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Exercices Physique Chimie

Calcul du Grandissement de l’image

Calcul du Grandissement de l’Image

Calcul du Grandissement de l’Image en Optique

Comprendre le Grandissement Transversal d'une Image

En optique géométrique, lorsqu'un objet est placé devant un système optique (comme une lentille mince), une image de cet objet peut être formée. Le grandissement transversal (\(\gamma\)) est une grandeur sans dimension qui compare la taille et l'orientation de l'image à celles de l'objet. Il est défini comme le rapport de la hauteur algébrique de l'image (\(\overline{A'B'}\)) à la hauteur algébrique de l'objet (\(\overline{AB}\)). Le grandissement nous renseigne sur si l'image est agrandie ou réduite, et si elle est droite ou renversée par rapport à l'objet. Ces informations sont essentielles pour comprendre le fonctionnement des instruments d'optique tels que les loupes, les microscopes ou les télescopes.

Données de l'étude

On considère un objet lumineux \(AB\) de hauteur \(\overline{AB} = 2.0 \, \text{cm}\). Cet objet est placé perpendiculairement à l'axe optique d'une lentille mince convergente (L). Le point A de l'objet est sur l'axe optique.

Caractéristiques de la lentille et de l'objet :

  • Type de lentille : Convergente
  • Distance focale image : \(f' = +5.0 \, \text{cm}\)
  • Position de l'objet par rapport au centre optique O : \(\overline{OA} = -15.0 \, \text{cm}\) (l'objet est placé avant la lentille, dans le sens de propagation de la lumière étant de gauche à droite).
  • Hauteur de l'objet : \(\overline{AB} = +2.0 \, \text{cm}\) (objet dressé).
Schéma de la situation initiale
Axe optique L O B A F F' Objet AB devant une lentille convergente L.

Situation de l'objet AB par rapport à la lentille L.

Questions à traiter

  1. Déterminer la position \(\overline{OA'}\) de l'image \(A'B'\) formée par la lentille en utilisant la relation de conjugaison de Descartes.
  2. Calculer le grandissement transversal \(\gamma\) de l'image.
  3. Calculer la hauteur algébrique \(\overline{A'B'}\) de l'image.
  4. Décrire les caractéristiques de l'image formée (nature : réelle ou virtuelle ; sens : droite ou renversée ; taille : agrandie, réduite ou de même taille que l'objet).

Correction : Calcul du Grandissement de l’Image

Question 1 : Position de l'image (\(\overline{OA'}\))

Principe :

La relation de conjugaison de Descartes pour les lentilles minces relie la position de l'objet (\(\overline{OA}\)), la position de l'image (\(\overline{OA'}\)) et la distance focale image (\(f'\)) de la lentille.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\overline{OA} = -15.0 \, \text{cm}\)
  • \(f' = +5.0 \, \text{cm}\)

Isolons \(\frac{1}{\overline{OA'}}\) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} \\ &= \frac{1}{5.0 \, \text{cm}} + \frac{1}{-15.0 \, \text{cm}} \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{15} \, \text{cm}^{-1} \\ &= \frac{3}{15} - \frac{1}{15} \, \text{cm}^{-1} \\ &= \frac{2}{15} \, \text{cm}^{-1} \end{aligned} \]

Donc, \(\overline{OA'}\) est :

\[ \begin{aligned} \overline{OA'} &= \frac{15}{2} \, \text{cm} \\ &= +7.5 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La position de l'image est \(\overline{OA'} = +7.5 \, \text{cm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la position de l'image \(\overline{OA'}\) est positive, cela signifie que l'image est :

Question 2 : Grandissement transversal (\(\gamma\))

Principe :

Le grandissement transversal (\(\gamma\)) peut être calculé à partir des positions de l'objet (\(\overline{OA}\)) et de l'image (\(\overline{OA'}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\overline{OA'} = +7.5 \, \text{cm}\)
  • \(\overline{OA} = -15.0 \, \text{cm}\)
\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{+7.5 \, \text{cm}}{-15.0 \, \text{cm}} \\ &= -0.5 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le grandissement transversal est \(\gamma = -0.5\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un grandissement \(\gamma = -0.5\) indique que l'image est :

Question 3 : Hauteur algébrique de l'image (\(\overline{A'B'}\))

Principe :

La hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) est obtenue en multipliant la hauteur de l'objet \(\overline{AB}\) par le grandissement transversal \(\gamma\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{A'B'} = \gamma \cdot \overline{AB}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\gamma = -0.5\)
  • \(\overline{AB} = +2.0 \, \text{cm}\)
\[ \begin{aligned} \overline{A'B'} &= -0.5 \cdot (+2.0 \, \text{cm}) \\ &= -1.0 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur algébrique de l'image est \(\overline{A'B'} = -1.0 \, \text{cm}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si \(\overline{A'B'}\) est négatif et \(\overline{AB}\) est positif, cela signifie que l'image est :

Question 4 : Caractéristiques de l'image

Principe :

Les caractéristiques de l'image (nature, sens, taille) se déduisent des signes et des valeurs de \(\overline{OA'}\), \(\gamma\) et \(\overline{A'B'}\).

  • Nature de l'image : Elle est déterminée par le signe de \(\overline{OA'}\).
    • Si \(\overline{OA'} > 0\), l'image est réelle (formée après la lentille, peut être recueillie sur un écran).
    • Si \(\overline{OA'} < 0\), l'image est virtuelle (formée avant la lentille, ne peut pas être recueillie sur un écran).
  • Sens de l'image (orientation) : Il est déterminé par le signe du grandissement \(\gamma\) (ou le signe de \(\overline{A'B'}\) par rapport à \(\overline{AB}\)).
    • Si \(\gamma > 0\) (ou si \(\overline{A'B'}\) et \(\overline{AB}\) ont le même signe), l'image est droite (même sens que l'objet).
    • Si \(\gamma < 0\) (ou si \(\overline{A'B'}\) et \(\overline{AB}\) ont des signes opposés), l'image est renversée (sens opposé à l'objet).
  • Taille de l'image par rapport à l'objet : Elle est déterminée par la valeur absolue du grandissement \(|\gamma|\).
    • Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie.
    • Si \(|\gamma| < 1\), l'image est réduite.
    • Si \(|\gamma| = 1\), l'image a la même taille que l'objet.
Analyse des résultats :
  • Nous avons calculé \(\overline{OA'} = +7.5 \, \text{cm}\). Puisque \(\overline{OA'} > 0\), l'image est réelle.
  • Nous avons calculé \(\gamma = -0.5\). Puisque \(\gamma < 0\), l'image est renversée par rapport à l'objet. (Confirmé par \(\overline{A'B'} = -1.0 \, \text{cm}\) qui est de signe opposé à \(\overline{AB} = +2.0 \, \text{cm}\)).
  • La valeur absolue du grandissement est \(|\gamma| = |-0.5| = 0.5\). Puisque \(|\gamma| < 1\) (car \(0.5 < 1\)), l'image est réduite par rapport à l'objet (elle est deux fois plus petite).
Résultat Question 4 : L'image \(A'B'\) est :
  • Réelle (car \(\overline{OA'} > 0\)).
  • Renversée (car \(\gamma < 0\)).
  • Réduite (car \(|\gamma| = 0.5 < 1\)).

Quiz Q4 : Une image virtuelle, droite et agrandie est obtenue avec une lentille convergente si l'objet est placé :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Qu'est-ce que le grandissement transversal (\(\gamma\)) ?

6. Si le grandissement \(\gamma = +2\), l'image est :

7. Une image réelle peut être :

Glossaire

Lentille mince
Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est négligeable devant ses rayons de courbure et les distances de l'objet et de l'image.
Lentille convergente
Lentille qui fait converger un faisceau de lumière parallèle en un point appelé foyer image. Elle est généralement plus épaisse au centre que sur les bords.
Lentille divergente
Lentille qui fait diverger un faisceau de lumière parallèle comme s'il provenait d'un point appelé foyer image (virtuel). Elle est généralement plus mince au centre que sur les bords.
Axe optique principal
Droite passant par le centre optique de la lentille et perpendiculaire à ses faces (pour une lentille simple) ou passant par les centres de courbure des dioptres sphériques.
Centre optique (O)
Point de la lentille situé sur l'axe optique principal tel que tout rayon lumineux passant par ce point n'est pas dévié (pour une lentille mince).
Foyer principal image (F')
Point de l'axe optique où convergent les rayons lumineux incidents parallèles à l'axe optique après avoir traversé une lentille convergente. Pour une lentille divergente, c'est le point d'où semblent diverger ces rayons.
Foyer principal objet (F)
Point de l'axe optique tel que les rayons lumineux issus de ce point émergent de la lentille parallèles à l'axe optique.
Distance focale image (f')
Distance algébrique entre le centre optique O et le foyer principal image F' (\(f' = \overline{OF'}\)). Positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente.
Relation de conjugaison (formule de Descartes)
Relation mathématique qui lie la position de l'objet (\(\overline{OA}\)), la position de l'image (\(\overline{OA'}\)) et la distance focale image (\(f'\)) d'une lentille mince : \(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\).
Grandissement transversal (\(\gamma\))
Rapport sans dimension qui compare la taille et l'orientation de l'image à celles de l'objet. \(\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\).
Image réelle
Image formée par la convergence effective des rayons lumineux. Elle peut être recueillie sur un écran. Pour une lentille, \(\overline{OA'} > 0\).
Image virtuelle
Image formée par le prolongement des rayons lumineux divergents. Elle ne peut pas être recueillie sur un écran. Pour une lentille, \(\overline{OA'} < 0\).
Image droite
Image orientée dans le même sens que l'objet (\(\gamma > 0\)).
Image renversée
Image orientée dans le sens opposé à l'objet (\(\gamma < 0\)).
Calcul du Grandissement de l’Image - Exercice d'Application (Niveau Seconde)

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