Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
Contexte : Décrire le monde qui nous entoure.
La cinématique est la branche de la physique qui décrit le mouvement des objets sans se préoccuper des causes qui le provoquent. C'est le point de départ de toute la mécanique. Du simple déplacement d'une voiture en ligne droite à la course complexe d'un athlète, tout mouvement peut être analysé en étudiant l'évolution de sa position, de sa vitesse et de son accélération au cours du temps. Cet exercice vous propose d'analyser un mouvement simple en deux phases, un cas d'école pour maîtriser les outils fondamentaux de la cinématique du point dans un bâti fixeAussi appelé référentiel fixe ou galiléen. C'est un point de vue depuis lequel on observe le mouvement, et qui est considéré comme immobile. Pour la plupart des exercices, le sol terrestre est un excellent bâti fixe..
Remarque Pédagogique : La clé de cet exercice est de bien identifier les deux phases distinctes du mouvement et d'appliquer les bonnes équations à chacune. La première phase est un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA), car la vitesse change. La seconde est un Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU), car la vitesse devient constante. Nous allons calculer les grandeurs de chaque phase séparément avant de les combiner pour analyser le trajet total.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier la nature d'un mouvement (uniforme, uniformément accéléré).
- Appliquer les équations horaires du MRU et du MRUA.
- Calculer une vitesse finale et une distance parcourue lors d'une phase d'accélération.
- Calculer une distance parcourue à vitesse constante.
- Calculer une vitesse moyenne sur un trajet complet.
Données de l'étude
Schéma du mouvement de la voiture
Questions à traiter
- Quelle est la nature du mouvement de la voiture durant chaque phase ? Justifier.
- Calculer la vitesse \(v_B\) de la voiture à la fin de la phase 1, et la distance \(d_1\) parcourue pendant cette phase.
- Calculer la distance \(d_2\) parcourue par la voiture pendant la phase 2.
- Calculer la distance totale \(d_{\text{totale}}\) parcourue et la vitesse moyenne \(v_{\text{moy}}\) de la voiture sur l'ensemble du trajet.
Les bases de la Cinématique
Avant de plonger dans la correction détaillée, il est essentiel de bien comprendre les concepts fondamentaux qui suivent. Cette section est un rappel des bases nécessaires pour aborder l'exercice avec confiance.
1. Référentiel et Trajectoire :
Pour décrire un mouvement, il faut d'abord choisir un "point de vue", un objet de référence par rapport auquel on mesure les positions : c'est le référentiel (ici, la route). La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par l'objet au cours du temps.
2. Vitesse et Accélération :
- La vitesse (\(v\)) décrit la rapidité du changement de position. Elle s'exprime en m/s.
- L'accélération (\(a\)) décrit la rapidité du changement de vitesse. Elle s'exprime en m/s². Une accélération positive signifie que la vitesse augmente, une accélération négative qu'elle diminue (on parle de décélération).
3. Les Mouvements Rectilignes :
- Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) : La trajectoire est une droite et la vitesse est constante (\(v = \text{cte}\)). L'accélération est donc nulle (\(a=0\)). Équation : \(x(t) = v \cdot t + x_0\).
- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) : La trajectoire est une droite et l'accélération est constante (\(a = \text{cte}\)). La vitesse varie linéairement. Équations : \(v(t) = a \cdot t + v_0\) et \(x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0\).
Correction : Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
Question 1 : Nature du mouvement dans chaque phase
Principe (le concept physique)
La "nature" d'un mouvement est sa classification en fonction de l'évolution de son vecteur vitesse. On s'intéresse à deux choses : la forme de la trajectoire (rectiligne, circulaire, etc.) et la façon dont la valeur de la vitesse (la norme) change au cours du temps (constante, augmentant uniformément, etc.).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation entre accélération et vitesse est la clé. Si le vecteur accélération est nul, le vecteur vitesse est constant (principe d'inertie), le mouvement est donc rectiligne uniforme. Si le vecteur accélération est constant et non nul, le vecteur vitesse varie de façon linéaire, le mouvement est donc rectiligne uniformément varié (accéléré ou décéléré).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour justifier la nature d'un mouvement, il faut toujours revenir aux définitions et les comparer aux informations de l'énoncé. La justification est aussi importante que la réponse elle-même. "La vitesse est constante DONC le mouvement est uniforme" est une justification parfaite.
Astuces (Pour aller plus vite)
Repérez les mots-clés dans l'énoncé : "en ligne droite" \(\Rightarrow\) rectiligne. "accélère uniformément" \(\Rightarrow\) uniformément accéléré. "maintient sa vitesse constante" \(\Rightarrow\) uniforme.
Normes (la référence réglementaire)
La terminologie "Mouvement Rectiligne Uniforme" (MRU) et "Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré" (MRUA) est standard en cinématique.
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'énoncé stipule que le mouvement se fait "en ligne droite", on se limite donc à une analyse sur un seul axe (Ox).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pas de formule de calcul pour cette question, il s'agit d'appliquer des définitions.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Phase 1 : "accélère uniformément avec \(a = 2.0 \, \text{m/s}^2\)"
- Phase 2 : "maintient sa vitesse constante"
Schéma (Avant les calculs)
Identification des phases du mouvement
Calcul(s) (l'application numérique)
Il n'y a pas de calcul à effectuer. C'est une question de raisonnement et de justification.
Schéma (Après les calculs)
Nature des mouvements identifiée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'identification correcte de la nature du mouvement dans chaque phase est la clé pour choisir les bonnes formules de calcul dans les questions suivantes. Une erreur ici conduirait à utiliser les mauvaises équations pour la suite.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Accélération constante non nulle \(\Rightarrow\) Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA).
- Vitesse constante (donc accélération nulle) \(\Rightarrow\) Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape structure l'analyse. En divisant un problème complexe en plusieurs phases simples, on peut résoudre chaque partie l'une après l'autre de manière plus facile.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre "vitesse nulle" et "accélération nulle". Un objet peut avoir une vitesse nulle à un instant \(t\) (comme la voiture au démarrage) tout en ayant une accélération non nulle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les boîtes de vitesses automatiques des voitures modernes sont conçues pour gérer les changements de phase de mouvement de manière très douce, en ajustant précisément le couple du moteur pour que les passagers ne sentent quasiment pas les variations d'accélération.
FAQ (pour lever les doutes)
Un mouvement peut-il être "uniforme" mais pas "rectiligne" ?
Oui ! Un exemple est le mouvement circulaire uniforme : un objet tournant en cercle à vitesse constante. La valeur de la vitesse est constante (uniforme), mais sa direction change constamment, ce qui signifie qu'il y a une accélération (dirigée vers le centre du cercle).
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Phase 1 : Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré (MRUA) car la trajectoire est une droite et l'accélération est constante et non nulle.
Phase 2 : Le mouvement est rectiligne uniforme (MRU) car la trajectoire est une droite et la vitesse est constante.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un train freine en ligne droite avec une accélération constante de \(-1.5 \, \text{m/s}^2\). Quelle est la nature de son mouvement ?
Question 2 : Vitesse et distance en phase 1
Principe (le concept chimique)
Pendant la phase 1, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Nous pouvons donc utiliser les équations horaires du MRUA pour déterminer la vitesse atteinte à la fin de la phase et la distance parcourue pendant cette même phase.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un MRUA partant du repos (\(v_0=0\)) et de l'origine (\(x_0=0\)), les équations se simplifient grandement :
\(v(t) = a \cdot t\)
\(x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2\)
Ces deux formules sont tout ce dont nous avons besoin pour cette question.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Calculez d'abord la vitesse finale de la phase, \(v_B\). Cette valeur est cruciale car elle devient la vitesse constante pour la phase 2. Chaque phase "transmet" ses conditions finales qui deviennent les conditions initiales de la phase suivante.
Astuces (Pour aller plus vite)
Il existe une relation indépendante du temps pour le MRUA : \(v_f^2 - v_i^2 = 2a \cdot d\). Une fois que vous avez calculé la vitesse finale \(v_B\), vous pouvez l'utiliser pour vérifier votre calcul de la distance : \(d_1 = (v_B^2 - 0^2) / (2a)\).
Normes (la référence réglementaire)
Les unités du Système International doivent être utilisées : la vitesse en m/s, l'accélération en m/s², le temps en s et la distance en m.
Hypothèses (le cadre du calcul)
La voiture est assimilée à un point matériel. L'accélération est parfaitement constante pendant les 5 premières secondes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Vitesse en fonction du temps (MRUA) :
Position en fonction du temps (MRUA) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Accélération : \(a = 2.0 \, \text{m/s}^2\)
- Durée de la phase 1 : \(\Delta t_1 = 5.0 \, \text{s}\)
- Conditions initiales : \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\), \(x_0 = 0 \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Analyse de la Phase 1 (A → B)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la vitesse \(v_B\) à \(t = 5.0 \, \text{s}\) :
Calcul de la distance \(d_1\) parcourue :
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Phase 1
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Après 5 secondes d'accélération, la voiture a parcouru 25 mètres et atteint une vitesse de 10 m/s (soit 36 km/h). Ces valeurs sont cohérentes pour un démarrage en ville. La vitesse \(v_B\) sera la vitesse constante de la phase 2.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour un MRUA partant du repos, la vitesse est \(v=at\) et la distance est \(d = \frac{1}{2}at^2\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape quantifie la première partie du mouvement et fournit la condition de vitesse initiale essentielle pour analyser la deuxième partie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas le carré sur le temps (\(t^2\)) dans la formule de la distance. C'est une erreur très fréquente. Pensez que la distance augmente de plus en plus vite, elle ne peut pas être simplement proportionnelle au temps.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les TGV ont une phase d'accélération très longue mais relativement douce (environ \(0.1 \, \text{m/s}^2\)) pour le confort des passagers. Il leur faut plusieurs minutes et des dizaines de kilomètres pour atteindre leur vitesse de croisière de 320 km/h (\(\approx 89 \, \text{m/s}\)).
FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne peut-on pas utiliser \(d = v \times t\) ici ?
Cette formule n'est valable que pour un mouvement à vitesse constante (MRU). Ici, la vitesse change à chaque instant (elle passe de 0 à 10 m/s), donc on doit utiliser la formule du MRUA qui prend en compte cette variation via l'accélération.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un sprinter accélère à \(a = 5.0 \, \text{m/s}^2\) pendant \(2.0 \, \text{s}\). Quelle distance parcourt-il ?
Question 3 : Distance parcourue en phase 2
Principe (le concept chimique)
Pendant la phase 2, le mouvement est rectiligne uniforme (MRU). La vitesse est constante et égale à la vitesse atteinte à la fin de la phase 1. Pour trouver la distance parcourue, il suffit de multiplier cette vitesse constante par la durée de la phase 2.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un Mouvement Rectiligne Uniforme, l'accélération est nulle. L'équation horaire de la position est \(x(t) = v \cdot t + x_{\text{début phase}}\). La distance parcourue pendant une durée \(\Delta t\) est donc simplement \(d = v \cdot \Delta t\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette question est plus simple que la précédente car la formule est plus directe. L'enjeu principal est de bien identifier la vitesse à utiliser : c'est la vitesse \(v_B\) calculée à la question 2, qui est la vitesse constante de cette phase.
Astuces (Pour aller plus vite)
Pensez à la vie de tous les jours : si vous roulez à 100 km/h pendant 2 heures, vous parcourez 200 km. C'est exactement la même logique ici : \(d = v \times \Delta t\).
Normes (la référence réglementaire)
Les unités doivent être cohérentes : si la vitesse est en m/s et le temps en s, la distance sera en m.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la vitesse est maintenue parfaitement constante pendant les 10 secondes de la phase 2.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Distance parcourue en MRU :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse constante : \(v = v_B = 10.0 \, \text{m/s}\)
- Durée de la phase 2 : \(\Delta t_2 = 10.0 \, \text{s}\)
Schéma (Avant les calculs)
Analyse de la Phase 2 (B → C)
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule du MRU :
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Phase 2
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pendant les 10 secondes où elle roule à vitesse constante, la voiture parcourt 100 mètres. C'est 4 fois plus que la distance parcourue pendant les 5 premières secondes d'accélération.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour un MRU, la distance parcourue est simplement le produit de la vitesse constante par la durée du parcours : \(d = v \cdot \Delta t\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape permet de quantifier la deuxième partie du mouvement, ce qui est nécessaire pour pouvoir ensuite calculer la distance totale et la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser la durée de la phase 2 (\(\Delta t_2 = 10 \, s\)) et non la durée totale ou la durée de la phase 1. Chaque phase a sa propre durée et ses propres équations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les régulateurs de vitesse adaptatifs sur les voitures modernes utilisent un radar pour mesurer la distance et la vitesse du véhicule précédent, et ajustent constamment leur propre vitesse pour maintenir une distance de sécurité, réalisant ainsi de longues phases de MRU.
FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la position de la voiture à la fin de la phase 2 ?
Sa position finale est la somme des distances parcourues : \(x_C = d_1 + d_2 = 25 \, \text{m} + 100 \, \text{m} = 125 \, \text{m}\).
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un cycliste roule à une vitesse constante de \(7 \, \text{m/s}\) pendant \(30 \, \text{s}\). Quelle distance parcourt-il ?
Question 4 : Distance totale et vitesse moyenne
Principe (le concept chimique)
La distance totale est simplement la somme des distances parcourues pendant chaque phase. La vitesse moyenne, quant à elle, n'est pas la moyenne des vitesses ! C'est le rapport de la distance totale parcourue sur la durée totale du trajet. Elle représente la vitesse constante qu'il aurait fallu maintenir pour parcourir la même distance dans le même temps.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La vitesse moyenne \(v_{\text{moy}}\) est une grandeur globale qui lisse les variations de vitesse sur un parcours. Sa définition est toujours la même : \(v_{\text{moy}} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Durée totale}}\). Elle est particulièrement utile pour comparer des trajets qui comportent des phases d'accélération, de décélération et de vitesse constante.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Attention au piège classique : ne faites pas la moyenne arithmétique des vitesses (par exemple \((0+10)/2\)). Cela ne fonctionne que dans le cas très spécifique d'une accélération constante sur toute la durée. La seule définition juste et universelle de la vitesse moyenne est \(d_{\text{totale}} / \Delta t_{\text{totale}}\).
Astuces (Pour aller plus vite)
Listez clairement les distances et les durées de chaque phase avant de les additionner pour éviter les erreurs de calcul.
Normes (la référence réglementaire)
La vitesse moyenne, comme toute vitesse, s'exprime en m/s dans le Système International.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère l'ensemble du trajet du point A au point C, en additionnant les contributions de chaque phase.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Distance totale :
Vitesse moyenne :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Distance phase 1 : \(d_1 = 25.0 \, \text{m}\)
- Distance phase 2 : \(d_2 = 100 \, \text{m}\)
- Durée phase 1 : \(\Delta t_1 = 5.0 \, \text{s}\)
- Durée phase 2 : \(\Delta t_2 = 10.0 \, \text{s}\)
Schéma (Avant les calculs)
Analyse du Trajet Complet (A → C)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la distance totale :
Calcul de la durée totale :
Calcul de la vitesse moyenne :
Schéma (Après les calculs)
Graphique Vitesse en fonction du Temps
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La voiture a parcouru 125 mètres en 15 secondes. Sa vitesse moyenne de 8.33 m/s (environ 30 km/h) est inférieure à sa vitesse maximale de 10 m/s, ce qui est logique car elle a passé une partie du temps à accélérer depuis l'arrêt.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La vitesse moyenne est toujours la distance totale divisée par le temps total.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de grandeurs globales comme la distance totale et la vitesse moyenne permet de résumer un mouvement complexe en quelques chiffres clés, utiles pour la comparaison et l'analyse générale.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne calculez jamais la vitesse moyenne en faisant la moyenne des vitesses. C'est le piège le plus courant. La seule formule correcte est \(d_{\text{totale}} / \Delta t_{\text{totale}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les GPS calculent votre "heure d'arrivée estimée" en utilisant en permanence le concept de vitesse moyenne. Ils mesurent la distance restante et la divisent par une vitesse moyenne estimée, qui dépend du type de route, du trafic et de vos habitudes de conduite.
FAQ (pour lever les doutes)
La vitesse moyenne est-elle toujours inférieure à la vitesse maximale ?
Oui, si le mouvement n'est pas uniforme. Dès qu'il y a une phase où la vitesse est inférieure à la vitesse maximale (comme une phase d'accélération ou de décélération), la moyenne sur l'ensemble du trajet sera mathématiquement tirée vers le bas.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un coureur parcourt 100 m en 10 s, puis 100 m de plus en 15 s. Quelle est sa vitesse moyenne sur les 200 m ?
Outil Interactif : Simulateur de Mouvement
Modifiez les paramètres du mouvement pour voir l'impact sur la distance totale et la vitesse moyenne.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Les radars automatiques sur autoroute mesurent votre vitesse instantanée. Cependant, les "radars tronçons" calculent votre vitesse moyenne entre deux points. Ils enregistrent votre heure de passage au point A et au point B, et si la distance divisée par le temps de parcours est supérieure à la vitesse autorisée, vous êtes verbalisé, même si votre vitesse instantanée n'a jamais dépassé la limite sous les portiques.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passerait-il si l'accélération n'était pas constante ?
Si l'accélération n'est pas constante, le mouvement n'est plus "uniformément" accéléré. Les équations simples que nous avons utilisées ne seraient plus valables. Il faudrait utiliser des outils mathématiques plus avancés (comme le calcul intégral) pour trouver la vitesse et la position.
Comment la masse de la voiture influence-t-elle ce problème ?
En cinématique, on ne s'intéresse pas aux causes du mouvement. La masse de la voiture n'intervient donc pas dans ces calculs. Cependant, en dynamique (l'étude des causes), la masse est cruciale : pour une même force motrice, une voiture plus lourde aura une accélération plus faible (\(F=ma\)).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un objet en Mouvement Rectiligne Uniforme a...
2. Si une voiture passe de 0 à 20 m/s en 10 s, son accélération moyenne est de :
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les forces qui le provoquent.
- Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
- Mouvement dont la trajectoire est une droite et dont la vitesse est constante.
- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
- Mouvement dont la trajectoire est une droite et dont l'accélération est constante.
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