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Exercices Physique Chimie

Analyse du mouvement d’un avion

Analyse du mouvement d’un avion

Analyse du mouvement d’un avion

Analyser les différentes phases du mouvement d'un avion et calculer les grandeurs cinématiques associées.

L'étude du mouvement (cinématique) d'un objet comme un avion implique de décrire sa position, sa vitesse et son accélération en fonction du temps. Les lois de Newton permettent de relier ces grandeurs aux forces agissant sur l'objet.

Quelques relations utiles pour un mouvement rectiligne :

  • Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : accélération \(\vec{a} = \vec{0}\), vitesse \(\vec{v} = \text{constante}\). Distance parcourue : \(d = v \times \Delta t\).
  • Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) : accélération \(\vec{a} = \text{constante}\).
    • Vitesse : \(v(t) = a \times t + v_0\) (où \(v_0\) est la vitesse initiale)
    • Position : \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\) (où \(x_0\) est la position initiale)
    • Relation indépendante du temps : \(v_f^2 - v_i^2 = 2 a d\) (où \(v_f\) et \(v_i\) sont les vitesses finale et initiale, et \(d\) la distance parcourue)

La deuxième loi de Newton relie la somme des forces \(\sum \vec{F}\) à l'accélération \(\vec{a}\) et à la masse \(m\) : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

Données du Problème

Un avion de masse \(m = 60 \text{ tonnes}\) effectue un trajet en deux phases principales sur une piste rectiligne et horizontale, puis en vol de croisière.

  • Masse de l'avion : \(m = 60 \text{ t} = 60000 \text{ kg}\)
  • Phase 1 (Décollage) :
    • Force de poussée des réacteurs (constante) : \(\|\vec{F}_p\| = 200 \text{ kN} = 2.00 \times 10^5 \text{ N}\)
    • Force de frottement totale (roulement + air, constante) : \(\|\vec{F}_f\| = 20 \text{ kN} = 2.0 \times 10^4 \text{ N}\)
    • Vitesse de décollage (vitesse à atteindre pour quitter le sol) : \(v_{decollage} = 270 \text{ km/h}\)
  • Phase 2 (Croisière) :
    • Vitesse de croisière (constante) : \(v_{croisiere} = 900 \text{ km/h}\)
    • Durée de la phase de croisière : \(\Delta t_{croisiere} = 2.0 \text{ heures}\)
Décollage Fp Ff P RN
Forces agissant sur un avion pendant la phase de roulement au décollage.

Questions

  1. Convertir les vitesses de décollage et de croisière en mètres par seconde (m/s).
  2. Phase 1 (Décollage) :
    1. Calculer la force résultante \(\vec{F}_{res}\) s'exerçant sur l'avion pendant le roulement au décollage. Donner sa direction, son sens et sa valeur.
    2. Calculer l'accélération \(a_1\) de l'avion pendant cette phase.
    3. Calculer le temps \(\Delta t_1\) nécessaire pour atteindre la vitesse de décollage.
    4. Calculer la longueur de piste \(d_1\) nécessaire pour le décollage.
  3. Phase 2 (Croisière) :
    1. Convertir la durée de croisière \(\Delta t_{croisiere}\) en secondes.
    2. Calculer la distance \(d_2\) parcourue pendant la phase de croisière.

Correction : Analyse du mouvement d’un avion

1. Conversion des Vitesses

Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3.6 (car 1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s).

Données :
\(v_{decollage} = 270 \text{ km/h}\)
\(v_{croisiere} = 900 \text{ km/h}\)

Vitesse de décollage :

\[ \begin{aligned} v_{decollage} &= 270 \text{ km/h} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \\ &= \frac{270 \times 1000}{3600} \text{ m/s} \\ &= 75 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Vitesse de croisière :

\[ \begin{aligned} v_{croisiere} &= 900 \text{ km/h} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \\ &= \frac{900 \times 1000}{3600} \text{ m/s} \\ &= 250 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Les vitesses converties sont :

  • \(v_{decollage} = 75 \text{ m/s}\)
  • \(v_{croisiere} = 250 \text{ m/s}\)

2. Phase 1 (Décollage)

a. Calcul de la force résultante \(\vec{F}_{res}\)

La force résultante est la somme vectorielle de la force de poussée et de la force de frottement. Ces forces sont colinéaires et de sens opposés.

Données :
\(\|\vec{F}_p\| = 2.00 \times 10^5 \text{ N}\) (vers l'avant)
\(\|\vec{F}_f\| = 2.0 \times 10^4 \text{ N}\) (vers l'arrière)

En considérant un axe (Ox) orienté dans le sens du mouvement :

\[ \begin{aligned} F_{res,x} &= \|\vec{F}_p\| - \|\vec{F}_f\| \\ &= 2.00 \times 10^5 \text{ N} - 2.0 \times 10^4 \text{ N} \\ &= 200000 \text{ N} - 20000 \text{ N} \\ &= 180000 \text{ N} = 1.80 \times 10^5 \text{ N} \end{aligned} \]

La force résultante est dirigée vers l'avant (sens du mouvement).

La force résultante sur l'avion pendant le décollage est \(\|\vec{F}_{res}\| = 1.80 \times 10^5 \text{ N}\), dirigée dans le sens du mouvement.

Quiz Intermédiaire

Question : Si un objet est soumis à une force motrice de 500 N vers l'avant et à une force de frottement de 100 N vers l'arrière, quelle est la valeur de la force résultante ?

b. Calcul de l'accélération \(a_1\)

On applique la deuxième loi de Newton : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

Données :
\(\|\vec{F}_{res}\| = 1.80 \times 10^5 \text{ N}\)
\(m = 60000 \text{ kg}\)

\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{\|\vec{F}_{res}\|}{m} \\ &= \frac{1.80 \times 10^5 \text{ N}}{60000 \text{ kg}} \\ &= 3.0 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

L'accélération de l'avion pendant le décollage est \(a_1 = 3.0 \text{ m/s}^2\).

c. Calcul du temps \(\Delta t_1\) nécessaire pour le décollage

On utilise \(v(t) = a t + v_0\), avec \(v_0 = 0\) et \(v(t) = v_{decollage}\).

Données :
\(v_{decollage} = 75 \text{ m/s}\)
\(a_1 = 3.0 \text{ m/s}^2\)

\[ \begin{aligned} v_{decollage} &= a_1 \Delta t_1 \\ \Delta t_1 &= \frac{v_{decollage}}{a_1} \\ &= \frac{75 \text{ m/s}}{3.0 \text{ m/s}^2} \\ &= 25 \text{ s} \end{aligned} \]

Le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de décollage est \(\Delta t_1 = 25 \text{ s}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Un objet part du repos et accélère à 2 m/s². Combien de temps lui faut-il pour atteindre 10 m/s ?

d. Calcul de la longueur de piste \(d_1\)

On utilise \(d = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t\) avec \(v_0=0\), ou \(v_f^2 - v_i^2 = 2ad\).

Données :
\(a_1 = 3.0 \text{ m/s}^2\)
\(\Delta t_1 = 25 \text{ s}\)
\(v_{decollage} = 75 \text{ m/s}\)

Avec la première formule :

\[ \begin{aligned} d_1 &= \frac{1}{2} a_1 (\Delta t_1)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 3.0 \text{ m/s}^2 \times (25 \text{ s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 3.0 \times 625 \\ &= 937.5 \text{ m} \end{aligned} \]

Avec la deuxième formule :

\[ \begin{aligned} v_{decollage}^2 - 0^2 &= 2 a_1 d_1 \\ d_1 &= \frac{v_{decollage}^2}{2 a_1} \\ &= \frac{(75 \text{ m/s})^2}{2 \times 3.0 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{5625}{6.0} \\ &= 937.5 \text{ m} \end{aligned} \]

La longueur de piste nécessaire est \(d_1 = 937.5 \text{ m}\).

3. Phase 2 (Croisière)

a. Conversion de la durée de croisière

Convertir les heures en secondes (1 heure = 3600 secondes).

Données :
\(\Delta t_{croisiere} = 2.0 \text{ heures}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_{croisiere, s} &= 2.0 \text{ h} \times 3600 \text{ s/h} \\ &= 7200 \text{ s} \end{aligned} \]

La durée de croisière est \(\Delta t_{croisiere, s} = 7200 \text{ s}\).

b. Calcul de la distance \(d_2\) parcourue en croisière

Mouvement rectiligne uniforme : \(d = v \times \Delta t\).

Données :
\(v_{croisiere} = 250 \text{ m/s}\) (calculé à l'étape 1)
\(\Delta t_{croisiere, s} = 7200 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} d_2 &= v_{croisiere} \times \Delta t_{croisiere, s} \\ &= 250 \text{ m/s} \times 7200 \text{ s} \\ &= 1800000 \text{ m} \\ &= 1800 \text{ km} \end{aligned} \]

La distance parcourue pendant la phase de croisière est \(d_2 = 1800 \text{ km}\) (ou \(1.80 \times 10^6 \text{ m}\)).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Si une voiture démarre du repos et atteint 20 m/s en 4 s avec une accélération constante, quelle est son accélération ?

Question 2 : Un mouvement rectiligne uniforme (MRU) est caractérisé par :

Question 3 : La deuxième loi de Newton s'écrit :

Question 4 : Pour convertir une vitesse de km/h en m/s, il faut :

Glossaire des Termes Clés

Cinématique :

Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les forces qui le provoquent.

Vitesse (\(\vec{v}\)) :

Grandeur vectorielle qui décrit la rapidité et la direction du mouvement d'un point. Unité : m/s.

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Grandeur vectorielle qui décrit la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Unité : m/s².

Force (\(\vec{F}\)) :

Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. Unité : Newton (N).

Poussée (\(\vec{F}_p\)) :

Force propulsive générée par les moteurs d'un avion, dirigée vers l'avant.

Force de Frottement (\(\vec{F}_f\)) :

Force qui s'oppose au mouvement d'un objet. Pour un avion au sol, elle inclut le frottement de roulement et la résistance de l'air (traînée).

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et la vitesse est constante (\(\vec{a} = \vec{0}\)).

Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et l'accélération est constante (\(\vec{a} = \text{constante}\)).

Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de la masse du corps par son vecteur accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Quelles sont les quatre forces principales agissant sur un avion en vol de croisière stabilisé (altitude et vitesse constantes) ? Comment se compensent-elles ?

2. La force de frottement de l'air (traînée) dépend de plusieurs facteurs, notamment la vitesse de l'avion. Comment cette dépendance affecterait-elle l'accélération si la poussée des réacteurs restait constante ?

3. Pourquoi un avion a-t-il besoin d'une piste plus longue pour décoller si sa masse est plus importante ou si la température de l'air est plus élevée ?

4. Décrivez qualitativement les phases de montée et de descente d'un avion en termes de forces et d'accélération.

5. Comment la portance, force essentielle au vol, est-elle générée par les ailes d'un avion ?

Analyse du mouvement d’un avion

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