Calcul de la Position d’un Mobile
Contexte : Prédire le futur, la base de la cinématique.
La cinématique est la branche de la physique qui décrit le mouvement des objets sans se soucier des causes qui le provoquent. Savoir calculer la position d'un objet à n'importe quel instant est fondamental, que ce soit pour un GPS qui doit prévoir votre arrivée, pour un radar qui contrôle votre vitesse, ou pour envoyer une sonde sur Mars. Cet exercice se concentre sur le cas le plus simple : le mouvement rectiligne uniformeMouvement d'un objet qui se déplace en ligne droite à une vitesse constante. C'est le type de mouvement le plus simple à étudier. (MRU), la première étape pour comprendre des mouvements plus complexes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une introduction à la modélisation en physique. Nous allons traduire une situation concrète (une voiture qui roule) en un langage mathématique (une équation) pour pouvoir faire des prédictions. C'est une compétence essentielle qui vous servira tout au long de vos études scientifiques.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et utiliser les concepts de position, vitesse et temps.
- Savoir choisir un référentielObjet par rapport auquel on étudie le mouvement. En général, on utilise un repère fixe (un axe, un plan) pour décrire la position. et un repère.
- Maîtriser la conversion d'unités de vitesse (km/h en m/s).
- Établir et utiliser une équation horaire du mouvement.
- Calculer une position à un instant donné et un instant pour une position donnée.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Position initiale | \(x_{\text{0}}\) | 50 | \(\text{m}\) |
| Vitesse constante | \(v\) | 90 | \(\text{km/h}\) |
Questions à traiter
- Convertir la vitesse de la voiture en mètres par seconde (m/s).
- Écrire l'équation horaire du mouvement \(x(t)\) de la voiture.
- Quelle sera la position de la voiture après 15 secondes de trajet ?
- Au bout de combien de temps la voiture atteindra-t-elle la borne kilométrique indiquant 1 km (soit 1000 m) ?
Les bases du Mouvement Rectiligne Uniforme
Avant de résoudre l'exercice, rappelons les concepts fondamentaux.
1. Le Référentiel et le Repère :
Pour décrire un mouvement, il faut d'abord choisir un référentiel (un objet de référence, ici la route) et un repère d'espace (un axe avec une origine et un sens, ici l'axe (Ox) partant du péage). La position de l'objet est alors donnée par son abscisse \(x\) sur cet axe.
2. La Vitesse :
En mouvement rectiligne uniforme, la vitesse est constante. Elle représente la distance parcourue par unité de temps. Son unité dans le Système International est le mètre par seconde (m/s).
3. L'Équation Horaire :
C'est la formule mathématique qui donne la position \(x\) à n'importe quel instant \(t\). Pour un MRU, elle s'écrit :
\[ x(t) = v \cdot t + x_{\text{0}} \]
Où \(v\) est la vitesse, \(t\) le temps écoulé, et \(x_{\text{0}}\) la position à l'instant initial (\(t=0\)).
Correction : Calcul de la Position d'un Mobile
Question 1 : Convertir la vitesse en m/s
Principe (le concept physique)
Les unités doivent être cohérentes dans les calculs de physique. L'équation horaire utilise des mètres (m) pour la position et des secondes (s) pour le temps. Il est donc impératif de convertir la vitesse, donnée en kilomètres par heure (km/h), en mètres par seconde (m/s) avant de l'utiliser dans la formule.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La conversion repose sur les équivalences fondamentales des unités de distance et de temps : 1 kilomètre équivaut à 1000 mètres, et 1 heure équivaut à 3600 secondes. Ainsi, une vitesse de 1 km/h correspond à parcourir 1000 mètres en 3600 secondes, ce qui donne le rapport de conversion 1000/3600 = 1/3.6.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez-le ainsi : en une seconde, vous parcourez 3,6 fois moins de distance qu'en une heure, mais un mètre est 1000 fois plus petit qu'un kilomètre. Le facteur 3,6 est le "raccourci" qui combine ces deux effets. Retenez simplement : pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6. C'est un réflexe à acquérir absolument.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation du mètre (m), du kilogramme (kg) et de la seconde (s) comme unités de base est définie par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). C'est le Système International d'unités (SI), la norme mondiale pour la science et la technologie, garantissant que les calculs et les résultats sont universellement comparables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de conversion est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le facteur de conversion 3,6 est une valeur exacte, issue des définitions du kilomètre, de l'heure et de la seconde.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse de la voiture, \(v = 90 \, \text{km/h}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour des calculs mentaux, vous pouvez remarquer que 90 est \(100 - 10\). Diviser par 3,6 est difficile, mais vous pouvez estimer : 90 / 3 = 30. La vraie valeur sera un peu plus petite. Cela vous donne un ordre de grandeur pour vérifier votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Conversion d'Unités de Vitesse
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule de conversion.
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Conversion
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une vitesse de 90 km/h signifie que la voiture parcourt 25 mètres à chaque seconde. Cette valeur est beaucoup plus parlante pour des durées courtes et est directement utilisable dans nos prochaines équations.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de multiplier au lieu de diviser, ou l'inverse. Pour vérifier, rappelez-vous qu'une vitesse en m/s (distance par seconde) doit être un nombre plus petit que la même vitesse en km/h (distance par heure). Si vous trouvez un nombre plus grand, vous vous êtes trompé de sens.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'unité de vitesse du Système International est le m/s.
- Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6.
- Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La définition de la seconde a beaucoup évolué ! Initialement une fraction du jour solaire, elle est aujourd'hui définie de manière incroyablement précise grâce aux horloges atomiques, comme étant la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un TGV roule à 324 km/h. Quelle est sa vitesse en m/s ?
Question 2 : Écrire l'équation horaire du mouvement
Principe (le concept physique)
L'équation horaire est le "modèle mathématique" du mouvement. C'est une fonction qui, pour n'importe quelle valeur de temps \(t\) que l'on choisit, nous donne la position \(x\) correspondante. Pour l'établir, il suffit de remplacer les paramètres constants (la vitesse \(v\) et la position initiale \(x_{\text{0}}\)) par leurs valeurs numériques dans la formule générale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation \(x(t) = vt + x_{\text{0}}\) est une fonction affine du temps. En mathématiques, on l'écrirait \(y = ax + b\). Ici, la position \(x\) joue le rôle de \(y\), le temps \(t\) joue le rôle de \(x\), la vitesse \(v\) est le coefficient directeur (la pente de la droite), et la position initiale \(x_{\text{0}}\) est l'ordonnée à l'origine (la valeur quand \(t=0\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez l'équation horaire comme une "recette" pour trouver la position. La recette est : "Prenez le temps écoulé, multipliez-le par la vitesse pour savoir quelle distance a été parcourue, puis ajoutez la position de départ pour savoir où vous êtes maintenant".
Normes (la référence réglementaire)
Il ne s'agit pas d'une norme au sens d'une loi, mais d'une loi physique fondamentale de la cinématique newtonienne. Cette équation est la pierre angulaire de la description de tout mouvement à vitesse constante et est universellement reconnue et utilisée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La forme générale de l'équation horaire pour un MRU est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le mouvement reste rectiligne et uniforme (vitesse parfaitement constante) pendant toute la durée étudiée. On considère que le chronomètre est déclenché précisément à l'instant où la voiture est en \(x_{\text{0}}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse (convertie), \(v = 25 \, \text{m/s}\)
- Position initiale, \(x_{\text{0}} = 50 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez toujours les unités de votre équation finale. Si \(v\) est en m/s et \(t\) en s, le produit \(vt\) est en mètres. Si \(x_{\text{0}}\) est en mètres, vous pouvez les additionner. L'équation est homogène, c'est un bon signe !
Schéma (Avant les calculs)
Modèle d'une Fonction Affine
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace \(v\) et \(x_{\text{0}}\) par leurs valeurs dans la formule générale. Les variables sont \(x\) (en mètres) et \(t\) (en secondes).
Schéma (Après les calculs)
Graphique de l'Équation Horaire
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation est une machine à calculer les positions. Elle nous dit que la position de la voiture est égale à 50 mètres (sa position de départ) plus 25 mètres pour chaque seconde qui s'écoule. C'est le résumé complet du mouvement de la voiture.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas le terme de la position initiale \(x_{\text{0}}\). Une erreur fréquente est de l'oublier et d'écrire simplement \(x(t) = vt\), ce qui ne serait correct que si la voiture partait de l'origine (\(x_{\text{0}} = 0\)). Vérifiez aussi que vous avez bien utilisé la vitesse en m/s et non en km/h.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'équation horaire décrit la position \(x\) en fonction du temps \(t\).
- Sa forme est \(x(t) = v \cdot t + x_{\text{0}}\).
- Il faut remplacer \(v\) et \(x_{\text{0}}\) par leurs valeurs numériques pour obtenir l'équation spécifique au problème.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'idée de représenter des relations par des coordonnées sur un graphique vient du philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650). Ce système de coordonnées cartésiennes a révolutionné les mathématiques en liant l'algèbre et la géométrie, nous permettant de "voir" les équations.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un cycliste part de l'origine (\(x_{\text{0}}=0\)) à la vitesse de 5 m/s. Quelle est son équation horaire ? (Écrire sous la forme `5t`, `5t+10`, etc.)
Question 3 : Calculer la position après 15 secondes
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous avons le modèle mathématique du mouvement (l'équation horaire), nous pouvons l'utiliser pour faire des prédictions. Pour trouver la position à un instant précis, il suffit de remplacer la variable temps \(t\) par la valeur numérique donnée dans cette équation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
C'est l'évaluation d'une fonction en un point. Si on a une fonction \(f(x) = ax+b\), calculer \(f(3)\) signifie remplacer chaque \(x\) par 3. Ici, notre fonction est \(x(t) = 25t+50\), et nous voulons l'évaluer pour \(t=15\). Le calcul est une simple application numérique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à votre équation \(x(t) = 25t + 50\) comme une machine. Vous "insérez" une valeur pour le temps \(t\) dans la machine, et elle vous "sort" la position \(x\) correspondante. Pour cette question, nous insérons \(t=15\) dans la machine.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul ne fait pas appel à une norme, mais constitue une application directe du modèle physique établi à la question précédente. La validité du résultat dépend entièrement de la validité du modèle.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise l'équation horaire établie à la question précédente :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le mouvement de la voiture est resté uniforme et n'a pas changé pendant les 15 premières secondes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Instant de temps, \(t = 15 \, \text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour calculer \(25 \times 15\) de tête, faites \(25 \times 10 = 250\) et \(25 \times 5 = 125\). La somme est \(250 + 125 = 375\). C'est plus rapide que de poser la multiplication.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche de x pour t=15s
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace \(t\) par 15 dans l'équation :
Schéma (Après les calculs)
Position trouvée pour t=15s
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Après 15 secondes, la voiture se trouvera à 425 mètres du péage. Elle a parcouru 375 mètres (\(25 \, \text{m/s} \times 15 \, \text{s}\)) depuis sa position initiale qui était à 50 mètres.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajouter la position initiale \(x_{\text{0}}\) au calcul. Le calcul \(25 \times 15\) donne la distance parcourue pendant les 15 secondes, mais pas la position finale par rapport à l'origine du repère.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Pour trouver la position à un instant \(t\), on remplace \(t\) par sa valeur dans l'équation horaire.
- Le résultat \(x(t)\) est la position par rapport à l'origine, pas seulement la distance parcourue.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les premiers systèmes de chronométrage sportif, comme ceux utilisés aux Jeux Olympiques, étaient manuels et pouvaient avoir des incertitudes de plusieurs dixièmes de seconde. Aujourd'hui, le chronométrage électronique atteint une précision de l'ordre du millième de seconde, cruciale pour départager les athlètes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec la même équation \(x(t) = 25t + 50\), où se trouvera la voiture après 1 minute (60 s) ?
Question 4 : Calculer le temps pour atteindre 1000 m
Principe (le concept physique)
Ici, on inverse le problème. On connaît la position finale \(x\) et on cherche l'instant \(t\) correspondant. L'équation horaire est toujours notre outil, mais cette fois, \(t\) est l'inconnue. Il s'agit de résoudre une équation du premier degré pour isoler \(t\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Résoudre \(c = at + b\) pour trouver \(t\) est une opération algébrique de base. On commence par isoler le terme \(at\) en soustrayant \(b\) des deux côtés : \(c - b = at\). Ensuite, on divise par \(a\) pour obtenir \(t = (c - b) / a\). En physique, cela correspond à \(t = (x - x_{\text{0}}) / v\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
On utilise la même "machine" que tout à l'heure, mais à l'envers. On connaît le résultat qu'on veut obtenir en sortie (x = 1000 m), et on cherche la valeur du temps \(t\) qu'il a fallu insérer en entrée pour l'obtenir. C'est une démarche de "rétro-calcul".
Normes (la référence réglementaire)
Tout comme la question 3, il s'agit d'une application directe du modèle cinématique, sans référence à une norme spécifique. La méthode de résolution d'équation est un standard mathématique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de l'équation horaire et on isole \(t\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la voiture continue son mouvement uniforme jusqu'à atteindre la position de 1000 m, sans s'arrêter ni changer de vitesse.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Position finale, \(x = 1000 \, \text{m}\)
- Vitesse, \(v = 25 \, \text{m/s}\)
- Position initiale, \(x_{\text{0}} = 50 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez d'abord la distance totale à parcourir depuis la position initiale : \( \Delta x = x - x_{\text{0}} = 1000 - 50 = 950\) m. Ensuite, utilisez la formule de base \(t = d/v = 950 / 25\). Cela décompose le problème en deux étapes logiques.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche de t pour x=1000m
Calcul(s) (l'application numérique)
On pose l'équation et on la résout pour \(t\) :
Schéma (Après les calculs)
Temps trouvé pour x=1000m
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Il faudra 38 secondes à la voiture pour atteindre la borne indiquant 1 km. Durant ce temps, elle aura parcouru 950 mètres depuis sa position initiale, ce qui correspond bien à \(25 \, \text{m/s} \times 38 \, \text{s}\).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien soustraire la position initiale avant de diviser par la vitesse. La distance à parcourir n'est pas 1000 m, mais \(1000 - 50 = 950\) m. Une erreur ici conduirait à un temps de \(1000/25 = 40\) s, ce qui est incorrect.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Pour trouver l'instant \(t\) correspondant à une position \(x\), on remplace \(x\) par sa valeur dans l'équation horaire.
- On résout ensuite l'équation pour trouver l'inconnue \(t\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le système GPS (Global Positioning System) fonctionne en calculant le temps que met un signal à voyager depuis plusieurs satellites jusqu'à votre récepteur. Connaissant la vitesse du signal (la vitesse de la lumière) et ce temps de trajet, le récepteur peut calculer sa distance à chaque satellite et, par triangulation, déterminer sa position sur Terre avec une précision de quelques mètres.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec la même équation \(x(t) = 25t + 50\), au bout de combien de temps la voiture sera-t-elle à 200 m du péage ?
Outil Interactif : Explorez le Mouvement
Modifiez la vitesse et la position initiale pour voir leur influence sur la trajectoire.
Paramètres d'Entrée
Résultats pour t = 10 s
Le Saviez-Vous ?
C'est Galilée (1564-1642) qui a été le premier à formuler l'idée qu'en l'absence de frottements, un objet en mouvement continuerait en ligne droite à vitesse constante indéfiniment. Cette idée, contre-intuitive à l'époque, a brisé avec la physique d'Aristote et a jeté les bases du principe d'inertie, qui sera plus tard formalisé par Isaac Newton.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si la vitesse n'est pas constante ?
Si la vitesse change (la voiture accélère ou freine), le mouvement n'est plus "uniforme" mais "varié". L'équation horaire devient plus complexe et fait intervenir l'accélération. C'est une notion que vous étudierez plus tard dans votre scolarité.
Pourquoi la position initiale \(x_{\text{0}}\) est-elle si importante ?
Elle définit le point de départ du mouvement par rapport à notre repère. Sans elle, on ne peut pas connaître la position absolue de l'objet, seulement la distance qu'il a parcourue depuis le début du chronomètre. Deux voitures peuvent avoir la même vitesse mais des positions très différentes si elles ne sont pas parties du même endroit.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'équation horaire d'un mobile est \(x(t) = -10t + 30\). Que peut-on dire de son mouvement ?
2. Un objet met 5 secondes pour parcourir 100 mètres à vitesse constante. Sa vitesse est de :
- Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
- Mouvement d'un objet dont la trajectoire est une ligne droite et dont la vitesse est constante.
- Référentiel
- Objet ou ensemble d'objets par rapport auquel on décrit le mouvement. Le choix du référentiel est la première étape de toute étude de mouvement.
- Équation Horaire
- Relation mathématique qui lie la position d'un mobile au temps. Elle permet de calculer la position à n'importe quel instant.
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