Mouvement d’une voiture de course
Contexte : L'étude du mouvement en ligne droite.
La cinématique est la branche de la physique qui décrit le mouvement des objets sans se préoccuper des causes qui le provoquent. L'un des mouvements les plus fondamentaux est le mouvement rectiligne uniformément accéléréUn mouvement est dit rectiligne uniformément accéléré (MRUA) si la trajectoire est une droite et si l'accélération est constante. La vitesse varie alors de manière linéaire avec le temps. (MRUA), qui modélise de nombreuses situations réelles, comme le démarrage d'un véhicule, la chute d'un objet, ou, comme dans notre cas, l'accélération d'une voiture de course. Comprendre comment calculer la vitesse, la distance et l'accélération est essentiel pour analyser et prédire le comportement de tout objet en mouvement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des équations de la cinématique. Nous allons partir de données brutes (vitesses en km/h, temps) pour calculer des grandeurs physiques clés (accélération, distance) et même faire un premier pas vers la dynamique en calculant la force motrice. C'est une démarche typique en physique : modéliser une situation réelle avec des outils mathématiques pour en extraire des informations quantitatives.
Objectifs Pédagogiques
- Convertir des unités de vitesse (km/h en m/s).
- Calculer une accélération moyenne à partir de la variation de vitesse.
- Appliquer les équations du mouvement pour calculer une distance parcourue.
- Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour lier l'accélération à la force motrice.
- Se familiariser avec les unités du Système International (m, s, m/s, m/s², N).
Données de l'étude
Schéma de la phase d'accélération
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_i\) | 0 | \(\text{km/h}\) |
| Vitesse finale | \(v_f\) | 100 | \(\text{km/h}\) |
| Durée de l'accélération | \(\Delta t\) | 2,80 | \(\text{s}\) |
| Masse de la voiture | \(m\) | 750 | \(\text{kg}\) |
Questions à traiter
- Convertir la vitesse finale \(v_f\) en mètres par seconde (m/s).
- Calculer l'accélération moyenne \(a\) de la voiture en m/s².
- Calculer la distance \(d\) parcourue par la voiture pendant cette phase d'accélération.
- En supposant que les forces de frottement sont négligeables, calculer la force motrice moyenne \(F\) développée par le moteur.
Les bases de la Cinématique
Avant de plonger dans la correction, revoyons les équations clés du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).
1. Conversion de Vitesse :
Pour passer des km/h aux m/s, il faut se rappeler qu'il y a 1000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure. La conversion est donc :
\[ v \, (\text{m/s}) = \frac{v \, (\text{km/h})}{3,6} \]
2. Accélération :
L'accélération \(a\) mesure la rapidité avec laquelle la vitesse change. Pour une accélération constante, elle est simplement la variation de vitesse (\(\Delta v = v_f - v_i\)) divisée par la durée (\(\Delta t\)).
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} \]
3. Distance parcourue :
La distance \(d\) parcourue pendant un temps \(\Delta t\) avec une vitesse initiale \(v_i\) et une accélération constante \(a\) est donnée par :
\[ d = v_i \cdot \Delta t + \frac{1}{2} a \cdot (\Delta t)^2 \]
Correction : Mouvement d’une voiture de course
Question 1 : Convertir la vitesse finale en m/s
Principe (le concept physique)
En physique, il est crucial de travailler avec des unités cohérentes pour que les formules donnent des résultats corrects. Le Système International d'unités (SI) est la norme. Pour la vitesse, l'unité SI est le mètre par seconde (m/s). Convertir les km/h en m/s est donc la première étape indispensable avant tout calcul.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La conversion repose sur la définition des préfixes et des unités de temps. \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) et \(1 \, \text{h} = 3600 \, \text{s}\). Donc, \(1 \, \text{km/h} = \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = \frac{1}{3,6} \, \text{m/s}\). Diviser par 3,6 est donc la méthode directe pour passer des km/h aux m/s.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Retenez ce facteur 3,6 ! C'est l'une des conversions les plus utiles en mécanique. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6. Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6. C'est un automatisme à acquérir.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation du Système International (SI) est une convention mondiale dans les sciences. Elle garantit que les résultats expérimentaux et les calculs sont universellement comparables et compréhensibles. Le mètre (m), le kilogramme (kg) et la seconde (s) sont trois des sept unités de base du SI.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de conversion est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les valeurs de vitesse et de temps sont données avec une précision suffisante pour les calculs.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse finale, \(v_f = 100 \, \text{km/h}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un calcul mental rapide, vous pouvez approximer 3,6 par 3,5 (soit 7/2). Diviser par 3,5 revient à multiplier par 2/7. Par exemple, \(98 \, \text{km/h}\) est proche de \(100 \, \text{km/h}\). \(98/3.5 = 28 \, \text{m/s}\). La vraie valeur pour 100 km/h sera un peu moins de 30 m/s. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Conversion d'unités
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule de conversion.
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la conversion
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La vitesse de 100 km/h correspond à environ 27,8 mètres parcourus chaque seconde. Cette valeur en m/s est celle que nous devrons utiliser dans toutes les formules de cinématique qui suivent pour garantir la cohérence des unités.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de multiplier par 3,6 au lieu de diviser. Rappelez-vous qu'un mètre est plus petit qu'un kilomètre, et une seconde plus courte qu'une heure. Le nombre de m/s doit donc être plus petit que le nombre de km/h. Si vous trouvez 360 m/s, vous avez fait l'erreur inverse !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'unité de vitesse du Système International est le m/s.
- Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6.
- Cette conversion est une étape préliminaire essentielle à de nombreux calculs de physique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans certains domaines comme l'aéronautique ou la marine, on utilise le "nœud" comme unité de vitesse. Un nœud correspond à un mille marin par heure. Un mille marin vaut exactement 1852 mètres, donc 1 nœud ≈ 1,852 km/h ≈ 0,514 m/s.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
La vitesse maximale d'une Formule 1 est d'environ 360 km/h. Quelle est cette vitesse en m/s ?
Question 2 : Calculer l'accélération moyenne (\(a\))
Principe (le concept physique)
L'accélération est le taux de variation de la vitesse. Une accélération positive signifie que la vitesse augmente, une accélération négative (décélération) signifie qu'elle diminue. Ici, nous calculons la valeur moyenne de cette accélération, en supposant qu'elle est constante sur la courte durée étudiée.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\(a = dv/dt\)). Dans le cas d'un mouvement où l'accélération est constante, cette relation s'intègre pour donner \(v(t) = a \cdot t + v_i\). En réarrangeant cette équation, on retrouve la formule de l'accélération moyenne : \(a = (v(t) - v_i) / t\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à l'accélération comme "le nombre de m/s que l'on gagne chaque seconde". Si l'accélération est de 10 m/s², cela veut dire que toutes les secondes, la vitesse de l'objet augmente de 10 m/s. C'est une façon intuitive de comprendre cette grandeur.
Normes (la référence réglementaire)
L'unité SI de l'accélération est le mètre par seconde carrée (m/s²). Elle représente une variation de vitesse (en m/s) par unité de temps (par s).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de l'accélération moyenne est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le mouvement est rectiligne et que l'accélération est constante pendant l'intervalle de temps \(\Delta t\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse finale, \(v_f \approx 27,8 \, \text{m/s}\) (du calcul Q1)
- Vitesse initiale, \(v_i = 0 \, \text{m/s}\)
- Durée, \(\Delta t = 2,80 \, \text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque la vitesse initiale est nulle, le calcul se simplifie grandement : il suffit de diviser la vitesse finale par le temps. Pour l'ordre de grandeur, 27,8 est proche de 28, et 2,8 est proche de 3. Le résultat devrait être un peu en dessous de \(28/2,8 = 10 \, \text{m/s²}\).
Schéma (Avant les calculs)
Variation de la vitesse dans le temps
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule en utilisant les vitesses en m/s.
Schéma (Après les calculs)
Accélération calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une accélération de 9,92 m/s² est très élevée. Elle est très proche de l'accélération de la pesanteur terrestre (g ≈ 9,81 m/s²). Cela signifie que la voiture gagne de la vitesse presque aussi rapidement qu'un objet en chute libre, ce qui est caractéristique des véhicules de haute performance.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser les vitesses en m/s et non en km/h dans cette formule. Si vous aviez calculé \(100 / 2,8\), le résultat n'aurait eu aucune signification physique correcte et l'unité aurait été des km/h/s, une unité non standard.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'accélération est la variation de vitesse divisée par le temps.
- Elle s'exprime en m/s².
- Une accélération constante implique une augmentation linéaire de la vitesse.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les pilotes de chasse et les astronautes subissent des accélérations beaucoup plus intenses, souvent mesurées en "g" (1 g = 9,81 m/s²). Une accélération de 5 g signifie qu'ils ressentent une force équivalente à cinq fois leur propre poids. Des combinaisons spéciales sont nécessaires pour empêcher le sang de quitter le cerveau dans de telles conditions.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une moto passe de 50 km/h à 122 km/h en 4 secondes. Quelle est son accélération moyenne en m/s² ? (Indice: 50 km/h ≈ 13,9 m/s et 122 km/h ≈ 33,9 m/s)
Question 3 : Calculer la distance parcourue (\(d\))
Principe (le concept physique)
La distance parcourue lors d'un mouvement accéléré dépend de trois facteurs : la vitesse que le véhicule avait au départ, son accélération, et la durée pendant laquelle il accélère. La formule de la distance intègre ces trois paramètres pour donner la position finale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distance est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps (\(d = \int v(t) dt\)). En intégrant l'équation de la vitesse \(v(t) = a \cdot t + v_i\), on obtient l'équation de la position : \(x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_i \cdot t + x_0\). La distance parcourue \(d\) est la différence de position \(x(t) - x_0\), ce qui nous redonne la formule de l'énoncé.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Faites attention au carré sur le temps (\((\Delta t)^2\)) ! C'est une source d'erreur fréquente. La distance parcourue n'est pas proportionnelle au temps, mais au carré du temps. Cela signifie que si vous accélérez deux fois plus longtemps, vous parcourez quatre fois plus de distance (en partant du repos).
Normes (la référence réglementaire)
L'unité SI de la distance est le mètre (m). En utilisant des vitesses en m/s, des accélérations en m/s² et des temps en s, le résultat de la formule sera automatiquement en mètres.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de la distance pour un MRUA est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de supposer que l'accélération \(a\) est constante sur tout l'intervalle de temps \(\Delta t\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse initiale, \(v_i = 0 \, \text{m/s}\)
- Accélération, \(a \approx 9,92 \, \text{m/s}^2\) (du calcul Q2)
- Durée, \(\Delta t = 2,80 \, \text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Comme la vitesse initiale est nulle, le premier terme de la formule (\(v_i \cdot \Delta t\)) disparaît, ce qui simplifie le calcul. Il ne reste que \(d = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\). Pour l'ordre de grandeur : \(a \approx 10\) et \(\Delta t \approx 3\). Donc \(d \approx 0,5 \times 10 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45 \, \text{m}\). Le résultat exact devrait être proche de cette valeur.
Schéma (Avant les calculs)
Distance parcourue pendant l'accélération
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule simplifiée car \(v_i = 0\).
Schéma (Après les calculs)
Distance parcourue calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La voiture parcourt près de 39 mètres pour atteindre 100 km/h. C'est une distance très courte qui confirme les performances exceptionnelles du véhicule. Ce résultat est cohérent avec l'ordre de grandeur que nous avions estimé.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier le carré sur le temps \(\Delta t\). Une autre erreur est d'oublier le facteur \(1/2\). Ces deux oublis conduisent à des résultats très différents et physiquement incorrects.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La distance parcourue en MRUA est donnée par \(d = v_i \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\).
- Si le départ est arrêté (\(v_i=0\)), la formule se simplifie en \(d = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\).
- La distance dépend du carré du temps.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Il existe une autre formule de cinématique très utile, appelée "relation indépendante du temps", qui lie la vitesse, l'accélération et la distance sans faire intervenir le temps : \(v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d\). Elle est particulièrement pratique quand on ne connaît pas la durée du mouvement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un TGV démarre avec une accélération constante de 0,5 m/s². Quelle distance (en mètres) parcourt-il pendant la première minute (60 s) ?
Question 4 : Calculer la force motrice moyenne (\(F\))
Principe (le concept physique)
Nous passons de la cinématique (description du mouvement) à la dynamique (étude des causes du mouvement). Le Principe Fondamental de la Dynamique (deuxième loi de Newton) établit un lien direct entre la force nette appliquée à un objet, sa masse, et l'accélération qu'il subit. Si on connaît l'accélération et la masse, on peut en déduire la force qui a provoqué ce mouvement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La deuxième loi de Newton s'écrit \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}\). Cela signifie que la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération. Dans notre cas, en négligeant les frottements, la seule force qui travaille dans le sens du mouvement est la force motrice. L'équation se simplifie donc en \(F = m \cdot a\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'une des formules les plus importantes de toute la physique ! \(F=ma\). Elle relie trois grandeurs fondamentales. Une force plus grande ou une masse plus petite produit une plus grande accélération. C'est le cœur de la mécanique classique.
Normes (la référence réglementaire)
L'unité SI de la force est le Newton (N). Un Newton est défini comme la force nécessaire pour communiquer à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s². En utilisant la masse en kg et l'accélération en m/s², le résultat de la formule \(F=ma\) est automatiquement en Newtons.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le Principe Fondamental de la Dynamique (simplifié) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la force motrice est constante et que toutes les autres forces horizontales (frottements de l'air, résistance au roulement) sont négligeables par rapport à la force motrice.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse de la voiture, \(m = 750 \, \text{kg}\)
- Accélération, \(a \approx 9,92 \, \text{m/s}^2\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour l'ordre de grandeur, \(m=750\) et \(a \approx 10\). La force devrait donc être d'environ \(750 \times 10 = 7500 \, \text{N}\). Le résultat exact sera légèrement inférieur.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Force, Masse et Accélération
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la deuxième loi de Newton.
Schéma (Après les calculs)
Force Motrice Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une force de 7440 Newtons est considérable. Pour se donner une idée, c'est la force équivalente au poids d'une masse d'environ 759 kg (\(P = m \cdot g \Rightarrow m = F/g = 7440 / 9,81\)). C'est comme si la voiture était "poussée" horizontalement par une force égale à son propre poids.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La masse doit impérativement être en kilogrammes (kg), l'unité SI. Si la masse était donnée en tonnes ou en grammes, une conversion serait nécessaire avant d'appliquer la formule.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La force est la cause de l'accélération.
- Le lien est donné par la 2ème loi de Newton : \(F = m \cdot a\).
- Pour utiliser cette formule, les unités SI (N, kg, m/s²) sont indispensables.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La puissance (en Watts) d'un moteur est liée à la force motrice et à la vitesse par la relation \(P = F \cdot v\). Pour notre voiture à 100 km/h (27,8 m/s), la puissance instantanée développée serait de \(P = 7440 \, \text{N} \times 27,8 \, \text{m/s} \approx 206800 \, \text{W}\), soit environ 281 chevaux (1 cheval-vapeur ≈ 735,5 W).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle force est nécessaire pour faire accélérer un camion de 10 tonnes (10 000 kg) avec une accélération de 1,5 m/s² ?
Outil Interactif : Paramètres du Mouvement
Modifiez la masse de la voiture et la force du moteur pour voir leur influence sur l'accélération et la performance (temps et distance pour atteindre 100 km/h).
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
Le record du monde pour le 0 à 100 km/h est détenu par une voiture de course électrique spécialement conçue par des étudiants suisses. En 2023, elle a accompli cette accélération en seulement 0,956 seconde, sur une distance de 12,3 mètres, subissant une accélération moyenne de plus de 29 m/s², soit presque 3 fois l'accélération de la pesanteur !
Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?
C'est un "point de vue" depuis lequel on étudie le mouvement. Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) s'il est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Dans un tel référentiel, les lois de Newton s'appliquent. Le sol terrestre est considéré comme une très bonne approximation d'un référentiel galiléen pour la plupart des mouvements à sa surface.
La masse d'une voiture change-t-elle pendant la course ?
Oui, de manière significative ! Une voiture de Formule 1, par exemple, commence une course avec environ 110 kg de carburant. À la fin de la course, ce carburant a été consommé. La voiture est donc beaucoup plus légère, et pour une même force motrice, son accélération potentielle est plus grande. C'est un paramètre crucial dans la stratégie de course.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la force motrice d'une voiture (en négligeant les frottements), son accélération...
2. Un objet en mouvement rectiligne uniforme a une accélération...
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, sans tenir compte des forces qui le provoquent. Elle décrit la trajectoire, la vitesse et l'accélération.
- Accélération
- Grandeur vectorielle qui représente la modification de la vitesse d'un corps en fonction du temps. Son unité SI est le mètre par seconde carrée (m/s²).
- Principe Fondamental de la Dynamique
- Aussi appelée deuxième loi de Newton, cette loi énonce que la somme des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum F = ma\)).
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