Calcul de la Position d'un Mobile

Étude d'un mouvement rectiligne uniforme et détermination de la position en fonction du temps.

Énoncé : Calcul de la Position d’un Mobile

En physique, décrire le mouvement d'un objet (appelé mobile) consiste à déterminer sa position à chaque instant. Pour un mouvement simple comme le mouvement rectiligne uniforme, la position peut être calculée facilement si l'on connaît la position initiale, la vitesse et la durée du déplacement.

Contexte

Savoir calculer la position d'un mobile est fondamental pour de nombreuses applications : prévoir la trajectoire d'un véhicule (voiture, train, avion), déterminer le point de rendez-vous de deux objets, analyser des mouvements en sport, ou encore programmer les déplacements de robots. L'étude du mouvement rectiligne uniforme est la base de l'analyse de mouvements plus complexes.

Mobile se déplaçant sur un axe (Ox) d'une position initiale \(x_0\) à une position \(x(t)\) avec une vitesse \(v\).

Données du Problème

Un petit train électrique se déplace en ligne droite sur un rail gradué (axe Ox). L'origine O de l'axe est prise au début du rail.

À l'instant initial \(t_0 = 0 \, \text{s}\), le train se trouve à la position A d'abscisse \(x_0 = 0,50 \, \text{m}\).
Le train se déplace vers la droite (sens positif de l'axe Ox) avec une vitesse constante \(v = 0,20 \, \text{m/s}\).

Questions

Quelle est la nature du mouvement du train ? Justifier.
Écrire l'équation horaire du mouvement du train, c'est-à-dire l'expression de sa position \(x(t)\) en fonction du temps \(t\).
Calculer la position \(x_1\) du train à l'instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\).
Calculer la distance \(d\) parcourue par le train entre l'instant \(t_0 = 0 \, \text{s}\) et l'instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\).
À quel instant \(t_2\) le train atteindra-t-il la position d'abscisse \(x_2 = 2,50 \, \text{m}\) ?

Correction : Calcul de la Position d’un Mobile

1. Nature du Mouvement

La nature du mouvement est déterminée par la trajectoire et l'évolution de la vitesse.

Analyse

Le train se déplace sur un rail en ligne droite : la trajectoire est rectiligne. Sa vitesse est constante (\(v = 0,20 \, \text{m/s}\)) : le mouvement est uniforme.

Résultat

Le mouvement du train est un mouvement rectiligne uniforme (MRU).

2. Équation Horaire du Mouvement \(x(t)\)

Pour un mouvement rectiligne uniforme, la position \(x\) à un instant \(t\) est donnée par l'équation horaire : \[ x(t) = x_0 + v \times (t - t_0) \] Où \(x_0\) est la position à l'instant initial \(t_0\), et \(v\) est la vitesse constante. Comme \(t_0 = 0 \, \text{s}\), l'équation se simplifie.

Données pour cette étape

Position initiale \(x_0 = 0,50 \, \text{m}\)
Vitesse \(v = 0,20 \, \text{m/s}\)
Instant initial \(t_0 = 0 \, \text{s}\)

Équation

\[ \begin{aligned} x(t) &= x_0 + v \times (t - 0) \\ x(t) &= x_0 + v \times t \\ x(t) &= 0,50 + 0,20 \times t \end{aligned} \] (avec \(x\) en mètres et \(t\) en secondes)

Résultat

L'équation horaire du mouvement du train est : \(x(t) = 0,50 + 0,20 \times t\) (où \(x\) est en mètres et \(t\) en secondes).

3. Position \(x_1\) à l'instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)

On utilise l'équation horaire trouvée à l'étape 2 en remplaçant \(t\) par \(t_1\).

Données pour cette étape

Équation horaire : \(x(t) = 0,50 + 0,20 \times t\)
Instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} x_1 = x(t_1) &= 0,50 + 0,20 \times t_1 \\ &= 0,50 + 0,20 \times 5,0 \\ &= 0,50 + 1,0 \\ &= 1,50 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

À l'instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\), la position du train est \(x_1 = 1,50 \, \text{m}\).

4. Distance \(d\) Parcourue entre \(t_0\) et \(t_1\)

La distance parcourue \(d\) pendant une durée \(\Delta t = t_1 - t_0\) pour un mouvement uniforme est donnée par \(d = v \times \Delta t\). Alternativement, c'est la différence entre la position finale et la position initiale : \(d = x_1 - x_0\).

Données pour cette étape

Vitesse \(v = 0,20 \, \text{m/s}\)
Durée \(\Delta t = t_1 - t_0 = 5,0 \, \text{s} - 0 \, \text{s} = 5,0 \, \text{s}\)
Ou : \(x_1 = 1,50 \, \text{m}\) et \(x_0 = 0,50 \, \text{m}\)

Calcul

Méthode 1 (\(d = v \times \Delta t\)) :

\begin{aligned} d &= v \times \Delta t \\ &= 0,20 \, \text{m/s} \times 5,0 \, \text{s} \\ &= 1,0 \, \text{m} \end{aligned}

Méthode 2 (\(d = x_1 - x_0\)) :

\begin{aligned} d &= x_1 - x_0 \\ &= 1,50 \, \text{m} - 0,50 \, \text{m} \\ &= 1,0 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

La distance parcourue par le train entre 0 s et 5,0 s est \(d = 1,0 \, \text{m}\).

5. Instant \(t_2\) pour Atteindre \(x_2 = 2,50 \, \text{m}\)

On utilise l'équation horaire \(x(t) = x_0 + v \times t\) et on cherche l'instant \(t_2\) tel que \(x(t_2) = x_2\). \[ x_2 = x_0 + v \times t_2 \] On isole \(t_2\).

Données pour cette étape

Position cible \(x_2 = 2,50 \, \text{m}\)
Position initiale \(x_0 = 0,50 \, \text{m}\)
Vitesse \(v = 0,20 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} x_2 &= x_0 + v \times t_2 \\ v \times t_2 &= x_2 - x_0 \\ t_2 &= \frac{x_2 - x_0}{v} \\ &= \frac{2,50 \, \text{m} - 0,50 \, \text{m}}{0,20 \, \text{m/s}} \\ &= \frac{2,0 \, \text{m}}{0,20 \, \text{m/s}} \\ &= 10 \, \text{s} \end{aligned}

Résultat

Le train atteindra la position \(x_2 = 2,50 \, \text{m}\) à l'instant \(t_2 = 10 \, \text{s}\).

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