Attraction entre les Masses

Contexte : L'attraction universellePhénomène physique qui fait que deux corps massiques s'attirent mutuellement..

Découverte par Isaac Newton au XVIIe siècle, la loi de l'attraction universelle décrit la force qui nous retient sur Terre, qui maintient la Lune en orbite et qui gouverne le mouvement des planètes. Cet exercice vous propose de calculer la valeur de cette force colossale qui lie notre planète à son satellite naturel, la Lune.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la célèbre formule de Newton pour calculer une force de gravitation et à comprendre la notion d'interaction entre deux corps célestes.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et savoir appliquer la loi de l'attraction universelle de Newton.
Maîtriser les calculs avec les puissances de 10 et les unités du Système International.
Comprendre le principe des actions réciproques (3ème loi de Newton).
Savoir représenter des forces sur un schéma à une échelle donnée.

Données de l'étude

On s'intéresse à la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, considérées comme des corps à répartition de masse sphérique.

Modélisation du système Terre-Lune

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
\(m_{\text{T}}\)	Masse de la Terre	\(5,97 \times 10^{24}\)	\(\text{kg}\)
\(m_{\text{L}}\)	Masse de la Lune	\(7,35 \times 10^{22}\)	\(\text{kg}\)
\(d\)	Distance Terre-Lune (centre à centre)	\(3,84 \times 10^{8}\)	\(\text{m}\)
G	Constante de gravitation universelle	\(6,67 \times 10^{-11}\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2\)

Questions à traiter

Énoncer la loi de l'attraction universelle en donnant l'expression littérale de la force.
Calculer la valeur de la force d'attraction gravitationnelle \(F_{\text{T/L}}\) exercée par la Terre sur la Lune.
Sans calcul, donner la valeur de la force \(F_{\text{L/T}}\) exercée par la Lune sur la Terre. Justifier.
Représenter ces deux forces sur un schéma, en utilisant l'échelle : 1 cm pour \(10^{20}\) N.
Que deviendrait la valeur de cette force si la distance entre la Terre et la Lune était deux fois plus grande ?

Les bases sur l'Attraction Universelle

Deux corps A et B, de masses respectives \(m_{\text{A}}\) et \(m_{\text{B}}\), séparés par une distance \(d\), s'attirent mutuellement. Cette interaction est modélisée par une force dont la direction est la droite joignant les centres des deux corps.

La loi de Newton
La valeur de cette force est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton. Elle est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance. \[ F_{\text{A/B}} = F_{\text{B/A}} = G \times \frac{m_{\text{A}} \times m_{\text{B}}}{d^2} \]

Correction : Attraction entre les Masses

Question 1 : Énoncer la loi de l'attraction universelle

Principe

Il s'agit de réciter la loi de Newton qui est une connaissance fondamentale du cours de physique de 3ème. Cette loi permet de quantifier l'attraction entre deux objets massifs.

Formule de la loi de gravitation

F = G \times \frac{m_{\text{A}} \times m_{\text{B}}}{d^2}

F : la force de gravitation, en Newtons (\(\text{N}\)).
G : la constante de gravitation universelle (\(6,67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)).
\(m_{\text{A}}\) et \(m_{\text{B}}\) : les masses des deux corps, en kilogrammes (\(\text{kg}\)).
d : la distance entre les centres des deux corps, en mètres (\(\text{m}\)).

Points à retenir

Cette formule est l'une des plus importantes de la mécanique classique. Retenez bien que la force est d'autant plus grande que les masses sont élevées et que la distance est faible.

Question 2 : Calcul de la force exercée par la Terre sur la Lune

Principe

Le principe ici est l'application directe de la loi de Newton pour trouver la valeur numérique de la force d'attraction entre deux corps massifs, en l'occurrence la Terre et la Lune.

Mini-Cours

La force de gravitation est une interaction à distance qui existe entre tous les objets ayant une masse. Elle est toujours attractive. Sa valeur dépend proportionnellement des masses en jeu (plus elles sont grandes, plus la force est grande) et inversement du carré de la distance qui les sépare (plus ils sont loin, plus la force diminue rapidement).

Remarque Pédagogique

Pour ce calcul, il est crucial de bien utiliser les puissances de 10 sur votre calculatrice. Faites attention à bien mettre des parenthèses autour du dénominateur (la distance au carré) pour éviter les erreurs de priorité des opérations.

Normes

Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction (comme les Eurocodes) mais des lois fondamentales de la physique classique, universellement reconnues et validées par l'expérience depuis des siècles.

Formule appliquée

F_{\text{T/L}} = G \times \frac{m_{\text{T}} \times m_{\text{L}}}{d^2}

Hypothèses

Pour pouvoir appliquer cette formule simplement, on fait les hypothèses suivantes :

On considère la Terre et la Lune comme des corps à répartition de masse sphérique (la masse est uniformément répartie autour du centre).
Cela nous permet de les modéliser comme des points matériels et de considérer 'd' comme la distance entre leurs centres.

Donnée(s)

On reprend les données de l'énoncé en s'assurant que toutes les unités sont dans le Système International (kg, m, N).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de la Terre	\(m_{\text{T}}\)	\(5,97 \times 10^{24}\)	\(\text{kg}\)
Masse de la Lune	\(m_{\text{L}}\)	\(7,35 \times 10^{22}\)	\(\text{kg}\)
Distance Terre-Lune	\(d\)	\(3,84 \times 10^{8}\)	\(\text{m}\)
Constante gravitationnelle	G	\(6,67 \times 10^{-11}\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2\)

Astuces

Pour manipuler les puissances de 10 de tête ou vérifier un ordre de grandeur : lors d'une multiplication, on additionne les exposants (\(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)). Lors d'une division, on les soustrait (\(10^a / 10^b = 10^{a-b}\)). Pour un carré, on multiplie l'exposant par 2 (\((10^a)^2 = 10^{2a}\)).

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du système Terre-Lune

Calcul(s)

Détail du calcul de la force

\begin{aligned} F_{\text{T/L}} &= G \times \frac{m_{\text{T}} \times m_{\text{L}}}{d^2} \\ &= 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{(5,97 \times 10^{24}) \times (7,35 \times 10^{22})}{(3,84 \times 10^{8})^2} \\ &= 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{4,388 \times 10^{47}}{1,475 \times 10^{17}} \\ &= 6,67 \times 10^{-11} \times (2,975 \times 10^{30}) \\ &\approx 1,98 \times 10^{20} \ \text{N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Force Calculée

Réflexions

La force d'attraction est de l'ordre de \(1,98 \times 10^{20}\) Newtons. C'est une force absolument gigantesque, équivalente au poids de 20 000 milliards de tonnes sur Terre ! C'est cette force qui contraint la Lune à tourner autour de nous et l'empêche de s'échapper dans l'espace.

Points de vigilance

Les deux erreurs les plus fréquentes sont :
1. Oublier le carré : La force est inversement proportionnelle au carré de la distance, pas juste la distance.
2. Unités : Toujours vérifier que les masses sont en kg et la distance en m avant de commencer le calcul.

Points à retenir

Pour maîtriser la question, retenez :
1. La formule \( F = G \times (m_{\text{A}} m_{\text{B}}) / d^2 \).
2. La méthode : poser la formule, vérifier les unités, remplacer par les valeurs, calculer.
3. L'ordre de grandeur : la gravitation est significative seulement pour des objets très massifs comme les planètes.

Le saviez-vous ?

Henry Cavendish est le premier scientifique à avoir mesuré la valeur de G en 1798 avec une expérience très ingénieuse (la balance de torsion). Cette mesure a permis de calculer la masse de la Terre pour la première fois, lui valant le surnom de "l'homme qui a pesé la Terre" !

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

La force d'attraction exercée par la Terre sur la Lune est d'environ \(1,98 \times 10^{20} \ \text{N}\).

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, calculez la force si la masse de la Lune était deux fois plus grande (\(14,7 \times 10^{22}\) kg).

Question 3 : Force exercée par la Lune sur la Terre

Principe

Cette question fait appel au principe des actions réciproques, aussi connu comme la troisième loi de Newton. Il n'y a aucun calcul à faire.

Mini-Cours

Principe des actions réciproques : Si un corps A exerce une force sur un corps B (action), alors le corps B exerce sur le corps A une force d'égale valeur, de même direction, mais de sens opposé (réaction). On a donc toujours \( \vec{F}_{\text{A/B}} = - \vec{F}_{\text{B/A}} \).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est le résultat de la question précédente.

Force exercée par la Terre sur la Lune : \(F_{\text{T/L}} \approx 1,98 \times 10^{20} \ \text{N}\)

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du système Terre-Lune

Réflexions

Même si la Terre est beaucoup plus massive que la Lune, la Lune nous attire avec une force de même intensité. C'est contre-intuitif, mais fondamental. Cette force est d'ailleurs la cause principale des marées sur Terre.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des Forces Réciproques

Résultat Final

D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par la Lune sur la Terre a la même valeur que celle exercée par la Terre sur la Lune : \(F_{\text{L/T}} = F_{\text{T/L}} \approx 1,98 \times 10^{20} \ \text{N}\).

Question 4 : Représentation des forces

Donnée(s)

On utilise le résultat du calcul précédent et l'échelle fournie.

Force à représenter : \(F \approx 1,98 \times 10^{20} \ \text{N}\)
Échelle : 1 cm pour \(10^{20} \ \text{N}\)

Schéma (Avant les calculs)

Système Terre-Lune avant représentation des forces

Astuces

Pour trouver la longueur du vecteur, on fait un simple produit en croix. Si 1 cm représente \(10^{20} \ \text{N}\), alors combien de cm pour \(1,98 \times 10^{20} \ \text{N}\) ? Le calcul est : \( \frac{1,98 \times 10^{20}}{10^{20}} = 1,98 \ \text{cm}\). On dessinera donc des flèches d'environ 2 cm (ou 80px dans notre schéma).

Schéma (Après les calculs)

Représentation des forces d'interaction à l'échelle

Question 5 : Influence de la distance

Principe

La force de gravitation est gouvernée par une loi en "carré inverse" de la distance (\(F \propto 1/d^2\)). Cela signifie que si la distance augmente, la force diminue très rapidement, de manière non linéaire. Le but ici est d'analyser cette relation sans refaire tout le calcul.

Mini-Cours

La loi en carré inverse : Cette relation (\(y \propto 1/x^2\)) est très courante en physique. On la retrouve pour l'intensité lumineuse, le son, ou les forces électrostatiques. Elle implique une atténuation très rapide de l'effet avec la distance. Si on double la distance, l'effet est 4 fois plus faible. Si on la triple, il est 9 fois plus faible.

Remarque Pédagogique

Il n'est pas nécessaire et même déconseillé de refaire tout le calcul numérique. La compétence testée ici est votre capacité à analyser l'impact d'un changement de paramètre sur le résultat final en vous basant uniquement sur la formule littérale. C'est une compétence clé en sciences pour raisonner rapidement.

Normes

Non applicable. Il s'agit d'une analyse qualitative et quantitative d'une loi physique fondamentale.

Formule de base

F = G \frac{m_{\text{T}} m_{\text{L}}}{d^2}

Hypothèses

On suppose que seul le paramètre de distance change. Toutes les autres valeurs (masses, G) restent constantes pendant notre expérience de pensée.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la relation entre l'ancienne et la nouvelle distance :

Nouvelle distance : \(d' = 2 \times d\)

Astuces

Quand une question commence par "Que deviendrait...", pensez "rapport" ou "facteur multiplicatif" plutôt que de vous lancer dans un calcul complet avec toutes les valeurs numériques. Isolez le terme qui change dans la formule et analysez son impact.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du doublement de la distance

Calcul(s)

Détail du calcul du rapport des forces

\begin{aligned} F' &= G \times \frac{m_{\text{T}} \times m_{\text{L}}}{(d')^2} \\ &= G \times \frac{m_{\text{T}} \times m_{\text{L}}}{(2d)^2} \\ &= G \times \frac{m_{\text{T}} \times m_{\text{L}}}{4d^2} \\ &= \frac{1}{4} \times \left( G \frac{m_{\text{T}} m_{\text{L}}}{d^2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \times F \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Forces à distance d et 2d

Réflexions

Doubler la distance ne divise pas la force par 2, mais par 4 (car \(2^2=4\)). De même, tripler la distance diviserait la force par 9 (car \(3^2=9\)). C'est une propriété très importante et contre-intuitive de la gravitation et de toutes les lois en carré inverse.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier le carré et de conclure que la force est simplement divisée par 2. La force est inversement proportionnelle au CARRÉ de la distance. Retenez bien ce détail, il est fondamental.

Points à retenir

La dépendance en carré inverse est un concept crucial :
• Si on multiplie la distance par \(n\), la force est divisée par \(n^2\).
• Si on divise la distance par \(n\), la force est multipliée par \(n^2\).

Le saviez-vous ?

Cette loi en \(1/d^2\) est la raison mathématique pour laquelle les orbites des planètes sont des ellipses (et non des cercles parfaits), un fait découvert par l'astronome Johannes Kepler bien avant que Newton ne l'explique avec sa théorie de la gravitation.

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

Si la distance était deux fois plus grande, la force d'attraction serait divisée par 4.

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que deviendrait la force si la distance était divisée par deux ? (Répondez par quel facteur la force est multipliée).

Outil Interactif : Simulateur de Gravitation

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse de l'astre principal et la distance qui le sépare d'un satellite (de la masse de la Lune) et observez l'impact sur la force de gravitation.

Paramètres d'Entrée

Masse de l'astre M₁ (x10²⁴ kg) 5.97 x10²⁴ kg

Distance d (x10⁸ m) 3.84 x10⁸ m

Résultats Clés

Force de gravitation (x10²⁰ N) -

Force de gravitation: Force d'attraction mutuelle entre deux corps qui ont une masse. C'est une des quatre interactions fondamentales de la physique.
Masse: Quantité de matière d'un corps, mesurée en kilogrammes (kg). À ne pas confondre avec le poids, qui est une force.
Constante de gravitation universelle (G): Constante physique qui détermine l'intensité de la force de gravitation. Sa valeur est la même partout dans l'Univers.

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Modélisation du système Terre-Lune

Questions à traiter

Les bases sur l'Attraction Universelle

Correction : Attraction entre les Masses

Question 1 : Énoncer la loi de l'attraction universelle

Principe

Points à retenir

Question 2 : Calcul de la force exercée par la Terre sur la Lune

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du système Terre-Lune

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Force Calculée

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Force exercée par la Lune sur la Terre

Principe

Mini-Cours

Donnée(s)

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du système Terre-Lune

Réflexions

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des Forces Réciproques

Résultat Final

Question 4 : Représentation des forces

Donnée(s)

Schéma (Avant les calculs)

Système Terre-Lune avant représentation des forces

Astuces

Schéma (Après les calculs)

Représentation des forces d'interaction à l'échelle

Question 5 : Influence de la distance

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du doublement de la distance

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Forces à distance d et 2d

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Outil Interactif : Simulateur de Gravitation

Paramètres d'Entrée

Résultats Clés

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