Exercices Physique Chimie

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Contexte : La cinématique du pointBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des objets sans considérer les forces qui le provoquent. et la composition des vitesses.

Un avion de type Cessna doit effectuer un trajet entre deux aéroports. Sa trajectoire est influencée par un vent constant. Cet exercice classique de physique nous amène à utiliser l'outil des vecteurs pour modéliser et résoudre un problème concret de navigation. Nous allons décomposer les vecteurs vitesse pour déterminer le capDirection dans laquelle l'avion doit être orienté pour suivre la trajectoire désirée, en compensant les effets externes comme le vent. que le pilote doit maintenir et calculer le temps de vol réel.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi de composition des vitesses dans différents référentiels, une compétence fondamentale en physique et en ingénierie (aéronautique, navigation maritime, etc.).

Objectifs Pédagogiques

  • Maîtriser la composition des vecteurs vitesse dans un changement de référentiel.
  • Appliquer les projections et la trigonométrie pour résoudre des problèmes vectoriels.
  • Distinguer la vitesse propreVitesse de l'avion par rapport à la masse d'air dans laquelle il se déplace. C'est la vitesse indiquée par les instruments de bord., la vitesse au solVitesse de l'avion par rapport à un point fixe au sol. C'est la vitesse réelle de déplacement de l'avion. et la vitesse du vent.

Données de l'étude

Un avion doit relier l'aéroport de Lille (Point A) à celui de Bruxelles (Point B). Le référentiel terrestre est supposé galiléen.

Situation Géographique du Vol
N E A (Lille) B (Bruxelles) d = 100 km Vent 50 km/h 45°
Caractéristique Symbole Valeur
Trajet Lille-Bruxelles \(d\) 100 km plein Est
Vitesse propre de l'avion (par rapport à l'air) \(||\vec{v}_{\text{avion/air}}||\) 200 km/h
Vitesse du vent (par rapport au sol) \(||\vec{v}_{\text{air/sol}}||\) 50 km/h
Direction du vent - Souffle vers le Sud-Est (depuis 315°)

Questions à traiter

  1. Décomposer le vecteur vitesse du vent \(\vec{v}_{\text{air/sol}}\) en ses composantes Est (\(v_{\text{vent,x}}\)) et Nord (\(v_{\text{vent,y}}\)).
  2. Déterminer l'angle de cap \(\theta\) (par rapport à l'Est) que le pilote doit maintenir pour que l'avion se déplace plein Est.
  3. Calculer la norme du vecteur vitesse de l'avion par rapport au sol, \(||\vec{v}_{\text{avion/sol}}||\) (sa vitesse au sol).
  4. En déduire la durée totale du vol pour atteindre Bruxelles.
  5. Si le pilote ignorait le vent et maintenait un cap plein Est, de quelle distance (en km) manquerait-il sa cible après 30 minutes de vol ?

Les bases sur la Composition des Vitesses

Le mouvement d'un objet dépend du référentiel dans lequel on l'observe. La loi de composition des vitesses permet de relier les vitesses d'un même point mobile (M) dans deux référentiels différents.

Principe de la relativité du mouvement
Si un référentiel \(R'\) (ex: l'air) est en translation à une vitesse \(\vec{v}_{R'/R}\) par rapport à un référentiel \(R\) (ex: le sol), alors la vitesse \(\vec{v}_{M/R}\) d'un point M par rapport à \(R\) est la somme de sa vitesse par rapport à \(R'\) (\(\vec{v}_{M/R'}\)) et de la vitesse de \(R'\) par rapport à \(R\).

\[ \vec{v}_{M/R} = \vec{v}_{M/R'} + \vec{v}_{R'/R} \]

Application à l'aéronautique
Pour notre avion, cela se traduit par : la vitesse de l'avion par rapport au sol est égale à la vitesse de l'avion par rapport à l'air, additionnée (vectoriellement) à la vitesse de l'air par rapport au sol (le vent).

\[ \vec{v}_{\text{avion/sol}} = \vec{v}_{\text{avion/air}} + \vec{v}_{\text{air/sol}} \]

Correction : Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Question 1 : Décomposition du vecteur vitesse du vent

Principe

Le vent est décrit par une norme (sa vitesse) et une direction. Pour l'intégrer dans des calculs, il est pratique de le représenter par un vecteur et de projeter ce vecteur sur un système d'axes cartésiens (par exemple, Est pour l'axe x et Nord pour l'axe y).

Mini-Cours

La décomposition d'un vecteur \(\vec{V}\) dans une base orthonormée \((\vec{i}, \vec{j})\) consiste à le projeter sur chaque axe. Ces projections, \(V_x\) et \(V_y\), sont des scalaires qui, multipliés par les vecteurs unitaires \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\), permettent de reconstituer le vecteur original : \(\vec{V} = V_x \vec{i} + V_y \vec{j}\). C'est le fondement de la mécanique analytique.

Remarque Pédagogique

Le point crucial est de bien définir l'angle. L'énoncé donne une direction "venant de 315°", ce qui correspond à une direction "allant vers 135°". Cependant, le calcul est plus simple en utilisant un angle direct par rapport à l'axe de référence (Est), soit -45°.

Normes

En physique et en navigation, on utilise le cercle trigonométrique comme convention. L'angle 0° est à l'Est, et les angles sont mesurés positivement dans le sens anti-horaire.

Formule(s)

Pour un vecteur \(\vec{V}\) de norme \(||\vec{V}||\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe des abscisses (ici, l'Est) :

\[ \vec{V} = V_x \vec{i} + V_y \vec{j} \quad \text{avec} \quad \begin{cases} V_x = ||\vec{V}|| \cos(\alpha) \\ V_y = ||\vec{V}|| \sin(\alpha) \end{cases} \]
Hypothèses

On suppose que le vent est uniforme en vitesse et en direction sur toute la zone de vol. On utilise un modèle 2D (Terre plate) car la distance est faible.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Norme de la vitesse du vent\(||\vec{v}_{\text{air/sol}}||\)50km/h
Angle du vent par rapport à l'Est\(\alpha\)-45degrés
Astuces

Un vent soufflant vers le Sud-Est aura une composante Est (x) positive et une composante Sud (y, donc négative sur un axe Nord). C'est un bon moyen de vérifier rapidement le signe de vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)
Projection du Vecteur Vent
Nord (y)Est (x)v⃗ air/solv vent,xv vent,y-45°
Calcul(s)

Calcul de la Composante Est (\(v_{\text{vent,x}}\))

\[ \begin{aligned} v_{\text{vent,x}} &= 50 \cdot \cos(-45^\circ) \\ &= 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\approx 35.36 \text{ km/h} \end{aligned} \]

Calcul de la Composante Nord (\(v_{\text{vent,y}}\))

\[ \begin{aligned} v_{\text{vent,y}} &= 50 \cdot \sin(-45^\circ) \\ &= 50 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\approx -35.36 \text{ km/h} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vent Résultant
Nord (y)Est (x)Origine35.36 i⃗-35.36 j⃗v⃗ air/sol
Réflexions

Le résultat est cohérent : la composante Est est positive (le vent pousse vers l'Est) et la composante Nord est négative (le vent pousse vers le Sud).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la détermination de l'angle. Une direction "venant du NO" n'est pas la même qu'une direction "vers le NO". Il faut toujours se ramener à un angle par rapport à l'axe de référence du repère.

Points à retenir

Pour décomposer un vecteur, il faut connaître sa norme et son angle par rapport à un axe de référence. Les composantes sont obtenues par projection trigonométrique (\(V_x = V \cos\alpha\), \(V_y = V \sin\alpha\)).

Le saviez-vous ?

En aéronautique, le vent n'est jamais parfaitement constant. Les pilotes utilisent des systèmes de gestion de vol (FMS) qui recalculent en permanence la décomposition du vent pour ajuster le cap et l'estimation de l'heure d'arrivée.

FAQ
Pourquoi l'angle est-il de -45° et non de 135° ?

Un vent venant du Nord-Ouest (315°) souffle vers le Sud-Est (135°). L'angle de 135° est mesuré depuis le Nord dans le sens horaire. Dans notre repère (Est=0°, anti-horaire), cette direction correspond à un angle de -45° ou 315°. Les deux donneront le même résultat au calcul.

Résultat Final
Le vecteur vitesse du vent est \(\vec{v}_{\text{air/sol}} \approx (35.36 \vec{i} - 35.36 \vec{j}) \text{ km/h}\).
A vous de jouer

Quel serait le vecteur vitesse pour un vent de 80 km/h soufflant vers le Sud-Ouest (depuis 45°) ?

Question 2 : Détermination du cap de l'avion

Principe

L'avion doit atteindre une destination plein Est. Sa vitesse par rapport au sol, \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\), doit donc être un vecteur orienté uniquement sur l'axe x. Comme \(\vec{v}_{\text{avion/sol}} = \vec{v}_{\text{avion/air}} + \vec{v}_{\text{air/sol}}\), la composante Nord (y) de \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\) doit annuler exactement la composante Nord (y) du vent.

Mini-Cours

L'équation vectorielle \(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\) se décompose en deux équations scalaires indépendantes : \(C_x = A_x + B_x\) et \(C_y = A_y + B_y\). Pour forcer le vecteur résultant \(\vec{C}\) à être horizontal, il suffit de poser la condition \(C_y = 0\), ce qui implique que \(A_y = -B_y\). C'est le cœur de la stratégie de compensation.

Remarque Pédagogique

Le pilote ne peut pas contrôler directement sa vitesse au sol. Il ne contrôle que son cap et sa vitesse par rapport à l'air. La résolution consiste donc à trouver les bons paramètres de pilotage (ici le cap \(\theta\)) pour que la résultante du mouvement (la trajectoire au sol) soit celle désirée.

Normes

En navigation, le cap est généralement donné en degrés par rapport au Nord magnétique. Pour cet exercice de physique, nous le calculons par rapport à l'Est, conventionnellement l'axe des abscisses.

Formule(s)

Loi de composition des vitesses sur l'axe y :

\[ v_{\text{avion/sol, y}} = v_{\text{avion/air, y}} + v_{\text{air/sol, y}} \]

Condition pour une trajectoire vers l'Est :

\[ v_{\text{avion/sol, y}} = 0 \Rightarrow v_{\text{avion/air, y}} = -v_{\text{air/sol, y}} \]
Hypothèses

On suppose que le pilote peut maintenir un angle de cap constant avec une précision suffisante pour annuler la dérive.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Composante y du vent\(v_{\text{air/sol, y}}\)-35.36km/h
Norme de la vitesse propre\(||\vec{v}_{\text{avion/air}}||\)200km/h
Astuces

Avant de calculer, on peut deviner le sens de la correction. Le vent pousse vers le Sud (y négatif), donc l'avion doit viser un peu vers le Nord (y positif) pour compenser. L'angle \(\theta\) doit donc être positif.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Vitesses
v⃗ avion/air (Cap)Norme = 200 km/hv⃗ air/solv⃗ avion/sol (Trajectoire)Estθ ?
Calcul(s)

Condition d'annulation de la composante y

\[ v_{\text{avion/air, y}} = -v_{\text{air/sol, y}} \approx -(-35.36) \approx 35.36 \text{ km/h} \]

Calcul du sinus de l'angle

\[ \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{v_{\text{avion/air, y}}}{||\vec{v}_{\text{avion/air}}||} \\ &= \frac{35.36}{200} \\ &\approx 0.1768 \end{aligned} \]

Calcul de l'angle de cap

\[ \begin{aligned} \theta &= \arcsin(0.1768) \\ &\approx 10.18^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Vitesses avec Angle de Cap
v⃗ avion/airv⃗ air/solv⃗ avion/solEst10.18°
Réflexions

Un angle de 10.18° peut paraître faible, mais sur une longue distance, cette correction est absolument essentielle pour atteindre la destination. C'est ce qu'on appelle voler "en crabe" : le nez de l'avion n'est pas aligné avec sa trajectoire au sol.

Points de vigilance

Attention à ne pas appliquer la trigonométrie sur le mauvais triangle. L'angle \(\theta\) est l'angle de la vitesse propre, sa composante y dépend donc de la norme de la vitesse propre (200 km/h) et non de la vitesse du vent ou de la vitesse au sol.

Points à retenir

Pour suivre une trajectoire rectiligne en présence d'un vent de travers, il faut imposer une composante de vitesse propre qui annule la composante de vitesse du vent perpendiculaire à la trajectoire.

Le saviez-vous ?

Les grands navigateurs comme Christophe Colomb utilisaient déjà des techniques de navigation "à l'estime", en tentant de corriger leur cap en fonction des vents et des courants marins, une version analogique de la composition vectorielle.

FAQ
Pourquoi ne compense-t-on pas aussi la composante x du vent ?

La composante x du vent est dans la même direction que la trajectoire désirée. Elle ne dévie pas l'avion de sa route, elle va simplement l'accélérer (si elle est positive) ou le ralentir (si elle est négative). On ne la compense pas, on la subit.

Résultat Final
Le pilote doit maintenir un cap d'environ \(10.18^\circ\) au Nord de l'Est pour compenser le vent.
A vous de jouer

Si le vent soufflait vers le Nord-Est (avec la même vitesse), quel serait l'angle de cap à maintenir ?

Question 3 : Calcul de la vitesse au sol

Principe

La vitesse au sol est la norme du vecteur vitesse résultant \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\). Puisque nous avons fait en sorte que ce vecteur soit purement horizontal (orienté vers l'Est), sa norme est simplement sa composante x.

Mini-Cours

La norme d'un vecteur n'est généralement pas la somme des normes des vecteurs qui le composent. \(||\vec{A}+\vec{B}|| \ne ||\vec{A}||+||\vec{B}||\), sauf si \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) sont colinéaires et de même sens. Dans le cas général, il faut additionner les composantes d'abord, puis calculer la norme du vecteur résultant avec le théorème de Pythagore : \(||\vec{C}|| = \sqrt{C_x^2 + C_y^2}\).

Remarque Pédagogique

Remarquez que le vent, bien que venant de côté, a une composante qui pousse l'avion vers l'avant (sa composante Est). Il agit donc comme un "vent de travers-arrière", ce qui devrait augmenter la vitesse finale par rapport à la vitesse propre de l'avion.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul, c'est une application directe des lois de la cinématique.

Formule(s)

Composante x de la vitesse au sol :

\[ v_{\text{avion/sol, x}} = v_{\text{avion/air, x}} + v_{\text{vent, x}} \]

Avec \(v_{\text{avion/air, x}} = ||\vec{v}_{\text{avion/air}}|| \cos(\theta)\). Comme \(v_{\text{avion/sol, y}} = 0\), on a \(||\vec{v}_{\text{avion/sol}}|| = v_{\text{avion/sol, x}}\).

Hypothèses

On utilise l'angle de cap \(\theta\) calculé à la question précédente, qui est supposé exact.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Angle de cap\(\theta\)10.18degrés
Composante x du vent\(v_{\text{vent, x}}\)35.36km/h
Norme de la vitesse propre\(||\vec{v}_{\text{avion/air}}||\)200km/h
Astuces

Une partie de la "force" du moteur (représentée par le vecteur vitesse propre) est utilisée pour contrer le vent (la composante y), le reste est utilisé pour avancer. La vitesse d'avancement est donc légèrement inférieure à la vitesse propre, mais le vent ajoute sa propre composante d'avancement.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Vitesses
v⃗ avion/airv⃗ air/solv⃗ avion/solEst10.18°
Calcul(s)

Calcul de la composante x de la vitesse propre

\[ \begin{aligned} v_{\text{avion/air, x}} &= ||\vec{v}_{\text{avion/air}}|| \cos(\theta) \\ &= 200 \cdot \cos(10.18^\circ) \\ &\approx 200 \cdot 0.9842 \\ &\approx 196.85 \text{ km/h} \end{aligned} \]

Calcul de la composante x de la vitesse au sol

\[ \begin{aligned} v_{\text{avion/sol, x}} &\approx 196.85 + 35.36 \\ &\approx 232.21 \text{ km/h} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composition de la Vitesse au Sol
Est (x)v avion/air, x ≈ 196.85v vent, x ≈ 35.36||v⃗ avion/sol|| ≈ 232.21 km/h
Réflexions

La vitesse au sol (232.21 km/h) est significativement plus élevée que la vitesse propre (200 km/h). Le vent, bien que de travers, a aidé l'avion à accélérer. C'est un résultat contre-intuitif si on ne pense qu'en termes scalaires.

Points de vigilance

L'erreur classique serait d'oublier la contribution du vent à la vitesse sur l'axe x (\(v_{\text{vent,x}}\)) ou d'utiliser la pleine vitesse propre (200 km/h) comme composante x de l'avion.

Points à retenir

La vitesse finale dans la direction du mouvement est la somme de toutes les projections de tous les vecteurs vitesse sur cette direction.

Le saviez-vous ?

Les pilotes des vols transatlantiques cherchent activement le "Jet Stream", un puissant courant d'air en haute altitude. Voler "dans" le courant peut réduire le temps de vol de l'Europe vers l'Amérique du Nord de plusieurs heures, en augmentant considérablement la vitesse au sol.

FAQ
Pourquoi la vitesse au sol n'est-elle pas simplement \(\sqrt{200^2 - 35.36^2} + 35.36\) ?

Ce serait une mauvaise application du théorème de Pythagore. Il faut décomposer chaque vecteur selon les mêmes axes, additionner les composantes sur chaque axe, PUIS recomposer le vecteur final pour en trouver la norme. On ne peut pas mélanger les normes et les composantes de manière arbitraire.

Résultat Final
La vitesse de l'avion par rapport au sol est d'environ 232.21 km/h.
A vous de jouer

Avec les données initiales, si le vent était un vent de face de 50 km/h, quelle serait la vitesse au sol ?

Question 4 : Calcul de la durée du vol

Principe

La durée d'un trajet à vitesse constante est donnée par la relation simple : temps = distance / vitesse. Il faut utiliser la vitesse effective par rapport au sol et la distance du trajet.

Mini-Cours

La relation fondamentale de la cinématique pour un mouvement rectiligne uniforme est \(x(t) = v \cdot t + x_0\). Si l'on part de l'origine (\(x_0 = 0\)) pour atteindre une distance \(d\), on a \(d = v \cdot t\), d'où \(t = d/v\). Cette formule simple est à la base de toutes les estimations de temps de parcours.

Remarque Pédagogique

C'est ici que l'on voit l'importance de bien distinguer vitesse propre et vitesse au sol. Utiliser la vitesse propre (200 km/h) donnerait une estimation de temps erronée, car elle ne tient pas compte de l'aide (ou de la gêne) apportée par le vent.

Normes

Les unités doivent être cohérentes. Le Système International (mètres, secondes, m/s) est la norme en physique, mais pour des distances et vitesses aéronautiques, il est courant et acceptable de travailler en kilomètres et km/h, à condition de ne pas les mélanger.

Formule(s)
\[ t = \frac{d}{v_{\text{avion/sol}}} \]
Hypothèses

La vitesse au sol est supposée constante tout au long du trajet, ce qui implique un vent et un pilotage constants.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Distance\(d\)100km
Vitesse au sol\(v_{\text{avion/sol}}\)232.21km/h
Astuces

Avant le calcul, on peut faire une estimation rapide. À 200 km/h, 100 km prendraient 30 minutes. Comme la vitesse au sol est plus élevée, le temps doit être inférieur à 30 minutes. Cela permet de détecter une erreur de calcul grossière.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Trajet
ABv avion/sold = 100 km
Calcul(s)

Calcul de la durée en heures

\[ \begin{aligned} t &= \frac{100 \text{ km}}{232.21 \text{ km/h}} \\ &\approx 0.4306 \text{ h} \end{aligned} \]

Conversion de la durée en minutes

\[ \begin{aligned} t_{\text{min}} &= t_{\text{h}} \times 60 \\ &\approx 0.4306 \times 60 \\ &\approx 25.84 \text{ minutes} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Durée du Trajet
DépartArrivéeTemps de volt ≈ 25.84 minutes
Réflexions

Le gain de temps est d'environ 4 minutes par rapport à un vol sans vent (qui aurait duré 30 minutes). Sur un vol de plusieurs heures, un vent favorable peut faire économiser un temps et un carburant considérables.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'utiliser la mauvaise vitesse (vitesse propre ou vitesse du vent) dans la formule. Le temps de parcours dépend TOUJOURS de la vitesse par rapport au référentiel dans lequel la distance est mesurée (le sol).

Points à retenir

Le temps de vol se calcule avec la distance au sol et la vitesse au sol. C'est la conclusion logique et pratique de l'analyse vectorielle des vitesses.

Le saviez-vous ?

L'heure d'arrivée estimée (ETA - Estimated Time of Arrival) affichée sur les écrans pendant un vol est constamment mise à jour par l'ordinateur de bord, qui intègre les données de vent en temps réel pour recalculer la vitesse au sol et donc la durée restante du trajet.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser des m/s ?

Nous le pourrions, mais cela nécessiterait de convertir toutes les données initiales (km et km/h), ce qui ajouterait des étapes de calcul. Tant que les unités de distance et de vitesse sont cohérentes (km et km/h), le résultat pour le temps (en h) est correct.

Résultat Final
Le vol durera environ 26 minutes (25.84 minutes).
A vous de jouer

Si l'aéroport était à 250 km, quelle serait la durée du vol (en minutes) ?

Question 5 : Calcul de la déviation sans correction

Principe

Si le pilote ne corrige pas son cap, son vecteur vitesse par rapport à l'air \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\) est dirigé plein Est. La vitesse resultante \(\vec{v}_{\text{avion/sol}}\) sera la somme de ce vecteur et du vecteur vent. Le mouvement aura donc une composante vers le Sud, ce qui créera une déviation.

Mini-Cours

Le principe de superposition des mouvements stipule que le déplacement résultant d'un objet soumis à plusieurs influences est le vecteur somme des déplacements qu'il aurait subis sous chaque influence séparément. Ici, le déplacement final est la somme du déplacement dû à l'avion seul et du déplacement dû au vent seul pendant la même durée.

Remarque Pédagogique

Cette question illustre concrètement la différence entre "se diriger vers" et "aller vers". Le pilote se dirige vers l'Est, mais à cause du vent, il ne va pas vers l'Est. C'est la quintessence des problèmes de navigation.

Formule(s)

Vecteur position en fonction du temps pour un mouvement à vitesse constante :

\[ \vec{OP}(t) = \vec{v}_{\text{sol}} \cdot t \]

Avec le vecteur vitesse au sol non corrigé :

\[ \vec{v}_{\text{sol}} = \vec{v}_{\text{avion/air, non-corrigé}} + \vec{v}_{\text{air/sol}} \]
Hypothèses

Le pilote maintient un cap constant plein Est (angle de 0°) pendant toute la durée du vol simulé (30 minutes).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vecteur vitesse propre (non corrigé)\(\vec{v}_{\text{avion/air}}\)(200 \(\vec{i}\) + 0 \(\vec{j}\))km/h
Vecteur vent\(\vec{v}_{\text{air/sol}}\)(35.36 \(\vec{i}\) - 35.36 \(\vec{j}\))km/h
Tempst0.5h
Astuces

On peut traiter la dérive (mouvement sur y) indépendamment du mouvement vers l'avant (sur x). La distance de dérive est simplement la composante y de la vitesse du vent multipliée par le temps.

Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire sans Correction
AB (Cible)Route désiréeRoute réelle
Calcul(s)

Calcul du vecteur vitesse au sol (non corrigé)

\[ \begin{aligned} \vec{v}_{\text{avion/sol}} &= \vec{v}_{\text{avion/air}} + \vec{v}_{\text{air/sol}} \\ &= (200 \vec{i}) + (35.36 \vec{i} - 35.36 \vec{j}) \\ &= (235.36 \vec{i} - 35.36 \vec{j}) \text{ km/h} \end{aligned} \]

Calcul du vecteur position final

\[ \begin{aligned} \vec{OP} &= \vec{v}_{\text{avion/sol}} \times t \\ &= (235.36 \vec{i} - 35.36 \vec{j}) \times 0.5 \\ &= (117.68 \vec{i} - 17.68 \vec{j}) \text{ km} \end{aligned} \]

La cible (Bruxelles) est à la position \((100 \vec{i})\). La déviation est la distance verticale (Sud) parcourue, soit la valeur absolue de la composante y.

Schéma (Après les calculs)
Position Finale et Déviation
AB (Cible)P (Position réelle)Déviation(117.68, -17.68)
Réflexions

En seulement 30 minutes, l'avion se retrouve à près de 18 km de sa route. Cela montre qu'ignorer le vent, même modéré, n'est pas une option en navigation aérienne. L'erreur accumulée devient rapidement très importante.

Points de vigilance

Ne pas oublier de multiplier la vitesse par le temps pour obtenir la position. Une erreur fréquente est de donner la composante de vitesse du vent comme étant la déviation.

Points à retenir

Le déplacement est le produit du vecteur vitesse par le temps. Toute composante de vitesse non nulle perpendiculaire à la trajectoire souhaitée engendre une dérive qui augmente linéairement avec le temps.

Le saviez-vous ?

Le célèbre "Triangle des Bermudes" est une zone où les compas magnétiques peuvent être perturbés. Avant le GPS, une petite erreur de cap initiale, combinée à une dérive non corrigée due aux vents et courants, pouvait suffire à égarer un navire ou un avion sur de vastes étendues d'océan.

FAQ
L'avion a-t-il dépassé sa cible horizontalement ?

Oui. Sa position finale est à x = 117.68 km, alors que Bruxelles est à x = 100 km. Le vent l'a non seulement dévié mais aussi accéléré, le faisant aller "trop loin" et "trop au Sud" en 30 minutes.

Résultat Final
Après 30 minutes, l'avion se trouverait à 17.68 km au Sud de sa trajectoire prévue.
A vous de jouer

Avec les mêmes conditions, quelle serait la déviation après 1 heure de vol ?

Outil Interactif : Simulateur de Dérive

Cet outil simule l'effet d'un vent de travers sur la vitesse et la trajectoire d'un avion. Ajustez la vitesse propre de l'avion et la vitesse du vent pour voir comment la vitesse au sol et l'angle de dérive sont impactés.

Paramètres d'Entrée
200 km/h
50 km/h
Résultats (si le pilote maintient son cap)
Vitesse au Sol (km/h) -
Angle de dérive (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La loi de composition des vitesses \(\vec{v}_{A/C} = \vec{v}_{A/B} + \vec{v}_{B/C}\) est :

2. Un avion a une vitesse propre de 300 km/h et fait face à un vent de face de 50 km/h. Sa vitesse au sol est de :

3. Pour contrer un vent venant de la droite, un pilote doit orienter le nez de l'avion (le cap) :

4. La "vitesse au sol" représente :

5. Si la composante verticale du vecteur \(\vec{v}_{\text{avion/air}}\) est égale et opposée à celle du vecteur \(\vec{v}_{\text{air/sol}}\), alors la trajectoire au sol est :

Glossaire

Vecteur Vitesse
Outil mathématique représentant la vitesse d'un objet. Il possède une norme (la "vitesse" au sens courant), une direction et un sens.
Référentiel
Système de coordonnées par rapport auquel on étudie un mouvement. Le choix du référentiel (sol, air, etc.) est crucial.
Vitesse Propre (Airspeed)
Vitesse de l'avion par rapport à la masse d'air environnante. C'est la vitesse qui assure la portance aérodynamique.
Vitesse au Sol (Groundspeed)
Vitesse de l'avion par rapport au sol. C'est la somme vectorielle de la vitesse propre et de la vitesse du vent.
Cap (Heading)
Direction vers laquelle le nez de l'avion est pointé. Pour suivre une route précise, le cap doit compenser la dérive due au vent.
Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

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