamma < 0\)).
3. Taille : Agrandie (\(|\gamma| > 1\)), Réduite (\(|\gamma| < 1\)) ou de même taille (\(|\gamma| = 1\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le moment de vérifier la cohérence de l'ensemble de votre travail. Les trois caractéristiques doivent former un tout logique. Par exemple, pour une lentille convergente et un objet réel, une image réelle est toujours renversée. Si vous trouvez "réelle et droite", il y a certainement une erreur de signe quelque part !
Normes (la référence réglementaire)
Ce vocabulaire (réelle/virtuelle, droite/renversée, agrandie/réduite) est le langage standard utilisé en optique pour décrire les images.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il n'y a pas de nouvelle formule, il s'agit d'interpréter les signes et les valeurs de \(\overline{OA'}\) et \(\gamma\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les conclusions sont valides dans le cadre des hypothèses de l'optique géométrique (conditions de Gauss).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Position de l'image, \(\overline{OA'} = +15 \, \text{cm}\)
- Grandissement, \(\gamma = -0,5\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Créez une petite "check-list" mentale : 1. Signe de \(\overline{OA'}\) ? -> Nature. 2. Signe de \(\gamma\) ? -> Sens. 3. Valeur absolue de \(\gamma\) comparée à 1 ? -> Taille. En suivant ces trois étapes, vous n'oublierez aucune caractéristique.
Schéma (Avant les calculs)
Synthèse des Caractéristiques
Calcul(s) (l'application numérique)
Ce n'est pas un calcul, mais une interprétation directe des résultats précédents.
Schéma (Après les calculs)
Image Caractérisée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
En rassemblant toutes nos conclusions :
- Puisque \(\overline{OA'} = +15 \, \text{cm}\) est positif, l'image est RÉELLE.
- Puisque \(\gamma = -0,5\) est négatif, l'image est RENVERSÉE.
- Puisque \(|\gamma| = 0,5\) est inférieur à 1, l'image est RÉDUITE (plus petite que l'objet).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas "réduite" et "renversée". Une image peut être agrandie et renversée (cas du projecteur), ou réduite et droite (cas d'une lentille divergente). Ce sont deux caractéristiques indépendantes, déterminées respectivement par la valeur absolue et le signe du grandissement.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La caractérisation de l'image est la conclusion de l'exercice.
- Elle doit comporter trois points : nature, sens et taille.
- Chaque caractéristique découle directement d'un signe ou d'une comparaison de valeur d'un résultat calculé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les objectifs des appareils photo reflex sont des systèmes complexes de plusieurs lentilles (convergentes et divergentes). L'ensemble est conçu pour former une image réelle et réduite sur le capteur, tout en corrigeant les défauts optiques (aberrations chromatiques, distorsions) qu'une lentille unique produirait inévitablement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une image est formée avec \(\overline{OA'}=-20 \, \text{cm}\) et \(\gamma=+2\). Caractérisez-la.
Outil Interactif : Simulation d'une Lentille Convergente
Modifiez les paramètres de l'objet et de la lentille pour voir leur influence sur l'image.
Paramètres d'Entrée
Caractéristiques de l'Image
Le Saviez-Vous ?
L'œil humain fonctionne exactement comme une lentille convergente ! Le cristallin joue le rôle de la lentille, et la rétine celui de l'écran. L'image qui se forme sur notre rétine est donc, comme dans notre exercice, réelle, renversée et beaucoup plus petite que l'objet que nous regardons. C'est notre cerveau qui "remet l'image à l'endroit" !
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il avec une lentille divergente ?
Une lentille divergente a une distance focale négative (\(\overline{OF'} < 0\)). Elle donne toujours d'un objet réel une image virtuelle, droite et plus petite que l'objet. Les formules restent les mêmes, mais les signes changent, ce qui modifie radicalement les résultats.
Comment construire graphiquement l'image ?
On peut retrouver la position et la taille de l'image sans calcul, en traçant au moins deux des trois "rayons caractéristiques" : 1) Le rayon passant par O n'est pas dévié. 2) Le rayon arrivant parallèlement à l'axe ressort en passant par le foyer image F'. 3) Le rayon passant par le foyer objet F ressort parallèlement à l'axe. L'image B' est à l'intersection de ces rayons.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. On place un objet à 10 cm d'une lentille convergente de focale +20 cm. L'image sera...
2. Un grandissement de \(\gamma = +2\) signifie que l'image est...
- Relation de Conjugaison
- Formule mathématique qui lie la position de l'objet (\(\overline{OA}\)), de l'image (\(\overline{OA'}\)) et la distance focale (\(\overline{OF'}\)) pour une lentille mince.
- Grandissement Transversal (\(\gamma\))
- Nombre sans dimension qui indique le rapport de taille et d'orientation entre l'image et l'objet. \(\gamma = \overline{A'B'}/\overline{AB}\).
- Image Réelle vs. Virtuelle
- Une image est réelle si elle est formée par la convergence effective des rayons lumineux (on peut la projeter sur un écran, \(\overline{OA'} > 0\)). Elle est virtuelle si elle est formée par le prolongement des rayons (on ne peut la voir qu'à travers la lentille, \(\overline{OA'} < 0\)).
D’autres exercices de physique seconde:
0 commentaires