Calcul de la Force Électrostatique

Exercice : Calcul de la Force Électrostatique

Calcul de la Force Électrostatique

Contexte : L'interaction entre charges électriquesUne propriété fondamentale de la matière qui lui fait subir une force lorsqu'elle est placée dans un champ électromagnétique..

Au cœur de la matière, les particules comme les protons et les électrons possèdent une propriété fondamentale : la charge électrique. Cette charge est à l'origine de l'une des quatre forces fondamentales de l'univers : l'interaction électromagnétique. Cet exercice se concentre sur le calcul de la force électrostatique entre deux charges ponctuellesModélisation d'un objet chargé dont la taille est considérée comme nulle par rapport aux distances étudiées., en utilisant la célèbre loi de CoulombLoi qui décrit la force électrostatique s'exerçant entre deux charges électriques immobiles..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier la force entre deux charges, à déterminer son caractère attractif ou répulsif, et à comprendre comment cette force varie avec la distance.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Coulomb pour calculer la valeur d'une force électrostatique.
Déterminer le sens (attractif ou répulsif) de l'interaction.
Analyser l'influence de la distance sur l'intensité de la force.
Maîtriser l'utilisation des puissances de 10 et des unités du Système International.

Données de l'étude

On étudie l'interaction entre un proton (charge \(q_A\)) et un électron (charge \(q_B\)) dans un atome d'hydrogène. On les modélise comme deux charges ponctuelles séparées par une distance \(d\).

Modèle de l'atome d'hydrogène

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge élémentaireLa plus petite charge électrique indivisible connue, portée par le proton (+) et l'électron (-).	\(e\)	\(1,60 \times 10^{-19}\)	C (Coulomb)
Distance proton-électron	\(d\)	\(53\)	pm (picomètre)
Constante de CoulombConstante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, dépendant du milieu. Sa valeur dans le vide est d'environ 9x10⁹ N·m²·C⁻².	\(k\)	\(9,0 \times 10^9\)	N·m²·C⁻²

Questions à traiter

Exprimer les charges \(q_A\) du proton et \(q_B\) de l'électron en fonction de la charge élémentaire \(e\). Convertir la distance \(d\) en mètres.
Calculer la valeur (ou norme) de la force électrostatique \(F_{A/B}\) exercée par le proton sur l'électron.
Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Représenter les vecteurs forces sur un schéma.
Que deviendrait la valeur de cette force si la distance entre le proton et l'électron était doublée ?

Les bases sur la Force Électrostatique

La loi de Coulomb décrit la force qui s'exerce entre deux objets portant une charge électrique. Cette force est directement proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

1. Loi de Coulomb
L'intensité de la force \(F\) entre deux charges ponctuelles \(q_A\) et \(q_B\) séparées par une distance \(d\) est donnée par : \[ F = k \times \frac{|q_A \times q_B|}{d^2} \] Où \(k\) est la constante de Coulomb.

2. Caractère de la force
La nature de la force (attractive ou répulsive) dépend du signe des charges :

Si les charges sont de signes opposés (\(q_A \times q_B < 0\)), la force est attractive.
Si les charges sont de même signe (\(q_A \times q_B > 0\)), la force est répulsive.

Correction : Calcul de la Force Électrostatique

Question 1 : Expression des charges et conversion de distance.

Principe

Cette étape préliminaire consiste à préparer les données pour le calcul. Il faut identifier les charges des particules à partir de la charge élémentaire \(e\) et convertir toutes les unités dans le Système International (SI) pour assurer la cohérence des calculs.

Mini-Cours

La charge électrique est "quantifiée", cela signifie qu'elle n'existe que sous forme de multiples entiers de la charge élémentaire \(e\). Le proton porte une charge \(+e\) et l'électron une charge \(-e\). Le préfixe "pico" (p) correspond à \(10^{-12}\).

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours commencer un exercice de physique par la conversion de toutes les données en unités SI. C'est la meilleure façon d'éviter les erreurs de calcul par la suite.

Normes

Le Coulomb (C) pour la charge et le mètre (m) pour la distance sont les unités de base du Système International requises pour l'application de la loi de Coulomb avec la constante \(k\) donnée.

Formule(s)

Relation de conversion du picomètre

1 \text{ pm} = 10^{-12} \text{ m}

Hypothèses

Aucune hypothèse n'est nécessaire pour cette étape.

Donnée(s)

Charge élémentaire, \(e = 1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
Distance, \(d = 53 \text{ pm}\)

Astuces

Pour se souvenir des puissances de 10, pensez à l'informatique : un Mégaoctet (Mo) vaut environ un million d'octets, un Gigaoctet (Go) vaut environ un milliard d'octets.

Schéma (Avant les calculs)

Identification des Données

Calcul(s)

Charges des particules

q_A = +e = +1,60 \times 10^{-19} \text{ C} \] \[ q_B = -e = -1,60 \times 10^{-19} \text{ C}

Conversion de la distance

\begin{aligned} d &= 53 \text{ pm} \\ &= 53 \times 10^{-12} \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Données en Unités SI

Réflexions

Les données sont maintenant prêtes à être utilisées dans la loi de Coulomb. La conversion des picomètres en mètres est cruciale car la constante de Coulomb \(k\) est exprimée en N·m²·C⁻².

Points de vigilance

Ne pas confondre les préfixes : "pico" (p) est \(10^{-12}\), "nano" (n) est \(10^{-9}\), "micro" (µ) est \(10^{-6}\). Une erreur de préfixe entraîne une erreur de calcul très importante.

Points à retenir

Proton : charge \(+e\). Électron : charge \(-e\). Préfixe pico (p) = \(10^{-12}\).

Le saviez-vous ?

Le picomètre est une unité de longueur si petite qu'elle est parfaitement adaptée à la description des distances atomiques. Le rayon d'un atome de carbone est d'environ 70 pm.

FAQ

Résultat Final

Les charges sont \(q_A = +1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\) et \(q_B = -1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\). La distance est \(d = 53 \times 10^{-12} \text{ m}\).

A vous de jouer

Un ion Hélium He²⁺ est un atome d'hélium qui a perdu ses deux électrons. Quelle est sa charge en Coulombs ? (Le noyau d'hélium contient 2 protons).

Question 2 : Calculer la valeur de la force électrostatique \(F_{A/B}\).

Principe

On applique directement la loi de Coulomb en utilisant les valeurs des charges et de la distance exprimées en unités du Système International.

Mini-Cours

La loi de Coulomb est une loi en "carré inverse", comme la loi de la gravitation de Newton. Cela signifie que l'intensité de la force diminue très rapidement lorsque la distance augmente. La constante \(k\) est une constante de proportionnalité qui dépend du milieu dans lequel se trouvent les charges (ici, le vide).

Remarque Pédagogique

Faites attention à bien mettre la distance au carré au dénominateur. C'est une source d'erreur fréquente. L'utilisation des valeurs absolues pour les charges permet de calculer la norme (l'intensité) de la force, qui est toujours une valeur positive.

Normes

La loi de Coulomb est une loi fondamentale de la physique, validée par d'innombrables expériences. Les unités utilisées (N, m, C) sont celles du Système International.

Formule(s)

Loi de Coulomb

F_{A/B} = k \times \frac{|q_A \times q_B|}{d^2}

Hypothèses

On modélise le proton et l'électron comme des charges ponctuelles, c'est-à-dire que leur taille est négligeable devant la distance qui les sépare.

Donnée(s)

\(k = 9,0 \times 10^9\) N·m²·C⁻²
\(|q_A| = 1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(|q_B| = 1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(d = 53 \times 10^{-12} \text{ m}\)

Astuces

Lorsque vous manipulez des puissances de 10, traitez les nombres et les puissances séparément. Par exemple, pour le numérateur : \((1,60 \times 1,60) \times (10^{-19} \times 10^{-19}) = 2,56 \times 10^{-38}\).

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres du Calcul

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} F_{A/B} &= 9,0 \times 10^9 \times \frac{|(+1,60 \times 10^{-19}) \times (-1,60 \times 10^{-19})|}{(53 \times 10^{-12})^2} \\ &= 9,0 \times 10^9 \times \frac{2,56 \times 10^{-38}}{2809 \times 10^{-24}} \\ &= 9,0 \times 10^9 \times (9,11 \times 10^{-15}) \\ &\approx 8,2 \times 10^{-8} \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Intensité de la Force

Réflexions

La force calculée, environ 82 nanonewtons, peut paraître extrêmement faible. Cependant, à l'échelle des particules subatomiques qui ont une masse infime, c'est une force colossale. C'est cette force qui maintient l'électron en orbite autour du proton et assure la cohésion de l'atome.

Points de vigilance

La principale difficulté réside dans la manipulation des puissances de 10 sur la calculatrice. Assurez-vous d'utiliser correctement les parenthèses, notamment pour le carré du dénominateur : \((53 \times 10^{-12})^2\) et non \(53 \times (10^{-12})^2\).

Points à retenir

La loi de Coulomb permet de calculer la norme de la force. Les signes des charges sont utilisés pour déterminer si la force est attractive ou répulsive, mais on utilise leurs valeurs absolues dans la formule pour le calcul de l'intensité.

Le saviez-vous ?

La force électrostatique est immensément plus forte que la force de gravitation à l'échelle des particules. La force de gravitation entre un proton et un électron est environ \(10^{39}\) fois plus faible que la force électrostatique ! C'est pourquoi on la néglige totalement dans les calculs atomiques.

FAQ

Résultat Final

La valeur de la force électrostatique exercée est d'environ \(8,2 \times 10^{-8} \text{ N}\).

A vous de jouer

Calculez la force entre deux protons dans un noyau, séparés par une distance de \(1 \times 10^{-15}\) m (1 femtomètre).

Question 3 : Nature et représentation de la force.

Principe

La nature de la force (attractive ou répulsive) dépend du signe du produit des charges \(q_A \times q_B\). Des charges de signes opposés s'attirent, tandis que des charges de même signe se repoussent. Les vecteurs force sont alors dessinés en conséquence.

Mini-Cours

Une force est une grandeur vectorielle, caractérisée par une direction, un sens et une norme (valeur). Selon le principe des actions réciproques (3ème loi de Newton), si un corps A exerce une force \(\vec{F}_{A/B}\) sur un corps B, alors le corps B exerce une force \(\vec{F}_{B/A}\) sur A telle que \(\vec{F}_{B/A} = - \vec{F}_{A/B}\). Ces deux forces ont même direction, même norme, mais des sens opposés.

Remarque Pédagogique

Déterminez toujours la nature de la force (attractive ou répulsive) en premier lieu en regardant les signes des charges. Cela vous donnera immédiatement le sens des vecteurs à dessiner : vers l'intérieur pour une attraction, vers l'extérieur pour une répulsion.

Normes

La représentation des forces par des flèches (vecteurs) est une convention universelle en physique. La longueur de la flèche est proportionnelle à l'intensité de la force, et sa direction et son sens indiquent son orientation dans l'espace.

Formule(s)

Condition de la nature de la force

\begin{cases} q_A \cdot q_B < 0 \Rightarrow \text{Attraction} \\ q_A \cdot q_B > 0 \Rightarrow \text{Répulsion} \end{cases}

Hypothèses

On suppose que les forces agissent le long de la droite reliant les deux charges ponctuelles.

Donnée(s)

Signe de \(q_A\) (proton) : Positif (+)
Signe de \(q_B\) (électron) : Négatif (-)

Astuces

Un moyen mnémotechnique simple est de penser aux relations humaines : "les opposés s'attirent". Deux charges de nature opposée (positive et négative) s'attirent.

Schéma (Avant les calculs)

Analyse des Signes

Calcul(s)

Analyse du signe du produit

q_A \times q_B = (+e) \times (-e) = -e^2 < 0

Schéma (Après les calculs)

Représentation des Vecteurs Forces

Réflexions

Le proton a une charge positive (\(q_A > 0\)) et l'électron a une charge négative (\(q_B < 0\)). Le produit \(q_A \times q_B\) est donc négatif. Conformément à la règle, des charges de signes opposés s'attirent. La force est donc attractive.

Points de vigilance

Ne confondez pas la force exercée PAR A SUR B (\(\vec{F}_{A/B}\), qui s'applique sur B) et la force exercée PAR B SUR A (\(\vec{F}_{B/A}\), qui s'applique sur A). Les deux vecteurs ont des sens opposés.

Points à retenir

Signes opposés \(\Rightarrow\) Attraction. Mêmes signes \(\Rightarrow\) Répulsion. Les forces d'interaction sont toujours opposées (\(\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}\)).

Le saviez-vous ?

C'est Charles-Augustin de Coulomb qui, en 1785, a établi expérimentalement la loi de force entre les charges électriques en utilisant une "balance de torsion", un instrument d'une très grande sensibilité pour l'époque.

FAQ

Résultat Final

La force est attractive. Le proton attire l'électron et, réciproquement, l'électron attire le proton avec une force de même valeur mais de sens opposé.

A vous de jouer

Quelle est la nature de la force entre deux électrons ?

Question 4 : Influence d'un doublement de la distance.

Principe

La loi de Coulomb indique que la force est inversement proportionnelle au carré de la distance (\(F \propto 1/d^2\)). Si on modifie la distance, la force va changer de manière non-linéaire. Doubler la distance ne va pas simplement diviser la force par deux.

Mini-Cours

Les lois en carré inverse sont fréquentes en physique pour les phénomènes qui se propagent dans les trois dimensions de l'espace à partir d'une source ponctuelle (lumière, son, gravitation, forces électriques). L'intensité du phénomène se répartit sur une sphère dont la surface augmente comme le carré du rayon (distance), donc l'intensité par unité de surface diminue comme l'inverse du carré de la distance.

Remarque Pédagogique

Pour analyser l'influence d'un paramètre, il est souvent plus élégant et rapide de travailler avec des rapports (nouvelle force / ancienne force) plutôt que de tout recalculer. Cela permet d'isoler l'effet du paramètre qui change.

Normes

La dépendance en \(1/d^2\) est une caractéristique fondamentale des lois de force à longue portée dans un espace à 3 dimensions.

Formule(s)

Expression de la nouvelle force F'

F' = k \times \frac{|q_A \times q_B|}{(d')^2} \quad \text{avec} \quad d' = 2d

Hypothèses

On suppose que les charges \(q_A\) et \(q_B\) ainsi que la constante \(k\) ne changent pas lorsque la distance est modifiée.

Donnée(s)

Nouvelle distance, \(d' = 2d\)
Force initiale, \(F = k |q_A q_B| / d^2\)

Astuces

Quand une question demande "que devient...", cela suggère souvent un calcul de rapport. Exprimez la nouvelle grandeur en fonction de l'ancienne pour trouver le facteur multiplicatif.

Schéma (Avant les calculs)

Modification de la Distance

Calcul(s)

Rapport des forces

\begin{aligned} F' &= k \frac{|q_A q_B|}{(2d)^2} \\ &= k \frac{|q_A q_B|}{4d^2} \\ &= \frac{1}{4} \left( k \frac{|q_A q_B|}{d^2} \right) \\ &= \frac{1}{4} F \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Effet sur l'Intensité de la Force

Réflexions

En doublant la distance, la force n'est pas divisée par 2, mais par \(2^2 = 4\). C'est une caractéristique importante des lois en "carré inverse" comme la loi de Coulomb ou la loi de la gravitation universelle. La force électrostatique diminue donc très rapidement avec la distance.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le facteur multiplicatif de la distance au carré. Si la distance est multipliée par \(n\), la force est divisée par \(n^2\).

Points à retenir

La force électrostatique est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Le saviez-vous ?

L'idée d'une loi en carré inverse pour l'électricité a été proposée pour la première fois par Joseph Priestley en 1767, en se basant sur une analogie avec la loi de la gravitation de Newton, bien avant que Coulomb ne la démontre expérimentalement.

FAQ

Résultat Final

Si la distance est doublée, la force électrostatique est divisée par 4.

A vous de jouer

Par quel facteur la force est-elle modifiée si la distance est triplée ?

Outil Interactif : Loi de Coulomb

Utilisez les curseurs pour faire varier la valeur des charges et la distance qui les sépare. Observez en temps réel l'intensité de la force électrostatique et son caractère attractif ou répulsif.

Paramètres d'Entrée

Charge q1 (x 10⁻¹⁹ C) 1.60e-19 C

Charge q2 (x 10⁻¹⁹ C) -1.60e-19 C

Distance d (pm) 53 pm

Résultats Clés

Force F -

Nature -

Force Électrostatique: Force d'attraction ou de répulsion qui s'exerce entre des particules chargées électriquement. Elle est décrite par la loi de Coulomb.
Charge Ponctuelle: Objet chargé dont la taille est considérée comme nulle par rapport aux distances qui le séparent d'autres objets. C'est une modélisation utilisée pour simplifier les calculs.
Loi de Coulomb: Loi fondamentale de l'électrostatique qui quantifie la force entre deux charges électriques immobiles.
Charge Élémentaire (e): La plus petite charge électrique indivisible connue, portée par le proton (positivement) et l'électron (négativement).

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