Perturbation le long d’une corde
Contexte : L'onde progressiveUne onde progressive est le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu, sans transport de matière mais avec transport d'énergie..
Nous étudions une perturbation se propageant le long d'une corde élastique tendue horizontalement. Une extrémité de la corde est fixe, tandis que l'autre, la source S, est animée d'un mouvement vertical à partir de l'instant t=0. Cette perturbation, ou ébranlement, se déplace le long de la corde. Cet exercice vise à analyser les caractéristiques de cette propagation, notamment sa vitesse et son évolution dans le temps et l'espace.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre les concepts de célérité, de retard et la double nature d'une onde, qui peut être décrite par son aspect à un instant donné (une "photographie") ou par le mouvement d'un point du milieu au cours du temps (un "film").
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la célérité d'une onde à partir de données expérimentales.
- Appliquer la notion de retard pour déterminer l'instant de passage de l'onde en un point.
- Représenter graphiquement l'aspect de la corde à un instant donné.
- Représenter graphiquement le mouvement d'un point de la corde en fonction du temps.
- Relier la durée de la perturbation à sa longueur spatiale.
Données de l'étude
Schéma du dispositif au repos (t < 0)
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(y_{\text{max}}\) | Amplitude (élongation maximale) de la source S | 2,0 | cm |
| \(\Delta t_S\) | Durée totale du mouvement de la source S | 40 | ms |
| \(d_{SM}\) | Distance entre la source S et un point M de la corde | 1,50 | m |
| \(t_M\) | Instant où le point M commence son mouvement | 0,30 | s |
Questions à traiter
- Calculer la célérité \(v\) de l'onde le long de la corde.
- Un point N est situé à une distance \(d_{SN} = 2,50\) m de la source. Déterminer le retard \(\tau_N\) de la perturbation en N par rapport à la source S. À quel instant \(t_N\) le point N commence-t-il à bouger ?
- Dessiner, sur un graphique \(y(x)\), l'aspect de la corde à l'instant \(t_1 = 0,33 \text{ s}\).
- Dessiner, sur un graphique \(y_M(t)\), l'évolution de l'élongation du point M en fonction du temps.
- Déterminer la longueur spatiale \(L\) de la perturbation.
Les bases sur les Ondes Progressives
Une onde progressive est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés locales du milieu. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.
1. Célérité et Retard
La célérité \(v\) est la vitesse à laquelle l'onde se propage. Elle ne dépend que des propriétés du milieu de propagation. Pour une distance \(d\) parcourue en une durée \(\Delta t\), on a :
\[ v = \frac{d}{\Delta t} \]
Un point M de la corde, situé à une distance \(d\) de la source S, reproduit le mouvement de S avec un retard \(\tau = d/v\). L'élongation de M à l'instant \(t\) est celle que S avait à l'instant \(t-\tau\) : \(y_M(t) = y_S(t - \tau)\).
2. Deux représentations pour une onde
Il ne faut pas confondre la représentation spatiale et la représentation temporelle :
- L'aspect de la corde (\(y\) en fonction de \(x\)) : C'est une "photographie" de la corde à un instant \(t\) figé. Elle montre l'élongation de tous les points de la corde à ce moment précis.
- Le mouvement d'un point (\(y\) en fonction de \(t\)) : C'est un "film" du mouvement vertical d'un seul point \(x\) figé. Elle montre comment l'élongation de ce point évolue au cours du temps.
Correction : Perturbation le long d’une corde
Question 1 : Calculer la célérité \(v\) de l'onde
Principe
La célérité est la vitesse de propagation de la perturbation. Elle est constante tout le long de la corde. On peut la calculer en divisant la distance parcourue par la durée du parcours.
Mini-Cours
La célérité d'une onde transversale sur une corde dépend de sa tension \(T\) (en Newtons) et de sa masse linéique \(\mu\) (en kg/m) via la relation \(v = \sqrt{T/\mu}\). Dans cet exercice, nous la déterminons expérimentalement, ce qui est une approche courante.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier clairement les informations données (ici, une distance et un temps de parcours) et ce que l'on cherche (une vitesse). La relation entre ces trois grandeurs est l'une des plus fondamentales en physique.
Normes
En physique, l'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme. Pour que les calculs soient justes, il faut s'assurer que toutes les grandeurs sont exprimées dans leurs unités de base (mètres, secondes, kilogrammes, etc.).
Formule(s)
Formule de la célérité
Hypothèses
Nous faisons les hypothèses suivantes :
- La célérité de l'onde est constante sur toute la longueur de la corde.
- La corde est un milieu non-dispersif (la forme de l'onde ne change pas en se propageant).
- Le chronomètre est déclenché précisément au début du mouvement de S.
Donnée(s)
L'énoncé nous fournit la distance parcourue par l'onde pour atteindre le point M, ainsi que le temps que cela a pris.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance parcourue | \(d_{SM}\) | 1,50 | m |
| Durée du parcours | \(\Delta t = t_M\) | 0,30 | s |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez que les unités sont cohérentes. Ici, nous avons des mètres et des secondes, ce qui donnera bien une vitesse en m/s. C'est un réflexe simple qui évite beaucoup d'erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Propagation de S vers M
Calcul(s)
Calcul de la célérité
Schéma (Après les calculs)
Illustration de la célérité
Réflexions
Une célérité de 5,0 m/s (soit 18 km/h) est une valeur tout à fait plausible pour une onde se propageant sur une corde de laboratoire tendue. Ce n'est ni excessivement rapide, ni trop lent.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre la célérité de l'onde (vitesse de déplacement de la perturbation, horizontale et constante) avec la vitesse d'un point de la corde (vitesse du mouvement vertical, qui est variable).
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- Concept Clé : La célérité est la distance parcourue par l'onde par unité de temps.
- Formule Essentielle : \(v = d / \Delta t\).
- Point de Vigilance Majeur : La célérité est une propriété du milieu, elle ne dépend pas de la forme ou de l'amplitude de l'onde.
Le saviez-vous ?
Les musiciens accordent leurs instruments à cordes (guitare, violon) en ajustant la tension des cordes. En augmentant la tension, ils augmentent la célérité de l'onde, ce qui, pour une longueur de corde donnée, augmente la fréquence du son produit (le son devient plus aigu).
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point M, toujours situé à 1,50 m, commençait à bouger à l'instant \(t=0,25\) s, quelle serait la nouvelle célérité de l'onde ?
Question 2 : Déterminer le retard \(\tau_N\) et l'instant \(t_N\)
Principe
Le retard \(\tau_N\) est le temps nécessaire à l'onde pour voyager de la source S jusqu'au point N. Comme la célérité est constante, on peut utiliser la même relation que précédemment. L'instant \(t_N\) où N commence à bouger est simplement égal à ce retard, car la perturbation part de S à \(t=0\).
Mini-Cours
Le concept de retard est au cœur de la description des ondes. L'élongation en un point M à l'instant t est la même que celle de la source S à un instant antérieur \(t-\tau\). Mathématiquement : \(y_M(t) = y_S(t - \tau_M)\). Cette relation montre que le point M "imite" le mouvement de la source, mais avec un décalage dans le temps.
Remarque Pédagogique
Le retard est directement proportionnel à la distance. Si un point est deux fois plus loin, l'onde mettra deux fois plus de temps à l'atteindre. C'est une relation simple et intuitive qu'il faut toujours garder en tête.
Normes
Nous continuons d'appliquer la convention du Système International d'unités pour garantir la cohérence de nos résultats.
Formule(s)
Formule du retard
Hypothèses
Nous supposons que la célérité \(v\) calculée à la question 1 est bien constante sur toute la longueur de la corde jusqu'au point N.
Donnée(s)
On utilise la distance \(d_{SN}\) fournie dans la question et la célérité calculée à la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance SN | \(d_{SN}\) | 2,50 | m |
| Célérité de l'onde | \(v\) | 5,0 | m/s |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, on peut se dire : "La corde fait 2,50 m et l'onde avance de 5 m chaque seconde. Il lui faudra donc une demi-seconde pour arriver." Ce raisonnement rapide permet de valider le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Propagation de S vers N
Calcul(s)
Calcul du retard \(\tau_N\)
Calcul de l'instant \(t_N\)
Schéma (Après les calculs)
Onde atteignant le point N
Réflexions
Le résultat est logique : le point N est plus éloigné que le point M (\(2,50\) m > \(1,50\) m), il est donc normal que l'onde mette plus de temps à l'atteindre (\(0,50\) s > \(0,30\) s).
Points de vigilance
Veillez à bien utiliser la distance correspondant au point étudié (\(d_{SN}\) pour le point N) et non une autre distance de l'énoncé. Une lecture attentive est essentielle.
Points à retenir
Ce qu'il faut maîtriser :
- Concept Clé : Le retard est le temps de propagation de l'onde entre deux points.
- Formule Essentielle : \(\tau = d / v\).
- Point de Vigilance Majeur : L'instant de début du mouvement d'un point n'est égal au retard que si la source commence son mouvement à \(t=0\).
Le saviez-vous ?
Lors d'un orage, on voit l'éclair (onde lumineuse) quasi-instantanément car sa célérité est immense (~300 000 km/s). On entend le tonnerre (onde sonore) avec un retard car sa célérité dans l'air est bien plus faible (~340 m/s). En comptant les secondes entre l'éclair et le tonnerre et en divisant par 3, on obtient approximativement la distance de l'orage en kilomètres !
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le retard pour un point P situé à seulement 0,50 m de la source ?
Question 3 : Aspect de la corde à \(t_1 = 0,33 \text{ s}\)
Principe
Pour dessiner l'aspect de la corde (une "photographie" à un instant \(t_1\) donné), il faut localiser où se trouve la perturbation dans l'espace. On doit déterminer la position du "front" de l'onde (le point le plus avancé) et de l'"arrière" de l'onde (le point le moins avancé).
Mini-Cours
La représentation \(y(x)\) à un instant \(t\) est une fonction de l'espace. Chaque point de la corde a une élongation qui dépend de sa position \(x\). Le front de l'onde, parti de \(x=0\) à \(t=0\), se trouve à la position \(x_{\text{front}} = v \times t\). L'arrière de l'onde, parti de \(x=0\) à \(t=\Delta t_S\), se trouve à la position \(x_{\text{arriere}} = v \times (t - \Delta t_S)\).
Remarque Pédagogique
Pensez à la propagation comme un "train" qui avance. Pour savoir où est le train à un instant t, il faut localiser sa locomotive (le front) et son dernier wagon (l'arrière). La forme du train entre les deux ne change pas.
Normes
Pour le graphique, nous respectons les conventions scientifiques : l'axe des abscisses (x) représente la position, l'axe des ordonnées (y) l'élongation, et les unités doivent être clairement indiquées.
Formule(s)
Position du front de l'onde
Position de l'arrière de l'onde
Hypothèses
On suppose que la forme triangulaire de la perturbation est conservée durant la propagation (pas d'amortissement ni de dispersion).
Donnée(s)
Nous utilisons la célérité, l'instant d'observation et la durée de la perturbation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité | \(v\) | 5,0 | m/s |
| Instant d'observation | \(t_1\) | 0,33 | s |
| Durée de la perturbation | \(\Delta t_S\) | 40 ms = 0,040 | s |
Astuces
Une fois le front et l'arrière localisés, la longueur de la perturbation sur le graphique (\(x_{\text{front}} - x_{\text{arriere}}\)) doit être égale à la longueur totale de l'onde \(L = v \times \Delta t_S\). C'est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Localisation de la perturbation à un instant t
Calcul(s)
Calcul de la position du front de l'onde
Calcul de la position de l'arrière de l'onde
Schéma (Après les calculs)
On trace un repère \(y(x)\) et on représente la perturbation triangulaire entre \(x=1,45\) m et \(x=1,65\) m. Le sommet de la perturbation, créé à \(t=20\) ms, se trouve à mi-chemin, soit \(x_{\text{sommet}} = v \times (0,33 - 0,020) = 1,55\) m.
Aspect de la corde à \(t_1 = 0,33\) s
Réflexions
Ce graphique est une "photographie" qui fige le temps. On y voit que la majorité de la corde est encore au repos. Seule une petite portion, entre 1,45 m et 1,65 m, est en mouvement. Le front de l'onde (à droite) correspond à ce qui a été émis en premier par la source.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser le sens de la perturbation. La partie de l'onde qui a été émise en premier par la source (\(t=0\)) est celle qui est allée le plus loin (\(x_{\text{front}}\)). La forme spatiale est donc une image "inversée" de la forme temporelle du signal source.
Points à retenir
Pour réussir cette question :
- Concept Clé : L'aspect de la corde est une représentation de l'élongation \(y\) en fonction de la position \(x\) à un instant \(t\) fixe.
- Méthode : Calculer la position du début (\(x_{\text{front}}\)) et de la fin (\(x_{\text{arriere}}\)) de la perturbation.
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas confondre le graphique spatial \(y(x)\) avec le graphique temporel \(y(t)\).
Le saviez-vous ?
Les "vagues" que l'on voit à la surface de l'eau sont une représentation directe de l'aspect de l'onde à un instant t. En prenant une photo de la mer, on réalise exactement ce que nous avons dessiné ici : un graphique de l'élongation (la hauteur de l'eau) en fonction de la position.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
À l'instant \(t_2 = 0,40 \text{ s}\), où se trouvera le front de l'onde ?
Question 4 : Évolution de l'élongation \(y_M(t)\) du point M
Principe
Il s'agit de décrire le mouvement vertical du point M au cours du temps. Ce point va rester immobile, puis reproduire à l'identique le mouvement de la source (un triangle) avec un certain retard, puis redevenir immobile. C'est un "film" de l'activité du point M.
Mini-Cours
La représentation \(y_M(t)\) est une fonction du temps. Elle est nulle pour tout instant \(t\) inférieur au temps d'arrivée de l'onde en M, \(t_M = \tau_M\). Pour \(t \ge t_M\), le point M se met en mouvement et son élongation est donnée par \(y_M(t) = y_S(t-t_M)\). Le mouvement dure le temps de la perturbation, \(\Delta t_S\).
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous fixez votre regard sur un seul bouchon de pêcheur à la surface de l'eau. Vous ne le voyez pas se déplacer horizontalement, mais seulement monter et descendre au passage d'une vague. C'est exactement ce que ce graphique représente.
Normes
Le graphique doit respecter les conventions : le temps \(t\) en abscisse, l'élongation \(y_M\) en ordonnée, avec les unités correspondantes (secondes et centimètres).
Formule(s)
Instant de début du mouvement
Instant de fin du mouvement
Hypothèses
Nous supposons que le point M effectue un mouvement purement transversal (vertical) sans se déplacer horizontalement.
Donnée(s)
Nous avons besoin de l'instant d'arrivée de l'onde en M et de la durée de la perturbation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Instant d'arrivée en M | \(t_M\) | 0,30 | s |
| Durée de la perturbation | \(\Delta t_S\) | 40 ms = 0,040 | s |
Astuces
La forme du graphique \(y_M(t)\) doit être exactement la même que la forme du mouvement de la source \(y_S(t)\), simplement décalée vers la droite sur l'axe du temps d'une valeur égale au retard \(\tau_M\).
Schéma (Avant les calculs)
Représentation temporelle en un point M
Calcul(s)
Phase 1 : Avant l'arrivée de l'onde
Phase 2 : Montée de la perturbation
Phase 3 : Descente de la perturbation
Phase 4 : Après le passage de l'onde
Schéma (Après les calculs)
On trace le graphique de \(y_M\) en fonction de \(t\) en respectant les phases décrites ci-dessus.
Mouvement du point M en fonction du temps
Réflexions
Ce graphique montre qu'un point du milieu de propagation ne fait que subir temporairement la perturbation. Il ne se déplace pas avec elle. Son mouvement est entièrement déterminé par le mouvement de la source et le temps que met l'onde à l'atteindre.
Points de vigilance
La principale erreur est de confondre ce graphique temporel (\(y\) en fonction de \(t\)) avec le graphique spatial de la question précédente (\(y\) en fonction de \(x\)). Les axes sont différents et ils ne représentent pas la même chose !
Points à retenir
Ce qu'il faut maîtriser :
- Concept Clé : Le mouvement d'un point est une représentation de l'élongation \(y\) en fonction du temps \(t\) pour une position \(x\) fixe.
- Méthode : Décaler le mouvement de la source du retard \(\tau\) correspondant au point étudié.
- Point de Vigilance Majeur : La durée du mouvement du point M est égale à la durée du mouvement de la source S.
Le saviez-vous ?
Les sismogrammes enregistrés lors d'un tremblement de terre sont des graphiques de type \(y(t)\). Ils montrent le mouvement du sol en un point donné (où se trouve le sismomètre) au cours du temps. L'analyse de ces graphiques permet de déterminer la puissance et la localisation de l'épicentre.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
Pendant combien de temps au total le point M est-il en mouvement ?
Question 5 : Déterminer la longueur spatiale \(L\) de la perturbation
Principe
La longueur (ou extension spatiale) \(L\) de la perturbation est la distance que parcourt le front de l'onde pendant que la source effectue son mouvement complet. C'est la "taille" de la vague sur la corde à un instant donné.
Mini-Cours
La longueur d'onde \(\lambda\) d'une onde périodique est la distance parcourue pendant une période \(T\) : \(\lambda = v \times T\). Pour une perturbation unique (un "signal"), le concept est le même : sa longueur spatiale \(L\) est la distance parcourue pendant la durée totale du signal \(\Delta t_S\).
Remarque Pédagogique
Cette question fait le lien fondamental entre le temps (la durée de la perturbation à la source) et l'espace (la longueur qu'elle occupe sur la corde). Une perturbation plus longue dans le temps sera aussi plus longue dans l'espace.
Normes
Nous utilisons les unités du Système International (m/s et s) pour obtenir une longueur en mètres.
Formule(s)
Formule de la longueur de la perturbation
Hypothèses
On suppose que la célérité \(v\) est constante, ce qui implique que la longueur de la perturbation ne change pas au cours de sa propagation.
Donnée(s)
Il faut convertir la durée en secondes pour être cohérent avec l'unité de la célérité.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité de l'onde | \(v\) | 5,0 | m/s |
| Durée de la perturbation | \(\Delta t_S\) | 40 ms = 0,040 | s |
Astuces
On peut retrouver ce résultat à partir du graphique de la question 3. La longueur de la perturbation est la différence entre la position du front et celle de l'arrière : \(L = x_{\text{front}} - x_{\text{arriere}} = 1,65 - 1,45 = 0,20\) m. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de l'exercice.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Longueur et Durée
Calcul(s)
Calcul de la longueur de la perturbation
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la longueur de l'onde
Réflexions
Une perturbation qui dure 40 millisecondes à la source s'étale sur une longueur de 20 centimètres sur la corde. Cette relation directe entre durée et longueur est une caractéristique fondamentale de la propagation des ondes.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une erreur de conversion d'unités. Pensez toujours à convertir les millisecondes (ms) en secondes (s) avant de les multiplier par une célérité en m/s.
Points à retenir
Ce qu'il faut maîtriser :
- Concept Clé : La longueur spatiale d'une perturbation est la distance parcourue par l'onde pendant la durée de cette perturbation.
- Formule Essentielle : \(L = v \times \Delta t\).
- Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (m, s, m/s).
Le saviez-vous ?
En plein océan, les vagues d'un tsunami ont une longueur d'onde (l'équivalent de notre longueur \(L\)) qui peut atteindre plusieurs centaines de kilomètres ! C'est pour cela qu'elles sont presque indétectables au large. Leur amplitude est très faible, mais elles transportent une énergie colossale sur une très grande distance.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la source vibrait pendant 60 ms (0,060 s), quelle serait la nouvelle longueur de la perturbation sur la corde ?
Outil Interactif : Simulateur d'Onde
Utilisez les curseurs pour faire varier la célérité de l'onde et la durée de la perturbation à la source. Observez en temps réel comment l'aspect de la corde et la longueur de l'onde sont modifiés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. De quoi dépend principalement la célérité d'une onde le long d'une corde ?
2. Si on double l'amplitude du mouvement de la source (on la fait monter à 4 cm au lieu de 2 cm), la célérité de l'onde va :
3. Un point M est situé à une distance d de la source, et un point P à une distance 2d. Le retard \(\tau_P\) au point P est :
4. Le graphique de l'élongation d'un point en fonction du temps, \(y(t)\), représente :
5. Une perturbation de 0,5 m de long se propage sur une corde. Chaque point de la corde est mis en mouvement pendant 0,1 s. Quelle est la célérité de l'onde ?
- Onde progressive
- Phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu, se traduisant par un transport d'énergie sans transport de matière.
- Célérité
- Vitesse de propagation de l'onde dans un milieu donné. Elle est notée \(v\) et s'exprime en m/s.
- Élongation
- Déplacement vertical (ordonnée \(y\)) d'un point de la corde par rapport à sa position de repos.
- Retard (ou décalage temporel)
- Durée \(\tau\) que met l'onde pour parcourir la distance entre deux points. Le mouvement du second point est décalé dans le temps de cette durée par rapport au premier.
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