Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Mouvement Linéaire avec Accélération Constante

Mouvement Linéaire avec Accélération Constante

Mouvement Linéaire avec Accélération Constante

Comprendre le Mouvement avec Accélération Constante

Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV), ou mouvement avec accélération constante, est un cas fondamental de la cinématique. Il décrit le déplacement d'un objet dont la vitesse change de manière uniforme au cours du temps. Cela signifie que l'accélération de l'objet reste constante en direction, sens et valeur. Les équations de la cinématique pour ce type de mouvement permettent de relier la position, la vitesse, l'accélération et le temps. Ces équations sont cruciales pour analyser de nombreux phénomènes physiques, allant de la chute libre des objets (en négligeant la résistance de l'air) au mouvement de véhicules.

Données de l'étude

Une voiture de course démarre d'une position de repos et accélère uniformément sur une piste rectiligne.

Conditions initiales et accélération :

  • Position initiale : \(x_0 = 0 \, \text{m}\) (origine du repère)
  • Vitesse initiale : \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) (démarre du repos)
  • Accélération constante : \(a = 4,0 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Voiture accélérant sur une piste
x=0 t=0 t > 0 v(t) a Voiture en mouvement rectiligne uniformément accéléré.

La voiture part du repos et son accélération est constante.

Questions à traiter

  1. Écrire les équations horaires du mouvement de la voiture :
    1. Équation de la vitesse \(v(t)\) en fonction du temps.
    2. Équation de la position \(x(t)\) en fonction du temps.
  2. Calculer la vitesse \(v_1\) de la voiture à l'instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\).
  3. Calculer la position \(x_1\) de la voiture (distance parcourue) à ce même instant \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\).
  4. Après quelle durée \(\Delta t_2\) la voiture atteindra-t-elle une vitesse \(v_2 = 108 \, \text{km/h}\) ?
  5. Quelle distance \(x_2\) aura-t-elle parcourue pour atteindre cette vitesse \(v_2\) ?

Correction : Mouvement Linéaire avec Accélération Constante

Question 1 : Équations horaires du mouvement

Principe :

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV), l'accélération \(a\) est constante. La vitesse \(v(t)\) et la position \(x(t)\) sont données par les intégrations successives de l'accélération par rapport au temps, en tenant compte des conditions initiales (\(x_0\) et \(v_0\) à \(t=0\)).

Formule(s) utilisée(s) :

a) Équation de la vitesse :

\[v(t) = a t + v_0\]

b) Équation de la position :

\[x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\]
Application aux données de l'exercice :
  • \(a = 4,0 \, \text{m/s}^2\)
  • \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
  • \(x_0 = 0 \, \text{m}\)

a) Équation de la vitesse \(v(t)\) :

\[ \begin{aligned} v(t) &= (4,0 \, \text{m/s}^2) \cdot t + 0 \, \text{m/s} \\ v(t) &= 4,0 t \quad (\text{où } v \text{ est en m/s et } t \text{ en s}) \end{aligned} \]

b) Équation de la position \(x(t)\) :

\[ \begin{aligned} x(t) &= \frac{1}{2} (4,0 \, \text{m/s}^2) \cdot t^2 + (0 \, \text{m/s}) \cdot t + 0 \, \text{m} \\ x(t) &= 2,0 t^2 \quad (\text{où } x \text{ est en m et } t \text{ en s}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les équations horaires du mouvement sont :
  • a) \(v(t) = 4,0 t\)
  • b) \(x(t) = 2,0 t^2\)

Question 2 : Vitesse \(v_1\) à \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)

Principe :

On utilise l'équation horaire de la vitesse \(v(t)\) établie à la question précédente et on remplace \(t\) par \(t_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v(t) = 4,0 t\]
Calcul :
  • \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} v_1 &= v(5,0) \\ &= 4,0 \times 5,0 \\ &= 20,0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse de la voiture à \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\) est \(v_1 = 20,0 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Position \(x_1\) à \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)

Principe :

On utilise l'équation horaire de la position \(x(t)\) établie à la question 1 et on remplace \(t\) par \(t_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[x(t) = 2,0 t^2\]
Calcul :
  • \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} x_1 &= x(5,0) \\ &= 2,0 \times (5,0)^2 \\ &= 2,0 \times 25,0 \\ &= 50,0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La position de la voiture (distance parcourue) à \(t_1 = 5,0 \, \text{s}\) est \(x_1 = 50,0 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'accélération est constante et positive, et que la vitesse initiale est nulle, la distance parcourue :

Question 4 : Durée \(\Delta t_2\) pour atteindre \(v_2 = 108 \, \text{km/h}\)

Principe :

On convertit d'abord la vitesse \(v_2\) en m/s. Ensuite, on utilise l'équation horaire de la vitesse \(v(t) = 4,0 t\) pour trouver le temps \(t_2\) correspondant à \(v_2\). Comme la voiture part du repos à \(t=0\), \(\Delta t_2 = t_2\).

Conversion de vitesse :

\(1 \, \text{km/h} = \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = \frac{1}{3,6} \, \text{m/s}\)

\[ \begin{aligned} v_2 &= 108 \, \text{km/h} \\ &= \frac{108}{3,6} \, \text{m/s} \\ &= 30,0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Calcul de \(t_2\) :

On utilise \(v(t_2) = v_2\)

\[ \begin{aligned} 4,0 t_2 &= 30,0 \\ t_2 &= \frac{30,0}{4,0} \\ &= 7,5 \, \text{s} \end{aligned} \]

Puisque \(t_0 = 0\), la durée \(\Delta t_2 = t_2 - t_0 = 7,5 \, \text{s}\).

Résultat Question 4 : La voiture atteindra une vitesse de \(108 \, \text{km/h}\) (soit \(30,0 \, \text{m/s}\)) après une durée de \(7,5 \, \text{s}\).

Question 5 : Distance \(x_2\) parcourue pour atteindre \(v_2\)

Principe :

On peut utiliser l'équation horaire de la position \(x(t) = 2,0 t^2\) avec \(t = t_2 = 7,5 \, \text{s}\).
Alternativement, on peut utiliser la relation indépendante du temps : \(v_f^2 - v_0^2 = 2 a (x_f - x_0)\). Ici, \(v_f = v_2\), \(v_0 = 0\), \(x_f = x_2\), \(x_0 = 0\).

Méthode 1 : Utilisation de \(x(t)\)
\[ \begin{aligned} x_2 &= x(7,5) \\ &= 2,0 \times (7,5)^2 \\ &= 2,0 \times 56,25 \\ &= 112,5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Méthode 2 : Utilisation de \(v_f^2 - v_0^2 = 2 a \Delta x\)

Ici, \(\Delta x = x_2\).

\[ \begin{aligned} v_2^2 - v_0^2 &= 2 a x_2 \\ (30,0)^2 - (0)^2 &= 2 \times 4,0 \times x_2 \\ 900 &= 8,0 x_2 \\ x_2 &= \frac{900}{8,0} \\ &= 112,5 \, \text{m} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 5 : La voiture aura parcouru \(112,5 \, \text{m}\) pour atteindre la vitesse de \(108 \, \text{km/h}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Laquelle de ces équations n'est PAS une équation standard du mouvement rectiligne uniformément varié (avec \(x_0=0, v_0=0\)) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l'accélération est :

7. Si un objet part du repos avec une accélération constante \(a\), sa vitesse après un temps \(t\) est :

8. La relation \(v_f^2 - v_0^2 = 2a(x_f - x_0)\) est utile lorsque :

Glossaire

Cinématique
Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les causes (forces) qui le produisent.
Mouvement rectiligne
Mouvement d'un objet dont la trajectoire est une ligne droite.
Accélération (\(a\))
Taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. Pour un mouvement rectiligne, c'est une grandeur vectorielle (ou scalaire si l'on considère son intensité et son signe). Unité SI : mètre par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).
Accélération constante
Situation où le vecteur accélération (ou sa valeur dans un mouvement rectiligne) ne change pas au cours du temps.
Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV)
Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante.
Vitesse (\(v\))
Taux de variation de la position d'un objet par rapport au temps. Unité SI : mètre par seconde (m/s).
Position (\(x\))
Localisation d'un objet dans l'espace, souvent par rapport à une origine. Unité SI : mètre (m).
Équations horaires
Équations mathématiques qui décrivent la position, la vitesse et/ou l'accélération d'un objet en fonction du temps.
Conditions initiales
Valeurs de la position (\(x_0\)) et de la vitesse (\(v_0\)) d'un objet à l'instant initial (généralement \(t=0\)).
Mouvement Linéaire avec Accélération Constante - Exercice d'Application (Niveau Université)

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