Variation de la Célérité avec la Température
Calculer la célérité du son dans l'air à différentes températures et analyser son impact sur le temps de propagation d'un écho.
La célérité du son (vitesse de propagation du son) dans un gaz, comme l'air, dépend de plusieurs facteurs, notamment la température du gaz. En général, la célérité du son augmente avec la température.
Une formule théorique pour la célérité du son \(v\) dans un gaz parfait est :
où :
- \(\gamma\) (gamma) est l'indice adiabatique du gaz (sans unité). Pour l'air, \(\gamma \approx 1.40\).
- \(R\) est la constante des gaz parfaits (\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)).
- \(T\) est la température absolue du gaz en Kelvin (K).
- \(M\) est la masse molaire du gaz en kilogrammes par mole (kg/mol).
Une formule d'approximation courante pour la célérité du son dans l'air en fonction de la température Celsius \(\theta\) (pour des températures proches de 0°C à 30°C) est :
Rappel de conversion de température : \(T(\text{K}) = \theta(\text{°C}) + 273.15\).
Données du Problème
On étudie la propagation d'un son et de son écho.
- Distance aller-retour parcourue par le son pour produire un écho : \(D_{\text{total}} = 100 \text{ m}\).
- Température de l'air, cas 1 : \(\theta_1 = 0^\circ\text{C}\).
- Température de l'air, cas 2 : \(\theta_2 = 25^\circ\text{C}\).
- Indice adiabatique de l'air : \(\gamma = 1.40\).
- Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
- Masse molaire moyenne de l'air : \(M_{\text{air}} = 29.0 \text{ g/mol}\).
Questions
- Convertir la masse molaire de l'air \(M_{\text{air}}\) en kg/mol.
- Convertir les températures \(\theta_1 = 0^\circ\text{C}\) et \(\theta_2 = 25^\circ\text{C}\) en Kelvin (T\(_1\) et T\(_2\)).
- Calculer la célérité du son \(v_1\) dans l'air à la température \(T_1\) en utilisant la formule \(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\).
- Calculer la célérité du son \(v_2\) dans l'air à la température \(T_2\) en utilisant la même formule.
- Calculer le temps \(\Delta t_1\) mis par l'écho pour revenir à la source à la température \(\theta_1\).
- Calculer le temps \(\Delta t_2\) mis par l'écho pour revenir à la source à la température \(\theta_2\).
- Calculer la différence \(\delta t = |\Delta t_1 - \Delta t_2|\) entre ces deux temps. Commenter l'influence de la température.
- Vérifier la valeur de \(v_2\) (célérité à 25°C) en utilisant la formule d'approximation \(v_{\text{son}} \approx 331.4 + 0.6 \cdot \theta\). Comparer ce résultat avec celui obtenu à la question 4 et commenter.
Correction : Variation de la Célérité avec la Température
1. Conversion de la Masse Molaire de l'Air
La masse molaire est donnée en g/mol et doit être convertie en kg/mol pour être cohérente avec les unités de R (J·mol\(^{-1}\)·K\(^{-1}\), où J = kg·m\(^2\)·s\(^{-2}\)).
Données :
\(M_{\text{air}} = 29.0 \text{ g/mol}\)
La masse molaire de l'air est \(M_{\text{air}} = 0.0290 \text{ kg/mol}\).
2. Conversion des Températures en Kelvin
On utilise la formule \(T(\text{K}) = \theta(\text{°C}) + 273.15\).
Données :
\(\theta_1 = 0^\circ\text{C}\)
\(\theta_2 = 25^\circ\text{C}\)
Pour \(\theta_1\):
Pour \(\theta_2\):
\(T_1 = 273.15 \text{ K}\).
\(T_2 = 298.15 \text{ K}\).
Quiz Intermédiaire : Conversion de Température
3. Calcul de la Célérité du Son (\(v_1\)) à \(T_1\)
On utilise la formule \(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\).
Données :
\(\gamma = 1.40\)
\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_1 = 273.15 \text{ K}\)
\(M_{\text{air}} = 0.0290 \text{ kg/mol}\)
La célérité du son à \(0^\circ\text{C}\) est \(v_1 \approx 331.02 \text{ m/s}\).
4. Calcul de la Célérité du Son (\(v_2\)) à \(T_2\)
On utilise la même formule \(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\) avec \(T_2\).
Données :
\(\gamma = 1.40\)
\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_2 = 298.15 \text{ K}\)
\(M_{\text{air}} = 0.0290 \text{ kg/mol}\)
La célérité du son à \(25^\circ\text{C}\) est \(v_2 \approx 345.79 \text{ m/s}\).
Quiz Intermédiaire : Influence de la Température
5. Calcul du Temps de Retour de l'Écho (\(\Delta t_1\)) à \(\theta_1\)
Le temps est la distance totale divisée par la célérité : \(\Delta t_1 = D_{\text{total}} / v_1\).
Données :
\(D_{\text{total}} = 100 \text{ m}\)
\(v_1 \approx 331.02 \text{ m/s}\)
Le temps de retour de l'écho à \(0^\circ\text{C}\) est \(\Delta t_1 \approx 0.3021 \text{ s}\).
6. Calcul du Temps de Retour de l'Écho (\(\Delta t_2\)) à \(\theta_2\)
Le temps est la distance totale divisée par la célérité : \(\Delta t_2 = D_{\text{total}} / v_2\).
Données :
\(D_{\text{total}} = 100 \text{ m}\)
\(v_2 \approx 345.79 \text{ m/s}\)
Le temps de retour de l'écho à \(25^\circ\text{C}\) est \(\Delta t_2 \approx 0.2892 \text{ s}\).
Quiz Intermédiaire : Temps de Propagation
7. Différence des Temps de Retour (\(\delta t\)) et Commentaire
On calcule \(\delta t = |\Delta t_1 - \Delta t_2|\).
Données :
\(\Delta t_1 \approx 0.3021 \text{ s}\)
\(\Delta t_2 \approx 0.2892 \text{ s}\)
Commentaire : La différence de temps est d'environ \(0.0129\) secondes (ou \(12.9\) millisecondes). Cela montre que l'augmentation de la température de 0°C à 25°C a réduit le temps de parcours de l'écho, car la célérité du son est plus élevée à 25°C. Bien que faible pour 100m, cette différence peut devenir significative sur de plus grandes distances ou pour des mesures de précision.
La différence entre les temps de retour est \(\delta t \approx 0.0129 \text{ s}\).
8. Vérification de \(v_2\) avec la Formule d'Approximation
On utilise \(v_{\text{son}} \approx 331.4 + 0.6 \cdot \theta\) pour \(\theta_2 = 25^\circ\text{C}\).
Comparaison :
Valeur théorique (question 4) : \(v_2 \approx 345.79 \text{ m/s}\).
Valeur approximative : \(v_{2,\text{approx}} = 346.4 \text{ m/s}\).
La différence est de \(346.4 - 345.79 = 0.61 \text{ m/s}\).
L'écart relatif est \(\frac{|346.4 - 345.79|}{345.79} \times 100\% \approx 0.176\%\).
Commentaire : La formule d'approximation donne un résultat très proche de la formule théorique pour cette température. L'approximation est donc bonne dans cette plage de température.
La célérité calculée avec la formule d'approximation est \(v_{2,\text{approx}} = 346.4 \text{ m/s}\), ce qui est très proche de la valeur théorique (\(345.79 \text{ m/s}\)).
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Glossaire des Termes Clés
Célérité du Son :
Vitesse à laquelle les ondes sonores se propagent dans un milieu donné.
Température Absolue (Kelvin, K) :
Échelle de température où le zéro absolu (0 K) est la température la plus basse possible. \(T(\text{K}) = \theta(\text{°C}) + 273.15\).
Indice Adiabatique (\(\gamma\)) :
Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant d'un gaz (\(\gamma = C_p/C_v\)). Il caractérise le comportement du gaz lors de compressions et détentes rapides (adiabatiques).
Constante des Gaz Parfaits (\(R\)) :
Constante physique qui apparaît dans la loi des gaz parfaits. \(R \approx 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Masse Molaire (\(M\)) :
Masse d'une mole d'une substance. Unité : g/mol ou kg/mol.
Écho :
Répétition d'un son causée par la réflexion des ondes sonores sur une surface.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Expliquez, au niveau microscopique (en termes de mouvement des molécules), pourquoi la célérité du son dans un gaz augmente avec la température.
2. La formule \(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\) est dérivée pour un gaz parfait. L'air réel est-il un gaz parfait ? Quelles sont les limites de cette formule pour l'air ?
3. Comment l'humidité de l'air affecte-t-elle la célérité du son ? L'air humide est-il "plus léger" ou "plus lourd" que l'air sec à même température et pression ?
4. La célérité du son dépend-elle de la pression atmosphérique pour un gaz parfait à température constante ? Justifiez votre réponse à partir de la formule.
5. Citez des applications pratiques où la connaissance précise de la célérité du son et de sa variation avec la température est importante (par exemple, en acoustique musicale, en sonar, en météorologie).
D’autres exercice de physique terminale:
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