Analyse de Fréquence et Amplitude

Contexte : L'étude des signaux périodiques.

En physique, de nombreux phénomènes sont modélisés par des signaux périodiques, comme les ondes sonores, les circuits électriques alternatifs ou les vibrations mécaniques. L'instrument fondamental pour visualiser ces signaux est l'oscilloscopeUn instrument de mesure qui permet de visualiser un signal électrique, généralement sous la forme d'une courbe de tension en fonction du temps.. Cet exercice a pour but de vous apprendre à extraire les caractéristiques essentielles d'un signal sinusoïdal à partir de sa représentation sur un écran d'oscilloscope (oscillogramme).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à passer d'une représentation visuelle (l'oscillogramme) à une description mathématique complète d'un signal, une compétence cruciale en électricité et en étude des ondes.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer l'amplitudeLa valeur maximale (ou crête) atteinte par le signal par rapport à sa valeur moyenne (généralement zéro). Elle représente l'intensité du signal. d'un signal à partir d'un oscillogramme.
Mesurer la périodeLa durée d'un cycle complet du signal. C'est l'intervalle de temps après lequel le signal se répète à l'identique. du signal.
Calculer la fréquenceLe nombre de cycles (ou de périodes) du signal par seconde. Elle se mesure en Hertz (Hz). et la pulsationAussi appelée fréquence angulaire, elle est proportionnelle à la fréquence et s'exprime en radians par seconde (rad/s)..
Établir l'expression mathématique complète de la tension \(u(t)\).

Données de l'étude

On visualise à l'aide d'un oscilloscope la tension sinusoïdale \(u(t)\) aux bornes d'un générateur basse fréquence (GBF). L'écran de l'oscilloscope est représenté ci-dessous.

Réglages de l'oscilloscope

Caractéristique	Valeur
Sensibilité verticale (Tension)	\(2 \text{ V/div}\)
Vitesse de balayage (Temps)	\(5 \text{ ms/div}\)
Déphasage initial	Considéré comme nul (\(\phi = 0\))

Oscillogramme du signal \(u(t)\)

Questions à traiter

Déterminer l'amplitude (tension maximale \(U_{\text{max}}\)) du signal.
Déterminer la période \(T\) du signal en millisecondes (ms) puis en secondes (s).
Calculer la fréquence \(f\) du signal en Hertz (Hz).
Calculer la pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) du signal en radians par seconde (rad/s).
Donner l'expression littérale puis numérique de la tension \(u(t)\) en fonction du temps.

Les bases sur les signaux sinusoïdaux

Un signal sinusoïdal est caractérisé par plusieurs grandeurs fondamentales qui décrivent son comportement dans le temps.

1. Amplitude (\(U_{\text{max}}\))
L'amplitude, notée \(U_{\text{max}}\) (ou \(A\)), est la valeur maximale atteinte par le signal. Elle se mesure en Volts (V) pour une tension et caractérise "l'intensité" du signal. Sur un oscilloscope, on la détermine verticalement.

2. Période (\(T\)) et Fréquence (\(f\))
La période \(T\) est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit à l'identique. Elle se mesure en secondes (s). La fréquence \(f\) est l'inverse de la période. Elle représente le nombre de cycles par seconde et s'exprime en Hertz (Hz).

f = \frac{1}{T}

3. Pulsation (\(\omega\))
La pulsation, ou fréquence angulaire, notée \(\omega\), est liée à la fréquence par la relation ci-dessous. Elle est exprimée en radians par seconde (rad/s) et est utilisée dans l'écriture mathématique du signal.

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Correction : Analyse de Fréquence et Amplitude d'un Signal Sinusoïdal

Question 1 : Déterminer l'amplitude (tension maximale \(U_{\text{max}}\)) du signal.

Principe

Le concept physique ici est de traduire une information visuelle, une hauteur sur un écran, en une grandeur physique mesurable, la tension électrique. L'amplitude représente l'énergie maximale transportée par l'onde à un instant donné.

Mini-Cours

L'amplitude \(U_{\text{max}}\) d'un signal, aussi appelée valeur crête, est sa valeur maximale positive. Pour un signal alternatif symétrique, la valeur crête-à-crête (\(U_{\text{cc}}\)) est le double de l'amplitude (\(U_{\text{cc}} = 2 \times U_{\text{max}}\)). L'amplitude est indépendante de la fréquence ou de la période du signal.

Remarque Pédagogique

Le secret est d'être méthodique. Identifiez d'abord l'axe de référence (la ligne du milieu, 0V) puis comptez précisément le nombre de divisions (carreaux) jusqu'au sommet de la vague. La précision de votre lecture conditionne la justesse du résultat final.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" au sens réglementaire pour cette lecture, la convention internationale est d'utiliser le Volt (V) comme unité pour la tension et son amplitude. Les réglages de l'oscilloscope sont toujours donnés en Volts par division (V/div).

Formule(s)

Relation Amplitude-Lecture

U_{\text{max}} = Y \times S_{\text{v}}

Hypothèses

Pour ce calcul, on fait les hypothèses suivantes :

L'oscilloscope est correctement calibré.
La lecture du nombre de divisions est considérée comme exacte.
La ligne de base du signal est parfaitement alignée sur l'axe central horizontal de l'écran (0V).

Donnée(s)

Nous extrayons les chiffres de l'énoncé et de l'oscillogramme.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Déviation verticale maximale	\(Y\)	2.5	div
Sensibilité verticale	\(S_{\text{v}}\)	2	V/div

Astuces

Si la lecture est difficile, n'hésitez pas à utiliser les subdivisions de la grille. Chaque carreau principal est souvent divisé en 5 sous-graduations, chaque sous-graduation valant donc 0.2 division.

Schéma (Avant les calculs)

Lecture de la déviation verticale Y

Calcul(s)

Calcul de la tension maximale

\begin{aligned} U_{\text{max}} &= 2.5 \text{ div} \times 2 \text{ V/div} \\ &= 5.0 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'Amplitude

Réflexions

Un résultat de 5V signifie que la tension aux bornes du GBF oscille entre +5V et -5V. C'est une tension modérée, typique des manipulations en laboratoire de lycée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre l'amplitude (\(U_{\text{max}}\)) avec la tension crête-à-crête (\(U_{\text{cc}}\)). Ici, \(U_{\text{cc}}\) serait de 5 div, soit 10V. Faites aussi attention à ne pas mal lire la sensibilité verticale sur le cadran de l'oscilloscope.

Points à retenir

Pour trouver une amplitude : 1. Repérer le pic du signal. 2. Compter le nombre de divisions verticales Y depuis le centre. 3. Multiplier par la sensibilité verticale \(S_v\). C'est une méthode universelle.

Le saviez-vous ?

Le premier oscilloscope utilisant un tube à rayons cathodiques, l'ancêtre de nos appareils numériques, a été développé par Karl Ferdinand Braun en 1897. Il a reçu le prix Nobel de physique en 1909 pour cette invention.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

L'amplitude du signal est \(U_{\text{max}} = 5.0 \text{ V}\).

A vous de jouer

Si la sensibilité verticale était réglée sur 5 V/div, quelle serait la nouvelle amplitude \(U_{\text{max}}\) (en V) pour la même trace à l'écran ?

Question 2 : Déterminer la période \(T\) du signal.

Principe

Le concept ici est la périodicité temporelle. On mesure la durée d'un cycle complet, c'est-à-dire le temps que met le signal pour revenir à un état identique (même valeur, même sens de variation).

Mini-Cours

La période est une caractéristique fondamentale de tous les phénomènes périodiques. En acoustique, elle détermine la hauteur d'un son (grave ou aigu). En électricité, elle est cruciale pour les circuits alternatifs. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence : un signal qui se répète rapidement a une petite période.

Remarque Pédagogique

Pour une mesure plus précise, il est souvent conseillé de mesurer la longueur de plusieurs périodes (par exemple 3 ou 4) puis de diviser la longueur totale par ce nombre. Cela minimise les erreurs de lecture.

Normes

L'unité du Système International pour le temps, et donc pour la période, est la seconde (s). Les sous-multiples comme la milliseconde (ms, \(10^{-3}\)s) ou la microseconde (µs, \(10^{-6}\)s) sont très courants en électronique.

Formule(s)

Relation Période-Lecture

T = X \times S_{\text{h}}

Hypothèses

On suppose que la vitesse de balayage de l'oscilloscope est constante et précise, et que le signal est parfaitement périodique (sa forme ne change pas dans le temps).

Donnée(s)

Nous extrayons les données de l'énoncé et de la lecture horizontale de l'oscillogramme.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Déviation horizontale pour un cycle	\(X\)	4	div
Vitesse de balayage (ou sensibilité horizontale)	\(S_{\text{h}}\)	5	ms/div

Astuces

Le plus simple pour mesurer un cycle est de partir d'un point facile à repérer : un sommet, un creux, ou un passage par zéro avec une pente montante. Assurez-vous de terminer la mesure sur le prochain point qui a exactement les mêmes caractéristiques.

Schéma (Avant les calculs)

Lecture de la déviation horizontale X

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la période en millisecondes

\begin{aligned} T &= 4 \text{ div} \times 5 \text{ ms/div} \\ &= 20 \text{ ms} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion en secondes

\begin{aligned} T &= 20 \text{ ms} \\ &= 20 \times 10^{-3} \text{ s} \\ &= 0.02 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Période

Réflexions

Une période de 20 ms signifie que le cycle complet de la tension (monter à +5V, redescendre à -5V, puis revenir à 0V) s'effectue en 20 millièmes de seconde. C'est un phénomène assez rapide pour l'œil humain, mais lent pour l'électronique moderne.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les millisecondes (ms) en secondes (s) pour les calculs suivants (fréquence, pulsation). C'est une étape cruciale !

Points à retenir

Pour trouver une période : 1. Repérer un motif complet. 2. Compter le nombre de divisions horizontales X. 3. Multiplier par la vitesse de balayage \(S_h\). 4. Convertir en secondes.

Le saviez-vous ?

Le "La" de référence en musique (celui du diapason) a une fréquence de 440 Hz. Sa période est donc de \(T = 1/440 \approx 2.27\) ms. C'est environ 9 fois plus court que la période de notre signal !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La période du signal est \(T = 20 \text{ ms}\), soit \(0.02 \text{ s}\).

A vous de jouer

Si la vitesse de balayage était de 2 ms/div, quelle serait la nouvelle période T (en ms) pour la même trace à l'écran ?

Question 3 : Calculer la fréquence \(f\) du signal.

Principe

La fréquence est le concept qui quantifie la rapidité d'un phénomène périodique. C'est le nombre de fois que le motif se répète en une seconde. Elle est intimement liée à la période : plus la durée d'un cycle (période) est courte, plus on peut faire de cycles en une seconde (fréquence élevée).

Mini-Cours

La fréquence est une grandeur centrale en physique. Elle caractérise la couleur de la lumière (ondes électromagnétiques), la hauteur d'un son (ondes sonores), la vitesse de calcul d'un processeur (signal d'horloge), etc. Son unité, le Hertz (Hz), équivaut à un "par seconde" (\(s^{-1}\)).

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de "sentir" cette relation inverse. Si un élève vous parle d'un signal avec une grande période, vous devez immédiatement penser "ah, donc c'est une basse fréquence". Et inversement. C'est un réflexe fondamental en physique.

Normes

L'unité de fréquence du Système International est le Hertz (Hz), en l'honneur du physicien allemand Heinrich Hertz qui a prouvé l'existence des ondes électromagnétiques.

Formule(s)

Relation Fréquence-Période

f = \frac{1}{T}

Hypothèses

Le calcul repose sur une seule hypothèse : la valeur de la période \(T\) déterminée précédemment est correcte.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Période	\(T\)	0.02	s

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur : si la période est de l'ordre de la milliseconde (ms, \(10^{-3}\)s), la fréquence sera de l'ordre du kiloHertz (kHz, \(10^3\) Hz). Ici, avec des dizaines de ms, on s'attend logiquement à une fréquence de quelques dizaines de Hz.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison de Fréquences

Calcul(s)

Calcul de la fréquence

\begin{aligned} f &= \frac{1}{0.02 \text{ s}} \\ &= 50 \text{ s}^{-1} \\ &= 50 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre en Fréquence du Signal

Réflexions

Une fréquence de 50 Hz est bien connue : c'est la fréquence du courant électrique domestique dans de nombreux pays, dont la France. Cela signifie que le courant dans nos prises change de sens 100 fois par seconde (50 fois dans un sens, 50 fois dans l'autre).

Points de vigilance

L'erreur fatale est d'utiliser la période en millisecondes. Si vous calculez \(1/20\), vous obtiendrez 0.05 Hz, ce qui est une fréquence extrêmement basse et donc fausse. La conversion en secondes est non négociable !

Points à retenir

La relation \(f=1/T\) est à connaître par cœur. Assurez-vous d'utiliser \(T\) en secondes pour obtenir \(f\) en Hertz.

Le saviez-vous ?

L'oreille humaine peut percevoir des sons dont la fréquence est comprise entre 20 Hz (sons très graves) et 20 000 Hz (sons très aigus). Notre signal de 50 Hz serait donc audible, perçu comme une note très grave.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La fréquence du signal est \(f = 50 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Un autre signal a une période de 4 ms. Quelle est sa fréquence en Hz ?

Question 4 : Calculer la pulsation \(\omega\) du signal.

Principe

La pulsation, ou fréquence angulaire, établit un lien entre le phénomène périodique temporel et un mouvement de rotation circulaire uniforme. Imaginez un point tournant sur un cercle : sa projection sur un axe vertical décrit une sinusoïde. La pulsation \(\omega\) est la vitesse angulaire de ce point.

Mini-Cours

Alors que la fréquence \(f\) compte les tours par seconde, la pulsation \(\omega\) mesure l'angle (en radians) balayé par le vecteur tournant en une seconde. Comme un tour complet correspond à \(2\pi\) radians, la relation \(\omega=2\pi f\) devient évidente. La pulsation est l'argument du sinus dans l'équation horaire, elle est donc fondamentale pour la description mathématique.

Remarque Pédagogique

Ne vous laissez pas intimider par le radian ou le "pi". Considérez simplement la pulsation comme une fréquence "adaptée" aux fonctions trigonométriques. C'est une conversion d'unité, un peu comme passer des kilomètres/heure aux mètres/seconde, mais pour les oscillations.

Normes

L'unité du Système International pour la vitesse angulaire, et donc pour la pulsation, est le radian par seconde (rad/s).

Formule(s)

Relation Pulsation-Fréquence

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Hypothèses

Le calcul suppose que la fréquence \(f\) (ou la période \(T\)) est connue et correcte.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	50	Hz

Astuces

Un moyen mnémotechnique simple : la pulsation est "deux pies qui font la ronde" (\(2\pi f\)). Pour le calcul, notez que la pulsation en rad/s est toujours \(2\pi\) fois plus grande que la fréquence en Hz. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Vecteur de Fresnel tournant

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la valeur exacte de la pulsation

\begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times 50 \\ &= 100\pi \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la valeur approchée

\begin{aligned} \omega &\approx 100 \times 3.14159 \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vitesse Angulaire du Vecteur

Réflexions

Une pulsation de \(100\pi\) rad/s signifie que le vecteur de Fresnel associé fait 50 tours complets (soit \(50 \times 2\pi = 100\pi\) radians) chaque seconde. Cela confirme la cohérence entre les deux notions de fréquence.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "Radian" si vous devez calculer des sinus ou cosinus avec cet angle. Oublier le facteur \(2\pi\) est une erreur classique qui fausse complètement l'équation finale du signal.

Points à retenir

La pulsation est la "fréquence pour les maths". Elle relie la fréquence temporelle \(f\) (en Hz) au monde des fonctions trigonométriques via le facteur \(2\pi\).

Le saviez-vous ?

En électricité, la pulsation est omniprésente dans le calcul des impédances des bobines (\(Z_L = L\omega\)) et des condensateurs (\(Z_C = 1/(C\omega)\)), qui sont fondamentales pour comprendre les circuits RLC et les filtres.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La pulsation du signal est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\).

A vous de jouer

Si la fréquence d'un signal est de 60 Hz (standard américain), quelle est sa pulsation (valeur exacte en fonction de \(\pi\)) ?

Question 5 : Donner l'expression de la tension \(u(t)\).

Principe

Le but ultime de l'analyse est de créer un modèle mathématique. Cette expression est une "recette" qui permet de calculer la valeur de la tension \(u\) à n'importe quel instant \(t\), résumant ainsi toutes les caractéristiques du signal en une seule ligne.

Mini-Cours

La forme générale d'une tension sinusoïdale est \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)\). \(U_{\text{max}}\) est l'amplitude, \(\omega\) la pulsation, et \(\phi\) la phase à l'origine. Cette phase (en radians) décrit le décalage horizontal du signal par rapport à une sinusoïde de référence. Si le signal passe par 0 en montant à t=0, alors \(\phi=0\).

Remarque Pédagogique

Voir cette équation comme la "carte d'identité" du signal. Chaque paramètre a un rôle précis : \(U_{\text{max}}\) fixe la hauteur des vagues, \(\omega\) fixe leur espacement, et \(\phi\) (que nous ignorons ici) fixe le point de départ.

Formule(s)

Modèle mathématique du signal sinusoïdal

u(t) = U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t)

Hypothèses

On se base sur l'hypothèse de l'énoncé : la phase à l'origine est nulle (\(\phi=0\)). Ceci est confirmé par le fait que la courbe passe par l'origine (0V à t=0s) en étant croissante.

Donnée(s)

On synthétise les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Amplitude	\(U_{\text{max}}\)	5.0	V
Pulsation	\(\omega\)	\(100\pi\)	rad/s

Astuces

Pour vérifier votre équation finale, testez-la sur des points simples. Pour \(t=T/4\) (le premier pic), l'angle doit être \(\omega T/4 = (2\pi/T)(T/4) = \pi/2\). On a bien \(u(T/4)=U_{\text{max}}\sin(\pi/2)=U_{\text{max}}\). Le test fonctionne !

Schéma (Avant les calculs)

Composantes du modèle mathématique

Calcul(s)

Substitution des valeurs dans le modèle

u(t) = 5.0 \sin(100\pi \cdot t)

Schéma (Après les calculs)

Signal et son Modèle Mathématique

Réflexions

Cette équation est prédictive. On peut par exemple l'utiliser pour calculer la tension à un instant précis, comme \(t = 2.5 \text{ ms}\) :

\begin{aligned} u(0.0025) &= 5 \sin(100\pi \times 0.0025) \\ &= 5 \sin(\pi/4) \\ &= 5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\approx 3.54 \text{ V} \end{aligned}

On peut ainsi connaître toute l'histoire passée et future du signal.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Dans la formule finale, \(u(t)\) sera en Volts si \(U_{\text{max}}\) est en Volts, et \(t\) doit être exprimé en secondes pour être compatible avec \(\omega\) en rad/s. Ne jamais mélanger les ms et les s dans la même formule.

Points à retenir

La "carte d'identité" d'un signal sinusoïdal est \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t)\). Apprenez à identifier chaque paramètre et sa signification physique. C'est le pont entre le monde visuel de l'oscilloscope et le monde abstrait des mathématiques.

Le saviez-vous ?

Le mathématicien Joseph Fourier a démontré au début du 19ème siècle que n'importe quel signal périodique, même très complexe (un son de violon, un signal carré...), peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux simples. C'est la base de tout le traitement du signal moderne (MP3, JPEG...).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

L'expression de la tension en fonction du temps est \(u(t) = 5 \sin(100\pi t)\), avec \(u(t)\) en Volts et \(t\) en secondes.

A vous de jouer

Écrivez l'équation d'un signal dont l'amplitude est de 10 V et la fréquence de 25 Hz.

Outil Interactif : Simulateur de Signal

Utilisez les curseurs pour modifier l'amplitude et la fréquence du signal. Observez comment la courbe se modifie et comment les autres caractéristiques (période, pulsation) sont affectées en temps réel.

Paramètres d'Entrée

Amplitude \(U_{\text{max}}\) (V) 5 V

Fréquence \(f\) (Hz) 50 Hz

Résultats Clés

Période \(T\) (ms) -

Pulsation \(\omega\) (rad/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la fréquence d'un signal sinusoïdal, sa période est :

Doublée
Divisée par deux
Inchangée

2. Un signal a une période de 40 ms. Quelle est sa fréquence ?

40 Hz
2.5 Hz
25 Hz

3. L'unité de la pulsation \(\omega\) dans le Système International est :

rad/s
Hz
s

Amplitude (\(U_{\text{max}}\)): La valeur maximale (ou crête) atteinte par le signal par rapport à sa valeur moyenne (généralement zéro). Elle représente l'intensité du signal et se mesure en Volts (V).
Période (\(T\)): La durée d'un cycle complet du signal. C'est l'intervalle de temps après lequel le signal se répète à l'identique. Elle se mesure en secondes (s).
Fréquence (\(f\)): Le nombre de cycles (ou de périodes) du signal par seconde. C'est l'inverse de la période (\(f=1/T\)) et elle se mesure en Hertz (Hz).
Pulsation (\(\omega\)): Aussi appelée fréquence angulaire, elle est proportionnelle à la fréquence (\(\omega=2\pi f\)) et s'exprime en radians par seconde (rad/s).
Oscilloscope: Un instrument de mesure qui permet de visualiser un signal électrique, généralement sous la forme d'une courbe de tension en fonction du temps (oscillogramme).