Calcul du centre de charge d'une grue

Application du principe des moments pour déterminer la charge maximale ou la portée.

Énoncé : Calcul du centre de charge d’une grue

La stabilité d'une grue est cruciale pour la sécurité sur les chantiers. Une grue utilise un contrepoids pour équilibrer la charge qu'elle soulève. Le "centre de charge" désigne la distance horizontale entre l'axe de rotation de la grue (pivot) et le centre de gravité de la charge soulevée. Plus cette distance est grande, plus le risque de basculement augmente.

Contexte

Comprendre l'équilibre des moments est essentiel pour la conception et l'utilisation sécurisée des grues. Les opérateurs de grue doivent constamment tenir compte du poids de la charge et de sa distance par rapport au pivot (la portée ou "centre de charge") pour ne pas dépasser la capacité de levage et éviter le basculement de l'engin. Cet exercice explore les principes de base de cet équilibre.

Grue simplifiée avec contrepoids (\(M_c\)) et charge (\(M_L\)). Le pivot est en O. \(d_L\) est la distance du centre de charge.

Données du Problème

On étudie la stabilité d'une grue simplifiée comme représentée sur le schéma.

Masse du contrepoids : \(M_c = 5000 \, \text{kg}\)
Distance du centre de masse du contrepoids au pivot O : \(d_c = 2,0 \, \text{m}\)
Distance de la charge au pivot O (centre de charge) : \(d_L = 8,0 \, \text{m}\)
Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)

Questions

Expliquer brièvement ce qu'est le "centre de charge" pour cette grue et pourquoi sa distance au pivot est importante.
Calculer le poids \(P_c\) du contrepoids.
Calculer le moment \(\mathcal{M}_c\) (moment stabilisateur) exercé par le contrepoids par rapport au pivot O. Préciser son sens (horaire ou antihoraire, en regardant le schéma).
Exprimer le poids \(P_L\) d'une charge de masse \(M_L\). En déduire l'expression du moment \(\mathcal{M}_L\) (moment de renversement) exercé par cette charge par rapport au pivot O, en fonction de \(M_L\), \(g\) et \(d_L\). Préciser son sens.
Quelle est la condition d'équilibre limite pour que la grue ne bascule pas vers l'avant (c'est-à-dire que le moment stabilisateur compense juste le moment de renversement) ?
Calculer la masse maximale \(M_{L,max}\) que la grue peut soulever à la distance \(d_L = 8,0 \, \text{m}\) sans basculer.
Si la grue doit soulever une charge de masse \(M'_L = 2000 \, \text{kg}\), quelle est la distance maximale \(d'_{L,max}\) (centre de charge maximal) à laquelle cette charge peut être positionnée sans que la grue ne bascule ?

Correction : Calcul du centre de charge d’une grue

1. Définition du Centre de Charge

Le "centre de charge" pour cette grue simplifiée correspond à la distance horizontale entre l'axe de rotation vertical de la grue (le pivot O) et la ligne d'action verticale du poids de la charge soulevée.

Importance

Cette distance (\(d_L\)) est cruciale car elle détermine le "bras de levier" de la force exercée par la charge. Plus cette distance est grande, plus le moment de renversement (tendance de la grue à basculer vers l'avant) est important pour une même charge. La capacité de levage d'une grue diminue donc lorsque le centre de charge s'éloigne du pivot.

Résultat

Le centre de charge est la distance horizontale du pivot à la charge (\(d_L\)). Elle est importante car elle influe directement sur le moment de renversement créé par la charge.

2. Calcul du Poids \(P_c\) du Contrepoids

Le poids \(P\) d'un objet de masse \(m\) est donné par la formule \(P = m \times g\).

Données pour cette étape

Masse du contrepoids \(M_c = 5000 \, \text{kg}\)
Intensité de la pesanteur \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)

Calcul

\begin{aligned} P_c &= M_c \times g \\ &= 5000 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \\ &= 49000 \, \text{N} \end{aligned}

Résultat

Le poids du contrepoids est \(P_c = 49000 \, \text{N}\).

3. Calcul du Moment Stabilisateur \(\mathcal{M}_c\)

Le moment d'une force par rapport à un pivot est le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le pivot (bras de levier). \(\mathcal{M} = F \times d\). Le contrepoids tend à faire tourner la grue dans un sens (stabilisateur).

Données pour cette étape

Poids du contrepoids \(P_c = 49000 \, \text{N}\) (calculé à l'étape 2)
Distance du contrepoids au pivot \(d_c = 2,0 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} \mathcal{M}_c &= P_c \times d_c \\ &= 49000 \, \text{N} \times 2,0 \, \text{m} \\ &= 98000 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned}

Sens : En regardant le schéma, le contrepoids est à gauche du pivot et tire vers le bas. Il tend à faire tourner la flèche dans le sens antihoraire par rapport au pivot O.

Résultat

Le moment stabilisateur exercé par le contrepoids est \(\mathcal{M}_c = 98000 \, \text{N} \cdot \text{m}\) (sens antihoraire).

4. Expression du Moment de Renversement \(\mathcal{M}_L\)

Le poids de la charge \(P_L\) est \(M_L \times g\). Le moment de renversement \(\mathcal{M}_L\) est le produit de ce poids par la distance \(d_L\). La charge tend à faire tourner la grue dans le sens opposé au contrepoids.

Expression

P_L = M_L \times g \] \[ \mathcal{M}_L = P_L \times d_L = (M_L \times g) \times d_L

Sens : En regardant le schéma, la charge est à droite du pivot et tire vers le bas. Elle tend à faire tourner la flèche dans le sens horaire par rapport au pivot O.

Résultat

Le moment de renversement exercé par la charge est \(\mathcal{M}_L = M_L \times g \times d_L\) (sens horaire).

5. Condition Limite d'Équilibre

Pour que la grue ne bascule pas, le moment stabilisateur (dû au contrepoids) doit être au moins égal au moment de renversement (dû à la charge). À la limite de l'équilibre (juste avant le basculement), ces deux moments sont égaux.

Condition

\mathcal{M}_c = \mathcal{M}_L

Résultat

La condition limite d'équilibre est \(\mathcal{M}_c = \mathcal{M}_L\), soit \(P_c \times d_c = (M_L \times g) \times d_L\).

6. Calcul de la Masse Maximale \(M_{L,max}\)

On utilise la condition d'équilibre limite pour trouver \(M_{L,max}\). \[ P_c \times d_c = (M_{L,max} \times g) \times d_L \] \[ M_{L,max} = \frac{P_c \times d_c}{g \times d_L} \] Puisque \(P_c = M_c \times g\), on peut simplifier : \[ M_{L,max} = \frac{M_c \times g \times d_c}{g \times d_L} = \frac{M_c \times d_c}{d_L} \]

Données pour cette étape

\(\mathcal{M}_c = 98000 \, \text{N} \cdot \text{m}\) (ou \(M_c = 5000 \, \text{kg}\) et \(d_c = 2,0 \, \text{m}\))
\(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
\(d_L = 8,0 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} M_{L,max} &= \frac{\mathcal{M}_c}{g \times d_L} \\ &= \frac{98000 \, \text{N} \cdot \text{m}}{9,8 \, \text{N/kg} \times 8,0 \, \text{m}} \\ &= \frac{98000}{78,4} \, \text{kg} \\ &= 1250 \, \text{kg} \\ \text{Ou avec la formule simplifiée :} \\ M_{L,max} &= \frac{M_c \times d_c}{d_L} \\ &= \frac{5000 \, \text{kg} \times 2,0 \, \text{m}}{8,0 \, \text{m}} \\ &= \frac{10000}{8} \, \text{kg} \\ &= 1250 \, \text{kg} \end{aligned}

Résultat

La masse maximale que la grue peut soulever à une distance de \(8,0 \, \text{m}\) est \(M_{L,max} = 1250 \, \text{kg}\).

7. Calcul de la Distance Maximale \(d'_{L,max}\) pour \(M'_L = 2000 \, \text{kg}\)

On utilise la condition d'équilibre limite \(\mathcal{M}_c = M'_L \times g \times d'_{L,max}\) et on isole \(d'_{L,max}\). \[ d'_{L,max} = \frac{\mathcal{M}_c}{M'_L \times g} \] Ou en utilisant la relation simplifiée \(M_c \times d_c = M'_L \times d'_{L,max}\) : \[ d'_{L,max} = \frac{M_c \times d_c}{M'_L} \]

Données pour cette étape

\(\mathcal{M}_c = 98000 \, \text{N} \cdot \text{m}\) (ou \(M_c = 5000 \, \text{kg}\) et \(d_c = 2,0 \, \text{m}\))
Masse de la charge \(M'_L = 2000 \, \text{kg}\)
\(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)

Calcul

\begin{aligned} d'_{L,max} &= \frac{\mathcal{M}_c}{M'_L \times g} \\ &= \frac{98000 \, \text{N} \cdot \text{m}}{2000 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg}} \\ &= \frac{98000}{19600} \, \text{m} \\ &= 5,0 \, \text{m} \\ \text{Ou avec la formule simplifiée :} \\ d'_{L,max} &= \frac{M_c \times d_c}{M'_L} \\ &= \frac{5000 \, \text{kg} \times 2,0 \, \text{m}}{2000 \, \text{kg}} \\ &= \frac{10000}{2000} \, \text{m} \\ &= 5,0 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

Pour une charge de \(2000 \, \text{kg}\), la distance maximale (centre de charge maximal) est \(d'_{L,max} = 5,0 \, \text{m}\).

Calcul du centre de charge d’une grue