Étude du Rayonnement Radioactif du Césium-137
Contexte : La radioactivité du Césium-137Isotope radioactif de l'élément césium, produit de fission courant dans les réacteurs nucléaires et les retombées d'essais nucléaires..
Le Césium-137 (\(^{137}_{55}Cs\)) est un radioisotope qui n'existe pas à l'état naturel. Il est principalement un sous-produit de la fission nucléaire de l'uranium dans les réacteurs. En raison de sa demi-vie relativement longue et de son émission de rayonnements pénétrants, il représente un enjeu majeur dans la gestion des déchets nucléaires et la radioprotection. Cet exercice vise à appliquer les lois de la décroissance radioactive pour comprendre et quantifier son comportement au fil du temps.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les concepts fondamentaux de la physique nucléaire : la loi de décroissance, la relation entre demi-vie et constante radioactive, et le calcul d'activité, des compétences essentielles pour le programme de Terminale.
Objectifs Pédagogiques
- Établir l'équation de désintégration du Césium-137.
- Calculer la constante radioactive \(\lambda\) à partir de la demi-vie.
- Appliquer la loi de décroissance radioactive pour déterminer le nombre de noyaux restants.
- Calculer l'activité d'un échantillon à un instant donné.
Données de l'étude
Fiche Technique du Césium-137
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Numéro atomique (Z) | 55 |
| Nombre de masse (A) | 137 |
| Type de désintégration | Bêta moins (\(\beta^-\)) |
Schéma de désintégration du \(^{137}\text{Cs}\)
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre initial de noyaux | \(N_0\) | \(5,00 \times 10^{20}\) | noyaux |
| Demi-vie du Césium-137 | \(t_{1/2}\) | 30,17 | ans |
| Constante d'Avogadro | \(N_A\) | \(6,022 \times 10^{23}\) | mol\(^{-1}\) |
Questions à traiter
- Écrire l'équation complète de la désintégration \(\beta^-\) du Césium-137 en Barium-137 (\(^{137}Ba\)), en justifiant les nombres Z et A du noyau fils.
- Calculer la constante radioactive \(\lambda\) du Césium-137 en s\(^{-1}\).
- Déterminer le nombre de noyaux de Césium-137 restants après 50 ans.
- Calculer l'activité initiale \(A_0\) de l'échantillon en Becquerels (Bq).
- Calculer l'activité \(A\) de l'échantillon après 50 ans.
Les bases sur la Radioactivité
La radioactivité est un phénomène naturel au cours duquel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules et de l'énergie. Cette transformation est régie par des lois statistiques.
1. Loi de décroissance radioactive
Le nombre de noyaux radioactifs \(N(t)\) restants à un instant \(t\) dans un échantillon contenant initialement \(N_0\) noyaux suit une loi exponentielle :
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]
Où \(\lambda\) est la constante radioactive, caractéristique de l'isotope.
2. Activité et Demi-vie
L'activité \(A(t)\), qui représente le nombre de désintégrations par seconde, est proportionnelle au nombre de noyaux restants : \(A(t) = \lambda N(t)\). La demi-vie \(t_{1/2}\) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents se désintègrent. Elle est liée à \(\lambda\) par la relation :
\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]
Correction : Étude du Rayonnement Radioactif du Césium-137
Question 1 : Écrire l'équation de désintégration
Principe
Toute transformation nucléaire, y compris la désintégration radioactive, doit respecter les lois de conservation de Soddy : le nombre total de nucléons (A) et la charge électrique totale (Z) doivent être identiques avant et après la réaction.
Mini-Cours
La désintégration bêta moins (\(\beta^-\)) est un processus par lequel un neutron au sein d'un noyau instable se transforme en proton. Cette transformation s'accompagne de l'émission d'un électron (la particule \(\beta^-\)) et d'un antineutrino électronique (\(\bar{\nu}_e\)) pour conserver l'énergie et le moment cinétique. Le noyau fils a donc un proton de plus et un neutron de moins que le noyau père.
Remarque Pédagogique
Pour équilibrer une équation nucléaire, commencez toujours par écrire les réactifs et les produits connus. Appliquez ensuite systématiquement la conservation de A puis la conservation de Z pour identifier le produit inconnu. C'est une méthode infaillible.
Normes
La notation standard d'un nucléide \(^{A}_{Z}X\) est une convention internationale définie par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA) pour éviter toute ambiguïté.
Formule(s)
Lois de conservation pour une réaction \(X \rightarrow Y + p\) :
Conservation du nombre de masse
Conservation de la charge
Hypothèses
On suppose que le noyau de Césium-137 se désintègre uniquement par émission \(\beta^-\) et que le noyau de Barium-137 produit est dans son état fondamental (non excité).
Donnée(s)
| Particule | Notation | A | Z |
|---|---|---|---|
| Noyau père (Césium-137) | \(^{137}_{55}Cs\) | 137 | 55 |
| Particule émise (électron) | \(^{0}_{-1}e\) | 0 | -1 |
Astuces
Un moyen mnémotechnique pour la désintégration \(\beta^-\) est de penser "moins" pour l'électron (charge -1), donc pour compenser, le numéro atomique Z du noyau fils doit "augmenter" de 1.
Schéma (Avant les calculs)
Noyau de Césium-137 (instable)
Calcul(s)
On applique les lois de conservation à l'équation : \(^{137}_{55}Cs \rightarrow ^{A}_{Z}Ba + ^{0}_{-1}e\).
Conservation de A
Conservation de Z
Le noyau fils est bien le \(^{137}_{56}Ba\).
Schéma (Après les calculs)
Transformation en Barium-137
Réflexions
La transformation d'un neutron en proton a modifié la nature chimique de l'atome, le faisant passer de l'élément Césium (alcalin) à l'élément Barium (alcalino-terreux), qui se situe juste à sa droite dans le tableau périodique.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier la charge négative de l'électron lors de la conservation de Z, ce qui mènerait à un Z incorrect de 54. Soyez toujours attentif aux signes.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que la désintégration \(\beta^-\) conserve le nombre de masse A, augmente le numéro atomique Z de 1, et qu'elle est la manifestation de la transformation d'un neutron en proton.
Le saviez-vous ?
L'antineutrino (\(\bar{\nu}_e\)), systématiquement émis avec l'électron, est une particule si discrète que des milliards d'entre eux traversent notre corps chaque seconde sans aucune interaction. Son existence a été postulée par Wolfgang Pauli en 1930 pour "sauver" le principe de conservation de l'énergie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Le Strontium-90 (\(^{90}_{38}Sr\)) est aussi un émetteur \(\beta^-\). Quel est le numéro atomique (Z) de son noyau fils ?
Question 2 : Calculer la constante radioactive \(\lambda\)
Principe
La constante radioactive \(\lambda\) représente la probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps. Elle est intrinsèquement liée à la demi-vie \(t_{1/2}\) : une demi-vie courte implique une forte probabilité de désintégration (grand \(\lambda\)), et vice-versa.
Mini-Cours
La relation entre \(\lambda\) et \(t_{1/2}\) découle directement de la loi de décroissance. Par définition, à \(t = t_{1/2}\), on a \(N(t_{1/2}) = N_0/2\). En substituant dans la loi de décroissance : \(N_0/2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}\). En simplifiant et en appliquant le logarithme népérien, on isole la relation fondamentale \(t_{1/2} = \ln(2)/\lambda\).
Remarque Pédagogique
L'étape la plus critique ici est la gestion des unités. Les calculs d'activité se font avec \(\lambda\) en s\(^{-1}\). Prenez donc l'habitude de toujours convertir la demi-vie en secondes avant de calculer \(\lambda\). C'est un réflexe à acquérir.
Normes
L'utilisation de la seconde (s) comme unité de temps de base est une convention du Système International d'unités (SI), garantissant la cohérence des calculs en physique.
Formule(s)
Relation constante-demivie
Hypothèses
On suppose que la valeur de la demi-vie fournie (30,17 ans) est une valeur moyenne précise et constante, indépendante des conditions extérieures (température, pression).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Demi-vie | \(t_{1/2}\) | 30,17 | ans |
| Valeur de ln(2) | \(\ln(2)\) | \(\approx 0,693\) | - |
Astuces
Pour une estimation rapide, retenez qu'une année contient environ \(3,15 \times 10^7\) secondes. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre conversion.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Demi-vie
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la demi-vie en secondes
Étape 2 : Calcul de λ
Schéma (Après les calculs)
Probabilité de désintégration λ
Réflexions
La valeur de \(\lambda\) est très faible (\( \sim 10^{-10}\) s\(^{-1}\)), ce qui signifie qu'à chaque seconde, un noyau de Césium-137 a une probabilité infime de se désintégrer. C'est la confirmation de sa longue demi-vie : l'isotope est relativement "stable" à l'échelle humaine, mais se désintègre inexorablement sur des décennies.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser la formule (\(\lambda = t_{1/2} / \ln(2)\) est une erreur fréquente). Vérifiez la cohérence : une demi-vie longue (grand \(t_{1/2}\) au dénominateur) doit donner une petite constante \(\lambda\).
Points à retenir
La relation \(\lambda = \ln(2) / t_{1/2}\) est un pilier de la physique nucléaire. Il faut la connaître et savoir l'appliquer, en portant une attention particulière à la conversion de \(t_{1/2}\) en secondes pour les calculs d'activité.
Le saviez-vous ?
Le Césium-137 est utilisé dans l'industrie pour les jauges de niveau, de densité ou d'épaisseur. Son rayonnement gamma traverse la matière et un détecteur mesure l'atténuation, ce qui permet de contrôler le contenu de cuves ou l'épaisseur de tôles sans contact direct.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
L'Iode-131 a une demi-vie de 8 jours. Sa constante \(\lambda\) est-elle plus grande ou plus petite que celle du Césium-137 ?
Question 3 : Déterminer le nombre de noyaux restants après 50 ans
Principe
La décroissance radioactive est un processus exponentiel. Le nombre de noyaux ne diminue pas de manière linéaire mais suit une courbe qui "ralentit" avec le temps. La loi de décroissance radioactive permet de prédire précisément le nombre de noyaux restants à n'importe quel instant t.
Mini-Cours
La loi \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) est la solution de l'équation différentielle \(dN/dt = -\lambda N\), qui exprime que le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. Le signe "moins" indique qu'il s'agit d'une diminution. Cette forme exponentielle est caractéristique de nombreux phénomènes en physique (décharge de condensateur, etc.).
Remarque Pédagogique
Lorsque vous effectuez le calcul, faites attention à la cohérence des unités entre \(\lambda\) et \(t\). Si \(\lambda\) est en s\(^{-1}\), \(t\) doit être en secondes. Si vous utilisez la formule avec la demi-vie, \(t\) et \(t_{1/2}\) doivent être dans la même unité (par exemple, en années), ce qui simplifie souvent le calcul.
Formule(s)
Forme exponentielle
Forme avec demi-vie
Hypothèses
On suppose que l'échantillon est un système fermé, c'est-à-dire qu'aucun noyau de Césium-137 n'est ajouté ou retiré de l'échantillon pendant les 50 ans, hormis par le processus de désintégration.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre initial | \(N_0\) | \(5,00 \times 10^{20}\) | noyaux |
| Temps écoulé | \(t\) | 50 | ans |
| Demi-vie | \(t_{1/2}\) | 30,17 | ans |
Astuces
La formule avec la demi-vie, \(N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/t_{1/2}}\), est souvent plus intuitive et moins sujette aux erreurs de conversion. Le rapport \(t/t_{1/2}\) représente simplement le nombre de demi-vies écoulées.
Schéma (Avant les calculs)
Décroissance du nombre de noyaux
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nombre de demi-vies écoulées
Étape 2 : Calcul du nombre de noyaux restants
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des populations de noyaux
Réflexions
Après 50 ans, soit plus d'une demi-vie et demie, il reste moins d'un tiers (\(\approx 31,7\%\)) des noyaux initiaux. La majorité de l'échantillon s'est transformée en Barium-137. Cela montre que même si la décroissance ralentit, elle reste significative sur des durées de cet ordre.
Points de vigilance
Une erreur fréquente sur la calculatrice est de mal entrer la puissance. Assurez-vous d'utiliser correctement les parenthèses, par exemple `(0.5)^(50/30.17)`, pour éviter les erreurs de priorité des opérations.
Points à retenir
La maîtrise de la loi de décroissance sous ses deux formes (\(e^{-\lambda t}\) et \((1/2)^{t/t_{1/2}}\)) est cruciale. Comprendre que le processus n'est pas linéaire mais exponentiel est la clé pour résoudre ce type de problème.
Le saviez-vous ?
La datation au Carbone-14, utilisée en archéologie, repose exactement sur ce même principe de décroissance radioactive. En mesurant la proportion de Carbone-14 restant dans un échantillon organique, on peut estimer son âge, car sa demi-vie est connue (environ 5730 ans).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Combien de noyaux resteraient-ils après exactement une demi-vie (30,17 ans) ?
Question 4 : Calculer l'activité initiale \(A_0\)
Principe
L'activité d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations qui s'y produisent par seconde. Elle est directement proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents et à leur probabilité de désintégration \(\lambda\). Plus il y a de noyaux, plus l'activité est forte.
Mini-Cours
La relation \(A = \lambda N\) est fondamentale. Elle lie une grandeur macroscopique mesurable (l'activité A, en Bq) à une grandeur microscopique (le nombre de noyaux N). L'unité de A, le Becquerel (Bq), correspond à une désintégration par seconde, ce qui impose d'utiliser \(\lambda\) en s\(^{-1}\).
Remarque Pédagogique
Pensez à l'activité comme au "bruit" que fait l'échantillon. Un grand nombre de noyaux très instables (grand \(\lambda\)) feront beaucoup de "bruit" (grande activité). Un même nombre de noyaux presque stables (petit \(\lambda\)) seront beaucoup plus "silencieux".
Normes
Le Becquerel (Bq) est l'unité d'activité du Système International (SI), nommée en l'honneur d'Henri Becquerel, découvreur de la radioactivité. 1 Bq = 1 s\(^{-1}\).
Formule(s)
Formule de l'activité
Hypothèses
On suppose que chaque désintégration d'un noyau de Césium-137 peut être détectée, et que notre calcul représente cette activité théorique totale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre initial | \(N_0\) | \(5,00 \times 10^{20}\) | noyaux |
| Constante radioactive | \(\lambda\) | \(7,28 \times 10^{-10}\) | s\(^{-1}\) |
Astuces
Lors du calcul avec des puissances de 10, multipliez d'abord les nombres (7,28 x 5,00) puis additionnez les exposants (-10 + 20) pour obtenir l'ordre de grandeur final. Cela permet de vérifier rapidement votre saisie sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de l'Activité Initiale
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Activité Initiale
Réflexions
Une activité de \(3,64 \times 10^{11}\) Bq, soit 364 GigaBecquerels (GBq), est une activité très élevée. À titre de comparaison, l'activité naturelle du corps humain est d'environ 8000 Bq. Cela met en évidence le danger des déchets nucléaires et la nécessité de les confiner.
Points de vigilance
L'erreur la plus grave serait d'oublier de convertir la demi-vie en secondes pour le calcul de \(\lambda\). Si vous utilisiez une valeur de \(\lambda\) en an\(^{-1}\), votre activité serait fausse d'un facteur \(3,15 \times 10^7\) !
Points à retenir
Retenez la définition de l'activité (\(A=\lambda N\)) et le fait que son unité, le Bq, impose d'utiliser des unités du Système International (en particulier, la seconde) pour les autres grandeurs.
Le saviez-vous ?
L'ancienne unité d'activité était le Curie (Ci), défini comme l'activité d'un gramme de Radium-226. Un Curie correspond à \(3,7 \times 10^{10}\) Bq. Cette unité, bien que non-officielle, est encore parfois utilisée dans certains contextes historiques ou techniques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on doublait le nombre de noyaux initiaux (\(N_0\)), que deviendrait l'activité initiale \(A_0\) ?
Question 5 : Calculer l'activité \(A\) après 50 ans
Principe
Puisque l'activité \(A(t)\) est directement proportionnelle au nombre de noyaux restants \(N(t)\), elle doit suivre exactement la même loi de décroissance exponentielle. Si le nombre de noyaux diminue, l'activité diminue dans les mêmes proportions.
Mini-Cours
En partant de \(A(t) = \lambda N(t)\) et en substituant \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\), on obtient \(A(t) = \lambda (N_0 e^{-\lambda t})\). Comme \(A_0 = \lambda N_0\), on arrive directement à la loi de décroissance pour l'activité : \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\). Toutes les règles applicables à \(N(t)\) (y compris la formule avec la demi-vie) sont donc aussi valables pour \(A(t)\).
Remarque Pédagogique
Il y a souvent plusieurs chemins pour arriver au bon résultat en physique. Choisir la méthode la plus directe (ici, celle utilisant \(A_0\)) peut réduire les risques d'erreurs de calcul en cascade. Utiliser l'autre méthode (\(A = \lambda N(t)\)) est une excellente façon de vérifier son travail.
Normes
Aucune nouvelle norme n'est introduite. Les calculs se basent sur les définitions et unités du SI (Becquerel).
Formule(s)
À partir de l'activité initiale
À partir du nombre de noyaux restants
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul de \(N(t)\) : l'échantillon est un système isolé et la constante radioactive \(\lambda\) ne varie pas dans le temps.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Activité initiale | \(A_0\) | \(3,64 \times 10^{11}\) | Bq |
| Noyaux à t=50 ans | \(N(50)\) | \(1,58 \times 10^{20}\) | noyaux |
| Constante radioactive | \(\lambda\) | \(7,28 \times 10^{-10}\) | s\(^{-1}\) |
Astuces
Puisque nous avons déjà calculé le rapport de décroissance des noyaux à la question 3 (\(N(t)/N_0 \approx 0,3165\)), on peut directement trouver \(A(t)\) en multipliant \(A_0\) par ce même rapport : \(A(t) = A_0 \times (N(t)/N_0)\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de l'Activité à t=50 ans
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Activité à t=50 ans
Réflexions
L'activité a diminué, passant de 364 GBq à 115 GBq. Le rapport des activités \(A(t)/A_0 \approx 0,316\) est bien égal au rapport des noyaux \(N(t)/N_0\), ce qui confirme la cohérence des calculs. L'échantillon reste extrêmement radioactif même après 50 ans.
Points de vigilance
Ne mélangez pas les méthodes. N'utilisez pas \(N_0\) avec \(\lambda\) pour calculer \(A(t)\), ou \(N(t)\) avec une formule impliquant \(A_0\). Restez cohérent dans l'approche choisie.
Points à retenir
L'activité et le nombre de noyaux sont deux facettes du même phénomène. Ils sont liés par la constante \(\lambda\) et décroissent de la même manière exponentielle. Maîtriser le passage de l'un à l'autre est essentiel.
Le saviez-vous ?
Après la catastrophe de Tchernobyl en 1986, le Césium-137 a été l'un des principaux contaminants. Sa demi-vie de 30 ans signifie qu'aujourd'hui, l'activité due à cet isotope dans la zone d'exclusion a été divisée par un peu plus de deux, mais reste un problème majeur pour l'environnement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'activité de l'échantillon initial si sa demi-vie était de 15 ans au lieu de 30,17 ans (avec \(N_0\) inchangé) ?
Outil Interactif : Simulateur de Décroissance
Utilisez les curseurs pour faire varier la quantité initiale de matière et la demi-vie de l'isotope. Le graphique montre la courbe de décroissance du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (après 50 ans)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que la demi-vie radioactive ?
2. Si un échantillon a une activité de 400 Bq, que se passera-t-il après deux demi-vies ?
3. L'unité de l'activité dans le Système International est :
4. Lors d'une désintégration \(\beta^-\), un noyau de Césium-137 (\(^{137}_{55}Cs\)) se transforme. Qu'advient-il de ses nombres A et Z ?
- Activité (A)
- Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps au sein d'un échantillon radioactif. Son unité est le Becquerel (Bq), où 1 Bq = 1 désintégration par seconde.
- Demi-vie (\(t_{1/2}\))
- Temps statistique au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se sont désintégrés. C'est une caractéristique propre à chaque isotope radioactif.
- Constante radioactive (\(\lambda\))
- Probabilité de désintégration d'un noyau radioactif par unité de temps. Elle est liée à la demi-vie et s'exprime en s\(^{-1}\).
- Désintégration \(\beta^-\)
- Type de désintégration radioactive où un neutron du noyau se transforme en proton, avec émission d'un électron et d'un antineutrino.
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