Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Transformations Isochore et Isobare

Transformations Isochore et Isobare d’un Gaz Parfait

Transformations Isochore et Isobare d’un Gaz Parfait

Comprendre les Transformations Thermodynamiques

En thermodynamique, une transformation décrit le passage d'un système d'un état d'équilibre initial à un état d'équilibre final. Parmi les transformations courantes, les transformations isochores se produisent à volume constant (\(\Delta V = 0\)), tandis que les transformations isobares se produisent à pression constante (\(\Delta P = 0\)). Pour un gaz parfait, ces transformations sont régies par la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) et le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\)), qui relie la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) à la chaleur échangée (\(Q\)) et au travail des forces de pression (\(W\)). L'étude de ces transformations permet de comprendre les échanges d'énergie et les propriétés des systèmes thermodynamiques.

Données de l'étude

On considère \(n = 2,00 \, \text{mol}\) d'un gaz parfait monoatomique subissant une série de transformations à partir d'un état initial A.

État initial A :

  • Pression : \(P_A = 2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • Volume : \(V_A = 0,0250 \, \text{m}^3\)

Transformations subies :

  1. Transformation AB : Chauffage isochore jusqu'à un état B où la température est \(T_B = 450 \, \text{K}\).
  2. Transformation BC : Détente isobare jusqu'à un état C où le volume est \(V_C = 0,0400 \, \text{m}^3\).

Données utiles :

  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Pour un gaz parfait monoatomique :
    • Capacité thermique molaire à volume constant : \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\)
    • Capacité thermique molaire à pression constante : \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R\)
Schéma : Transformations d'un gaz dans un cylindre-piston
Piston Gaz Q_AB W_BC Transformations du gaz.

Un gaz parfait subit un chauffage à volume constant puis une détente à pression constante.

Questions à traiter

  1. Calculer la température initiale \(T_A\) du gaz.
  2. Pour la transformation isochore AB :
    1. Calculer la pression finale \(P_B\).
    2. Calculer le travail \(W_{AB}\) échangé par le gaz.
    3. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{AB}\) du gaz.
    4. Calculer la quantité de chaleur \(Q_{AB}\) échangée par le gaz.
  3. Pour la transformation isobare BC :
    1. Calculer la température finale \(T_C\).
    2. Calculer le travail \(W_{BC}\) échangé par le gaz.
    3. Calculer la variation d'enthalpie \(\Delta H_{BC}\) du gaz.
    4. Calculer la quantité de chaleur \(Q_{BC}\) échangée par le gaz.
    5. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{BC}\) du gaz.
  4. Pour la transformation globale ABC :
    1. Calculer le travail total \(W_{\text{total}}\) échangé par le gaz.
    2. Calculer la variation d'énergie interne totale \(\Delta U_{\text{total}}\) du gaz.
    3. Calculer la quantité de chaleur totale \(Q_{\text{total}}\) échangée par le gaz. Vérifier le premier principe de la thermodynamique.

Correction : Transformations Isochore et Isobare d’un Gaz Parfait

Question 1 : Température initiale \(T_A\)

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour déterminer la température initiale \(T_A\) à partir de \(P_A\), \(V_A\) et \(n\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_A V_A = n R T_A \Rightarrow T_A = \frac{P_A V_A}{nR}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(P_A = 2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_A = 0,0250 \, \text{m}^3\)
  • \(n = 2,00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\[ \begin{aligned} T_A &= \frac{(2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0,0250 \, \text{m}^3)}{(2,00 \, \text{mol}) \times (8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1})} \\ &= \frac{5000}{16,628} \, \text{K} \\ &\approx 300,70 \, \text{K} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(T_A \approx 301 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 : La température initiale du gaz est \(T_A \approx 301 \, \text{K}\).

Question 2 : Transformation isochore AB (\(V_A = V_B\))

a) Pression finale \(P_B\)

Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, \(\frac{P}{T} = \text{constante}\), donc \(\frac{P_A}{T_A} = \frac{P_B}{T_B}\).

\[P_B = P_A \frac{T_B}{T_A}\]
  • \(P_A = 2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(T_A \approx 300,70 \, \text{K}\) (valeur non arrondie)
  • \(T_B = 450 \, \text{K}\)
\[ \begin{aligned} P_B &= (2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times \frac{450 \, \text{K}}{300,70 \, \text{K}} \\ &\approx 2,993 \times 10^5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Arrondi : \(P_B \approx 2,99 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

b) Travail \(W_{AB}\)

Pour une transformation isochore, le volume est constant (\(\Delta V = 0\)). Le travail des forces de pression est nul.

\[W_{AB} = -\int P dV = 0 \quad (\text{car } dV=0)\]
c) Variation d'énergie interne \(\Delta U_{AB}\)

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).

\[\Delta U_{AB} = n C_{v,m} (T_B - T_A)\]
  • \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \times 8,314 = 12,471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\[ \begin{aligned} \Delta U_{AB} &= (2,00 \, \text{mol}) \times (12,471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (450 \, \text{K} - 300,70 \, \text{K}) \\ &= 2,00 \times 12,471 \times 149,30 \, \text{J} \\ &\approx 3724 \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi : \(\Delta U_{AB} \approx 3,72 \times 10^3 \, \text{J}\).

d) Quantité de chaleur \(Q_{AB}\)

D'après le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U_{AB} = Q_{AB} + W_{AB}\). Comme \(W_{AB} = 0\), on a \(Q_{AB} = \Delta U_{AB}\).

\[Q_{AB} = \Delta U_{AB} \approx 3724 \, \text{J}\]
Résultat Question 2 :
  • a) \(P_B \approx 2,99 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • b) \(W_{AB} = 0 \, \text{J}\)
  • c) \(\Delta U_{AB} \approx 3,72 \times 10^3 \, \text{J}\)
  • d) \(Q_{AB} \approx 3,72 \times 10^3 \, \text{J}\)

Question 3 : Transformation isobare BC (\(P_B = P_C\))

a) Température finale \(T_C\)

Pour une transformation isobare d'un gaz parfait, \(\frac{V}{T} = \text{constante}\), donc \(\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}\). On a \(V_B = V_A\).

\[T_C = T_B \frac{V_C}{V_B} = T_B \frac{V_C}{V_A}\]
  • \(T_B = 450 \, \text{K}\)
  • \(V_C = 0,0400 \, \text{m}^3\)
  • \(V_A = 0,0250 \, \text{m}^3\)
\[ \begin{aligned} T_C &= (450 \, \text{K}) \times \frac{0,0400 \, \text{m}^3}{0,0250 \, \text{m}^3} \\ &= 450 \times 1,6 \\ &= 720 \, \text{K} \end{aligned} \]
b) Travail \(W_{BC}\)

Pour une transformation isobare, \(W_{BC} = -P_B (V_C - V_B)\).

  • \(P_B \approx 2,993 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie)
\[ \begin{aligned} W_{BC} &= -(2,993 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0,0400 \, \text{m}^3 - 0,0250 \, \text{m}^3) \\ &= -(2,993 \times 10^5) \times (0,0150) \, \text{J} \\ &\approx -4489,5 \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi : \(W_{BC} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\).

c) Variation d'enthalpie \(\Delta H_{BC}\)

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie ne dépend que de la variation de température : \(\Delta H = n C_{p,m} \Delta T\).

\[\Delta H_{BC} = n C_{p,m} (T_C - T_B)\]
  • \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8,314 = 20,785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\[ \begin{aligned} \Delta H_{BC} &= (2,00 \, \text{mol}) \times (20,785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (720 \, \text{K} - 450 \, \text{K}) \\ &= 2,00 \times 20,785 \times 270 \, \text{J} \\ &\approx 11223,9 \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi : \(\Delta H_{BC} \approx 1,12 \times 10^4 \, \text{J}\).

d) Quantité de chaleur \(Q_{BC}\)

Pour une transformation isobare, la chaleur échangée est égale à la variation d'enthalpie : \(Q_{BC} = \Delta H_{BC}\).

\[Q_{BC} = \Delta H_{BC} \approx 11224 \, \text{J}\]
e) Variation d'énergie interne \(\Delta U_{BC}\)

D'après le premier principe : \(\Delta U_{BC} = Q_{BC} + W_{BC}\).
Ou directement : \(\Delta U_{BC} = n C_{v,m} (T_C - T_B)\)

\[ \begin{aligned} \Delta U_{BC} &= (2,00 \, \text{mol}) \times (12,471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (720 \, \text{K} - 450 \, \text{K}) \\ &= 2,00 \times 12,471 \times 270 \, \text{J} \\ &\approx 6734,3 \, \text{J} \end{aligned} \]

Vérification : \(Q_{BC} + W_{BC} \approx 11223,9 \, \text{J} - 4489,5 \, \text{J} \approx 6734,4 \, \text{J}\). Cohérent.

Arrondi : \(\Delta U_{BC} \approx 6,73 \times 10^3 \, \text{J}\).

Résultat Question 3 :
  • a) \(T_C = 720 \, \text{K}\)
  • b) \(W_{BC} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\)
  • c) \(\Delta H_{BC} \approx 1,12 \times 10^4 \, \text{J}\)
  • d) \(Q_{BC} \approx 1,12 \times 10^4 \, \text{J}\)
  • e) \(\Delta U_{BC} \approx 6,73 \times 10^3 \, \text{J}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une détente isobare d'un gaz parfait, le travail effectué par le système est :

Question 4 : Transformation globale ABC

a) Travail total \(W_{\text{total}}\)

Le travail total est la somme des travaux des transformations successives.

\[W_{\text{total}} = W_{AB} + W_{BC}\]
\[ \begin{aligned} W_{\text{total}} &\approx 0 \, \text{J} + (-4489,5 \, \text{J}) \\ &\approx -4489,5 \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi : \(W_{\text{total}} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\).

b) Variation d'énergie interne totale \(\Delta U_{\text{total}}\)

L'énergie interne est une fonction d'état, sa variation totale est la somme des variations pour chaque étape, ou calculée entre l'état initial A et l'état final C.

\[\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC}\]
\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{total}} &\approx 3724 \, \text{J} + 6734,3 \, \text{J} \\ &\approx 10458,3 \, \text{J} \end{aligned} \]

Alternativement : \(\Delta U_{\text{total}} = n C_{v,m} (T_C - T_A)\)

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{total}} &= (2,00 \, \text{mol}) \times (12,471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (720 \, \text{K} - 300,70 \, \text{K}) \\ &= 2,00 \times 12,471 \times 419,30 \, \text{J} \\ &\approx 10458,5 \, \text{J} \end{aligned} \]

Les valeurs sont cohérentes aux arrondis près. Arrondi : \(\Delta U_{\text{total}} \approx 1,05 \times 10^4 \, \text{J}\).

c) Quantité de chaleur totale \(Q_{\text{total}}\)

D'après le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U_{\text{total}} = Q_{\text{total}} + W_{\text{total}}\), donc \(Q_{\text{total}} = \Delta U_{\text{total}} - W_{\text{total}}\).

\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} &\approx 10458,5 \, \text{J} - (-4489,5 \, \text{J}) \\ &= 10458,5 + 4489,5 \, \text{J} \\ &\approx 14948 \, \text{J} \end{aligned} \]

Vérification : \(Q_{\text{total}} = Q_{AB} + Q_{BC} \approx 3724 \, \text{J} + 11223,9 \, \text{J} \approx 14947,9 \, \text{J}\). Cohérent.

Arrondi : \(Q_{\text{total}} \approx 1,49 \times 10^4 \, \text{J}\).

Résultat Question 4 : Pour la transformation globale ABC :
  • a) \(W_{\text{total}} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\)
  • b) \(\Delta U_{\text{total}} \approx 1,05 \times 10^4 \, \text{J}\)
  • c) \(Q_{\text{total}} \approx 1,49 \times 10^4 \, \text{J}\). Le premier principe est vérifié.

Quiz Intermédiaire 2 : L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique dépend uniquement de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Lors d'une transformation isochore, le travail des forces de pression est :

6. Pour un gaz parfait, la relation de Mayer s'écrit :

7. L'enthalpie \(H\) est une fonction d'état particulièrement utile pour les transformations :

Glossaire

Thermodynamique
Branche de la physique qui étudie les transformations de l'énergie, notamment les échanges de chaleur et de travail.
Gaz parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV=nRT\).
Transformation isochore
Transformation thermodynamique qui se produit à volume constant (\(V = \text{constante}\)).
Transformation isobare
Transformation thermodynamique qui se produit à pression constante (\(P = \text{constante}\)).
Énergie interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Sa variation à pression constante est égale à la chaleur échangée.
Travail des forces de pression (\(W\))
Énergie transférée lorsqu'un système se déforme sous l'action d'une pression extérieure. Pour une transformation réversible, \(dW = -P_{\text{ext}}dV\).
Chaleur (\(Q\))
Énergie transférée entre deux systèmes en raison d'une différence de température.
Premier principe de la thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques : \(\Delta U = Q + W\).
Capacité thermique molaire (\(C_m\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance de un Kelvin (ou un degré Celsius). On distingue \(C_{v,m}\) (à volume constant) et \(C_{p,m}\) (à pression constante).
Constante des gaz parfaits (R)
\(R \approx 8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Transformations Isochore et Isobare - Exercice d'Application (Niveau Université)

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