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Exercices Physique Chimie

Satellite en Orbite Circulaire

Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie

Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie

Comprendre le Mouvement Orbital et l'Énergie d'un Satellite

Le mouvement des satellites autour d'un corps central, comme la Terre, est régi par la force de gravitation universelle. Pour une orbite circulaire, cette force gravitationnelle agit comme la force centripète, maintenant le satellite sur sa trajectoire. La vitesse orbitale, la période de révolution et les énergies (cinétique, potentielle et mécanique) du satellite sont des grandeurs clés pour caractériser son mouvement. L'énergie potentielle gravitationnelle est définie par convention comme nulle à une distance infinie du corps attracteur. L'énergie mécanique totale d'un satellite en orbite stable est constante (en l'absence de frottements atmosphériques ou d'autres perturbations) et est négative, indiquant un système lié.

Données de l'étude

Un satellite d'observation de masse \(m = 1200 \, \text{kg}\) est placé sur une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude \(h = 600 \, \text{km}\).

Données utiles :

  • Masse de la Terre : \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Rayon équatorial moyen de la Terre : \(R_T = 6378 \, \text{km}\)
  • Constante de gravitation universelle : \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • On prendra \(\pi \approx 3,14159\)
Schéma : Satellite en orbite circulaire autour de la Terre
Terre Satellite r F_g v Satellite en orbite circulaire.

La force de gravitation de la Terre agit comme force centripète pour le satellite.

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon \(r\) de l'orbite du satellite en mètres.
  2. Établir l'expression littérale de la vitesse orbitale \(v\) du satellite en fonction de \(G\), \(M_T\) et \(r\). Calculer sa valeur numérique en m/s.
  3. Calculer la période de révolution \(T\) du satellite en secondes, puis la convertir en heures, minutes et secondes.
  4. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) du satellite en rad/s.
  5. Calculer l'énergie cinétique \(E_c\) du satellite.
  6. Calculer l'énergie potentielle gravitationnelle \(E_p\) du satellite sur son orbite (en prenant l'origine des potentiels à l'infini, \(E_p = -G \frac{M_T m}{r}\)).
  7. En déduire l'énergie mécanique totale \(E_m\) du satellite. Quelle relation simple existe-t-il entre \(E_m\) et \(E_c\), et entre \(E_m\) et \(E_p\) pour une orbite circulaire ?

Correction : Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie

Question 1 : Calcul du rayon orbital (\(r\))

Principe :

Le rayon orbital \(r\) est la distance du centre de la Terre au satellite. C'est la somme du rayon de la Terre \(R_T\) et de l'altitude \(h\) du satellite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[r = R_T + h\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Rayon de la Terre : \(R_T = 6378 \, \text{km}\)
  • Altitude du satellite : \(h = 600 \, \text{km}\)

Calcul de \(r\) en km :

\[ \begin{aligned} r &= 6378 \, \text{km} + 600 \, \text{km} \\ &= 6978 \, \text{km} \end{aligned} \]

Conversion de \(r\) en mètres (m) : \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} r &= 6978 \times 1000 \, \text{m} \\ &= 6,978 \times 10^6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rayon orbital du satellite est \(r = 6978 \, \text{km} = 6,978 \times 10^6 \, \text{m}\).

Question 2 : Vitesse orbitale (\(v\)) du satellite

Principe :

Pour un satellite en orbite circulaire, la force de gravitation exercée par la Terre est la force centripète. En égalant les expressions de ces deux forces, on peut dériver l'expression de la vitesse orbitale.

Force de gravitation : \(F_g = G \frac{M_T m}{r^2}\)
Force centripète : \(F_c = m \frac{v^2}{r}\)
À l'équilibre orbital : \(F_g = F_c\)

Dérivation de l'expression littérale :
\[ \begin{aligned} G \frac{M_T m}{r^2} &= m \frac{v^2}{r} \\ \text{En simplifiant par } m \text{ et par } r \text{ (si } r \neq 0 \text{ et } m \neq 0 \text{):} \\ G \frac{M_T}{r} &= v^2 \\ v &= \sqrt{\frac{G M_T}{r}} \end{aligned} \]
Données spécifiques et Calcul numérique :
  • \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(r = 6,978 \times 10^6 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{(6,674 \times 10^{-11}) \times (5,972 \times 10^{24})}{6,978 \times 10^6}} \\ &= \sqrt{\frac{3,986 \times 10^{14}}{6,978 \times 10^6}} \\ &= \sqrt{5,712 \times 10^7} \\ &\approx 7557,8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Arrondi à 4 chiffres significatifs (comme \(R_T\)) : \(v \approx 7558 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 2 :
  • Expression littérale : \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\)
  • Valeur numérique : \(v \approx 7558 \, \text{m/s}\)

Question 3 : Période de révolution (\(T\))

Principe :

La période de révolution \(T\) est le temps mis par le satellite pour effectuer un tour complet de son orbite. Pour une orbite circulaire de rayon \(r\) parcourue à la vitesse \(v\), la distance est \(2\pi r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = \frac{2\pi r}{v}\]

On peut aussi utiliser la 3ème loi de Kepler (dérivée à la question 2 de l'exercice précédent) : \(T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}}\).

Données spécifiques et Calculs (en utilisant \(T = 2\pi r / v\)) :
  • \(r = 6,978 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(v \approx 7557,8 \, \text{m/s}\) (valeur non arrondie)
  • \(\pi \approx 3,14159\)
\[ \begin{aligned} T &= \frac{2 \times 3,14159 \times (6,978 \times 10^6 \, \text{m})}{7557,8 \, \text{m/s}} \\ &\approx \frac{4,3843 \times 10^7 \, \text{m}}{7557,8 \, \text{m/s}} \\ &\approx 5799,5 \, \text{s} \end{aligned} \]

Conversion en heures, minutes, secondes :
\(5799,5 \, \text{s} / 3600 \, \text{s/h} \approx 1,61097 \, \text{h}\)
\(1 \, \text{heure}\)
\(0,61097 \, \text{h} \times 60 \, \text{min/h} \approx 36,658 \, \text{min}\)
\(36 \, \text{minutes}\)
\(0,658 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} \approx 39,5 \, \text{s}\)
Donc, \(T \approx 1 \, \text{h} \, 36 \, \text{min} \, 40 \, \text{s}\) (arrondi).

Résultat Question 3 : La période de révolution du satellite est \(T \approx 5800 \, \text{s}\), soit environ 1 heure, 36 minutes et 40 secondes.

Question 4 : Vitesse angulaire (\(\omega\))

Principe :

La vitesse angulaire \(\omega\) est liée à la période \(T\) ou à la vitesse linéaire \(v\) et au rayon \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = \frac{2\pi}{T} \quad \text{ou} \quad \omega = \frac{v}{r}\]
Données spécifiques et Calculs (en utilisant \(\omega = v/r\)) :
  • \(v \approx 7557,8 \, \text{m/s}\)
  • \(r = 6,978 \times 10^6 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \omega &= \frac{7557,8 \, \text{m/s}}{6,978 \times 10^6 \, \text{m}} \\ &\approx 0,001083 \, \text{rad/s} \\ &\approx 1,083 \times 10^{-3} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse angulaire du satellite est \(\omega \approx 1,083 \times 10^{-3} \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon de l'orbite d'un satellite double, et que sa vitesse linéaire reste la même (cas hypothétique), sa vitesse angulaire :

Question 5 : Énergie cinétique (\(E_c\)) du satellite

Principe :

L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) se déplaçant à une vitesse \(v\) est donnée par \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_c = \frac{1}{2} m v^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(m = 1200 \, \text{kg}\)
  • \(v \approx 7557,8 \, \text{m/s}\)
\[ \begin{aligned} E_c &= \frac{1}{2} \times (1200 \, \text{kg}) \times (7557,8 \, \text{m/s})^2 \\ &= 600 \times (5,7120 \times 10^7) \, \text{J} \\ &\approx 3,4272 \times 10^{10} \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs (comme m) : \(E_c \approx 3,43 \times 10^{10} \, \text{J}\).

Résultat Question 5 : L'énergie cinétique du satellite est \(E_c \approx 3,43 \times 10^{10} \, \text{J}\).

Question 6 : Énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\))

Principe :

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un système de deux masses \(M\) et \(m\) séparées par une distance \(r\), avec l'origine des potentiels à l'infini, est donnée par \(E_p = -G \frac{M m}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_p = -G \frac{M_T m}{r}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • \(M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(m = 1200 \, \text{kg}\)
  • \(r = 6,978 \times 10^6 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} E_p &= -(6,674 \times 10^{-11}) \frac{(5,972 \times 10^{24}) \times 1200}{6,978 \times 10^6} \\ &= -(6,674 \times 10^{-11}) \frac{7,1664 \times 10^{27}}{6,978 \times 10^6} \\ &= -(6,674 \times 10^{-11}) \times (1,0270 \times 10^{21}) \\ &\approx -6,8544 \times 10^{10} \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(E_p \approx -6,85 \times 10^{10} \, \text{J}\).

Résultat Question 6 : L'énergie potentielle gravitationnelle du satellite est \(E_p \approx -6,85 \times 10^{10} \, \text{J}\).

Question 7 : Énergie mécanique totale (\(E_m\)) et relations

Principe :

L'énergie mécanique totale \(E_m\) d'un satellite est la somme de son énergie cinétique \(E_c\) et de son énergie potentielle gravitationnelle \(E_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_m = E_c + E_p\]
Calcul de \(E_m\) :
  • \(E_c \approx 3,4272 \times 10^{10} \, \text{J}\) (valeur non arrondie)
  • \(E_p \approx -6,8544 \times 10^{10} \, \text{J}\) (valeur non arrondie)
\[ \begin{aligned} E_m &\approx (3,4272 \times 10^{10} \, \text{J}) + (-6,8544 \times 10^{10} \, \text{J}) \\ &\approx -3,4272 \times 10^{10} \, \text{J} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(E_m \approx -3,43 \times 10^{10} \, \text{J}\).

Relations entre les énergies pour une orbite circulaire :

On a \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). Et on sait que \(v^2 = \frac{G M_T}{r}\). Donc \(E_c = \frac{1}{2} m \frac{G M_T}{r} = \frac{1}{2} \frac{G M_T m}{r}\).

On a aussi \(E_p = -G \frac{M_T m}{r}\).

Comparaison :

  • Relation entre \(E_m\) et \(E_c\) : On observe que \(E_m \approx -E_c\). En effet, \(E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} \frac{G M_T m}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{1}{2} \frac{G M_T m}{r} = -E_c\).
  • Relation entre \(E_m\) et \(E_p\) : On observe que \(E_m \approx \frac{1}{2} E_p\). En effet, \(E_p = -2 E_c\), donc \(E_m = E_c + E_p = E_c - 2E_c = -E_c\). Et \(E_m = -E_c = \frac{1}{2} E_p\).

Ces relations (\(E_m = -E_c = \frac{1}{2} E_p\)) sont caractéristiques d'un système en orbite circulaire sous l'effet d'une force en \(1/r^2\) (théorème du viriel pour une force centrale en \(1/r^2\)).

Résultat Question 7 :
  • L'énergie mécanique totale du satellite est \(E_m \approx -3,43 \times 10^{10} \, \text{J}\).
  • Pour une orbite circulaire, on a les relations : \(E_m = -E_c\) et \(E_m = \frac{1}{2} E_p\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'énergie mécanique d'un satellite en orbite circulaire stable est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La vitesse orbitale d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre :

9. Pour un satellite en orbite circulaire, si son énergie cinétique est \(E_c\), son énergie potentielle gravitationnelle \(E_p\) est :

10. Un satellite géostationnaire :

Glossaire

Satellite
Corps en orbite autour d'un corps céleste plus massif.
Orbite circulaire
Trajectoire circulaire d'un corps autour d'un autre sous l'effet de la gravitation.
Rayon orbital (r)
Distance entre le centre du corps attracteur et le satellite.
Altitude (h)
Distance entre la surface du corps attracteur et le satellite.
Période de révolution (T)
Temps nécessaire pour effectuer une orbite complète.
Vitesse angulaire (\(\omega\))
Angle balayé par unité de temps (\(\omega = 2\pi/T\)).
Vitesse linéaire (v)
Vitesse du satellite sur sa trajectoire (\(v = r\omega\)).
Force centripète (\(F_c\))
Force résultante dirigée vers le centre, nécessaire au mouvement circulaire (\(F_c = mv^2/r = mr\omega^2\)).
Force de gravitation (\(F_g\))
Force d'attraction entre deux masses (\(F_g = G M_T m / r^2\)).
Énergie cinétique (\(E_c\))
Énergie associée au mouvement d'un objet (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)).
Énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\))
Énergie associée à la position d'un objet dans un champ de gravitation. Pour un satellite, \(E_p = -G \frac{M_T m}{r}\) (avec \(E_p(\infty)=0\)).
Énergie mécanique totale (\(E_m\))
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (\(E_m = E_c + E_p\)). Pour une orbite circulaire, \(E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}\).
Satellite géostationnaire
Satellite qui reste fixe par rapport à un point de la surface terrestre. Son orbite est équatoriale, circulaire, et sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre (environ 24 heures).
Satellite en Orbite Circulaire - Exercice d'Application (Niveau Université)

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