Transformations Isochore et Isobare

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour déterminer la température initiale \(T_A\) à partir de \(P_A\), \(V_A\) et \(n\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques et Calculs :

• \(P_A = 2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
• \(V_A = 0,0250 \, \text{m}^3\)
• \(n = 2,00 \, \text{mol}\)
• \(R = 8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(T_A \approx 301 \, \text{K}\).

a) Pression finale \(P_B\)

Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, \(\frac{P}{T} = \text{constante}\), donc \(\frac{P_A}{T_A} = \frac{P_B}{T_B}\).

• \(P_A = 2,00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
• \(T_A \approx 300,70 \, \text{K}\) (valeur non arrondie)
• \(T_B = 450 \, \text{K}\)

Arrondi : \(P_B \approx 2,99 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

b) Travail \(W_{AB}\)

Pour une transformation isochore, le volume est constant (\(\Delta V = 0\)). Le travail des forces de pression est nul.

c) Variation d'énergie interne \(\Delta U_{AB}\)

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).

• \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \times 8,314 = 12,471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Arrondi : \(\Delta U_{AB} \approx 3,72 \times 10^3 \, \text{J}\).

d) Quantité de chaleur \(Q_{AB}\)

D'après le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U_{AB} = Q_{AB} + W_{AB}\). Comme \(W_{AB} = 0\), on a \(Q_{AB} = \Delta U_{AB}\).

a) Température finale \(T_C\)

Pour une transformation isobare d'un gaz parfait, \(\frac{V}{T} = \text{constante}\), donc \(\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}\). On a \(V_B = V_A\).

• \(T_B = 450 \, \text{K}\)
• \(V_C = 0,0400 \, \text{m}^3\)
• \(V_A = 0,0250 \, \text{m}^3\)

b) Travail \(W_{BC}\)

Pour une transformation isobare, \(W_{BC} = -P_B (V_C - V_B)\).

• \(P_B \approx 2,993 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie)

Arrondi : \(W_{BC} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\).

c) Variation d'enthalpie \(\Delta H_{BC}\)

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie ne dépend que de la variation de température : \(\Delta H = n C_{p,m} \Delta T\).

• \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8,314 = 20,785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Arrondi : \(\Delta H_{BC} \approx 1,12 \times 10^4 \, \text{J}\).

d) Quantité de chaleur \(Q_{BC}\)

Pour une transformation isobare, la chaleur échangée est égale à la variation d'enthalpie : \(Q_{BC} = \Delta H_{BC}\).

e) Variation d'énergie interne \(\Delta U_{BC}\)

D'après le premier principe : \(\Delta U_{BC} = Q_{BC} + W_{BC}\).
Ou directement : \(\Delta U_{BC} = n C_{v,m} (T_C - T_B)\)

Vérification : \(Q_{BC} + W_{BC} \approx 11223,9 \, \text{J} - 4489,5 \, \text{J} \approx 6734,4 \, \text{J}\). Cohérent.

Arrondi : \(\Delta U_{BC} \approx 6,73 \times 10^3 \, \text{J}\).

a) Travail total \(W_{\text{total}}\)

Le travail total est la somme des travaux des transformations successives.

Arrondi : \(W_{\text{total}} \approx -4,49 \times 10^3 \, \text{J}\).

b) Variation d'énergie interne totale \(\Delta U_{\text{total}}\)

L'énergie interne est une fonction d'état, sa variation totale est la somme des variations pour chaque étape, ou calculée entre l'état initial A et l'état final C.

Alternativement : \(\Delta U_{\text{total}} = n C_{v,m} (T_C - T_A)\)

Les valeurs sont cohérentes aux arrondis près. Arrondi : \(\Delta U_{\text{total}} \approx 1,05 \times 10^4 \, \text{J}\).

c) Quantité de chaleur totale \(Q_{\text{total}}\)

D'après le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U_{\text{total}} = Q_{\text{total}} + W_{\text{total}}\), donc \(Q_{\text{total}} = \Delta U_{\text{total}} - W_{\text{total}}\).

Vérification : \(Q_{\text{total}} = Q_{AB} + Q_{BC} \approx 3724 \, \text{J} + 11223,9 \, \text{J} \approx 14947,9 \, \text{J}\). Cohérent.

Arrondi : \(Q_{\text{total}} \approx 1,49 \times 10^4 \, \text{J}\).