Calcul de la Vitesse d’un Parachutiste
Contexte : L'équilibre des forces dans la chute libre.
En dynamique, l'étude de la chute d'un objet est un cas d'école. Lorsqu'un parachutiste saute d'un avion, il est soumis à deux forces principales : son poids, qui l'attire vers le bas, et la résistance de l'air, qui s'oppose à son mouvement. Au début, sa vitesse augmente rapidement. Mais plus il va vite, plus la résistance de l'air augmente, jusqu'à équilibrer parfaitement la force de son poids. À cet instant, l'accélération devient nulle et le parachutiste atteint une vitesse constante, appelée vitesse terminaleAussi appelée vitesse limite, c'est la vitesse maximale atteinte par un objet en chute libre dans un fluide (comme l'air) lorsque la force de frottement compense exactement le poids. L'accélération est alors nulle.. Cet exercice vous guidera pour calculer cette vitesse limite.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la deuxième loi de Newton. Nous allons modéliser un système physique réel (un parachutiste) en identifiant les forces qui s'exercent sur lui, pour ensuite appliquer un principe fondamental de la physique et prédire son comportement. C'est le cœur de la démarche scientifique en mécanique.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les forces s'exerçant sur un système en chute verticale.
- Calculer la valeur du poids d'un objet.
- Utiliser le modèle de la force de frottement fluide proportionnelle au carré de la vitesse.
- Appliquer la deuxième loi de Newton pour trouver une condition d'équilibre.
- Déterminer la vitesse terminale d'un objet en chute.
- Manipuler les unités du Système International (kg, m, s, N).
Données de l'étude
Bilan des forces sur le parachutiste
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du système | \(m\) | 90 | \(\text{kg}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{N/kg}\) |
| Masse volumique de l'air | \(\rho\) | 1.2 | \(\text{kg/m}^3\) |
| Surface du parachute | \(S\) | 30 | \(\text{m}^2\) |
| Coefficient de traînée | \(C_x\) | 1.4 | \(\text{(sans unité)}\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur du poids \(P\) du système {parachutiste + équipement}.
- Donner l'expression littérale de la force de frottement de l'air \(F_{\text{air}}\) en fonction de la vitesse \(v\).
- En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que lorsque la vitesse se stabilise, le poids et la force de frottement de l'air se compensent.
- Calculer la valeur de la vitesse terminale \(v_{\text{lim}}\) du parachutiste en m/s, puis la convertir en km/h.
Les bases de la Dynamique Newtonienne
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de la mécanique.
1. Le Poids :
Le poids \(\vec{P}\) est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Il est toujours vertical et dirigé vers le bas. Sa valeur se calcule par la célèbre formule :
\[ P = m \cdot g \]
où \(m\) est la masse de l'objet (en \(\text{kg}\)) et \(g\) l'intensité du champ de pesanteur (en \(\text{N/kg}\) ou \(\text{m/s}^2\)).
2. La Force de Frottement de l'Air :
C'est une force qui s'oppose au mouvement d'un objet dans l'air. Elle dépend de la forme de l'objet (via le \(C_x\)), de sa surface frontale \(S\), de la densité du fluide \(\rho\) et surtout de sa vitesse \(v\). Pour des vitesses élevées, on utilise le modèle :
\[ F_{\text{air}} = \frac{1}{2} \rho \cdot S \cdot C_x \cdot v^2 \]
3. La Deuxième Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) :
Cette loi énonce que la somme vectorielle des forces extérieures (\(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\)) appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération (\(m \cdot \vec{a}\)).
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
Si les forces se compensent, la somme est nulle, donc l'accélération est nulle. Le mouvement est alors rectiligne et uniforme (vitesse constante).
Correction : Calcul de la Vitesse d'un Parachutiste
Question 1 : Calculer la valeur du poids (P)
Principe (le concept physique)
Le poids est la force qui "tire" le parachutiste vers le sol. C'est la manifestation de la gravité terrestre. Cette force est constante tout au long de la chute (on néglige les variations de \(g\) avec l'altitude).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le poids est une force d'interaction à distance entre la Terre et le système. Il s'applique au centre de gravité du système. La masse, quant à elle, est une propriété intrinsèque du système qui mesure son inertie, c'est-à-dire sa résistance à un changement de mouvement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous portez un sac à dos lourd. La sensation de "lourdeur" que vous ressentez est due à la force que le sac exerce sur vos épaules : c'est son poids. La masse, c'est la "quantité de choses" qu'il y a dans le sac.
Normes (la référence réglementaire)
La valeur de \(g = 9.81 \, \text{N/kg}\) est une valeur standardisée pour les calculs à la surface de la Terre. Elle représente une moyenne qui facilite la comparaison des résultats. En réalité, cette valeur varie légèrement en fonction de la latitude et de l'altitude.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La relation entre le poids, la masse et l'intensité de la pesanteur est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de \(g\) est constante pendant la chute et que la masse du système est connue avec précision.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse du système, \(m = 90 \, \text{kg}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{N/kg}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour des calculs mentaux rapides ou des estimations, on utilise souvent l'approximation \(g \approx 10 \, \text{N/kg}\). Le poids serait alors d'environ \(90 \times 10 = 900 \, \text{N}\), ce qui est très proche du résultat exact.
Schéma (Avant les calculs)
Système et Champ de Pesanteur
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule. L'unité sera le Newton (N), l'unité de force du Système International.
Schéma (Après les calculs)
Calcul du Poids
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le parachutiste est attiré vers le bas par une force d'environ 883 Newtons. C'est cette force qui doit être compensée par la résistance de l'air pour que la vitesse se stabilise.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais confondre la masse (en kg), qui est une quantité de matière, et le poids (en N), qui est une force. Votre masse est la même sur la Terre et sur la Lune, mais votre poids y est six fois plus faible !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le poids est une force, son unité est le Newton (N).
- La masse est une quantité de matière, son unité est le kilogramme (kg).
- La formule qui les relie est \(P = m \cdot g\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans la Station Spatiale Internationale (ISS), les astronautes sont en état d'impesanteur. Ce n'est pas parce que la gravité est nulle (elle vaut encore environ 90% de sa valeur au sol !), mais parce que la station et tout ce qu'elle contient sont en "chute libre" permanente autour de la Terre.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sur Mars, l'intensité de la pesanteur est \(g_{\text{mars}} \approx 3.7 \, \text{N/kg}\). Quel serait le poids du même parachutiste (en N) ?
Question 2 : Donner l'expression de la force de frottement
Principe (le concept physique)
La force de frottement de l'air, ou traînée aérodynamique, est la force qui freine le parachutiste. Elle est due aux collisions des molécules d'air avec le parachute et le corps. Elle est toujours dirigée dans le sens opposé au mouvement. Sa particularité est qu'elle n'est pas constante : elle augmente très rapidement avec la vitesse.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La force de traînée est composée de deux effets : la traînée de pression (due à la surpression à l'avant et la dépression à l'arrière) et la traînée de frottement (due à la viscosité de l'air sur la surface). Pour un objet non profilé comme un parachute, la traînée de pression est largement dominante, ce qui justifie le modèle en \(v^2\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Mettez votre main à plat par la fenêtre d'une voiture qui roule. À faible vitesse, vous sentez une légère poussée. À haute vitesse, la force devient très importante et difficile à contrer. C'est une manifestation directe de la dépendance de la force de frottement avec la vitesse.
Normes (la référence réglementaire)
Les coefficients de traînée \(C_x\) sont des valeurs sans dimension déterminées expérimentalement en soufflerie. Les procédures de test sont standardisées (par exemple par la SAE pour l'automobile) pour garantir que les mesures soient reproductibles et comparables entre différents objets.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le modèle physique pour la force de frottement à haute vitesse est donné dans l'énoncé :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que ce modèle est valide pour toute la chute. On considère que les valeurs de \(\rho\) (masse volumique de l'air), \(S\) (surface) et \(C_x\) (coefficient de traînée) sont constantes durant la phase de chute stabilisée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour cette question, il s'agit de donner l'expression littérale. Les valeurs numériques seront utilisées plus tard.
Astuces(Pour aller plus vite)
Retenez que la force de frottement dépend de trois grandes catégories de paramètres : les propriétés du fluide (\(\rho\)), la géométrie de l'objet (\(S, C_x\)) et la dynamique du mouvement (\(v^2\)).
Schéma (Avant les calculs)
Objet en Mouvement dans l'Air
Calcul(s) (l'application numérique)
Il n'y a pas de calcul numérique à faire ici. La question demande l'expression littérale, qui est la formule elle-même.
Schéma (Après les calculs)
Expression de la Force de Frottement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette expression montre la dépendance cruciale de la force de frottement avec le carré de la vitesse (\(v^2\)). Cela signifie que si la vitesse double, la force de frottement est multipliée par quatre. C'est cette croissance rapide qui permet d'atteindre un équilibre avec le poids.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas utiliser le mauvais modèle de frottement (par exemple, un modèle linéaire en \(v\), valable pour de faibles vitesses). Il ne faut pas non plus oublier le facteur 1/2, qui est essentiel dans la définition de la traînée aérodynamique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La force de frottement de l'air s'oppose au mouvement.
- Elle augmente avec la surface, la densité de l'air et le carré de la vitesse.
- Le coefficient \(C_x\) dépend de la forme de l'objet.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les alvéoles sur une balle de golf créent une fine couche d'air turbulent autour de la balle. Paradoxalement, cette couche turbulente "colle" mieux à la surface et réduit la dépression à l'arrière, ce qui diminue la traînée de pression globale. La balle va ainsi plus loin qu'une balle lisse.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la vitesse est multipliée par 3, par quel facteur la force de frottement est-elle multipliée ?
Question 3 : Appliquer la deuxième loi de Newton
Principe (le concept physique)
La deuxième loi de Newton relie les forces appliquées à un objet à son accélération. Si la vitesse se stabilise, cela signifie qu'elle devient constante. Une vitesse constante implique une accélération nulle. En appliquant la loi de Newton, si l'accélération est nulle, alors la somme des forces doit être nulle également. Les forces se compensent.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On choisit un axe vertical orienté vers le bas. Le poids \(\vec{P}\) est dans le même sens que l'axe (coordonnée positive), tandis que la force de frottement \(\vec{F}_{\text{air}}\) est dans le sens opposé (coordonnée négative). La deuxième loi de Newton s'écrit vectoriellement \(\vec{P} + \vec{F}_{\text{air}} = m \vec{a}\). En projection sur l'axe, cela devient \(P - F_{\text{air}} = m \cdot a\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez un "tir à la corde" vertical entre la gravité qui tire vers le bas et l'air qui tire vers le haut. Au début, la gravité gagne et le parachutiste accélère. Mais plus il va vite, plus l'air tire fort. L'équilibre est atteint quand les deux équipes tirent avec la même force : il n'y a plus d'accélération.
Normes (la référence réglementaire)
La deuxième loi de Newton n'est pas une norme mais un principe fondamental de la physique. C'est la pierre angulaire sur laquelle reposent toutes les normes et tous les codes de calcul en ingénierie dynamique et mécanique des structures.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) s'écrit :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On étudie le système {parachutiste} dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Les seules forces prises en compte sont le poids et le frottement de l'air (on néglige la poussée d'Archimède).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les forces identifiées sont le poids \(\vec{P}\) et la force de frottement \(\vec{F}_{\text{air}}\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Le mot-clé dans la question est "vitesse se stabilise". En physique, cela se traduit immédiatement par "accélération nulle" (\(a=0\)). C'est le déclencheur qui simplifie l'équation de Newton.
Schéma (Avant les calculs)
Phase d'Accélération
Calcul(s) (l'application numérique)
Lorsque la vitesse est stabilisée (vitesse terminale \(v_{\text{lim}}\)), l'accélération \(a\) est nulle. L'équation de Newton projetée sur l'axe vertical devient :
Schéma (Après les calculs)
Équilibre des Forces à Vitesse Terminale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ceci est la démonstration physique de l'existence d'une vitesse terminale. La force motrice (le poids) est constante, tandis que la force de freinage (frottement) augmente avec la vitesse. Il y a forcément un moment où les deux deviennent égales. À partir de cet instant, le système est en équilibre dynamique et continue sa chute à vitesse constante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur courante est de penser qu'à l'équilibre, il n'y a plus de mouvement. C'est faux. Un équilibre de forces (\(\sum \vec{F} = 0\)) implique une accélération nulle, ce qui signifie une vitesse constante. Cette vitesse peut être nulle (équilibre statique) ou non nulle (équilibre dynamique), comme ici.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La deuxième loi de Newton est \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).
- "Vitesse stabilisée" ou "vitesse constante" signifie que l'accélération \(\vec{a}\) est nulle.
- Si \(\vec{a}=0\), alors \(\sum \vec{F} = 0\) : les forces se compensent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Galilée fut l'un des premiers à étudier la chute des corps. La légende dit qu'il a lâché des objets de masses différentes du haut de la tour de Pise. Il a démontré que, sans la résistance de l'air, tous les objets tombent avec la même accélération, quelle que soit leur masse. Newton a ensuite formalisé cela mathématiquement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le parachutiste était pris dans un fort courant d'air ascendant tel que \(F_{\text{air}} > P\), quelle serait la direction de son accélération ?
Question 4 : Calculer la vitesse terminale (v_lim)
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous avons établi la condition d'équilibre (\(P = F_{\text{air}}\)), nous pouvons utiliser cette égalité pour trouver la vitesse qui la réalise. Il suffit de remplacer P et \(F_{\text{air}}\) par leurs expressions respectives et d'isoler la vitesse \(v\), qui sera notre vitesse terminale \(v_{\text{lim}}\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette démarche est fondamentale en physique : on part d'un principe premier (ici, la loi de Newton), on l'applique au système étudié pour obtenir une équation du mouvement, puis on résout cette équation pour une condition particulière (ici, \(a=0\)) afin de prédire une grandeur mesurable (la vitesse terminale).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le point culminant de l'exercice ! Toutes les étapes précédentes nous ont permis de construire les outils nécessaires pour répondre à la question finale. C'est comme assembler les pièces d'un puzzle : le poids, la force de frottement, la loi de Newton... et à la fin, l'image complète (la vitesse) apparaît.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de sécurité pour le parachutisme (comme la norme TSO - Technical Standard Order - aux États-Unis) spécifient des vitesses de descente maximales admissibles pour les parachutes de secours, afin de garantir que l'impact à l'atterrissage ne soit pas dangereux. Ces vitesses sont calculées avec les formules que nous utilisons ici.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de l'équilibre des forces :
On isole \(v_{\text{lim}}^2\) puis \(v_{\text{lim}}\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toutes les grandeurs physiques (\(m, g, \rho, S, C_x\)) sont connues et constantes. On effectue le calcul dans le Système International d'unités pour garantir la cohérence.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Poids, \(P = m \cdot g = 882.9 \, \text{N}\) (du calcul Q1)
- Masse volumique de l'air, \(\rho = 1.2 \, \text{kg/m}^3\)
- Surface du parachute, \(S = 30 \, \text{m}^2\)
- Coefficient de traînée, \(C_x = 1.4\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour passer des m/s aux km/h, il faut multiplier par 3.6. En effet, \(1 \, \text{m/s} = 3600 \, \text{m/h} = 3.6 \, \text{km/h}\). C'est une conversion très fréquente en physique, à connaître par cœur !
Schéma (Avant les calculs)
Équation à Résoudre
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la vitesse en m/s (toutes les unités sont dans le SI) :
2. Convertir en km/h :
Schéma (Après les calculs)
Vitesse Terminale Atteinte
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une vitesse de chute de 21.3 km/h (soit environ 5.9 m/s) est une vitesse considérée comme sûre pour un atterrissage en parachute. Cela correspond à la vitesse que l'on aurait en sautant d'une hauteur d'environ 1.80 mètres, ce qui est tout à fait gérable pour un être humain en bonne condition physique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier la racine carrée à la fin du calcul. Pensez toujours à vérifier l'homogénéité de vos formules : si vous avez des \(v^2\) d'un côté, il est logique de finir avec une racine carrée pour trouver \(v\). Vérifiez aussi que toutes les unités sont cohérentes (SI recommandé) avant de faire l'application numérique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vitesse terminale est atteinte quand le poids égale la force de frottement.
- La formule \(v_{\text{lim}} = \sqrt{\frac{2 P}{\rho S C_x}}\) permet de la calculer.
- Une masse plus grande ou une surface plus petite augmente la vitesse terminale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Certains animaux, comme les écureuils, ont une vitesse terminale si faible (en raison de leur faible masse et de leur grande surface relative lorsqu'ils s'étalent) qu'ils peuvent survivre à une chute de n'importe quelle hauteur. Leur vitesse d'impact au sol n'est jamais mortelle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le parachute était plus petit, avec une surface de seulement 20 m², quelle serait la nouvelle vitesse terminale en m/s ?
Outil Interactif : Paramètres de la Chute
Modifiez les paramètres du saut pour voir leur influence sur la vitesse terminale.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La vitesse terminale d'un être humain en chute libre (avant ouverture du parachute, en position "groupée") est d'environ 200 km/h. En adoptant une position horizontale bras et jambes écartés (pour augmenter la surface S et le Cx), cette vitesse peut être réduite à environ 120 km/h. Le record de chute libre a été établi par Alan Eustace en 2014, qui a atteint une vitesse de 1321 km/h, dépassant le mur du son, grâce à la très faible densité de l'air à très haute altitude (plus de 41 km).
Foire Aux Questions (FAQ)
Est-ce que la masse volumique de l'air est vraiment constante ?
Non, en réalité, la masse volumique de l'air diminue avec l'altitude. Un parachutiste qui saute de très haut verra donc sa vitesse terminale changer pendant sa chute : elle sera plus élevée au début (air moins dense) et diminuera à mesure qu'il se rapproche du sol (air plus dense). Pour un exercice de niveau Seconde, on considère cette valeur comme constante pour simplifier.
Pourquoi la force de frottement dépend-elle de v² et pas simplement de v ?
Il existe deux régimes de frottement. Pour de très faibles vitesses et de petits objets (régime laminaire), la force est proportionnelle à la vitesse (F ∝ v). Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent), comme c'est le cas pour un parachutiste, les tourbillons et la pression de l'air deviennent prépondérants, et le modèle expérimental montre que la force est bien mieux décrite par une dépendance en v² (F ∝ v²).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si un parachutiste double sa masse (par exemple en emportant un passager), sa vitesse terminale va...
2. À l'instant précis où le parachutiste atteint sa vitesse terminale, son accélération est...
- Deuxième Loi de Newton
- Aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique, elle stipule que la somme des forces extérieures agissant sur un corps est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)).
- Vitesse Terminale
- Vitesse constante atteinte par un objet en chute dans un fluide lorsque la force de frottement compense exactement son poids. L'accélération de l'objet est alors nulle.
- Coefficient de Traînée (Cx)
- Nombre sans dimension qui quantifie la résistance d'un objet dans un fluide. Il dépend de la forme de l'objet. Un objet profilé a un \(C_x\) faible, une paroi plate a un \(C_x\) élevé.
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