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Exercices Physique Chimie

Étude du mouvement d’une voiture

Étude du mouvement d’une voiture

Étude du mouvement d’une voiture

Analyser les différentes phases du mouvement d'une voiture et calculer les grandeurs cinématiques associées.

L'étude du mouvement (cinématique) d'un objet comme une voiture implique de décrire sa position, sa vitesse et son accélération en fonction du temps. Les lois de Newton permettent de relier ces grandeurs aux forces agissant sur l'objet.

Quelques relations utiles pour un mouvement rectiligne :

  • Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : accélération \(\vec{a} = \vec{0}\), vitesse \(\vec{v} = \text{constante}\). Distance parcourue : \(d = v \times \Delta t\).
  • Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) : accélération \(\vec{a} = \text{constante}\).
    • Vitesse : \(v(t) = a \times t + v_0\) (où \(v_0\) est la vitesse initiale)
    • Position : \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\) (où \(x_0\) est la position initiale)
    • Relation indépendante du temps : \(v_f^2 - v_i^2 = 2 a d\) (où \(v_f\) et \(v_i\) sont les vitesses finale et initiale, et \(d\) la distance parcourue)

La deuxième loi de Newton relie la somme des forces \(\sum \vec{F}\) à l'accélération \(\vec{a}\) et à la masse \(m\) : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

Données du Problème

Une voiture de masse \(m = 1200 \text{ kg}\) effectue un trajet en trois phases sur une route rectiligne et horizontale :

  • Phase 1 (Démarrage) : La voiture part du repos (\(v_0 = 0 \text{ m/s}\)) et accélère uniformément sous l'action d'une force motrice constante \(\|\vec{F}_{moteur}\| = 3000 \text{ N}\) pendant une durée \(\Delta t_1 = 5.0 \text{ s}\). On néglige les forces de frottement pendant cette phase.
  • Phase 2 (Vitesse constante) : La voiture roule ensuite à la vitesse acquise à la fin de la phase 1 pendant une durée \(\Delta t_2 = 10.0 \text{ s}\).
  • Phase 3 (Freinage) : La voiture freine uniformément avec une force de freinage constante \(\|\vec{F}_{freinage}\| = 6000 \text{ N}\) jusqu'à l'arrêt complet.
Phase 1: Accélération Fmoteur v0=0 Phase 2: Vitesse Constante v1 Phase 3: Freinage Ffreinage vf=0
Phases du mouvement d'une voiture.

Questions

  1. Phase 1 (Démarrage) :
    1. Calculer l'accélération \(a_1\) de la voiture.
    2. Calculer la vitesse \(v_1\) atteinte par la voiture à la fin de cette phase.
    3. Calculer la distance \(d_1\) parcourue pendant cette phase.
  2. Phase 2 (Vitesse constante) :
    1. Quelle est la valeur de l'accélération \(a_2\) pendant cette phase ?
    2. Calculer la distance \(d_2\) parcourue pendant cette phase.
  3. Phase 3 (Freinage) :
    1. Calculer l'accélération \(a_3\) de la voiture (qui sera une décélération).
    2. Calculer la durée \(\Delta t_3\) du freinage.
    3. Calculer la distance de freinage \(d_3\).
  4. Calculer la distance totale \(d_{totale}\) parcourue par la voiture.
  5. Calculer la durée totale \(\Delta t_{totale}\) du trajet.

Correction : Étude du mouvement d’une voiture

1. Phase 1 (Démarrage)

a. Calcul de l'accélération \(a_1\)

On applique la deuxième loi de Newton. La seule force horizontale est la force motrice (frottements négligés).

Données :
\(m = 1200 \text{ kg}\)
\(\|\vec{F}_{moteur}\| = 3000 \text{ N}\)

\[ \sum \vec{F} = m\vec{a}_1 \Rightarrow \vec{F}_{moteur} = m\vec{a}_1 \] \[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{\|\vec{F}_{moteur}\|}{m} \\ &= \frac{3000 \text{ N}}{1200 \text{ kg}} \\ &= 2.5 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

L'accélération pendant la phase 1 est \(a_1 = 2.5 \text{ m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si une force de 1000 N est appliquée à un objet de 500 kg, quelle est son accélération (en négligeant les frottements) ?

b. Calcul de la vitesse \(v_1\)

On utilise \(v(t) = a t + v_0\), avec \(v_0 = 0\).

Données :
\(a_1 = 2.5 \text{ m/s}^2\)
\(\Delta t_1 = 5.0 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} v_1 &= a_1 \times \Delta t_1 \\ &= 2.5 \text{ m/s}^2 \times 5.0 \text{ s} \\ &= 12.5 \text{ m/s} \end{aligned} \]

La vitesse à la fin de la phase 1 est \(v_1 = 12.5 \text{ m/s}\).

c. Calcul de la distance \(d_1\)

On utilise \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\), avec \(v_0 = 0\) et \(x_0 = 0\).

Données :
\(a_1 = 2.5 \text{ m/s}^2\)
\(\Delta t_1 = 5.0 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} d_1 &= \frac{1}{2} a_1 (\Delta t_1)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 2.5 \text{ m/s}^2 \times (5.0 \text{ s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 2.5 \times 25 \\ &= 31.25 \text{ m} \end{aligned} \]

La distance parcourue pendant la phase 1 est \(d_1 = 31.25 \text{ m}\).

2. Phase 2 (Vitesse constante)

a. Valeur de l'accélération \(a_2\)

Le mouvement est à vitesse constante (mouvement rectiligne uniforme).

Pour un mouvement rectiligne uniforme, l'accélération est nulle.

\[ a_2 = 0 \text{ m/s}^2 \]

L'accélération pendant la phase 2 est \(a_2 = 0 \text{ m/s}^2\).

b. Calcul de la distance \(d_2\)

On utilise \(d = v \times \Delta t\). La vitesse est \(v_1\).

Données :
\(v_1 = 12.5 \text{ m/s}\) (calculé précédemment)
\(\Delta t_2 = 10.0 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} d_2 &= v_1 \times \Delta t_2 \\ &= 12.5 \text{ m/s} \times 10.0 \text{ s} \\ &= 125 \text{ m} \end{aligned} \]

La distance parcourue pendant la phase 2 est \(d_2 = 125 \text{ m}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Une voiture roule à 20 m/s pendant 30 secondes. Quelle distance parcourt-elle ?

3. Phase 3 (Freinage)

a. Calcul de l'accélération \(a_3\)

On applique la deuxième loi de Newton. La force de freinage s'oppose au mouvement.

Données :
\(m = 1200 \text{ kg}\)
\(\|\vec{F}_{freinage}\| = 6000 \text{ N}\) (la force est opposée au mouvement, donc sa projection sera négative si l'axe est dans le sens du mouvement)

Si on oriente l'axe (Ox) dans le sens du mouvement, la force de freinage est \(\vec{F}_{freinage} = -6000 \vec{i}\).

\[ \sum \vec{F} = m\vec{a}_3 \Rightarrow \vec{F}_{freinage} = m\vec{a}_3 \] \[ \begin{aligned} a_3 &= \frac{F_{freinage,x}}{m} \\ &= \frac{-6000 \text{ N}}{1200 \text{ kg}} \\ &= -5.0 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

L'accélération est négative, il s'agit bien d'une décélération.

L'accélération (décélération) pendant la phase 3 est \(a_3 = -5.0 \text{ m/s}^2\).

b. Calcul de la durée \(\Delta t_3\) du freinage

On utilise \(v_f = a_3 \Delta t_3 + v_i\), où \(v_f = 0\) (arrêt) et \(v_i = v_1\).

Données :
\(v_1 = 12.5 \text{ m/s}\)
\(a_3 = -5.0 \text{ m/s}^2\)
Vitesse finale \(v_f = 0 \text{ m/s}\)

\[ \begin{aligned} 0 &= a_3 \Delta t_3 + v_1 \\ \Delta t_3 &= \frac{-v_1}{a_3} \\ &= \frac{-12.5 \text{ m/s}}{-5.0 \text{ m/s}^2} \\ &= 2.5 \text{ s} \end{aligned} \]

La durée du freinage est \(\Delta t_3 = 2.5 \text{ s}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Une voiture roulant à 10 m/s freine avec une décélération de 2 m/s² (soit a = -2 m/s²). Combien de temps met-elle pour s'arrêter ?

c. Calcul de la distance de freinage \(d_3\)

On utilise \(d = v_i \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\) ou \(v_f^2 - v_i^2 = 2 a d\).

Données :
\(v_1 = 12.5 \text{ m/s}\) (vitesse initiale de cette phase)
\(a_3 = -5.0 \text{ m/s}^2\)
\(\Delta t_3 = 2.5 \text{ s}\)

Avec la première formule :

\[ \begin{aligned} d_3 &= v_1 \Delta t_3 + \frac{1}{2} a_3 (\Delta t_3)^2 \\ &= (12.5 \text{ m/s} \times 2.5 \text{ s}) + \frac{1}{2} \times (-5.0 \text{ m/s}^2) \times (2.5 \text{ s})^2 \\ &= 31.25 \text{ m} + \frac{1}{2} \times (-5.0) \times 6.25 \text{ m} \\ &= 31.25 \text{ m} - 15.625 \text{ m} \\ &= 15.625 \text{ m} \end{aligned} \]

Avec la deuxième formule (vitesse finale \(v_f = 0\)) :

\[ \begin{aligned} 0^2 - v_1^2 &= 2 a_3 d_3 \\ d_3 &= \frac{-v_1^2}{2 a_3} \\ &= \frac{-(12.5 \text{ m/s})^2}{2 \times (-5.0 \text{ m/s}^2)} \\ &= \frac{-156.25 \text{ m}^2/\text{s}^2}{-10.0 \text{ m/s}^2} \\ &= 15.625 \text{ m} \end{aligned} \]

La distance de freinage est \(d_3 = 15.625 \text{ m}\).

4. Distance Totale Parcourue (\(d_{totale}\))

C'est la somme des distances des trois phases.

Données :
\(d_1 = 31.25 \text{ m}\)
\(d_2 = 125 \text{ m}\)
\(d_3 = 15.625 \text{ m}\)

\[ \begin{aligned} d_{totale} &= d_1 + d_2 + d_3 \\ &= 31.25 \text{ m} + 125 \text{ m} + 15.625 \text{ m} \\ &= 171.875 \text{ m} \end{aligned} \]

La distance totale parcourue est \(d_{totale} = 171.875 \text{ m}\).

5. Durée Totale du Trajet (\(\Delta t_{totale}\))

C'est la somme des durées des trois phases.

Données :
\(\Delta t_1 = 5.0 \text{ s}\)
\(\Delta t_2 = 10.0 \text{ s}\)
\(\Delta t_3 = 2.5 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_{totale} &= \Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 \\ &= 5.0 \text{ s} + 10.0 \text{ s} + 2.5 \text{ s} \\ &= 17.5 \text{ s} \end{aligned} \]

La durée totale du trajet est \(\Delta t_{totale} = 17.5 \text{ s}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Si une voiture démarre du repos et atteint 20 m/s en 4 s avec une accélération constante, quelle est son accélération ?

Question 2 : Un mouvement rectiligne uniforme (MRU) est caractérisé par :

Question 3 : La deuxième loi de Newton s'écrit :

Question 4 : Si une voiture freine, sa vitesse et son accélération (vectorielle) sont généralement :

Glossaire des Termes Clés

Cinématique :

Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les forces qui le provoquent.

Vitesse (\(\vec{v}\)) :

Grandeur vectorielle qui décrit la rapidité et la direction du mouvement d'un point. Unité : m/s.

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Grandeur vectorielle qui décrit la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Unité : m/s².

Force (\(\vec{F}\)) :

Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. Unité : Newton (N).

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et la vitesse est constante (\(\vec{a} = \vec{0}\)).

Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et l'accélération est constante (\(\vec{a} = \text{constante}\)).

Principe d'Inertie (Première loi de Newton) :

Un corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent.

Relation Fondamentale de la Dynamique (Deuxième loi de Newton) :

Dans un référentiel galiléen, \(\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment les forces de frottement de l'air et de roulement (négligées ici) affecteraient-elles le mouvement de la voiture, notamment pendant la phase 2 ?

2. Si la route était inclinée, comment cela modifierait-il les calculs, en particulier pour l'accélération et les forces en jeu ?

3. La force motrice d'une voiture est-elle réellement constante pendant une phase d'accélération ? Discuter.

4. Quelle est l'importance du temps de réaction du conducteur avant de commencer la phase de freinage ? Comment cela affecterait-il la distance totale d'arrêt ?

5. Comment la masse de la voiture influence-t-elle son accélération pour une même force motrice, et sa distance de freinage pour une même force de freinage ?

Étude du mouvement d’une voiture

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