Calcul de la puissance d'une éolienne

Une éolienne convertit l'énergie cinétique du vent en énergie électrique. La puissance transportée par le vent (puissance cinétique) qui traverse une surface \(S\) perpendiculaire à la direction du vent est donnée par :

P_{vent} = \frac{1}{2} \rho S v^3

Où :

\(\rho\) (rho) est la masse volumique de l'air (en kg/m³).
\(S\) est la surface balayée par les pales de l'éolienne (en m²).
\(v\) est la vitesse du vent (en m/s).

Cependant, une éolienne ne peut pas convertir toute cette puissance en électricité. La limite de Betz stipule qu'une éolienne ne peut capter au maximum que 16/27 (environ 59.3%) de la puissance cinétique du vent. De plus, le rendement global de l'éolienne (incluant les pertes mécaniques, électriques, etc.) réduit encore la puissance électrique réellement produite.

La puissance électrique \(P_{elec}\) produite par une éolienne est donnée par :

P_{elec} = \frac{1}{2} \rho S v^3 C_p \eta_{global}

Pour simplifier au niveau terminale, on utilise souvent une formule où \(C_p\) est un coefficient de puissance qui inclut la limite de Betz et d'autres facteurs aérodynamiques, et \(\eta_{global}\) est le rendement du système de conversion mécanique-électrique. On peut aussi voir une formule simplifiée :

P_{elec} = \frac{1}{2} \rho S v^3 \eta_{eolienne}

où \(\eta_{eolienne}\) est le rendement global de l'éolienne (prenant en compte la limite de Betz et les autres pertes).

Données du Problème

On considère une éolienne dont les pales ont un certain rayon \(R\).

Rayon des pales de l'éolienne (\(R\)) : \(40 \text{ m}\)
Vitesse du vent (\(v\)) : \(10 \text{ m/s}\) (supposée constante et perpendiculaire au plan de rotation des pales)
Masse volumique de l'air (\(\rho\)) : \(1.225 \text{ kg/m}^3\)
Rendement global de l'éolienne (\(\eta_{eolienne}\)) : \(0.40\) (soit 40%, cette valeur inclut les limitations aérodynamiques comme la limite de Betz et les rendements de conversion)
On prendra \(\pi \approx 3.1416\)

Schéma simplifié d'une éolienne et du vent incident.

Questions

Calculer la surface \(S\) balayée par les pales de l'éolienne.
Calculer le volume d'air \(\mathcal{V}_{air}\) qui traverse la surface \(S\) par seconde.
En déduire la masse d'air \(m_{air}\) qui traverse la surface \(S\) par seconde.
Calculer la puissance cinétique du vent (\(P_{vent}\)) qui traverse la surface \(S\).
En utilisant le rendement global \(\eta_{eolienne}\), calculer la puissance électrique \(P_{elec}\) réellement produite par l'éolienne.
Si cette éolienne fonctionne à cette puissance pendant 24 heures, quelle est l'énergie électrique \(E_{elec}\) produite en Joules (J) puis en kilowatt-heures (kWh) ? (Rappel : \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)).
La vitesse du vent double et passe à \(20 \text{ m/s}\). En supposant que le rendement \(\eta_{eolienne}\) reste le même, par quel facteur la puissance électrique produite est-elle multipliée ? Calculer cette nouvelle puissance électrique.

Correction : Calcul de la Puissance d’une Éolienne

1. Calcul de la Surface \(S\) Balayée par les Pales

Les pales de l'éolienne balayent une surface circulaire dont le rayon est la longueur d'une pale, \(R\). L'aire d'un disque de rayon \(R\) est donnée par la formule \(S = \pi R^2\).

Données : \(R = 40 \text{ m}\), \(\pi \approx 3.1416\).

\begin{aligned} S &= \pi R^2 \\ &= \pi \times (40 \text{ m})^2 \\ &= \pi \times 1600 \text{ m}^2 \\ &\approx 3.1416 \times 1600 \text{ m}^2 \\ &\approx 5026.56 \text{ m}^2 \end{aligned}

La surface balayée par les pales est \(S \approx 5027 \text{ m}^2\).

2. Volume d'Air \(\mathcal{V}_{air}\) traversant \(S\) par Seconde

Le vent se déplace à une vitesse \(v\). Pendant une seconde, l'air qui traverse la surface \(S\) occupe un cylindre de base \(S\) et de hauteur \(v \times 1\text{s} = v\). Le volume d'air traversant \(S\) par seconde est donc \(\mathcal{V}_{air}/s = S \times v\).

Données : \(S \approx 5026.56 \text{ m}^2\), \(v = 10 \text{ m/s}\).

\begin{aligned} \frac{\mathcal{V}_{air}}{\Delta t} &= S \times v \\ &= 5026.56 \text{ m}^2 \times 10 \text{ m/s} \\ &= 50265.6 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Le volume d'air traversant la surface balayée par seconde est d'environ \(50266 \text{ m}^3/\text{s}\).

3. Masse d'Air \(m_{air}\) traversant \(S\) par Seconde

La masse volumique \(\rho\) est définie comme la masse par unité de volume : \(\rho = \frac{m}{V}\). Donc, la masse d'air \(m_{air}\) qui traverse la surface \(S\) par seconde est le produit du volume d'air par seconde et de la masse volumique de l'air. \[ \frac{m_{air}}{\Delta t} = \rho \times \frac{\mathcal{V}_{air}}{\Delta t} \]

Données : \(\rho = 1.225 \text{ kg/m}^3\), \(\mathcal{V}_{air}/\Delta t \approx 50265.6 \text{ m}^3/\text{s}\).

\begin{aligned} \frac{m_{air}}{\Delta t} &= \rho \times (S \times v) \\ &= 1.225 \text{ kg/m}^3 \times 50265.6 \text{ m}^3/\text{s} \\ &\approx 61575.36 \text{ kg/s} \end{aligned}

La masse d'air traversant la surface balayée par seconde est d'environ \(61575 \text{ kg/s}\).

Quiz Intermédiaire : Masse Volumique

4. Puissance Cinétique du Vent (\(P_{vent}\))

La puissance cinétique du vent est l'énergie cinétique de la masse d'air qui traverse la surface \(S\) par unité de temps. L'énergie cinétique d'une masse \(m_{air}\) se déplaçant à une vitesse \(v\) est \(E_c = \frac{1}{2} m_{air} v^2\). La puissance est cette énergie par unité de temps : \(P_{vent} = \frac{1}{2} \left(\frac{m_{air}}{\Delta t}\right) v^2\). En utilisant \(\frac{m_{air}}{\Delta t} = \rho S v\), on retrouve la formule \(P_{vent} = \frac{1}{2} \rho S v^3\).

Données : \(\rho = 1.225 \text{ kg/m}^3\), \(S \approx 5026.56 \text{ m}^2\), \(v = 10 \text{ m/s}\).

\begin{aligned} P_{vent} &= \frac{1}{2} \rho S v^3 \\ &= \frac{1}{2} \times 1.225 \text{ kg/m}^3 \times 5026.56 \text{ m}^2 \times (10 \text{ m/s})^3 \\ &= 0.5 \times 1.225 \times 5026.56 \times 1000 \text{ W} \\ &\approx 3078768 \text{ W} \\ &\approx 3.08 \times 10^6 \text{ W} \quad (\text{soit } 3.08 \text{ MW}) \end{aligned}

La puissance cinétique du vent traversant la surface balayée est \(P_{vent} \approx 3.08 \text{ MW}\).

5. Puissance Électrique Réellement Produite (\(P_{elec}\))

La puissance électrique réellement produite est une fraction de la puissance cinétique du vent, déterminée par le rendement global de l'éolienne \(\eta_{eolienne}\). \[ P_{elec} = P_{vent} \times \eta_{eolienne} \]

Données : \(P_{vent} \approx 3078768 \text{ W}\), \(\eta_{eolienne} = 0.40\).

\begin{aligned} P_{elec} &= 3078768 \text{ W} \times 0.40 \\ &\approx 1231507.2 \text{ W} \\ &\approx 1.23 \times 10^6 \text{ W} \quad (\text{soit } 1.23 \text{ MW}) \end{aligned}

La puissance électrique réellement produite par l'éolienne est \(P_{elec} \approx 1.23 \text{ MW}\).

6. Énergie Électrique \(E_{elec}\) Produite en 24 heures

L'énergie \(E\) produite par un appareil de puissance \(P\) fonctionnant pendant une durée \(\Delta t\) est \(E = P \times \Delta t\). Il faut d'abord convertir la durée de 24 heures en secondes pour obtenir l'énergie en Joules. Ensuite, on convertira les Joules en kilowatt-heures (kWh) en utilisant \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\).

Durée \(\Delta t = 24 \text{ heures}\).

\begin{aligned} \Delta t_{secondes} &= 24 \text{ h} \times 3600 \text{ s/h} \\ &= 86400 \text{ s} \end{aligned}

Énergie en Joules, avec \(P_{elec} \approx 1231507.2 \text{ W}\) :

\begin{aligned} E_{elec, J} &= P_{elec} \times \Delta t_{secondes} \\ &\approx 1231507.2 \text{ W} \times 86400 \text{ s} \\ &\approx 1.0639 \times 10^{11} \text{ J} \end{aligned}

Énergie en kilowatt-heures :

\begin{aligned} E_{elec, kWh} &= \frac{E_{elec, J}}{3.6 \times 10^6 \text{ J/kWh}} \\ &\approx \frac{1.0639 \times 10^{11} \text{ J}}{3.6 \times 10^6 \text{ J/kWh}} \\ &\approx 29552.7 \text{ kWh} \end{aligned}

L'énergie électrique produite en 24 heures est \(E_{elec} \approx 1.06 \times 10^{11} \text{ J}\), soit environ \(29553 \text{ kWh}\).

Quiz Intermédiaire : Énergie et Puissance

7. Effet du Doublement de la Vitesse du Vent

La puissance électrique produite est \(P_{elec} = \frac{1}{2} \rho S v^3 \eta_{eolienne}\). Si la vitesse du vent \(v\) double, elle devient \(v' = 2v\). La nouvelle puissance électrique \(P'_{elec}\) sera : \[ P'_{elec} = \frac{1}{2} \rho S (v')^3 \eta_{eolienne} = \frac{1}{2} \rho S (2v)^3 \eta_{eolienne} \]

\begin{aligned} P'_{elec} &= \frac{1}{2} \rho S (8v^3) \eta_{eolienne} \\ &= 8 \times \left(\frac{1}{2} \rho S v^3 \eta_{eolienne}\right) \\ &= 8 \times P_{elec} \end{aligned}

Le facteur par lequel la puissance est multipliée est \(8\).

Nouvelle puissance électrique avec \(v' = 20 \text{ m/s}\) :

\begin{aligned} P'_{elec} &= 8 \times P_{elec} \\ &\approx 8 \times 1231507.2 \text{ W} \\ &\approx 9852057.6 \text{ W} \\ &\approx 9.85 \times 10^6 \text{ W} \quad (\text{soit } 9.85 \text{ MW}) \end{aligned}

Alternativement, en recalculant avec \(v = 20 \text{ m/s}\) :

\begin{aligned} P'_{elec} &= \frac{1}{2} \times 1.225 \text{ kg/m}^3 \times 5026.56 \text{ m}^2 \times (20 \text{ m/s})^3 \times 0.40 \\ &= 0.5 \times 1.225 \times 5026.56 \times 8000 \times 0.40 \text{ W} \\ &\approx 9852057.6 \text{ W} \end{aligned}

Si la vitesse du vent double, la puissance électrique produite est multipliée par un facteur 8. La nouvelle puissance est \(P'_{elec} \approx 9.85 \text{ MW}\).

Glossaire des Termes Clés

Éolienne :

Dispositif qui convertit l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique (rotation des pales), puis généralement en énergie électrique via un générateur.

Puissance Cinétique du Vent (\(P_{vent}\)) :

Énergie cinétique transportée par le vent par unité de temps. \(P_{vent} = \frac{1}{2} \rho S v^3\).

Masse Volumique de l'Air (\(\rho\)) :

Masse de l'air par unité de volume. Unité : kg/m³.

Surface Balayée (\(S\)) :

Aire du disque décrit par la rotation des pales d'une éolienne. \(S = \pi R^2\).

Vitesse du Vent (\(v\)) :

Vitesse de déplacement de l'air. Unité : m/s.

Limite de Betz :

Limite théorique maximale de la fraction de l'énergie cinétique du vent qui peut être captée par une éolienne (environ 59.3%).

Rendement Global de l'Éolienne (\(\eta_{eolienne}\)) :

Rapport entre la puissance électrique produite par l'éolienne et la puissance cinétique du vent incident. Il prend en compte toutes les limitations et pertes (aérodynamiques, mécaniques, électriques).

Puissance Électrique (\(P_{elec}\)) :

Puissance sous forme électrique produite par l'éolienne. Unité : Watt (W).

Énergie Électrique (\(E_{elec}\)) :

Quantité d'électricité produite ou consommée. \(E = P \times \Delta t\). Unités : Joule (J), kilowatt-heure (kWh).

Watt (W) :

Unité de puissance du Système International, équivalant à un Joule par seconde.

Kilowatt-heure (kWh) :

Unité d'énergie couramment utilisée pour la facturation de l'électricité. \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi une éolienne ne peut-elle jamais capter 100% de l'énergie cinétique du vent (penser à ce qui se passerait si l'air s'arrêtait complètement derrière les pales) ?

2. Quels sont les principaux types de pertes qui réduisent le rendement global d'une éolienne en dehors de la limite de Betz ?

3. Comment la hauteur du mât d'une éolienne influence-t-elle la vitesse du vent qu'elle reçoit et donc sa production d'énergie ?

4. Les éoliennes ont une vitesse de vent de démarrage et une vitesse de vent de coupure. Expliquer pourquoi.

5. Discuter des avantages et des inconvénients de l'énergie éolienne en tant que source d'énergie renouvelable.

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