Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
Contexte : La statique des fluides.
Pour réaliser des travaux en milieu aquatique, comme la construction des piles d'un pont, les ingénieurs utilisent une structure temporaire appelée batardeauEnceinte étanche, généralement temporaire, permettant d'excaver et de construire des fondations en milieu sec là où il y a de l'eau.. Cette enceinte permet d'assécher une zone de travail. Cependant, l'eau exerce une pression considérable sur les parois du batardeau. Cet exercice a pour but de calculer la force totale que l'eau exerce sur une paroi verticale et de déterminer où cette force s'applique, un concept clé pour assurer la stabilité de l'ouvrage.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique pour modéliser un problème d'ingénierie concret et à utiliser le calcul intégral pour passer d'une pression locale à une force globale.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique.
- Calculer la résultante des forces de pression sur une paroi plane verticale.
- Déterminer la position du centre de poussée pour une distribution de pression triangulaire.
Données de l'étude
Schéma du Batardeau et de la Poussée de l'Eau
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( H \) | Hauteur d'eau retenue | 5 | \(\text{m}\) |
| \( L \) | Largeur de la paroi du batardeau | 10 | \(\text{m}\) |
| \( \rho \) | Masse volumique de l'eau | 1000 | \(\text{kg/m}^3\) |
| \( g \) | Accélération de la pesanteur | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Exprimer la pression hydrostatique \( p(z) \) en fonction de la profondeur \( z \). L'origine de l'axe \(z\) est à la surface libre de l'eau et est orienté vers le bas.
- Calculer la valeur de la pression au fond, à la base du batardeau.
- Donner l'expression de la force de pression élémentaire \( d\vec{F} \) qui s'exerce sur une surface élémentaire \( dS \) de la paroi située à une profondeur \( z \).
- Par intégration, calculer la force de pression totale (ou résultante) \( F \) s'exerçant sur l'ensemble de la paroi du batardeau.
- Déterminer la position \( z_p \) du centre de pousséePoint d'application de la résultante des forces de pression exercées par un fluide sur une surface..
Les bases de la Statique des Fluides
La statique des fluides est la branche de la physique qui étudie les fluides au repos. Le concept fondamental est que la pression au sein d'un fluide augmente avec la profondeur.
Principe Fondamental de l'Hydrostatique
Pour un fluide incompressible (comme l'eau) de masse volumique \( \rho \) et au repos dans un champ de pesanteur \( g \), la différence de pression entre deux points A et B est donnée par :
\[ P_{\text{B}} - P_{\text{A}} = \rho \cdot g \cdot (z_{\text{A}} - z_{\text{B}}) \]
Si l'on prend le point A à la surface libre où la pression est la pression atmosphérique (que l'on considère nulle en pression relative), la pression à une profondeur \( z \) est :
\[ p(z) = \rho \cdot g \cdot z \]
Correction : Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
Question 1 : Expression de la pression hydrostatique \( p(z) \)
Principe
Le principe fondamental de l'hydrostatique stipule que dans un fluide au repos, la pression augmente de manière linéaire avec la profondeur. Cette augmentation est due au poids de la colonne de fluide située au-dessus du point de mesure.
Mini-Cours
La pression est une grandeur scalaire définie comme la force appliquée perpendiculairement à une surface, par unité de surface. L'origine de la pression hydrostatique est le poids. Imaginez une colonne d'eau de hauteur z et de section A. Son volume est V = A·z, sa masse est m = ρ·V = ρ·A·z, et son poids est Poids = m·g = ρ·A·z·g. Cette force (le poids) se répartit sur la surface A, d'où la pression p = Poids/A = ρgz.
Remarque Pédagogique
La première étape dans ce type de problème est toujours de définir clairement un système de coordonnées. Ici, en plaçant l'origine à la surface et l'axe z vers le bas, l'expression de la profondeur est simplement 'z', ce qui simplifie grandement les calculs.
Normes
Ce calcul est basé sur des principes physiques fondamentaux qui sont universellement acceptés. Dans un cadre réglementaire, comme les Eurocodes pour le génie civil, ces principes sont la base des formules de calcul des actions de l'eau sur les structures.
Formule(s)
Loi de l'hydrostatique
Hypothèses
Pour que cette formule soit valide, on pose plusieurs hypothèses :
- Le fluide (l'eau) est au repos (statique).
- Le fluide est incompressible (sa masse volumique \( \rho \) est constante).
- Le champ de pesanteur \( g \) est uniforme.
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Symbole |
|---|---|---|
| Masse volumique | Donnée du problème | \(\rho\) |
| Accélération de la pesanteur | Donnée du problème | \(g\) |
Astuces
Souvenez-vous que la pression relative est nulle à la surface libre. La pression à n'importe quelle profondeur z est simplement le poids de la colonne d'eau de 1m² de section et de hauteur z.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de la pression en fonction de la profondeur
Calcul(s)
Il n'y a pas de calcul numérique pour cette question, il s'agit d'établir l'expression littérale basée sur le principe fondamental de l'hydrostatique.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme linéaire de la Pression
Réflexions
Cette formule simple est la pierre angulaire de tout l'exercice. Elle montre une relation de proportionnalité directe entre la profondeur et la pression. Si on double la profondeur, on double la pression. Le diagramme de pression le long de la paroi est donc triangulaire.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre la profondeur z avec une altitude. Une altitude serait orientée vers le haut, ce qui changerait le signe dans la relation hydrostatique.
Points à retenir
La pression dans un fluide au repos augmente linéairement avec la profondeur. La formule à maîtriser est \( p(z) = \rho g z \).
Le saviez-vous ?
Blaise Pascal, au XVIIe siècle, a démontré ce principe avec son expérience du "crève-tonneau" : en ajoutant une petite quantité d'eau dans un long tube mince connecté à un tonneau rempli d'eau, la grande hauteur atteinte dans le tube a suffi à générer une pression énorme à la base, faisant éclater le tonneau.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la formule de la pression si le fluide était de l'huile d'olive de masse volumique \( \rho_{\text{huile}} \) ?
Question 2 : Pression à la base du batardeau
Principe
Pour trouver la pression à la base, il suffit d'appliquer la formule générale de la pression hydrostatique en utilisant la profondeur maximale, qui correspond à la hauteur totale de l'eau, H.
Mini-Cours
La pression maximale subie par la paroi se situe au point le plus bas, car c'est là que la colonne de fluide est la plus haute. C'est un point critique pour la conception de la structure, car c'est là que les contraintes matérielles seront les plus fortes.
Remarque Pédagogique
La résolution de cette question est une simple application numérique. L'enjeu est de bien identifier la variable (ici la profondeur z) et de lui substituer la valeur correcte (la hauteur totale H).
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme spécifique, c'est une application directe d'un principe physique.
Formule(s)
Pression maximale
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : fluide au repos, incompressible, et champ de pesanteur uniforme.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur d'eau | \(H\) | 5 | \(\text{m}\) |
| Masse volumique | \(\rho\) | 1000 | \(\text{kg/m}^3\) |
| Pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut approximer g ≈ 10 m/s². La pression en Pascal est alors environ 1000 * 10 * H = 10000 * H. Pour 5 m de profondeur, on obtient environ 50 000 Pa, ce qui est très proche du résultat exact.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Pression sur la Paroi
Calcul(s)
Application numérique
Conversion en Pascals
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la Pression à la Base
Réflexions
Une pression de 49 kPa signifie que chaque mètre carré de la paroi au niveau du fond subit une force de 49 050 Newtons, soit le poids d'une masse d'environ 5 tonnes !
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) avant de commencer le calcul. Le résultat obtenu en N/m² est directement en Pascals (Pa).
Points à retenir
La pression maximale sur une paroi verticale est atteinte à sa base et dépend directement de la hauteur totale du fluide.
Le saviez-vous ?
Au point le plus profond de l'océan, dans la fosse des Mariannes (environ 11 000 m), la pression est de plus de 110 millions de Pascals, soit plus de 1100 fois la pression atmosphérique !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pression à mi-hauteur (z = 2,5 m) ?
Question 3 : Force de pression élémentaire \( d\vec{F} \)
Principe
Une force de pression est toujours perpendiculaire à la surface sur laquelle elle s'applique. Sa magnitude élémentaire \( dF \) est le produit de la pression locale \( p(z) \) par la surface élémentaire \( dS \) sur laquelle elle agit.
Mini-Cours
Quand une pression n'est pas uniforme sur une surface, on ne peut pas simplement utiliser F = P × S. On doit décomposer la surface totale en une infinité de petites surfaces élémentaires dS, sur lesquelles on peut considérer la pression comme constante. En calculant la petite force dF sur chaque élément, puis en sommant (intégrant) toutes ces forces, on obtient la force totale.
Remarque Pédagogique
Le passage d'une grandeur locale (la pression p(z) en un point) à une grandeur globale (la force F sur toute la surface) est une démarche fondamentale en physique. Elle passe presque toujours par le calcul d'un élément infinitésimal (dF) suivi d'une intégration.
Normes
Ce raisonnement est à la base de toutes les méthodes de calcul de structure, qu'elles soient analytiques ou numériques (comme la méthode des éléments finis).
Formule(s)
Force élémentaire
Surface élémentaire
Hypothèses
On suppose que sur la hauteur infinitésimale \(dz\), la pression \(p(z)\) peut être considérée comme constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Expression |
|---|---|---|
| Pression locale | Calculée à la question 1 | \( p(z) = \rho g z \) |
| Largeur | Donnée de l'énoncé | \( L \) |
Astuces
Visualiser le problème en "découpant" mentalement la paroi en fines tranches horizontales est la clé pour définir correctly la surface élémentaire dS.
Schéma (Avant les calculs)
Surface Élémentaire dS sur la Paroi
Calcul(s)
Expression de la magnitude
Expression vectorielle
Schéma (Après les calculs)
Force Élémentaire dF appliquée sur dS
Réflexions
L'expression de \(dF\) montre que la force exercée sur chaque bande horizontale augmente proportionnellement à sa profondeur \(z\). C'est la confirmation de la distribution non-uniforme de la force.
Points de vigilance
Ne pas oublier la largeur L dans l'expression de la surface élémentaire dS. Une erreur courante est de n'intégrer que la pression, ce qui donnerait une force par unité de largeur.
Points à retenir
La démarche pour trouver une force résultante à partir d'une pression variable est : \( dF = p \cdot dS \), puis \( F = \int dF \).
Le saviez-vous ?
Le principe d'Archimède, qui explique pourquoi les bateaux flottent, est en réalité le résultat de l'intégration de toutes ces forces de pression élémentaires sur l'ensemble de la surface immergée d'un objet.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'expression de dF si la largeur de la paroi n'était pas constante mais variait avec la profondeur selon L(z) = k·z ?
Question 4 : Force de pression totale \( F \)
Principe
Pour obtenir la force totale, il faut sommer toutes les forces élémentaires \(dF\) qui s'appliquent sur la paroi, depuis la surface (z=0) jusqu'au fond (z=H). En mathématiques, cette somme continue se traduit par une intégrale définie.
Mini-Cours
L'intégrale définie \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) représente l'aire sous la courbe de la fonction f(x) entre les bornes a et b. Ici, on intègre la fonction \( dF/dz = \rho g L z \). Physiquement, cela revient à calculer la somme de toutes les forces élémentaires sur toute la hauteur de la paroi.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est un exemple parfait du pouvoir de l'intégration pour résoudre des problèmes physiques. Il permet de passer d'une description locale et différentielle (dF) à une description globale et macroscopique (F).
Normes
Les formules de calcul de la poussée hydrostatique dans les codes de construction (comme l'Eurocode) sont directement dérivées de cette intégrale.
Formule(s)
Intégration de la force
Hypothèses
En plus des hypothèses précédentes, on suppose que la paroi est parfaitement plane et verticale pour que les bornes d'intégration soient simples (de 0 à H).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur d'eau | \(H\) | 5 | \(\text{m}\) |
| Largeur | \(L\) | 10 | \(\text{m}\) |
| Masse volumique | \(\rho\) | 1000 | \(\text{kg/m}^3\) |
| Pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
La distribution de pression est triangulaire. La force totale correspond à "l'aire" de ce triangle de pression (\( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times p(H) \times H \)) multipliée par la largeur L de la paroi. C'est un excellent moyen de vérifier le résultat de l'intégrale.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution de la Pression à Intégrer
Calcul(s)
Calcul de l'intégrale
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Résultante des Forces de Pression
Réflexions
La force exercée est de plus de 1,2 million de Newtons, soit l'équivalent du poids d'une masse de plus de 120 tonnes ! Cela met en évidence l'importance capitale de bien dimensionner les batardeaux et les barrages. Notez que la force augmente avec le carré de la hauteur : doubler la hauteur d'eau quadruple la force exercée sur la paroi.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de faire F = P_max * Surface_totale. C'est incorrect car la pression n'est pas constante. Il faut utiliser la pression moyenne, qui pour un triangle est P_max / 2, ou intégrer.
Points à retenir
La force de pression totale sur une paroi rectangulaire verticale de largeur L et hauteur H est \( F = \frac{1}{2} \rho g L H^2 \).
Le saviez-vous ?
Le barrage des Trois-Gorges en Chine, le plus grand du monde, retient une masse d'eau si colossale (près de 40 milliards de tonnes) que son remplissage a très légèrement ralenti la rotation de la Terre par modification du moment d'inertie de la planète.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la force totale si la hauteur d'eau n'était que de 3 mètres.
Question 5 : Position du centre de poussée \( z_p \)
Principe
Le centre de poussée est le point d'application de la force résultante \(F\). Comme la pression augmente avec la profondeur, cette force s'applique plus bas que le centre géométrique de la paroi (qui est à H/2). On le détermine en utilisant le théorème des moments : le moment de la force résultante \(F\) par rapport à la surface est égal à la somme (intégrale) des moments de toutes les forces élémentaires \(dF\).
Mini-Cours
Le théorème des moments (ou théorème de Varignon) stipule que le moment en un point d'une force résultante est égal à la somme des moments en ce même point des forces composantes. En mécanique des fluides, on l'applique ainsi : \( M_{\text{résultante}} = \int dM_{\text{élémentaire}} \). Comme \( M = \text{bras de levier} \times \text{Force} \), on a \( z_{\text{p}} \cdot F = \int z \cdot dF \).
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas le centre de poussée (point d'application de la force) et le centre de gravité (ou centroïde) de la surface. Pour une distribution de pression non-uniforme, ces deux points sont distincts.
Normes
Le calcul correct du centre de poussée est une exigence fondamentale dans toutes les normes de conception de structures de rétention d'eau, car il est essentiel pour vérifier la stabilité au renversement.
Formule(s)
Théorème des moments
Expression du centre de poussée
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment. L'axe de rotation pour le calcul des moments est une ligne horizontale passant par la surface de l'eau (z=0).
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Expression |
|---|---|---|
| Force totale | Calculée à la question 4 | \( F = \frac{1}{2} \rho g L H^2 \) |
| Force élémentaire | Calculée à la question 3 | \( dF = \rho g L z dz \) |
Astuces
Pour une charge triangulaire dont le sommet est en haut, le centre de gravité (qui correspond ici au centre de poussée) se situe toujours aux 2/3 de la hauteur en partant du sommet. C'est un résultat géométrique classique qui permet d'éviter le calcul intégral si on le connaît.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment des Forces
Calcul(s)
Calcul de l'intégrale du moment
Calcul de la position du centre de poussée \(z_p\)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Position du Centre de Poussée
Réflexions
Le centre de poussée est situé aux deux tiers de la hauteur d'eau en partant de la surface. Il est bien en dessous du centre de gravité de la surface mouillée (situé à H/2 = 2,5 m). C'est une information cruciale en ingénierie pour calculer la stabilité au renversement de la structure.
Points de vigilance
Une erreur classique est de confondre le centre de poussée avec le centre de gravité de la surface (H/2). Une autre est de mal poser l'intégrale du moment. Le bras de levier est z, et la force est dF, donc le moment élémentaire est bien z·dF.
Points à retenir
Pour une paroi rectangulaire verticale, le centre de poussée est toujours aux deux tiers de la hauteur immergée, en partant de la surface libre : \( z_{\text{p}} = \frac{2}{3}H \).
Le saviez-vous ?
En aérodynamique, le centre de poussée d'une aile d'avion se déplace en fonction de l'angle d'attaque. La gestion de la position relative entre le centre de poussée et le centre de gravité de l'avion est fondamentale pour assurer sa stabilité en vol.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
À quelle profondeur se situerait le centre de poussée si la hauteur d'eau était de 9 mètres ?
Outil Interactif : Simulateur d'Effort sur Batardeau
Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la largeur du batardeau, et observez en temps réel l'impact sur la force totale exercée et la position du centre de poussée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Comment la pression hydrostatique varie-t-elle avec la profondeur ?
2. Sur une paroi rectangulaire verticale retenant de l'eau, où se situe le centre de poussée par rapport au centre géométrique de la surface mouillée ?
3. Si on double la hauteur d'eau (H) retenue par un batardeau, par quel facteur la force de pression totale est-elle multipliée ?
4. L'unité Pascal (Pa), utilisée pour la pression, est équivalente à :
5. La force de pression exercée par un fluide sur une surface est toujours...
- Batardeau
- Enceinte étanche, généralement temporaire, permettant d'excaver et de construire des fondations en milieu sec là où il y a de l'eau.
- Pression Hydrostatique
- Pression exercée en un point d'un liquide au repos, due au poids de la colonne de liquide se trouvant au-dessus de ce point.
- Centre de Poussée
- Point d'application de la résultante des forces de pression exercées par un fluide sur une surface.
- Résultante des forces
- Force unique qui produit le même effet que l'ensemble des forces de pression réparties sur une surface.
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