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Exercices Physique Chimie

Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Comprendre le Mouvement Orbital des Satellites

Les satellites, qu'ils soient naturels comme la Lune ou artificiels, orbitent autour d'un corps céleste plus massif (comme la Terre) en raison de la force de gravitation. Pour maintenir une orbite stable, généralement considérée comme circulaire pour simplifier, le satellite doit posséder une certaine vitesse. Cette vitesse peut être décrite par sa composante linéaire (ou tangentielle) et sa composante angulaire. La vitesse angulaire (\(\omega\)) mesure la rapidité avec laquelle l'angle de position du satellite change. Pour qu'un objet suive une trajectoire circulaire, une force dirigée vers le centre du cercle, appelée force centripète (\(F_c\)), est nécessaire. Dans le cas d'un satellite, cette force centripète est fournie par la force de gravitation exercée par le corps central.

Données de l'étude

Un satellite artificiel de masse \(m = 500 \, \text{kg}\) est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude \(h = 700 \, \text{km}\) au-dessus de la surface terrestre.

Données utiles :

  • Masse de la Terre : \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Rayon moyen de la Terre : \(R_T = 6371 \, \text{km}\)
  • Constante de gravitation universelle : \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • On prendra \(\pi \approx 3,1416\)
Schéma : Satellite en orbite autour de la Terre
Terre Satellite r F_c (F_g) v Satellite en orbite circulaire.

Le satellite orbite autour de la Terre sous l'action de la force de gravitation, qui joue le rôle de force centripète.

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon orbital \(r\) du satellite en mètres.
  2. Calculer la période de révolution \(T\) du satellite en secondes, puis en heures et minutes. (On admettra que la force de gravitation est la seule force agissant sur le satellite et qu'elle est responsable de son mouvement circulaire uniforme).
  3. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) du satellite en radians par seconde (rad/s).
  4. Calculer la vitesse linéaire (ou tangentielle) \(v\) du satellite en mètres par seconde (m/s), puis en kilomètres par heure (km/h).
  5. Calculer la valeur de l'accélération centripète \(a_c\) du satellite.
  6. Calculer la valeur de la force centripète \(F_c\) nécessaire pour maintenir le satellite sur son orbite. Vérifier que cette force correspond bien à la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite.

Correction : Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Question 1 : Calcul du rayon orbital (\(r\))

Principe :

Le rayon orbital \(r\) est la distance entre le centre de la Terre et le satellite. Il est égal à la somme du rayon de la Terre \(R_T\) et de l'altitude \(h\) du satellite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[r = R_T + h\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Rayon de la Terre : \(R_T = 6371 \, \text{km}\)
  • Altitude du satellite : \(h = 700 \, \text{km}\)

Calcul de \(r\) en km :

\[ \begin{aligned} r &= 6371 \, \text{km} + 700 \, \text{km} \\ &= 7071 \, \text{km} \end{aligned} \]

Conversion de \(r\) en mètres (m) : \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m} = 10^3 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} r &= 7071 \times 10^3 \, \text{m} \\ &= 7,071 \times 10^6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rayon orbital du satellite est \(r = 7071 \, \text{km} = 7,071 \times 10^6 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de la période de révolution (\(T\))

Principe :

Pour un satellite en orbite circulaire, la force de gravitation exercée par la Terre fournit la force centripète nécessaire. La troisième loi de Kepler (dans le cas d'une orbite circulaire) relie la période de révolution \(T\) au rayon orbital \(r\), à la masse du corps central \(M_T\) et à la constante de gravitation \(G\). On peut aussi partir de l'égalité entre la force de gravitation et la force centripète \(m v^2 / r\), où \(v = 2\pi r / T\).

Force de gravitation : \(F_g = G \frac{M_T m}{r^2}\)
Force centripète : \(F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m \frac{(2\pi r/T)^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}\)
En égalant \(F_g = F_c\) : \(G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}\).
On peut simplifier par \(m\) et isoler \(T^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T} r^3 \Rightarrow T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(r = 7,071 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(\pi \approx 3,1416\)

Calcul de \(r^3\) : \((7,071 \times 10^6)^3 \approx 3,536 \times 10^{20} \, \text{m}^3\)

Calcul de \(G M_T\) : \((6,674 \times 10^{-11}) \times (5,972 \times 10^{24}) \approx 3,986 \times 10^{14} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}\)

\[ \begin{aligned} T^2 &= \frac{4 \times (3,1416)^2 \times (3,536 \times 10^{20} \, \text{m}^3)}{3,986 \times 10^{14} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}} \\ T^2 &\approx \frac{39,4786 \times 3,536 \times 10^{20}}{3,986 \times 10^{14}} \\ T^2 &\approx \frac{1,3957 \times 10^{22}}{3,986 \times 10^{14}} \\ T^2 &\approx 3,5015 \times 10^7 \, \text{s}^2 \\ T &= \sqrt{3,5015 \times 10^7 \, \text{s}^2} \\ &\approx 5917,3 \, \text{s} \end{aligned} \]

Conversion en heures et minutes :
\(5917,3 \, \text{s} / 3600 \, \text{s/h} \approx 1,6437 \, \text{h}\)
\(1 \, \text{heure}\) et \(0,6437 \, \text{h} \times 60 \, \text{min/h} \approx 38,6 \, \text{min}\)
Donc, \(T \approx 1 \, \text{h} \, 38 \, \text{min} \, 36 \, \text{s}\) (en gardant les secondes de 0.6 min * 60).

Résultat Question 2 : La période de révolution du satellite est \(T \approx 5917 \, \text{s}\), soit environ 1 heure, 38 minutes et 37 secondes.

Question 3 : Calcul de la vitesse angulaire (\(\omega\))

Principe :

La vitesse angulaire \(\omega\) est l'angle parcouru (en radians) par unité de temps. Pour une révolution complète, l'angle parcouru est \(2\pi\) radians et la durée est la période \(T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(T \approx 5917,3 \, \text{s}\)
  • \(\pi \approx 3,1416\)
\[ \begin{aligned} \omega &= \frac{2 \times 3,1416}{5917,3 \, \text{s}} \\ &\approx \frac{6,2832}{5917,3} \, \text{rad/s} \\ &\approx 0,0010618 \, \text{rad/s} \\ &\approx 1,062 \times 10^{-3} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse angulaire du satellite est \(\omega \approx 1,062 \times 10^{-3} \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la période de révolution d'un objet en rotation double, sa vitesse angulaire :

Question 4 : Calcul de la vitesse linéaire (\(v\))

Principe :

La vitesse linéaire (ou tangentielle) \(v\) d'un objet en mouvement circulaire uniforme est liée à sa vitesse angulaire \(\omega\) et au rayon de sa trajectoire \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v = r \omega \quad \text{ou} \quad v = \frac{2\pi r}{T}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(r = 7,071 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(\omega \approx 1,0618 \times 10^{-3} \, \text{rad/s}\) (valeur non arrondie pour le calcul)

Calcul de \(v\) en m/s :

\[ \begin{aligned} v &= (7,071 \times 10^6 \, \text{m}) \times (1,0618 \times 10^{-3} \, \text{rad/s}) \\ &\approx 7508,2 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Arrondi à 4 chiffres significatifs (comme r) : \(v \approx 7508 \, \text{m/s}\).

Conversion de \(v\) en km/h : \(1 \, \text{m/s} = 3,6 \, \text{km/h}\)

\[ \begin{aligned} v_{\text{km/h}} &= 7508,2 \, \text{m/s} \times 3,6 \, \frac{\text{km/h}}{\text{m/s}} \\ &\approx 27029,5 \, \text{km/h} \end{aligned} \]

Arrondi : \(v \approx 27030 \, \text{km/h}\).

Résultat Question 4 : La vitesse linéaire du satellite est \(v \approx 7508 \, \text{m/s}\), soit environ \(27030 \, \text{km/h}\).

Question 5 : Calcul de l'accélération centripète (\(a_c\))

Principe :

L'accélération centripète \(a_c\) d'un objet en mouvement circulaire uniforme est dirigée vers le centre du cercle et sa valeur est donnée par \(a_c = v^2/r\) ou \(a_c = r\omega^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a_c = \frac{v^2}{r} \quad \text{ou} \quad a_c = r \omega^2\]
Données spécifiques et Calculs (en utilisant \(a_c = r \omega^2\)) :
  • \(r = 7,071 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(\omega \approx 1,0618 \times 10^{-3} \, \text{rad/s}\)
\[ \begin{aligned} a_c &= (7,071 \times 10^6 \, \text{m}) \times (1,0618 \times 10^{-3} \, \text{rad/s})^2 \\ &= (7,071 \times 10^6) \times (1,1274 \times 10^{-6}) \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 7,972 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

Arrondi : \(a_c \approx 7,97 \, \text{m/s}^2\).

Résultat Question 5 : L'accélération centripète du satellite est \(a_c \approx 7,97 \, \text{m/s}^2\).

Question 6 : Calcul de la force centripète (\(F_c\)) et vérification

Principe :

La force centripète \(F_c\) nécessaire pour maintenir le mouvement circulaire est donnée par \(F_c = m a_c\). Cette force est fournie par la force de gravitation \(F_g\) exercée par la Terre sur le satellite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_c = m a_c \quad \text{et} \quad F_g = G \frac{M_T m}{r^2}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse du satellite : \(m = 500 \, \text{kg}\)
  • Accélération centripète : \(a_c \approx 7,972 \, \text{m/s}^2\) (valeur non arrondie)

Calcul de \(F_c\) :

\[ \begin{aligned} F_c &= (500 \, \text{kg}) \times (7,972 \, \text{m/s}^2) \\ &\approx 3986 \, \text{N} \end{aligned} \]

Vérification avec la force de gravitation \(F_g\) :

  • \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(m = 500 \, \text{kg}\)
  • \(r = 7,071 \times 10^6 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} F_g &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{(5,972 \times 10^{24}) \times 500}{(7,071 \times 10^6)^2} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{2,986 \times 10^{27}}{5,000 \times 10^{13}} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \times (5,972 \times 10^{13}) \\ &\approx 3986 \, \text{N} \end{aligned} \]

Les valeurs de \(F_c\) et \(F_g\) sont égales (aux arrondis près), ce qui confirme que la force de gravitation est bien la force centripète.

Résultat Question 6 : La force centripète nécessaire est \(F_c \approx 3986 \, \text{N}\). Cette force est bien égale à la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite à cette altitude.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour un satellite en orbite circulaire, si sa masse double (rayon et vitesse constants, cas hypothétique), la force centripète requise :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La vitesse angulaire d'un satellite en orbite circulaire est :

8. La force centripète agissant sur un satellite en orbite terrestre est fournie par :

9. Si l'altitude d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre diminue (il se rapproche de la Terre), sa vitesse linéaire pour maintenir une orbite stable :

Glossaire

Satellite
Corps céleste naturel ou artificiel en orbite autour d'une planète ou d'une étoile.
Orbite circulaire
Trajectoire d'un corps en mouvement autour d'un autre corps central, où la distance au centre reste constante.
Rayon orbital (r)
Distance entre le centre du corps central et le satellite en orbite.
Altitude (h)
Distance entre la surface du corps central et le satellite.
Période de révolution (T)
Temps nécessaire à un satellite pour effectuer une orbite complète autour du corps central. Unité SI : seconde (s).
Vitesse angulaire (\(\omega\))
Taux de variation de l'angle de position d'un objet en rotation, par rapport au temps. \(\omega = 2\pi/T\). Unité SI : radian par seconde (rad/s).
Vitesse linéaire (ou tangentielle) (v)
Vitesse instantanée d'un point sur une trajectoire circulaire, tangente à la trajectoire. \(v = r\omega\). Unité SI : mètre par seconde (m/s).
Accélération centripète (\(a_c\))
Accélération dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire, responsable du changement de direction du vecteur vitesse. \(a_c = v^2/r = r\omega^2\). Unité SI : mètre par seconde carrée (m/s²).
Force centripète (\(F_c\))
Force résultante dirigée vers le centre, nécessaire pour maintenir un objet en mouvement circulaire. \(F_c = m a_c\). Unité SI : Newton (N).
Force de gravitation universelle (\(F_g\))
Force d'attraction mutuelle entre deux corps massifs. \(F_g = G \frac{M_1 M_2}{d^2}\).
Constante de gravitation universelle (G)
Constante physique fondamentale intervenant dans la loi de la gravitation. \(G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\).
Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite - Exercice d'Application (Niveau Université)

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