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Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Comprendre la Composition des Vitesses

Le mouvement d'un avion est influencé par sa propre propulsion et par le mouvement de l'air dans lequel il évolue (le vent). Pour déterminer la trajectoire et la vitesse réelles de l'avion par rapport au sol, il est nécessaire d'utiliser la composition vectorielle des vitesses. Le vecteur vitesse de l'avion par rapport au sol (\(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\)) est la somme vectorielle du vecteur vitesse de l'avion par rapport à l'air (\(\vec{v}_{\text{avion/air}}\), aussi appelée vitesse propre ou airspeed) et du vecteur vitesse du vent par rapport au sol (\(\vec{v}_{\text{vent/sol}}\)).

Cette analyse est cruciale pour la navigation aérienne, permettant aux pilotes de déterminer le cap à suivre pour atteindre leur destination et d'estimer leur temps de vol.

Données de l'étude

Un petit avion de tourisme maintient une vitesse propre constante et un cap donné. Il est soumis à un vent latéral.

Informations sur le vol :

  • Vitesse propre de l'avion (par rapport à l'air), \(v_p = ||\vec{v}_{\text{avion/air}}||\) : \(180 \, \text{km/h}\)
  • Cap de l'avion (direction vers laquelle pointe son nez) : Plein Est
  • Vitesse du vent (par rapport au sol), \(v_v = ||\vec{v}_{\text{vent/sol}}||\) : \(40 \, \text{km/h}\)
  • Direction du vent : Le vent souffle du Nord (c'est-à-dire qu'il est dirigé vers le Sud).

On utilisera un repère terrestre avec l'axe (Ox) dirigé vers l'Est et l'axe (Oy) dirigé vers le Nord.

Schéma : Composition des Vitesses
Est (x) Nord (y) v_avion/air v_vent/sol v_avion/sol α

Schéma de la composition vectorielle des vitesses de l'avion.

Questions à traiter

  1. Convertir la vitesse propre de l'avion et la vitesse du vent en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
  2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse propre de l'avion \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\) dans le repère (Est, Nord).
  3. Déterminer les composantes du vecteur vitesse du vent \(\vec{v}_{\text{vent/sol}}\) dans le repère (Est, Nord).
  4. Énoncer la loi de composition des vitesses permettant de déterminer le vecteur vitesse de l'avion par rapport au sol \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\).
  5. Calculer les composantes du vecteur \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\).
  6. Calculer la valeur de la vitesse de l'avion par rapport au sol (vitesse sol \(v_s\)) en \(\text{m/s}\), puis la convertir en \(\text{km/h}\).
  7. Calculer l'angle de dérive \(\alpha\) (angle entre le cap de l'avion et sa trajectoire réelle par rapport au sol). Préciser si l'avion dérive vers le Nord ou vers le Sud par rapport à l'Est.

Correction : Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Question 1 : Conversion des vitesses en m/s

Principe :

Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6.

Données spécifiques :
  • \(v_p = 180 \, \text{km/h}\)
  • \(v_v = 40 \, \text{km/h}\)
Calculs :

Vitesse propre de l'avion :

\[ \begin{aligned} v_p &= \frac{180}{3,6} \, \text{m/s} \\ &= 50,0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Vitesse du vent :

\[ \begin{aligned} v_v &= \frac{40}{3,6} \, \text{m/s} \\ &\approx 11,11 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

(Pour la suite, nous utiliserons \(v_v = 100/9 \, \text{m/s}\) pour plus de précision dans les calculs intermédiaires, soit environ \(11,1 \, \text{m/s}\)).

Résultat Question 1 :
  • Vitesse propre de l'avion : \(v_p = 50,0 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse du vent : \(v_v \approx 11,1 \, \text{m/s}\)

Question 2 : Composantes de \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\)

Principe :

L'avion maintient un cap plein Est. Dans notre repère (Ox vers l'Est, Oy vers le Nord), le vecteur vitesse propre n'a donc qu'une composante selon l'axe Ox.

Données :
  • \(v_p = 50,0 \, \text{m/s}\)
  • Cap : Plein Est
Composantes :
\[ \vec{v}_{\text{avion/air}} = \begin{pmatrix} v_{p,x} \\ v_{p,y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50,0 \, \text{m/s} \\ 0 \, \text{m/s} \end{pmatrix} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{v}_{\text{avion/air}} = (50,0 \, ; \, 0)\) en m/s.

Question 3 : Composantes de \(\vec{v}_{\text{vent/sol}}\)

Principe :

Le vent souffle du Nord, ce qui signifie qu'il est dirigé vers le Sud. Dans notre repère (Ox vers l'Est, Oy vers le Nord), le vecteur vitesse du vent n'a donc qu'une composante selon l'axe Oy, et elle est négative.

Données :
  • \(v_v \approx 11,1 \, \text{m/s}\) (ou \(100/9 \, \text{m/s}\))
  • Direction du vent : Du Nord vers le Sud
Composantes :
\[ \vec{v}_{\text{vent/sol}} = \begin{pmatrix} v_{v,x} \\ v_{v,y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \, \text{m/s} \\ -11,1 \, \text{m/s} \end{pmatrix} \]

(Utilisant \( -100/9 \, \text{m/s} \) pour la composante y).

Résultat Question 3 : \(\vec{v}_{\text{vent/sol}} = (0 \, ; \, -11,1)\) en m/s (ou \((0 ; -100/9)\)).

Question 4 : Loi de composition des vitesses

Principe :

La vitesse d'un objet par rapport à un référentiel fixe (sol) est la somme vectorielle de sa vitesse par rapport à un référentiel mobile (air) et de la vitesse du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe.

Relation vectorielle :
\[ \vec{v}_{\text{avion/sol}} = \vec{v}_{\text{avion/air}} + \vec{v}_{\text{vent/sol}} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{v}_{\text{avion/sol}} = \vec{v}_{\text{avion/air}} + \vec{v}_{\text{vent/sol}}\).

Question 5 : Composantes de \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\)

Principe :

On additionne les composantes correspondantes des vecteurs \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\) et \(\vec{v}_{\text{vent/sol}}\).

Calcul :

Soit \(\vec{v}_{\text{avion/sol}} = \begin{pmatrix} v_{s,x} \\ v_{s,y} \end{pmatrix}\).

\[ \begin{aligned} v_{s,x} &= v_{p,x} + v_{v,x} \\ &= 50,0 \, \text{m/s} + 0 \, \text{m/s} \\ &= 50,0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_{s,y} &= v_{p,y} + v_{v,y} \\ &= 0 \, \text{m/s} + (-11,11... \, \text{m/s}) \\ &\approx -11,1 \, \text{m/s} \quad (\text{ou } -100/9 \, \text{m/s}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{v}_{\text{avion/sol}} = (50,0 \, ; \, -11,1)\) en m/s.

Question 6 : Valeur de la vitesse sol (\(v_s\)) et conversion

Principe :

La valeur (norme) d'un vecteur \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) est \(||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\).

Calcul de \(v_s\) en m/s :
\[ \begin{aligned} v_s &= ||\vec{v}_{\text{avion/sol}}|| = \sqrt{(v_{s,x})^2 + (v_{s,y})^2} \\ &= \sqrt{(50,0 \, \text{m/s})^2 + (-11,11... \, \text{m/s})^2} \\ &= \sqrt{2500 + (100/9)^2} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{2500 + 123,456...} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{2623,456...} \, \text{m/s} \\ &\approx 51,22 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Conversion en km/h (\(\times 3,6\)) :

\[ \begin{aligned} v_s &\approx 51,22 \, \text{m/s} \times 3,6 \\ &\approx 184,39 \, \text{km/h} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La vitesse de l'avion par rapport au sol est \(v_s \approx 51,2 \, \text{m/s}\), soit environ \(184 \, \text{km/h}\).

Question 7 : Angle de dérive (\(\alpha\))

Principe :

L'angle de dérive \(\alpha\) est l'angle entre la direction du cap (Est, axe Ox) et la direction de la vitesse par rapport au sol \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\). On peut le calculer à partir des composantes de \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\) en utilisant la fonction arc tangente.

Calcul :
\[ \tan(\alpha) = \frac{|v_{s,y}|}{|v_{s,x}|} \]

(On prend les valeurs absolues pour trouver l'angle aigu, puis on détermine le sens de la dérive).

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{|-11,11...|}{50,0} \\ &= \frac{11,11...}{50,0} \\ &\approx 0,2222... \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(0,2222...) \\ &\approx 12,53^\circ \end{aligned} \]

Comme la composante \(v_{s,y}\) est négative (vers le Sud) et \(v_{s,x}\) est positive (vers l'Est), l'avion dérive vers le Sud par rapport à sa direction Est.

Résultat Question 7 : L'angle de dérive est \(\alpha \approx 12,5^\circ\) vers le Sud par rapport à l'Est.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La vitesse d'un avion par rapport au sol est :

9. Si un avion a un cap plein Nord et que le vent souffle de l'Ouest (vers l'Est), la trajectoire réelle de l'avion sera déviée :

10. L'angle de dérive est l'angle entre :

Glossaire

Vecteur Vitesse
Grandeur physique qui décrit à la fois la rapidité (norme du vecteur) et la direction du mouvement d'un objet.
Vitesse Propre (Airspeed)
Vitesse d'un aéronef par rapport à la masse d'air dans laquelle il se déplace. Notée \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\).
Vitesse du Vent
Vitesse de déplacement de l'air par rapport au sol. Notée \(\vec{v}_{\text{vent/sol}}\).
Vitesse Sol (Groundspeed)
Vitesse d'un aéronef par rapport à la surface de la Terre. C'est la résultante de la vitesse propre et de la vitesse du vent. Notée \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\).
Cap
Direction vers laquelle l'axe longitudinal (le "nez") de l'aéronef est pointé.
Route (ou Trajectoire)
Chemin réellement suivi par l'aéronef par rapport au sol.
Angle de Dérive (\(\alpha\))
Angle entre la direction du cap de l'aéronef et la direction de sa route réelle par rapport au sol. Il est dû à l'effet du vent latéral.
Composition des Vitesses
Principe selon lequel la vitesse d'un objet par rapport à un référentiel fixe est la somme vectorielle de sa vitesse par rapport à un référentiel mobile et de la vitesse du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe.
Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion - Exercice d'Application (Physique Terminale)

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