Mobilité des Électrons dans un Semi-conducteur
Contexte : La physique des semi-conducteursBranche de la physique de la matière condensée qui étudie les matériaux semi-conducteurs, aux propriétés intermédiaires entre les conducteurs et les isolants..
La capacité des électrons à se déplacer dans un matériau sous l'effet d'un champ électrique est une propriété fondamentale qui régit le fonctionnement de tous les appareils électroniques modernes. Cette propriété est quantifiée par la mobilité électroniqueMesure de la facilité avec laquelle un électron peut se déplacer à travers un métal ou un semi-conducteur, sous l'influence d'un champ électrique.. Comprendre et calculer cette mobilité est essentiel pour la conception de transistors, de diodes, de cellules solaires et de bien d'autres composants. Cet exercice se concentre sur le calcul des paramètres clés liés au transport des électrons dans un échantillon de silicium, le matériau roi de la microélectronique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les concepts du modèle de Drude pour lier des propriétés microscopiques (temps de collision, masse effective) à des grandeurs macroscopiques mesurables (conductivité, mobilité).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la mobilité des porteurs de charge à partir de la vitesse de dérive.
- Déterminer la conductivité et la résistivité d'un échantillon de semi-conducteur.
- Appliquer le concept de temps moyen de collision pour évaluer les paramètres de transport.
- Comprendre l'influence de la température sur la mobilité électronique.
Données de l'étude
Fiche Technique du Matériau
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Matériau | Silicium (Si) |
| Type de dopage | Type n |
| Température | \(300 \text{ K}\) |
Schéma du Dispositif Expérimental
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ électrique appliqué | \(E\) | 2000 | V/m |
| Vitesse de dérive mesurée | \(v_d\) | 280 | m/s |
| Densité d'électrons | \(n\) | \(1.5 \times 10^{16}\) | \(\text{cm}^{-3}\) |
| Temps moyen de collision | \(\tau\) | 0.2 | ps |
| Masse effective de l'électron | \(m^*\) | \(0.26 \cdot m_0\) | kg |
Questions à traiter
- Calculer la mobilité des électrons (\(\mu_e\)) dans cet échantillon de silicium.
- En utilisant le temps moyen de collision, donner une autre estimation de la mobilité et la comparer à la première valeur.
- Déterminer la conductivité électrique (\(\sigma\)) de l'échantillon.
- En déduire la résistivité électrique (\(\rho\)) de l'échantillon.
- Si la température de l'échantillon passe de 300 K à 400 K, comment la mobilité des électrons évoluera-t-elle qualitativement ? Justifiez votre réponse.
Les bases sur le Transport Électronique
Le mouvement des électrons dans un cristal sous l'effet d'un champ électrique est décrit par le modèle de Drude. Les électrons sont accélérés par le champ, mais leur mouvement est freiné par des collisions avec les atomes du réseau (phonons) et les impuretés. Il en résulte une vitesse moyenne constante, appelée vitesse de dérive.
1. Mobilité et Vitesse de Dérive
La vitesse de dérive \(v_d\) des électrons est proportionnelle au champ électrique appliqué \(E\). Le facteur de proportionnalité est la mobilité \(\mu_e\).
\[ v_d = \mu_e \cdot E \]
2. Conductivité Électrique
La conductivité \(\sigma\) mesure la capacité d'un matériau à conduire le courant. Elle dépend de la densité de porteurs \(n\), de leur charge \(e\) et de leur mobilité \(\mu_e\).
\[ \sigma = n \cdot e \cdot \mu_e \]
La résistivité \(\rho\) est simplement l'inverse de la conductivité : \(\rho = 1/\sigma\).
Correction : Mobilité des Électrons dans un Semi-conducteur
Question 1 : Calculer la mobilité des électrons (\(\mu_e\))
Principe
La mobilité est définie comme le rapport entre la vitesse de dérive des porteurs de charge et l'intensité du champ électrique qui provoque ce mouvement. C'est une mesure directe de la "facilité" de déplacement des électrons.
Mini-Cours
La mobilité \(\mu_e\) est un paramètre macroscopique qui englobe tous les processus de collision microscopiques que subit un électron (collisions avec les atomes du réseau, les impuretés, les défauts). Une mobilité élevée signifie que, pour un champ électrique donné, les électrons atteignent une vitesse de dérive plus grande, conduisant à un courant plus important.
Remarque Pédagogique
Pensez à la mobilité comme à la "fluidité" du mouvement des électrons. Un matériau à haute mobilité est comme une autoroute dégagée pour les électrons, tandis qu'un matériau à faible mobilité est comme une route embouteillée où les électrons peinent à avancer.
Normes
Le calcul se base sur le modèle semi-classique du transport électronique, où la vitesse de dérive est considérée comme étant dans un régime linéaire (ou "ohmique"), c'est-à-dire directement proportionnelle au champ électrique appliqué.
Formule(s)
Définition de la mobilité :
Hypothèses
Pour que cette relation soit valide, nous formulons les hypothèses suivantes :
- Le champ électrique est uniforme dans tout l'échantillon.
- Le champ électrique est suffisamment faible pour que la relation entre \(v_d\) et \(E\) soit linéaire (régime ohmique).
- Le matériau est homogène et ses propriétés sont isotropes (identiques dans toutes les directions).
Donnée(s)
On extrait les valeurs nécessaires de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Vitesse de dérive | \(v_d\) | 280 | m/s | Énoncé |
| Champ électrique | \(E\) | 2000 | V/m | Énoncé |
Astuces
Avant tout calcul, vérifiez la cohérence des unités. Ici, les mètres, secondes et Volts sont toutes des unités du Système International, donc le calcul peut être direct. Un Volt est un (kg·m²)/(A·s³), ce qui rend les analyses dimensionnelles complexes, mais s'en tenir au SI simplifie tout !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Principe
Calcul(s)
Application de la définition de la mobilité :
Schéma (Après les calculs)
Relation Linéaire
Réflexions
Une mobilité de 0.14 m²/(V·s) est une valeur typique pour les électrons dans le silicium à température ambiante, ce qui confirme que notre résultat est physiquement cohérent.
Points de vigilance
Ne pas confondre la vitesse de dérive (\(v_d\)), qui est une vitesse moyenne lente et orientée, avec la vitesse d'agitation thermique des électrons, qui est une vitesse aléatoire extrêmement élevée (environ \(10^5\) m/s à 300 K) mais dont la moyenne vectorielle est nulle en l'absence de champ.
Points à retenir
- La mobilité est le coefficient de proportionnalité entre la vitesse de dérive et le champ électrique : \(\mu_e = v_d / E\).
- C'est un paramètre fondamental qui quantifie la facilité de transport des charges dans un matériau.
Le saviez-vous ?
Dans certains matériaux comme l'arséniure de gallium (GaAs), la mobilité des électrons est beaucoup plus élevée que dans le silicium (~0.85 m²/(V·s)), ce qui les rend idéaux pour les applications à très haute fréquence comme les téléphones portables ou les radars.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant cette mobilité constante, quelle serait la vitesse de dérive si le champ électrique était de 500 V/m ?
Question 2 : Estimer la mobilité à partir du temps de collision
Principe
Le modèle de Drude fournit une vision microscopique de la mobilité. Il la relie à la fréquence des collisions des électrons. La mobilité est proportionnelle au temps moyen entre deux collisions (\(\tau\)) et inversement proportionnelle à la masse effective (\(m^*\)) de l'électron dans le cristal.
Mini-Cours
Dans le modèle de Drude, on imagine un électron être accéléré par le champ électrique \(E\) pendant une durée moyenne \(\tau\). Son gain de vitesse est \(a\tau = (eE/m^*)\tau\). Cette vitesse moyenne ajoutée à la vitesse thermique est la vitesse de dérive \(v_d\). En identifiant \(v_d = (e\tau/m^*)E\) avec la formule \(v_d = \mu_e E\), on obtient le lien direct entre la description microscopique et le paramètre macroscopique.
Remarque Pédagogique
Cette formule est le pont entre le monde microscopique des collisions (caractérisé par \(\tau\) et \(m^*\)) et le monde macroscopique mesurable (caractérisé par \(\mu_e\)). C'est un exemple puissant de la physique statistique.
Normes
Ce calcul est une application directe du modèle de Drude pour la conductivité dans les solides, un pilier de la physique de la matière condensée.
Formule(s)
Expression de la mobilité selon le modèle de Drude :
Hypothèses
On suppose que le temps de collision \(\tau\) est une constante moyenne, indépendante de l'énergie de l'électron, et que la masse effective \(m^*\) capture adéquatement l'interaction de l'électron avec le potentiel périodique du cristal.
Donnée(s)
Nous avons besoin des constantes fondamentales et des données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19}\) | C | Constante fondamentale (mesurée expérimentalement) |
| Temps moyen de collision | \(\tau\) | 0.2 | ps | Énoncé |
| Masse effective | \(m^*\) | \(0.26 \cdot m_0\) | kg | Énoncé |
| Masse de l'électron au repos | \(m_0\) | \(9.11 \times 10^{-31}\) | kg | Constante fondamentale (mesurée expérimentalement) |
Astuces
La masse effective \(m^*\) est cruciale ! Oublier de l'utiliser à la place de la masse de l'électron dans le vide (\(m_0\)) est une erreur classique qui donne des résultats très différents. Pensez-y comme le "poids ressenti" par l'électron dans le trafic du réseau cristallin.
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire d'un Électron
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion des unités et calcul de \(m^*\)
Conversion du temps de collision en secondes :
Calcul de la masse effective en kg :
Étape 2 : Calcul de la mobilité
Application de la formule de Drude :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des résultats
Réflexions
La valeur calculée (0.135) est très proche de celle obtenue à la question 1 (0.14). Cette excellente concordance valide les données de l'exercice et montre la pertinence du modèle de Drude pour décrire le transport électronique dans ces conditions.
Points de vigilance
Attention aux préfixes des unités ! L'oubli de la conversion des picosecondes (ps) en secondes est une source d'erreur fréquente, qui fausserait le résultat d'un facteur \(10^{12}\).
Points à retenir
- La mobilité est directement liée aux paramètres microscopiques via la relation \(\mu_e = e\tau/m^*\).
- La masse effective \(m^*\) est un concept essentiel pour décrire le mouvement des électrons dans un cristal.
Le saviez-vous ?
La masse effective n'est pas une "vraie" masse. C'est un paramètre tensoriel qui décrit comment la courbure de la structure de bande d'énergie du cristal affecte l'accélération de l'électron. Elle peut même être anisotrope (différente selon la direction de déplacement) !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on utilisait du Germanium (Ge) où \(m^* \approx 0.12 m_0\), quelle serait la mobilité pour le même temps de collision ?
Question 3 : Déterminer la conductivité électrique (\(\sigma\))
Principe
La conductivité est une mesure macroscopique qui dépend de la quantité de porteurs de charge disponibles (\(n\)) et de leur facilité à se mouvoir (mobilité \(\mu_e\)). Plus il y a d'électrons et plus ils sont mobiles, plus le matériau est conducteur.
Mini-Cours
La densité de courant \(J\) (courant par unité de surface) est donnée par \(J = n \cdot e \cdot v_d\). En utilisant la relation \(v_d = \mu_e E\), on obtient \(J = n e \mu_e E\). La loi d'Ohm locale stipule que \(J = \sigma E\). En identifiant les deux expressions, on trouve directement la formule de la conductivité \(\sigma = n e \mu_e\).
Remarque Pédagogique
Pour augmenter la conductivité d'un semi-conducteur, on a deux leviers principaux : augmenter le nombre de porteurs (\(n\)) via le dopage, ou choisir un matériau avec une haute mobilité intrinsèque (\(\mu_e\)).
Normes
Ce calcul découle de la définition de la densité de courant électrique et de la loi d'Ohm sous sa forme locale (\(J = \sigma E\)), des concepts fondamentaux en électromagnétisme.
Formule(s)
Formule de la conductivité pour un semi-conducteur de type n :
Hypothèses
On suppose que tous les atomes dopants sont ionisés à 300 K, c'est-à-dire que la densité d'électrons libres \(n\) est égale à la densité d'atomes donneurs \(N_d\). C'est une excellente approximation pour le silicium à température ambiante.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Densité d'électrons | \(n\) | \(1.5 \times 10^{16}\) | \(\text{cm}^{-3}\) | Énoncé |
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19}\) | C | Constante fondamentale |
| Mobilité des électrons | \(\mu_e\) | 0.14 | m²/(V·s) | Calcul (Question 1) |
Astuces
La conversion d'unités de volume est piégeuse. Pour passer de \(\text{cm}^{-3}\) à \(\text{m}^{-3}\), il faut multiplier par \((100)^3 = 10^6\). Ne tombez pas dans le piège de multiplier par 100 !
Schéma (Avant les calculs)
Porteurs de Charge
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la densité d'électrons
Conversion de la densité d'électrons en \(\text{m}^{-3}\) :
Étape 2 : Calcul de la conductivité
Application de la formule de la conductivité :
Schéma (Après les calculs)
Flux de Courant
Réflexions
Cette valeur de conductivité est intermédiaire entre celle d'un isolant (très faible, e.g. \(10^{-12}\) S/m pour le verre) et celle d'un métal (très élevée, e.g. \(6 \times 10^7\) S/m pour le cuivre), ce qui est la caractéristique d'un semi-conducteur dopé.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici concerne les unités. La densité d'électrons \(n\) est donnée en \(\text{cm}^{-3}\) et doit impérativement être convertie en \(\text{m}^{-3}\) pour être cohérente avec les autres unités du Système International.
Points à retenir
- La conductivité est le produit de la densité de charge (\(n \cdot e\)) et de la mobilité (\(\mu_e\)).
- La conversion des unités de volume (cm³ en m³) est une étape cruciale et source fréquente d'erreurs.
Le saviez-vous ?
On peut moduler la conductivité du silicium sur plus de 10 ordres de grandeur (un facteur 10 milliards !) simplement en variant la concentration de dopants. C'est cette incroyable flexibilité qui est à la base de toute la microélectronique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la conductivité si la densité de dopage était dix fois plus élevée (\(1.5 \times 10^{17} \text{ cm}^{-3}\)) ?
Question 4 : En déduire la résistivité électrique (\(\rho\))
Principe
La résistivité est la propriété intrinsèque d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. C'est simplement l'inverse mathématique de la conductivité.
Mini-Cours
Tandis que la conductivité décrit la facilité de passage du courant, la résistivité décrit la difficulté. C'est une propriété intrinsèque, indépendante de la géométrie de l'échantillon, contrairement à la résistance R (en Ohms), qui dépend de la longueur L et de la section A via la loi de Pouillet : \(R = \rho \cdot (L/A)\).
Remarque Pédagogique
En pratique, les ingénieurs et physiciens des matériaux parlent plus souvent de la résistivité d'un matériau (souvent en \(\Omega \cdot \text{cm}\)) que de sa conductivité, car elle est plus directement liée à la résistance mesurable.
Normes
La relation \(\rho = 1/\sigma\) est une définition fondamentale en électromagnétisme et en science des matériaux.
Formule(s)
Définition de la résistivité :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul de la conductivité, car la résistivité en dérive directement et ne nécessite aucune nouvelle supposition physique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Conductivité (calculée) | \(\sigma\) | 336.42 | S/m | Calcul (Question 3) |
Astuces
L'unité de la résistivité est l'\(\Omega \cdot \text{m}\). Assurez-vous que votre calcul donne bien cette unité. On peut vérifier : \(1/(\text{S/m}) = 1/((\text{A/V})/\text{m}) = (\text{V} \cdot \text{m})/\text{A} = \Omega \cdot \text{m}\) en utilisant la loi d'Ohm \(V=RI\).
Schéma (Avant les calculs)
Relation Inverse
Calcul(s)
Calcul de la résistivité :
Schéma (Après les calculs)
Échelle de résistivité
Réflexions
La valeur de résistivité obtenue, \(2.97 \times 10^{-3} \text{ } \Omega \cdot \text{m}\) ou \(0.297 \text{ } \Omega \cdot \text{cm}\), est typique pour du silicium modérément dopé, ce qui renforce la cohérence de notre démarche.
Points de vigilance
Ne pas confondre la résistivité \(\rho\) (en \(\Omega \cdot \text{m}\)), une propriété du matériau, avec la résistance \(R\) (en \(\Omega\)), une propriété d'un objet donné qui dépend de sa géométrie.
Points à retenir
- La résistivité est l'inverse de la conductivité : \(\rho = 1/\sigma\).
- C'est une propriété intrinsèque du matériau, cruciale pour caractériser son comportement électrique.
Le saviez-vous ?
Le silicium ultra-pur (dit intrinsèque) a une résistivité très élevée, de l'ordre de \(2300 \text{ } \Omega \cdot \text{m}\) à 300 K. Le dopage, même avec une impureté pour un million d'atomes de Si, fait chuter cette résistivité de plusieurs ordres de grandeur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant le résultat de la section "A vous de jouer" de la question 3, quelle serait la nouvelle résistivité ?
Question 5 : Influence de la température
Principe
Dans un semi-conducteur à température modérée (où la densité de porteurs est principalement due au dopage), le principal effet d'une augmentation de température est l'augmentation de l'agitation thermique du réseau cristallin.
Mini-Cours
L'agitation thermique du réseau cristallin se manifeste par des vibrations quantifiées appelées phononsUn quantum d'énergie de vibration dans un réseau cristallin. Les phonons sont responsables de la diffusion (collision) des électrons.. Plus la température est élevée, plus l'amplitude et le nombre de ces vibrations augmentent. Les électrons qui se déplacent dans le cristal entrent en collision plus fréquemment avec ces phonons. Chaque collision change la direction de l'électron et le "freine" dans sa course. Par conséquent, une augmentation de la température conduit à une diminution du temps moyen entre les collisions (\(\tau\)).
Remarque Pédagogique
C'est un compromis constant en physique des semi-conducteurs. Chauffer augmente le nombre de porteurs intrinsèques (ce qui augmente la conductivité), mais diminue leur mobilité (ce qui la diminue). Dans la gamme de température de fonctionnement des appareils, pour un matériau dopé, c'est l'effet sur la mobilité qui domine.
Normes
L'analyse se base sur la théorie de la diffusion des porteurs par les phonons du réseau, un concept central de la physique du solide et de la mécanique statistique.
Formule(s)
Loi de puissance de la mobilité due à la diffusion par les phonons :
Hypothèses
On suppose être dans une gamme de température où la diffusion par les phonons est le mécanisme de collision dominant, et que la densité de porteurs \(n\) reste constante (régime dit "extrinsèque", où le dopage fixe le nombre de porteurs).
Astuces
Un moyen simple de s'en souvenir : 'chaud' = 'agité'. Un réseau cristallin plus agité signifie plus d'obstacles pour les électrons, donc une mobilité plus faible.
Schéma (Avant les calculs)
Agitation du Réseau
Raisonnement
Une augmentation de la température (\(T\)) provoque une plus grande agitation des atomes du réseau cristallin. Cette agitation accrue augmente la probabilité de collision entre les électrons et les phonons (vibrations du réseau). Par conséquent, le temps moyen entre les collisions, \(\tau\), diminue. Comme la mobilité \(\mu_e\) est directement proportionnelle à \(\tau\) (selon la formule \(\mu_e = e\tau/m^*\)), une diminution de \(\tau\) entraîne nécessairement une diminution de la mobilité.
Schéma (Après les calculs)
Mobilité en fonction de la Température
Réflexions
Puisque la mobilité est directement proportionnelle au temps moyen de collision (\(\mu_e = e\tau/m^*\)), une diminution de \(\tau\) entraîne mécaniquement une diminution de la mobilité \(\mu_e\). Le matériau devient donc moins conducteur (sa résistivité augmente) lorsque la température augmente. C'est un comportement caractéristique des semi-conducteurs et des métaux dans cette gamme de température.
Points de vigilance
Ne pas généraliser ce comportement à très haute température. À un certain point, la génération thermique de paires électron-trou devient si importante que la densité de porteurs \(n\) augmente massivement, ce qui peut inverser la tendance et faire re-diminuer la résistivité (conductance par activation thermique).
Points à retenir
- Pour un semi-conducteur dopé, la mobilité diminue quand la température augmente, en raison de l'augmentation de la diffusion par les phonons.
- Cette dépendance est un facteur limitant dans la gestion thermique des composants électroniques.
Le saviez-vous ?
Ce coefficient de température négatif de la mobilité est un défi majeur en conception de microprocesseurs. Un processeur qui chauffe voit la mobilité de ses électrons chuter, ce qui diminue ses performances et augmente encore sa dissipation thermique, créant un cercle vicieux qui nécessite des systèmes de refroidissement très sophistiqués.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En se basant sur cette discussion, pour maximiser la vitesse de calcul d'un processeur, est-il préférable de le faire fonctionner à chaud ou à froid ?
Outil Interactif : Simulateur de Conductivité
Utilisez cet outil pour visualiser comment la mobilité et la conductivité du silicium varient en fonction du champ électrique et du temps de collision des électrons.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double le champ électrique appliqué à un semi-conducteur (en restant dans le régime ohmique), la vitesse de dérive des électrons :
2. Laquelle de ces affirmations est vraie concernant la résistivité et la conductivité ?
3. Une augmentation de la densité de défauts et d'impuretés dans un cristal va généralement :
4. La "masse effective" d'un électron dans un cristal est différente de sa masse dans le vide car :
5. L'unité de la mobilité électronique est :
- Mobilité Électronique (\(\mu_e\))
- Grandeur physique qui caractérise la capacité d'un porteur de charge (électron ou trou) à se déplacer dans un matériau sous l'action d'un champ électrique. Elle est exprimée en m²/(V·s).
- Vitesse de Dérive (\(v_d\))
- Vitesse moyenne acquise par les porteurs de charge dans un matériau sous l'effet d'un champ électrique. Elle résulte d'un équilibre entre l'accélération due au champ et le freinage dû aux collisions.
- Conductivité Électrique (\(\sigma\))
- Capacité d'un matériau à laisser passer le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité. Son unité est le Siemens par mètre (S/m).
- Masse Effective (\(m^*\))
- Masse qu'un électron semble avoir lorsqu'il se déplace dans un réseau cristallin. Elle diffère de la masse de l'électron dans le vide car elle intègre les effets des forces périodiques du potentiel du cristal.
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