Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Dispersion à travers un Prisme Optique

Dispersion de la Lumière à travers un Prisme Optique

Dispersion de la Lumière à travers un Prisme Optique

Étudier le phénomène de dispersion de la lumière blanche par un prisme et calculer les angles de déviation pour différentes longueurs d'onde.

La dispersion de la lumière est le phénomène par lequel la lumière blanche, composée de plusieurs couleurs (longueurs d'onde), est décomposée en ses différentes composantes spectrales lorsqu'elle traverse un milieu dispersif, comme un prisme. Cela se produit parce que l'indice de réfraction \(n\) du milieu dépend de la longueur d'onde \(\lambda\) de la lumière. En général, pour les matériaux transparents comme le verre, l'indice de réfraction est plus élevé pour les courtes longueurs d'onde (bleu, violet) que pour les grandes longueurs d'onde (rouge).

Les lois de Snell-Descartes décrivent la réfraction de la lumière à l'interface entre deux milieux d'indices \(n_1\) et \(n_2\) :

\[ n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2) \]

Pour un prisme d'angle au sommet \(A\), on définit les angles suivants : \(i\) (angle d'incidence sur la première face), \(r\) (angle de réfraction dans le prisme après la première face), \(r'\) (angle d'incidence sur la deuxième face), \(i'\) (angle d'émergence après la deuxième face). Les relations géométriques du prisme sont :

\[ r + r' = A \]

La déviation totale \(D\) subie par le rayon lumineux est donnée par :

\[ D = i + i' - A \]

Données du Problème

Un faisceau de lumière blanche arrive sur un prisme en verre d'angle au sommet \(A = 60^\circ\). L'angle d'incidence du faisceau sur la première face est \(i = 45^\circ\). L'indice de réfraction de l'air est \(n_{air} = 1.000\).

Les indices de réfraction du verre du prisme pour deux longueurs d'onde spécifiques sont :

  • Lumière rouge (\(\lambda_R\)) : \(n_R = 1.512\)
  • Lumière bleue (\(\lambda_B\)) : \(n_B = 1.528\)
A Lumière blanche i r r' i' (rouge) i' (bleu) Rouge Bleu D (rouge) D (bleu)
Dispersion de la lumière blanche par un prisme.

Questions

  1. Pour la lumière rouge (\(n_R = 1.512\)) :
    1. Calculer l'angle de réfraction \(r_R\) à l'entrée du prisme.
    2. Calculer l'angle d'incidence \(r'_R\) sur la deuxième face du prisme.
    3. Calculer l'angle d'émergence \(i'_R\) de la lumière rouge.
    4. Calculer l'angle de déviation \(D_R\) pour la lumière rouge.
  2. Pour la lumière bleue (\(n_B = 1.528\)) :
    1. Calculer l'angle de réfraction \(r_B\) à l'entrée du prisme.
    2. Calculer l'angle d'incidence \(r'_B\) sur la deuxième face du prisme.
    3. Calculer l'angle d'émergence \(i'_B\) de la lumière bleue.
    4. Calculer l'angle de déviation \(D_B\) pour la lumière bleue.
  3. Calculer la dispersion angulaire \(\Delta D = |D_B - D_R|\) entre les rayons rouge et bleu.
  4. Expliquer brièvement pourquoi le prisme sépare les couleurs.

Correction : Dispersion de la Lumière à travers un Prisme Optique

1. Pour la lumière rouge (\(n_R = 1.512\))

a. Calcul de l'angle de réfraction \(r_R\)

On applique la loi de Snell-Descartes à la première face (air \(\rightarrow\) verre) : \(n_{air} \sin(i) = n_R \sin(r_R)\).

Données :
\(n_{air} = 1.000\)
\(i = 45^\circ\)
\(n_R = 1.512\)

\[ \begin{aligned} \sin(r_R) &= \frac{n_{air} \sin(i)}{n_R} \\ &= \frac{1.000 \times \sin(45^\circ)}{1.512} \\ &\approx \frac{0.7071}{1.512} \\ &\approx 0.46767 \\ r_R &= \arcsin(0.46767) \\ &\approx 27.89^\circ \end{aligned} \]

L'angle de réfraction pour la lumière rouge est \(r_R \approx 27.89^\circ\).

b. Calcul de l'angle d'incidence \(r'_R\) sur la deuxième face

On utilise la relation géométrique du prisme : \(A = r_R + r'_R\).

Données :
\(A = 60^\circ\)
\(r_R \approx 27.89^\circ\)

\[ \begin{aligned} r'_R &= A - r_R \\ &\approx 60^\circ - 27.89^\circ \\ &\approx 32.11^\circ \end{aligned} \]

L'angle d'incidence sur la deuxième face pour la lumière rouge est \(r'_R \approx 32.11^\circ\).

c. Calcul de l'angle d'émergence \(i'_R\)

On applique la loi de Snell-Descartes à la deuxième face (verre \(\rightarrow\) air) : \(n_R \sin(r'_R) = n_{air} \sin(i'_R)\).

Données :
\(n_R = 1.512\)
\(r'_R \approx 32.11^\circ\)
\(n_{air} = 1.000\)

\[ \begin{aligned} \sin(i'_R) &= \frac{n_R \sin(r'_R)}{n_{air}} \\ &\approx \frac{1.512 \times \sin(32.11^\circ)}{1.000} \\ &\approx 1.512 \times 0.5315 \\ &\approx 0.8037 \\ i'_R &= \arcsin(0.8037) \\ &\approx 53.49^\circ \end{aligned} \]

L'angle d'émergence pour la lumière rouge est \(i'_R \approx 53.49^\circ\).

d. Calcul de l'angle de déviation \(D_R\)

On utilise la formule de la déviation : \(D_R = i + i'_R - A\).

Données :
\(i = 45^\circ\)
\(i'_R \approx 53.49^\circ\)
\(A = 60^\circ\)

\[ \begin{aligned} D_R &= i + i'_R - A \\ &\approx 45^\circ + 53.49^\circ - 60^\circ \\ &\approx 38.49^\circ \end{aligned} \]

L'angle de déviation pour la lumière rouge est \(D_R \approx 38.49^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Lois de Snell-Descartes

Question : Si un rayon lumineux passe d'un milieu d'indice \(n_1\) à un milieu d'indice \(n_2 > n_1\) avec un angle d'incidence \(i_1\), comment l'angle de réfraction \(i_2\) se compare-t-il à \(i_1\) ?

  • \(i_2 = i_1\)

2. Pour la lumière bleue (\(n_B = 1.528\))

a. Calcul de l'angle de réfraction \(r_B\)

\(n_{air} \sin(i) = n_B \sin(r_B)\).

Données :
\(n_{air} = 1.000\)
\(i = 45^\circ\)
\(n_B = 1.528\)

\[ \begin{aligned} \sin(r_B) &= \frac{n_{air} \sin(i)}{n_B} \\ &= \frac{1.000 \times \sin(45^\circ)}{1.528} \\ &\approx \frac{0.7071}{1.528} \\ &\approx 0.46276 \\ r_B &= \arcsin(0.46276) \\ &\approx 27.57^\circ \end{aligned} \]

L'angle de réfraction pour la lumière bleue est \(r_B \approx 27.57^\circ\).

b. Calcul de l'angle d'incidence \(r'_B\) sur la deuxième face

\(A = r_B + r'_B\).

Données :
\(A = 60^\circ\)
\(r_B \approx 27.57^\circ\)

\[ \begin{aligned} r'_B &= A - r_B \\ &\approx 60^\circ - 27.57^\circ \\ &\approx 32.43^\circ \end{aligned} \]

L'angle d'incidence sur la deuxième face pour la lumière bleue est \(r'_B \approx 32.43^\circ\).

c. Calcul de l'angle d'émergence \(i'_B\)

\(n_B \sin(r'_B) = n_{air} \sin(i'_B)\).

Données :
\(n_B = 1.528\)
\(r'_B \approx 32.43^\circ\)
\(n_{air} = 1.000\)

\[ \begin{aligned} \sin(i'_B) &= \frac{n_B \sin(r'_B)}{n_{air}} \\ &\approx \frac{1.528 \times \sin(32.43^\circ)}{1.000} \\ &\approx 1.528 \times 0.5362 \\ &\approx 0.8193 \\ i'_B &= \arcsin(0.8193) \\ &\approx 55.01^\circ \end{aligned} \]

L'angle d'émergence pour la lumière bleue est \(i'_B \approx 55.01^\circ\).

d. Calcul de l'angle de déviation \(D_B\)

\(D_B = i + i'_B - A\).

Données :
\(i = 45^\circ\)
\(i'_B \approx 55.01^\circ\)
\(A = 60^\circ\)

\[ \begin{aligned} D_B &= i + i'_B - A \\ &\approx 45^\circ + 55.01^\circ - 60^\circ \\ &\approx 40.01^\circ \end{aligned} \]

L'angle de déviation pour la lumière bleue est \(D_B \approx 40.01^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Formules du Prisme

Question : Quelle relation lie toujours les angles \(r\), \(r'\) et \(A\) dans un prisme ?

  • \(A = i + i'\)

3. Calcul de la Dispersion Angulaire \(\Delta D\)

La dispersion angulaire est la différence entre les angles de déviation des couleurs extrêmes (ici, bleu et rouge).

Données :
\(D_R \approx 38.49^\circ\)
\(D_B \approx 40.01^\circ\)

\[ \begin{aligned} \Delta D &= |D_B - D_R| \\ &\approx |40.01^\circ - 38.49^\circ| \\ &\approx 1.52^\circ \end{aligned} \]

La dispersion angulaire entre les rayons rouge et bleu est \(\Delta D \approx 1.52^\circ\).

4. Explication de la Séparation des Couleurs

Le prisme sépare les couleurs de la lumière blanche car l'indice de réfraction \(n\) du verre dépend de la longueur d'onde \(\lambda\) de la lumière. Cette dépendance est appelée dispersion chromatique. Pour le verre, l'indice \(n\) est généralement plus élevé pour les courtes longueurs d'onde (comme le bleu) que pour les grandes longueurs d'onde (comme le rouge).

Selon la loi de Snell-Descartes, un indice de réfraction plus élevé entraîne une plus grande déviation du rayon lumineux lors de la réfraction (pour un même angle d'incidence et en passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, ou inversement si l'angle d'incidence interne est tel qu'il y a émergence). Ainsi, la lumière bleue, ayant un indice \(n_B > n_R\), est plus déviée que la lumière rouge. Chaque couleur composant la lumière blanche subit une déviation légèrement différente, ce qui conduit à leur séparation spatiale à la sortie du prisme, formant un spectre.

La séparation des couleurs est due à la variation de l'indice de réfraction du prisme avec la longueur d'onde de la lumière, ce qui entraîne des angles de déviation différents pour chaque couleur.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Le phénomène de dispersion de la lumière par un prisme est principalement dû au fait que :

  • La lumière blanche est polarisée.

Question 2 : En traversant un prisme de verre, quelle couleur est généralement la plus déviée ?

Question 3 : La formule de la déviation \(D\) pour un prisme est :

  • \(D = A - (r + r')\)

Question 4 : Si l'angle d'incidence \(i\) augmente, comment l'angle de réfraction \(r\) (à la première face, en entrant dans un milieu plus réfringent) évolue-t-il ?

  • Il reste constant.

Glossaire des Termes Clés

Dispersion de la lumière :

Phénomène de séparation des différentes longueurs d'onde (couleurs) composant une lumière polychromatique lorsqu'elle traverse un milieu dont l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde.

Prisme Optique :

Milieu transparent, généralement en verre ou en plastique, limité par deux faces planes non parallèles (les faces du prisme) se coupant selon une arête (l'arête du prisme). L'angle entre les deux faces est l'angle au sommet \(A\).

Indice de Réfraction (n) :

Grandeur sans dimension caractérisant la vitesse de la lumière dans un milieu par rapport à sa vitesse dans le vide. \(n = c/v\).

Loi de Snell-Descartes :

Loi décrivant le comportement de la lumière à l'interface entre deux milieux d'indices différents : \(n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)\).

Longueur d'Onde (\(\lambda\)) :

Distance parcourue par une onde périodique pendant une période. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence et caractérise la couleur de la lumière visible.

Angle de Déviation (D) :

Angle entre la direction du rayon incident sur le prisme et la direction du rayon émergent.

Dispersion Angulaire (\(\Delta D\)) :

Différence entre les angles de déviation de deux radiations de longueurs d'onde différentes après passage à travers un système dispersif.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment le phénomène de l'arc-en-ciel est-il lié à la dispersion de la lumière par des gouttes d'eau ?

2. Qu'est-ce que l'aberration chromatique dans les lentilles et comment est-elle liée à la dispersion ?

3. Les spectroscopes utilisent des prismes (ou des réseaux de diffraction) pour analyser la composition de la lumière. Comment cela fonctionne-t-il ?

4. Existe-t-il un angle d'incidence pour lequel la déviation par un prisme est minimale ? Quelles sont les conditions pour cette déviation minimale ?

5. Si l'angle au sommet \(A\) du prisme était différent, comment cela affecterait-il la dispersion angulaire pour un même angle d'incidence ?

Dispersion de la Lumière à travers un Prisme Optique

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