Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau

La loi fondamentale de l'hydrostatique relie la pression dans un fluide à la profondeur. La pression relative ne tient compte que de la contribution du fluide lui-même, en omettant la pression à la surface libre (souvent la pression atmosphérique).

La pression absolue \(P\) à une profondeur \(h\) dans un fluide de masse volumique \(\rho\), avec une pression \(P_0\) à la surface libre, est :

La pression relative due à l'eau seule est la partie de la pression qui s'ajoute à la pression de surface \(P_0\). Elle est donc :

Dans cet exercice, comme la pression atmosphérique s'exerce des deux côtés du batardeau (sur la surface libre de l'eau et sur la face sèche du batardeau), ses effets se compensent globalement. Nous nous intéressons donc principalement à la force résultant de la pression relative de l'eau.

On calcule la pression relative exercée par l'eau à la profondeur maximale \(H\).

Données : \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(H = 3.0 \text{ m}\).

La pression de l'eau varie linéairement de 0 à la surface à \(\rho g H\) au fond. La distribution de pression sur la paroi verticale du batardeau est donc triangulaire. La force résultante \(F\) est égale à l'aire de ce diagramme de pression multipliée par la largeur \(L\) du batardeau. L'aire du triangle de pression est \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times (\rho g H) \times H\). Donc, \(F = (\frac{1}{2} \rho g H^2) \times L\). Alternativement, la force est la pression moyenne exercée sur la surface mouillée, multipliée par cette surface. La pression moyenne pour une distribution triangulaire est la pression au centre de gravité de la surface mouillée, qui est à \(H/2\) de profondeur, soit \(P_{moy} = \rho g (H/2)\). La surface mouillée est \(S = L \times H\). Donc \(F = P_{moy} \times S = (\rho g \frac{H}{2}) \times (LH) = \frac{1}{2} \rho g L H^2\).

Données : \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(L = 5.0 \text{ m}\), \(H = 3.0 \text{ m}\).

Le centre de poussée est le point d'application de la force hydrostatique résultante. Pour une distribution de pression triangulaire sur une paroi rectangulaire verticale de hauteur d'eau \(H\), le centre de poussée est situé à une profondeur de \(2H/3\) par rapport à la surface libre de l'eau (ou à \(H/3\) par rapport au fond).

Donnée : \(H = 3.0 \text{ m}\).

Le centre de poussée est donc à 2.0 m sous la surface de l'eau.

Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un point (ou un axe passant par ce point) est une mesure de sa capacité à faire tourner un objet autour de ce point/axe. Si O est le pied du batardeau (au fond, sur la ligne où la force s'applique horizontalement), la force \(F\) s'applique à une hauteur \(y_C = H - h_C = H - \frac{2}{3}H = \frac{1}{3}H\) par rapport à ce pied O. Le moment \(\mathcal{M}_O(F)\) est \(F \times y_C\), car la force est perpendiculaire au bras de levier \(y_C\).

Bras de levier \(y_C\) par rapport au pied du batardeau :

Force \(F \approx 220725 \text{ N}\).

Calcul du moment :

Ce moment tend à faire basculer le batardeau autour de son pied.

Nous analysons comment la force résultante \(F\) et la position du centre de poussée \(h_C\) changent si la largeur \(L\) du batardeau est doublée, les autres paramètres (H, \(\rho\), g) restant constants.

Force résultante \(F = \frac{1}{2} \rho g L H^2\).

Si \(L\) devient \(L' = 2L\), la nouvelle force \(F'\) sera :

La force résultante est donc doublée.

Position du centre de poussée \(h_C = \frac{2}{3} H\).

Cette expression ne dépend pas de la largeur \(L\) du batardeau. Par conséquent, si \(L\) double, la position du centre de poussée \(h_C\) (mesurée depuis la surface) reste inchangée.

Réponses Correctes :

Question 1 : b) La masse volumique du fluide, g, et la profondeur.

Question 2 : c) N/m\(^2\).

Question 3 : c) 2H/3 de la surface.

Question 4 : c) Elle doublerait (car \(F \propto \rho\)).

Batardeau :

Structure temporaire, généralement étanche, construite dans l'eau pour permettre des travaux au sec sur le site qu'elle isole.

Pression Hydrostatique :

Pression exercée par un fluide au repos, due à la force de gravité. Elle augmente avec la profondeur.

Pression Absolue :

Pression totale en un point, incluant la pression à la surface libre du fluide (souvent la pression atmosphérique).

Pression Relative (ou Manométrique) :

Différence entre la pression absolue en un point et la pression atmosphérique. \(P_{rel} = P_{abs} - P_{atm}\).

Masse Volumique (\(\rho\)) :

Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : kg/m³.

Pascal (Pa) :

Unité de pression du Système International, équivalant à un Newton par mètre carré (1 Pa = 1 N/m²).

Force Pressante (Hydrostatique) :

Force totale exercée par un fluide au repos sur une surface immergée. Elle est toujours perpendiculaire à la surface.

Centre de Poussée (ou Centre de Pression) :

Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée.

Moment d'une Force (\(\mathcal{M}\)) :

Capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un axe ou d'un point. \(\mathcal{M} = F \times d\), où \(d\) est le bras de levier. Unité : N·m.