Étude du Mouvement d'une Voiture
Contexte : La cinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes (forces) qui le provoquent..
Nous allons analyser le trajet d'une voiture sur une route rectiligne. Le mouvement se décompose en trois phases distinctes : une phase d'accélération, une phase à vitesse constante, et une phase de freinage jusqu'à l'arrêt. Cet exercice permet de mettre en application les concepts fondamentaux de la cinématique du point, tels que la vitesseGrandeur physique qui mesure le rapport d'une distance parcourue par le temps écoulé. Unité SI : m/s. et l'accélérationVariation de la vitesse par unité de temps. Unité SI : m/s²..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un mouvement complexe en plusieurs phases simples, à appliquer les équations horaires pour chaque type de mouvement (uniforme et uniformément accéléré) et à interpréter les grandeurs cinématiques.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les différentes phases d'un mouvement rectiligne.
- Calculer la vitesse et l'accélération dans un mouvement uniformément varié.
- Déterminer la distance parcourue lors de chaque phase du mouvement.
- Tracer et interpréter les graphiques de la position et de la vitesse en fonction du temps.
Données de l'étude
- Phase 1 : Elle accélère uniformément pendant 10 secondes pour atteindre la vitesse de 90 km/h.
- Phase 2 : Elle maintient cette vitesse constante pendant 30 secondes.
- Phase 3 : Elle freine uniformément jusqu'à l'arrêt complet en 5 secondes.
Représentation schématique du trajet de la voiture
Visualisation 3D du Mouvement
Questions à traiter
- Calculer l'accélération de la voiture durant la première phase en m/s².
- Calculer la distance parcourue durant la première phase.
- Calculer la distance parcourue durant la deuxième phase.
- Calculer la décélération (accélération négative) durant la phase de freinage.
- Calculer la distance de freinage (distance parcourue durant la troisième phase).
- Calculer la distance totale parcourue par la voiture.
Les bases de la Cinématique
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les équations du mouvement rectiligne.
1. Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
La vitesse \(v(t)\) et la position \(x(t)\) sont données par :
\[ v(t) = a \cdot t + v_0 \]
\[ x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0 \]
Où \(a\) est l'accélération, \(v_0\) la vitesse initiale et \(x_0\) la position initiale.
2. Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
L'accélération est nulle (\(a=0\)). La vitesse est constante. La position est donnée par :
\[ x(t) = v \cdot t + x_0 \]
Correction : Étude du Mouvement d'une Voiture
Question 1 : Calculer l'accélération (Phase 1)
Principe
L'accélération est la variation de la vitesse sur un intervalle de temps. Puisque le mouvement est uniformément accéléré, l'accélération est constante et peut être calculée en divisant la variation de vitesse par la durée de cette variation.
Mini-Cours
Le Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) décrit un objet dont la vitesse change d'une quantité égale à chaque seconde. Cette variation constante de la vitesse est ce qu'on appelle l'accélération. Si l'accélération est positive, l'objet va de plus en plus vite. Si elle est négative, il ralentit.
Remarque Pédagogique
La première étape cruciale en physique est l'homogénéité des unités. Avant tout calcul, assurez-vous que toutes vos grandeurs sont exprimées dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes...). C'est la source d'erreur la plus fréquente.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois de la cinématique.
Formule(s)
L'accélération moyenne, qui est égale à l'accélération instantanée dans un MRUA, est définie par :
Hypothèses
On suppose que : 1. Le mouvement est rectiligne. 2. L'accélération est constante durant la phase 1. 3. La voiture est modélisée comme un point matériel.
Donnée(s)
Nous devons d'abord convertir la vitesse finale en m/s.
- Vitesse initiale, \(v_{\text{initiale}} = 0 \text{ m/s}\).
- Vitesse finale, \(v_{\text{finale}} = 90 \text{ km/h}\).
- Durée, \(\Delta t = 10 \text{ s}\).
Astuces
Pour passer des km/h aux m/s, il suffit de diviser par 3,6. C'est plus rapide que de multiplier par 1000 et diviser par 3600.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la vitesse
Étape 2 : Calcul de l'accélération
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une accélération de 2,5 m/s² signifie que chaque seconde, la vitesse de la voiture augmente de 2,5 m/s (soit 9 km/h). C'est une accélération franche, typique d'une voiture de tourisme standard.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser vitesse finale et vitesse initiale. Attention également à la conversion d'unités : utiliser 90 km/h directement dans la formule donnerait un résultat erroné.
Points à retenir
L'accélération est un vecteur qui a la même direction et le même sens que la variation du vecteur vitesse. Dans un MRUA, elle est constante.
Le saviez-vous ?
C'est Galilée, au XVIIe siècle, qui a été le premier à formuler mathématiquement la loi de la chute des corps, un cas particulier de MRUA où l'accélération est celle de la pesanteur (g ≈ 9,81 m/s²).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la voiture atteignait 108 km/h en 12 secondes, quelle serait son accélération ?
Question 2 : Distance parcourue (Phase 1)
Principe
La distance parcourue lors d'un mouvement uniformément accéléré depuis l'arrêt dépend du carré du temps. On utilise l'équation horaire de la position.
Mini-Cours
L'équation horaire \(x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0\) permet de connaître la position \(x\) d'un objet à n'importe quel instant \(t\). La distance parcourue est la différence entre la position finale et la position initiale, \(d = x(t_f) - x_0\).
Remarque Pédagogique
Il existe une autre formule utile, indépendante du temps : \(v_{\text{finale}}^2 - v_{\text{initiale}}^2 = 2a \cdot d\). Elle est très pratique pour vérifier un calcul ou si le temps n'est pas donné. Ici, on retrouve bien le même résultat : \(d = (25^2 - 0^2) / (2 \times 2,5) = 625 / 5 = 125\) m.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois de la cinématique.
Formule(s)
Avec une position et une vitesse initiales nulles (\(x_0=0, v_0=0\)), la formule se simplifie :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1.
Donnée(s)
- Accélération, \(a = 2,5 \text{ m/s}^2\).
- Durée, \(t = 10 \text{ s}\).
Astuces
Graphiquement, la distance parcourue correspond à l'aire sous la courbe de la vitesse en fonction du temps. Pour la phase 1, c'est l'aire d'un triangle : Aire = (base × hauteur) / 2 = (10 s × 25 m/s) / 2 = 125 m.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
125 mètres, c'est un peu plus que la longueur d'un terrain de football. C'est la distance qu'il faut à cette voiture pour atteindre 90 km/h dans ces conditions.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le temps au carré (\(t^2\)). Une autre erreur est d'oublier le facteur 1/2.
Points à retenir
La distance parcourue lors d'une accélération n'est pas linéaire avec le temps, mais quadratique. Cela signifie que si vous doublez le temps d'accélération, vous parcourez quatre fois plus de distance (si \(v_0=0\)).
Le saviez-vous ?
La relation entre la distance et le carré du temps a été l'une des découvertes majeures de Galilée. Il l'a démontrée en faisant rouler des billes sur des plans inclinés, car il ne disposait pas d'outils assez précis pour mesurer directement la chute libre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la même accélération, quelle distance la voiture parcourrait-elle en 20 secondes ?
Question 3 : Distance parcourue (Phase 2)
Principe
Durant cette phase, le mouvement est rectiligne uniforme (MRU), car la vitesse est constante. La distance est donc simplement le produit de la vitesse par la durée.
Mini-Cours
Dans un Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU), l'accélération est nulle. Le vecteur vitesse est constant (même direction, même sens, même valeur). L'équation horaire est beaucoup plus simple : \(x(t) = v \cdot t + x_0\). La distance parcourue pendant une durée \(\Delta t\) est donc \(d = v \cdot \Delta t\).
Remarque Pédagogique
C'est le type de mouvement le plus simple à étudier. La plupart des calculs de distance que l'on fait intuitivement au quotidien ("si je roule à 50 km/h pendant 2 heures, je parcours 100 km") reposent sur ce modèle de vitesse constante.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois de la cinématique.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la vitesse est parfaitement constante durant toute la phase 2.
Donnée(s)
- Vitesse, \(v = 25 \text{ m/s}\) (atteinte à la fin de la phase 1).
- Durée, \(\Delta t = 30 \text{ s}\).
Astuces
Graphiquement, la distance parcourue correspond à l'aire d'un rectangle sous la courbe v(t), de largeur 30 s et de hauteur 25 m/s.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
En 30 secondes à 90 km/h, la voiture parcourt 750 mètres. Cela montre à quel point les distances augmentent vite à haute vitesse.
Points de vigilance
L'erreur serait d'utiliser une formule du MRUA (avec accélération) alors que l'accélération est nulle ici. Chaque phase du mouvement a ses propres équations.
Points à retenir
Mouvement uniforme signifie vitesse constante et accélération nulle. La distance est proportionnelle au temps.
Le saviez-vous ?
Les régulateurs de vitesse adaptatifs des voitures modernes sont des systèmes complexes qui tentent de maintenir une vitesse constante (MRU) tout en ajustant la distance avec le véhicule précédent, passant ainsi constamment d'un MRU à un MRUA.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la voiture maintenait sa vitesse pendant 1 minute (60s), quelle distance parcourrait-elle ?
Question 4 : Calculer la décélération (Phase 3)
Principe
Le principe est identique à celui de la question 1. On calcule la variation de vitesse divisée par le temps. Comme la vitesse diminue, le résultat sera négatif.
Mini-Cours
Une décélération est simplement une accélération de signe négatif dans le référentiel du mouvement. Elle indique que le vecteur accélération est de sens opposé au vecteur vitesse, ce qui provoque une diminution de la valeur de la vitesse.
Remarque Pédagogique
En physique, on parle toujours d'accélération. Le terme "décélération" est un mot du langage courant. Un physicien dira "une accélération de -5 m/s²" plutôt qu'une "décélération de 5 m/s²", même si les deux décrivent le même phénomène.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois de la cinématique.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le freinage est uniforme, c'est-à-dire que l'accélération (négative) est constante pendant toute la phase 3.
Donnée(s)
- Vitesse initiale (début de phase 3), \(v_{\text{initiale}} = 25 \text{ m/s}\).
- Vitesse finale, \(v_{\text{finale}} = 0 \text{ m/s}\) (arrêt).
- Durée, \(\Delta t = 5 \text{ s}\).
Astuces
Le signe du résultat est un bon indicateur. Si vous calculez un freinage et que vous trouvez une accélération positive, il y a probablement une erreur dans votre calcul (inversion des vitesses initiale et finale).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une décélération de -5 m/s² est très forte, plus du double de l'accélération au démarrage. Cela correspond à un freinage d'urgence. Un freinage normal est de l'ordre de -1,5 à -3 m/s².
Points de vigilance
Ici, la vitesse initiale n'est pas nulle ! C'est la vitesse à la fin de la phase 2. Il est crucial de bien identifier les conditions initiales de chaque phase.
Points à retenir
Freinage \(\Rightarrow\) accélération négative. La méthode de calcul reste exactement la même que pour une accélération positive.
Le saviez-vous ?
Les systèmes d'aide au freinage d'urgence (AFU) des voitures détectent si le conducteur appuie brusquement sur la pédale de frein et appliquent immédiatement la force de freinage maximale, atteignant des décélérations très élevées pour minimiser la distance d'arrêt.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la voiture s'arrêtait en 8 secondes au lieu de 5, quelle serait sa décélération ?
Question 5 : Distance de freinage (Phase 3)
Principe
Comme pour la question 2, on calcule une distance lors d'un MRUA. La différence majeure est que la vitesse initiale n'est pas nulle et que l'accélération est négative.
Mini-Cours
L'équation horaire complète \(x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0\) est nécessaire ici. La distance de freinage est la distance parcourue entre le moment où le conducteur commence à freiner et l'arrêt complet du véhicule.
Remarque Pédagogique
La distance de freinage est l'un des paramètres les plus importants pour la sécurité routière. Elle augmente comme le carré de la vitesse ! Si vous doublez votre vitesse, votre distance de freinage est (environ) quadruplée.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois de la cinématique.
Formule(s)
On utilise l'équation horaire de la position pour un MRUA.
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 4.
Donnée(s)
- Accélération, \(a_3 = -5 \text{ m/s}^2\).
- Vitesse initiale, \(v_0 = 25 \text{ m/s}\).
- Durée, \(t = 5 \text{ s}\).
Astuces
On peut réutiliser l'astuce de l'aire sous la courbe. C'est l'aire d'un triangle de base 5 s et de hauteur 25 m/s. Aire = (5 × 25) / 2 = 62,5 m.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Il faut 62,5 mètres à cette voiture pour s'arrêter complètement depuis 90 km/h avec un freinage d'urgence. Cela correspond à environ 13 longueurs de voiture.
Points de vigilance
Ne pas oublier le terme \(v_0 \cdot t\), car la vitesse initiale n'est pas nulle. Attention également au signe négatif de l'accélération dans le calcul.
Points à retenir
La distance de freinage dépend à la fois de la vitesse initiale et de la décélération. Une plus grande vitesse ou une plus faible décélération augmentent considérablement cette distance.
Le saviez-vous ?
La distance d'arrêt totale est la somme de la distance de réaction (distance parcourue pendant que le conducteur réagit) et de la distance de freinage. À 90 km/h, un temps de réaction de 1 seconde ajoute 25 mètres à la distance d'arrêt !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la décélération était de -4 m/s², quelle serait la distance de freinage (avec t=5s et v0=25m/s) ?
Question 6 : Distance totale parcourue
Principe
La distance totale est la somme des distances parcourues durant chacune des trois phases. C'est le principe d'additivité des distances pour des segments consécutifs.
Mini-Cours
Pour tout mouvement décomposé en plusieurs phases successives, la grandeur totale (distance, durée) est la somme des grandeurs de chaque phase. Cela permet de simplifier un problème complexe en une série de problèmes plus simples.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape finale qui synthétise tous les calculs précédents. Une bonne manière de vérifier la cohérence de vos résultats est de s'assurer que chaque distance calculée semble raisonnable par rapport aux autres.
Normes
Pas de norme spécifique.
Formule(s)
Hypothèses
On additionne les résultats des calculs précédents, en supposant qu'ils sont tous corrects.
Donnée(s)
- Distance phase 1, \(d_1 = 125 \text{ m}\).
- Distance phase 2, \(d_2 = 750 \text{ m}\).
- Distance phase 3, \(d_3 = 62,5 \text{ m}\).
Astuces
Graphiquement, la distance totale est l'aire totale sous la courbe de vitesse de t=0 à t=45s. C'est l'aire d'un trapèze.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La voiture a parcouru près d'un kilomètre en 45 secondes. On remarque que la phase à vitesse constante, bien que n'étant pas la plus longue en temps, contribue massivement à la distance totale. C'est pourquoi maintenir une vitesse de croisière élevée est efficace pour parcourir de longues distances.
Points de vigilance
L'erreur serait d'oublier une des phases dans la somme finale ou de faire une erreur de report des valeurs calculées précédemment.
Points à retenir
La décomposition d'un problème complexe en sous-problèmes simples est une méthode de résolution fondamentale en sciences et en ingénierie.
Le saviez-vous ?
Dans les courses d'endurance comme les 24 Heures du Mans, la stratégie ne consiste pas à avoir la plus grande vitesse de pointe, mais la meilleure vitesse moyenne sur un tour, ce qui implique d'optimiser les phases d'accélération, de vitesse constante et de freinage dans chaque virage.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la phase 2 durait 60s au lieu de 30s, quelle serait la nouvelle distance totale ? (d1=125, d3=62.5, d2=25*60=1500)
Outil Interactif : Simulateur de Mouvement
Utilisez les curseurs pour modifier les durées et l'accélération initiale, et observez l'impact sur les graphiques de vitesse et de position.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'arrive-t-il à la vitesse de la voiture pendant la phase 2 ?
2. Si l'accélération initiale était deux fois plus grande, la distance parcourue en phase 1 serait :
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes (forces) qui le provoquent.
- Vitesse
- Grandeur physique qui mesure le rapport d'une distance parcourue par le temps écoulé. Unité SI : m/s.
- Accélération
- Variation de la vitesse par unité de temps. Unité SI : m/s².
- Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
- Mouvement dont la trajectoire est une droite et la vitesse est constante (accélération nulle).
- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
- Mouvement dont la trajectoire est une droite et l'accélération est constante.
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