Calcul de la Masse Volumique du Cuivre

Détermination d'une caractéristique physique d'un matériau par mesure de masse et de volume.

La masse volumique (\(\rho\)) est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par unité de volume. Elle permet d'identifier des substances ou de calculer la masse d'un objet si son volume est connu (et inversement). Nous allons déterminer la masse volumique d'un échantillon de cuivre.

Données du Problème

On dispose d'un cylindre plein en cuivre et d'une balance de précision.

Masse du cylindre de cuivre mesurée : \(m = 134,0 \, \text{g}\)
Dimensions du cylindre :
- Diamètre : \(D = 2,00 \, \text{cm}\)
- Hauteur : \(h = 1,50 \, \text{cm}\)
On rappelle la formule du volume d'un cylindre : \(V_{cylindre} = \pi \times r^2 \times h\), où \(r\) est le rayon et \(h\) la hauteur.
On prendra \(\pi \approx 3,1416\).

Cylindre de cuivre de diamètre D et de hauteur h.

Questions

Convertir la masse \(m\) du cylindre en kilogrammes (kg).
Calculer le rayon \(r\) du cylindre en centimètres (cm).
Calculer le volume \(V\) du cylindre en centimètres cubes (cm³).
Calculer la masse volumique \(\rho\) du cuivre en grammes par centimètre cube (g/cm³).
Convertir le volume \(V\) du cylindre en mètres cubes (m³). (Rappel : \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\), donc \(1 \, \text{m}^3 = (100 \, \text{cm})^3 = 10^6 \, \text{cm}^3\)).
Calculer la masse volumique \(\rho\) du cuivre en kilogrammes par mètre cube (kg/m³), en utilisant la masse en kg et le volume en m³.
Comparer la valeur trouvée avec la valeur tabulée de la masse volumique du cuivre (environ \(8960 \, \text{kg/m}^3\)). Y a-t-il une différence significative ? Quelles pourraient être les sources d'erreur ?

Correction : Calcul de la Masse Volumique du Cuivre

1. Conversion de la Masse en kg

La masse est donnée en grammes (g). Pour obtenir la masse volumique en kg/m³, il est utile de convertir la masse en kg. \(1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{g}\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 134,0 \, \text{g}\)

Calcul

\begin{aligned} m &= 134,0 \, \text{g} \\ &= 134,0 \times 10^{-3} \, \text{kg} \\ &= 0,1340 \, \text{kg} \end{aligned}

Résultat

La masse du cylindre est \(m = 0,1340 \, \text{kg}\).

2. Calcul du Rayon \(r\) du Cylindre

Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre \(D\).

Données pour cette étape

Diamètre \(D = 2,00 \, \text{cm}\)

Calcul

\begin{aligned} r &= \frac{D}{2} \\ &= \frac{2,00 \, \text{cm}}{2} \\ &= 1,00 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat

Le rayon du cylindre est \(r = 1,00 \, \text{cm}\).

3. Calcul du Volume \(V\) du Cylindre en cm³

Le volume d'un cylindre est \(V = \pi \times r^2 \times h\).

Données pour cette étape

Rayon \(r = 1,00 \, \text{cm}\) (calculé à l'étape 2)
Hauteur \(h = 1,50 \, \text{cm}\)
\(\pi \approx 3,1416\)

Calcul

\begin{aligned} V &= \pi \times r^2 \times h \\ &= 3,1416 \times (1,00 \, \text{cm})^2 \times 1,50 \, \text{cm} \\ &= 3,1416 \times 1,00 \, \text{cm}^2 \times 1,50 \, \text{cm} \\ &= 4,7124 \, \text{cm}^3 \end{aligned}

Résultat

Le volume du cylindre est \(V \approx 4,71 \, \text{cm}^3\).

4. Calcul de la Masse Volumique \(\rho\) en g/cm³

La masse volumique \(\rho\) est donnée par la formule \(\rho = \frac{m}{V}\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 134,0 \, \text{g}\)
Volume \(V \approx 4,7124 \, \text{cm}^3\) (calculé à l'étape 3)

Calcul

\begin{aligned} \rho &= \frac{m}{V} \\ &= \frac{134,0 \, \text{g}}{4,7124 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 28,431... \, \text{g/cm}^3 \end{aligned}

Résultat

La masse volumique du cuivre calculée est \(\rho \approx 28,4 \, \text{g/cm}^3\).

(Note : Cette valeur est très éloignée de la valeur attendue pour le cuivre, qui est d'environ 8,96 g/cm³. Cela suggère une erreur dans les données initiales de l'exercice ou une simplification extrême. Nous continuerons les calculs avec les valeurs obtenues.)

5. Conversion du Volume \(V\) en m³

Pour convertir des cm³ en m³, on utilise le fait que \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\). Donc, \(1 \, \text{m}^3 = (100 \, \text{cm})^3 = 100^3 \, \text{cm}^3 = 10^6 \, \text{cm}^3\). Ainsi, \(1 \, \text{cm}^3 = 10^{-6} \, \text{m}^3\).

Données pour cette étape

Volume \(V \approx 4,7124 \, \text{cm}^3\)

Calcul

\begin{aligned} V &\approx 4,7124 \, \text{cm}^3 \\ &= 4,7124 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat

Le volume du cylindre est \(V \approx 4,7124 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\).

6. Calcul de la Masse Volumique \(\rho\) en kg/m³

On utilise la masse en kg et le volume en m³. \(\rho = \frac{m}{V}\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 0,1340 \, \text{kg}\) (calculée à l'étape 1)
Volume \(V \approx 4,7124 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\) (calculé à l'étape 5)

Calcul

\begin{aligned} \rho &= \frac{m}{V} \\ &= \frac{0,1340 \, \text{kg}}{4,7124 \times 10^{-6} \, \text{m}^3} \\ &\approx 28431 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned}

Résultat

La masse volumique du cuivre calculée est \(\rho \approx 28431 \, \text{kg/m}^3\).

7. Comparaison avec la Valeur Tabulée

La valeur tabulée de la masse volumique du cuivre est d'environ \(8960 \, \text{kg/m}^3\).

Analyse

La valeur calculée (\(28431 \, \text{kg/m}^3\)) est significativement plus élevée que la valeur tabulée (\(8960 \, \text{kg/m}^3\)). La différence est de \(28431 - 8960 = 19471 \, \text{kg/m}^3\). L'écart relatif est \(\frac{|28431 - 8960|}{8960} \times 100\% \approx \frac{19471}{8960} \times 100\% \approx 217\%\).

Cette différence très importante suggère fortement une erreur dans les données initiales de l'exercice (masse ou dimensions du cylindre) ou qu'il ne s'agit pas de cuivre pur. Les sources d'erreur expérimentales classiques pourraient inclure :

Imprécision de la mesure de la masse.
Imprécision des mesures des dimensions (diamètre, hauteur).
Forme du cylindre non parfaite.
Présence d'impuretés dans le cuivre ou utilisation d'un alliage différent.
Erreurs de calcul ou d'arrondi (moins probables pour un tel écart).

Si les données de l'énoncé sont correctes et qu'il s'agissait bien de cuivre, il y aurait un problème majeur dans l'expérience ou les données. Pour cet exercice, nous avons suivi les calculs basés sur les données fournies.

Résultat

La valeur calculée (\(\approx 28431 \, \text{kg/m}^3\)) est très différente de la valeur tabulée pour le cuivre (\(\approx 8960 \, \text{kg/m}^3\)), indiquant un écart significatif. Les sources d'erreur peuvent être liées aux mesures ou à la pureté de l'échantillon.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La masse volumique est une grandeur qui dépend :

Uniquement de la masse de l'objet
Uniquement du volume de l'objet
De la nature de la substance et des conditions (température, pression)

Question 2 : Si on coupe un bloc de cuivre en deux, la masse volumique de chaque morceau :

Est divisée par deux
Reste la même
Est doublée

Question 3 : L'unité SI de la masse volumique est :

g/cm³
kg/L
kg/m³

Question 4 : Pour calculer le volume d'un cylindre, on a besoin de connaître :

Sa masse et sa hauteur
Son rayon (ou diamètre) et sa hauteur
Sa masse et son rayon

Question 5 : Si un objet a une masse volumique supérieure à celle de l'eau (\(\approx 1 \, \text{g/cm}^3\)), il va :

Flotter sur l'eau
Couler dans l'eau
Rester en suspension dans l'eau

Réponses du Quiz

Réponse 1 : c) De la nature de la substance et des conditions (température, pression)

Réponse 2 : b) Reste la même

Réponse 3 : c) kg/m³

Réponse 4 : b) Son rayon (ou diamètre) et sa hauteur

Réponse 5 : b) Couler dans l'eau

Glossaire des Termes Clés

Masse Volumique (\(\rho\)) :

Rapport de la masse (\(m\)) d'une substance par son volume (\(V\)). \(\rho = m/V\). Elle caractérise la "densité" d'un matériau. Unités courantes : g/cm³, kg/L, kg/m³.

Masse (\(m\)) :

Quantité de matière contenue dans un objet. Unité SI : kilogramme (kg).

Volume (\(V\)) :

Espace occupé par un objet ou une substance. Unité SI : mètre cube (m³). Autres unités : litre (L), centimètre cube (cm³).

Cylindre :

Solide géométrique délimité par deux disques parallèles et égaux (les bases) et une surface latérale courbe. Son volume est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Rayon (\(r\)) :

Distance du centre d'un cercle (ou d'une base de cylindre) à n'importe quel point de sa circonférence. La moitié du diamètre.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment pourrait-on mesurer le volume d'un objet de forme irrégulière pour déterminer sa masse volumique ?

2. La masse volumique d'un gaz est-elle généralement plus grande ou plus petite que celle d'un liquide ou d'un solide ? Pourquoi ?

3. Recherchez la masse volumique de l'eau et de l'huile. Expliquez pourquoi l'huile flotte sur l'eau.

4. Si vous aviez un cube de cuivre et un cube d'aluminium de même taille, lequel serait le plus lourd ? Justifiez en utilisant le concept de masse volumique.

Calcul de la Masse Volumique du Cuivre