Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Moment d’Inertie d’un Système Composé

Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé

Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé

Comprendre le Moment d'Inertie

Le moment d'inertie (\(I\)) est une grandeur physique qui caractérise la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation autour d'un axe donné. C'est l'analogue rotationnel de la masse (qui caractérise la résistance d'un corps à un changement de son état de translation). Plus le moment d'inertie d'un objet est grand, plus il est difficile de le mettre en rotation ou de modifier sa vitesse angulaire. Le moment d'inertie dépend non seulement de la masse totale de l'objet, mais aussi de la manière dont cette masse est répartie par rapport à l'axe de rotation. Pour un système composé de plusieurs parties, le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie de chaque partie par rapport au même axe. Le théorème des axes parallèles (ou théorème de Huygens) est souvent utilisé pour calculer le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe qui ne passe pas par son centre de masse, si l'on connaît son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse.

Données de l'étude

On considère un système composé d'une tige mince et homogène de longueur \(L\) et de masse \(M_t\). Deux masses ponctuelles, \(m_1\) et \(m_2\), sont fixées à cette tige. La masse \(m_1\) est fixée au centre de la tige, et la masse \(m_2\) est fixée à l'une des extrémités de la tige. Le système peut tourner autour d'un axe (\(\Delta\)) perpendiculaire à la tige et passant par l'autre extrémité de la tige (celle qui ne porte pas \(m_2\)).

Caractéristiques du système :

  • Masse de la tige : \(M_t = 2,0 \, \text{kg}\)
  • Longueur de la tige : \(L = 1,0 \, \text{m}\)
  • Masse ponctuelle 1 (au centre) : \(m_1 = 0,50 \, \text{kg}\)
  • Masse ponctuelle 2 (à l'extrémité libre) : \(m_2 = 1,0 \, \text{kg}\)

Rappels - Moments d'inertie usuels :

  • Moment d'inertie d'une tige mince de masse \(M\) et de longueur \(L\) par rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre de masse : \(I_{cm, tige} = \frac{1}{12} M L^2\).
  • Moment d'inertie d'une tige mince de masse \(M\) et de longueur \(L\) par rapport à un axe perpendiculaire passant par une de ses extrémités : \(I_{ext, tige} = \frac{1}{3} M L^2\).
  • Moment d'inertie d'une masse ponctuelle \(m\) située à une distance \(r\) d'un axe de rotation : \(I_{point} = m r^2\).
Schéma : Système composé en rotation
Δ O Tige (M_t, L) m₁ L/2 m₂ L Système tige + masses ponctuelles.

Le système est constitué d'une tige et de deux masses ponctuelles, en rotation autour de l'axe (\(\Delta\)) passant par O.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie \(I_{tige}\) de la tige par rapport à l'axe de rotation (\(\Delta\)).
  2. Calculer le moment d'inertie \(I_1\) de la masse ponctuelle \(m_1\) par rapport à l'axe de rotation (\(\Delta\)).
  3. Calculer le moment d'inertie \(I_2\) de la masse ponctuelle \(m_2\) par rapport à l'axe de rotation (\(\Delta\)).
  4. En déduire le moment d'inertie total \(I_{\text{total}}\) du système composé par rapport à l'axe (\(\Delta\)).
  5. Si ce système est mis en rotation à partir du repos par un couple net constant \(\tau = 10,0 \, \text{N} \cdot \text{m}\), quelle sera sa vitesse angulaire \(\omega\) après \(3,0 \, \text{s}\) ?

Correction : Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé

Question 1 : Moment d'inertie de la tige (\(I_{tige}\))

Principe :

L'axe de rotation (\(\Delta\)) passe par une extrémité de la tige. On peut donc utiliser directement la formule du moment d'inertie d'une tige par rapport à un axe passant par une de ses extrémités.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{ext, tige}} = \frac{1}{3} M_t L^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse de la tige : \(M_t = 2,0 \, \text{kg}\)
  • Longueur de la tige : \(L = 1,0 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} I_{tige} &= \frac{1}{3} \times (2,0 \, \text{kg}) \times (1,0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{3} \times 2,0 \times 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &\approx 0,6666... \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

Arrondi à 2 chiffres significatifs (comme M_t et L) : \(I_{tige} \approx 0,67 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\). Nous garderons plus de décimales pour les calculs intermédiaires.

Résultat Question 1 : Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe (\(\Delta\)) est \(I_{tige} \approx 0,667 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Question 2 : Moment d'inertie de la masse \(m_1\) (\(I_1\))

Principe :

La masse \(m_1\) est une masse ponctuelle située au centre de la tige. Sa distance à l'axe de rotation (\(\Delta\)), qui passe par une extrémité de la tige, est \(r_1 = L/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{point} = m r^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse \(m_1 = 0,50 \, \text{kg}\)
  • Distance à l'axe : \(r_1 = L/2 = 1,0 \, \text{m} / 2 = 0,50 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} I_1 &= m_1 r_1^2 \\ &= (0,50 \, \text{kg}) \times (0,50 \, \text{m})^2 \\ &= 0,50 \times 0,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 0,125 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie de la masse \(m_1\) par rapport à l'axe (\(\Delta\)) est \(I_1 = 0,125 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Question 3 : Moment d'inertie de la masse \(m_2\) (\(I_2\))

Principe :

La masse \(m_2\) est une masse ponctuelle située à l'extrémité libre de la tige. Sa distance à l'axe de rotation (\(\Delta\)), qui passe par l'autre extrémité, est \(r_2 = L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{point} = m r^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse \(m_2 = 1,0 \, \text{kg}\)
  • Distance à l'axe : \(r_2 = L = 1,0 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} I_2 &= m_2 r_2^2 \\ &= (1,0 \, \text{kg}) \times (1,0 \, \text{m})^2 \\ &= 1,0 \times 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie de la masse \(m_2\) par rapport à l'axe (\(\Delta\)) est \(I_2 = 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une masse ponctuelle est déplacée deux fois plus loin de l'axe de rotation, son moment d'inertie par rapport à cet axe est :

Question 4 : Moment d'inertie total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le moment d'inertie total d'un système composé est la somme des moments d'inertie de ses différentes parties, tous calculés par rapport au même axe de rotation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = I_{tige} + I_1 + I_2\]
Données spécifiques et Calculs (en utilisant les valeurs non arrondies pour plus de précision) :
  • \(I_{tige} \approx 0,66667 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
  • \(I_1 = 0,125 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
  • \(I_2 = 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &\approx 0,66667 + 0,125 + 1,0 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &\approx 1,79167 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

Arrondi à 2 ou 3 chiffres significatifs, en fonction de la précision des données initiales. Ici, les masses sont données avec 2 ou 3 chiffres. \(I_{\text{total}} \approx 1,79 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Résultat Question 4 : Le moment d'inertie total du système composé par rapport à l'axe (\(\Delta\)) est \(I_{\text{total}} \approx 1,79 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Question 5 : (Bonus) Vitesse angulaire \(\omega\) après \(3,0 \, \text{s}\)

Principe :

Un couple net constant \(\tau\) appliqué à un système de moment d'inertie \(I_{\text{total}}\) provoque une accélération angulaire constante \(\alpha = \tau / I_{\text{total}}\). Si le système part du repos (\(\omega_0 = 0\)), sa vitesse angulaire \(\omega\) après un temps \(\Delta t\) est \(\omega = \alpha \Delta t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha = \frac{\tau}{I_{\text{total}}}\] \[\omega = \omega_0 + \alpha \Delta t\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\tau = 10,0 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 1,79167 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\) (valeur non arrondie)
  • \(\omega_0 = 0 \, \text{rad/s}\)
  • \(\Delta t = 3,0 \, \text{s}\)

Calcul de l'accélération angulaire \(\alpha\) :

\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{10,0 \, \text{N} \cdot \text{m}}{1,79167 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} \\ &\approx 5,5814 \, \text{rad/s}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse angulaire finale \(\omega\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 0 + (5,5814 \, \text{rad/s}^2) \times (3,0 \, \text{s}) \\ &\approx 16,744 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs (comme \(\tau\) et \(\Delta t\)) : \(\omega \approx 16,7 \, \text{rad/s}\).

Résultat Question 5 : La vitesse angulaire du système après \(3,0 \, \text{s}\) est \(\omega \approx 16,7 \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le théorème des axes parallèles (Huygens) permet de calculer :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Le moment d'inertie d'un objet dépend :

7. Pour un système composé de plusieurs parties, le moment d'inertie total par rapport à un axe donné est :

8. L'unité SI du moment d'inertie est :

Glossaire

Moment d'inertie (\(I\))
Grandeur scalaire qui caractérise la résistance d'un corps à une modification de son état de rotation autour d'un axe. Unité : \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\).
Axe de rotation
Droite fixe autour de laquelle un corps effectue un mouvement de rotation.
Masse ponctuelle
Objet dont les dimensions sont négligeables par rapport aux autres distances considérées, et dont toute la masse est concentrée en un point.
Tige mince
Objet dont la longueur est significativement plus grande que ses dimensions transversales (largeur, épaisseur).
Centre de masse (CM)
Point géométrique où l'on peut considérer que toute la masse d'un corps est concentrée pour décrire son mouvement de translation. Pour un corps homogène de forme symétrique, il coïncide avec le centre géométrique.
Théorème des axes parallèles (Théorème de Huygens)
Théorème qui relie le moment d'inertie \(I\) d'un corps par rapport à un axe (\(\Delta\)) à son moment d'inertie \(I_{cm}\) par rapport à un axe parallèle (\(\Delta_{cm}\)) passant par son centre de masse : \(I = I_{cm} + M d^2\), où \(M\) est la masse du corps et \(d\) la distance entre les deux axes.
Système composé
Ensemble de plusieurs corps ou parties considérés comme un tout.
Principe de superposition (pour le moment d'inertie)
Le moment d'inertie total d'un système composé par rapport à un axe donné est la somme algébrique des moments d'inertie de ses différentes composantes par rapport à ce même axe.
Couple (ou Moment de force) (\(\tau\))
Action qui tend à provoquer ou à modifier la rotation d'un objet autour d'un axe. Unité : \(\text{N} \cdot \text{m}\).
Accélération angulaire (\(\alpha\))
Taux de variation de la vitesse angulaire par rapport au temps. Unité : \(\text{rad/s}^2\).
Vitesse angulaire (\(\omega\))
Taux de variation de la position angulaire par rapport au temps. Unité : \(\text{rad/s}\).
Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé - Exercice d'Application (Niveau Université)

D’autres exercices de physique université:

Equation de la trajectoire de la fusée
Equation de la trajectoire de la fusée

Équation de la Trajectoire d’une Fusée Équation de la Trajectoire d’une Fusée Comprendre le Mouvement Balistique d'une Fusée Après l'extinction de ses moteurs, une fusée (ou tout projectile) lancée dans l'atmosphère terrestre suit une trajectoire qui est...

La Montagne Russe Sans Frottement
La Montagne Russe Sans Frottement

La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement Comprendre l'Énergie Mécanique et sa Conservation Le mouvement d'un chariot sur une montagne russe est un exemple classique d'application des principes de...

Lois de Newton pour la Rotation
Lois de Newton pour la Rotation

Lois de Newton pour la Rotation - Dynamique d’un Système Poulie-Masse Lois de Newton pour la Rotation : Dynamique d’un Système Poulie-Masse Comprendre la Dynamique de Rotation La dynamique de rotation étudie les causes du mouvement de rotation des objets. De la même...

Mouvement Projectile
Mouvement Projectile

Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme Comprendre le Mouvement d'un Projectile Le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme (en...

Collision dans l’Espace
Collision dans l’Espace

Collision dans l’Espace : Conservation de la Quantité de Mouvement Collision Inélastique dans l’Espace Comprendre les Collisions et la Conservation de la Quantité de Mouvement En physique, une collision est une interaction brève et intense entre deux ou plusieurs...

Satellite en Orbite Circulaire
Satellite en Orbite Circulaire

Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie Comprendre le Mouvement Orbital et l'Énergie d'un Satellite Le mouvement des satellites autour d'un corps central, comme la Terre, est régi par la...

Calcul de la masse d’une étoile
Calcul de la masse d’une étoile

Calcul de la Masse d’une Étoile (Système Binaire) Calcul de la Masse d’une Étoile (Système Binaire ou Exoplanétaire) Comprendre la Détermination des Masses Stellaires La masse d'une étoile est l'un de ses paramètres les plus fondamentaux, car elle détermine son...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *