Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe

Nous allons calculer les coordonnées après chaque étape et représenter la trajectoire. Le repère est défini avec l'axe Y pointant vers le Nord et l'axe X pointant vers l'Est.

Étape 0 : Point de départ

Le robot commence à l'origine.

Orientation initiale non spécifiée, supposons qu'il est prêt à se déplacer vers le Nord.

Étape 1 : Déplacement vers le Nord

Le robot se déplace de 4 mètres vers le Nord.

Le robot est maintenant en \((0,4)\) et orienté vers le Nord.

Étape 2 : Tourne à droite et avance

Depuis \((0,4)\) et orienté Nord, le robot tourne à droite (vers l'Est) et avance de 3 mètres.

Le robot est maintenant en \((3,4)\) et orienté vers l'Est.

Étape 3 : Demi-cercle vers la gauche

Depuis \((3,4)\) et orienté Est, le robot effectue un demi-cercle vers la gauche d'un rayon \(R=2\) mètres. "Vers la gauche" signifie que le centre du cercle de la trajectoire est à gauche par rapport à sa direction de mouvement actuelle. S'il est orienté Est, sa gauche est le Nord. Le centre du demi-cercle \(C_{sc}\) sera donc situé à une distance \(R\) au Nord du point de départ du demi-cercle, sur la même abscisse. \[ C_{sc} = (x_{P2}, y_{P2} + R) = (3, 4+2) = (3, 6) \] Le robot commence le demi-cercle au point \(P_2 = (3,4)\). Ce point est sur le cercle de centre \((3,6)\) et de rayon 2. Le demi-cercle implique un changement de direction de 180°. Si le robot commençait face à l'Est et que le centre de la courbe est au Nord, il va décrire un arc qui le mènera à "l'opposé" de son point de départ par rapport au diamètre vertical du cercle passant par le centre. Le point final \(P_3\) du demi-cercle sera à la même abscisse que \(P_2\), mais à une distance \(2R\) plus au Nord, après avoir tracé un arc vers l'Est. \[ P_3 = (x_{P2}, y_{P2} + 2R) = (3, 4 + 2 \times 2) = (3, 8) \] Après ce mouvement, le robot sera orienté vers l'Ouest.

Coordonnées Finales

Le demi-cercle a son centre en \(C_{sc} = (3,6)\) et un rayon \(R=2\). L'équation d'un cercle de centre \((h,k)\) et de rayon \(R\) est \((x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2\). Pour notre demi-cercle, l'équation est : \[ (x-3)^2 + (y-6)^2 = 2^2 = 4 \] Le robot se déplace de \(P_2=(3,4)\) à \(P_3=(3,8)\) en formant un arc qui "bombe" vers l'Est (valeurs de \(x\) plus grandes que 3, sauf aux extrémités). Pour décrire cet arc spécifique, on peut exprimer \(x\) en fonction de \(y\). Puisque c'est la partie droite du cercle (par rapport à l'axe vertical passant par le centre) : \[ (x-3)^2 = 4 - (y-6)^2 \] \[ x-3 = \sqrt{4 - (y-6)^2} \] \[ x = 3 + \sqrt{4 - (y-6)^2} \] Cette équation est valable pour \(y\) allant de 4 à 8.

Résultat

Analysons la vitesse et la direction à chaque étape.

• Étape 1 (Déplacement vers le Nord) :
  • Vitesse : Si le robot se déplace "en ligne droite sur 4 mètres", on suppose que la norme de sa vitesse est constante pendant ce segment (après une phase d'accélération initiale et avant une décélération finale, non décrites).
  • Direction : Constante, vers le Nord (le long de l'axe Y positif).
• Étape 2 (Tourne à droite et avance) :
  • Rotation : Le robot effectue d'abord une rotation de 90° sur lui-même pour s'orienter vers l'Est. Pendant cette rotation, sa position O ne change pas (ou peu, si O est au centre de rotation).
  • Avancée : Ensuite, il se déplace en ligne droite sur 3 mètres. De même, on suppose une vitesse de norme constante pendant ce segment.
  • Direction : Constante pendant l'avancée, vers l'Est (le long de l'axe X positif).
• Étape 3 (Demi-cercle vers la gauche) :
  • Vitesse : La norme de la vitesse (\(|v|\)) peut être constante pendant le parcours du demi-cercle. Cependant, le vecteur vitesse (\(\vec{v}\)) change continuellement de direction.
  • Direction : La direction du robot change de 180°. Il commence orienté vers l'Est (tangent au cercle en \((3,4)\)), puis sa direction de mouvement devient Nord (tangent au cercle en \((5,6)\) - le point le plus à l'Est de l'arc), et il termine orienté vers l'Ouest (tangent au cercle en \((3,8)\)).
  • Accélération : Puisque la direction du vecteur vitesse change, le robot subit une accélération centripète. Si la norme de la vitesse est constante, cette accélération est dirigée vers le centre du cercle \(C_{sc} = (3,6)\) et a une magnitude \(a_c = \frac{|v|^2}{R}\). Si la norme de la vitesse varie aussi (par exemple, accélération/décélération pour initier/terminer le virage), il y aura aussi une accélération tangentielle.

Conclusion